Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmathematik 2010 Version 4. September 2011

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1 Prüfug DAV-Spezalwsse Fazmaemak 1 Verso 4 Sepember 11 Block I (Albrec) Aufgabe 1: (3 Mue) a) De Rede R V / v eer Fazposo über e Zeervall der Läge se ormalverel, R ~ N(, ) Lee Se de Value a Rsk deser Fazposo zum Kofdezveau er! b) Gegebe se e Porfolo aus Fazel, desse Wer V() zum Zepuk gegebe s durc V() x S () 1 Als Rskofakore werde de Größe Z() ls () defer ) Selle Se de Weräderug V V( ) v() der Porfoloposo als Fuko der esprecede Weräderuge Z() Z ( ) z() der Rskofakore dar! ) Lee Se de Dela-Approxmao deser Poso er! ) Besmme Se auf deser Grudlage de (approxmave) Value a Rsk der Porfoloposo zum Kofdezveau, we ( Z1(),, Z ()) mulvara ormalverel s m E[ Z ()] ( 1,, ) ud Cov[ Z (), Z j()] j (, j 1,, )! Hwes 1: Seze Se de Value a Rsk eer ormalverele Größe als beka voraus! Hwes : exp( x) 1 x

2 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See vo 16 Lösugsskzze: a) Es gl zuäcs V v R ~ N(v,v ) ud dam L V ~ N( v,v ) Da L ormalverel s, gl für de Value a Rsk VaR (L ) E(L ) N v N v (N (L v ) ) b) ) Es gl V 1 1 Da adererses x [S ( ) s ()] S ( ) xs() 1 s() Z () Z ( ) z () ls ( ) ls () l[s ( )/s ()], folg sgesam V 1 x s ()(exp[ Z ()] 1) ) De Dela-Approxmao laue ac Hwes som V ) Es gl E( V ) 1 Var( V ) x s () Z () x s()e[ Z ()] x s() x s() xx j s()s j()j xx j s()s j() 1 j1 1 j1 Da x s() Z () ormalverel s, gl m L : V sgesam VaR [ V ] E( V ) N 1 x s () 1 N Var( V ) 1 1 j1 x x s ()s () j j j j

3 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 3 vo 16 Aufgabe : (15 Mue) De Ewcklug {A } der Markwere der Akva ees Ueremes folge eer geomersce Browsce Bewegug, sbesodere gl da zum Zepuk = A A exp{m Z }, wobe Z ~ N(,1) a) Gee Se aus vom Mero-Modell, wobe de Ausfallscrake H vorgegebe se Besmme Se de Ausfallwarscelcke PD erme der Verelugsfuko N( ) der Sadardormalverelug! b) Uerselle Se u für Z e Efakormodell der Form Z F 1 U, d fasse Se Z als ormere Boäsdkaor auf ) Besmme Se u be vorgegebeer Ausfallwarscelcke PD de dam mplz fesgelege (ormere) Ausfallscrake H ) We laue de dam mplz fesgelege Ausfallscrake H auf Ebee der Markwerewcklug der Akva? Lösugsskzze: a) Es gl PD P(A H) P[A l(h / A) N m exp(m P[m Z l(h / A)] l(h / A) m P Z l(h / A) m P Z Z ) H] b) ) PD P(Z H ) P(Z H ) N(H ) Heraus folg: H N 1 (PD) ) Aus Aufgabeel a) folg:

4 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 4 vo 16 l(h / A ) m (PD) 1 N Heraus folg 1 l(h / A) m N (PD) ud dam sgesam 1 H A exp{m N (PD) } Aufgabe 3: (15 Mue) a) Defere Se de Größe Dsace o Defaul (DD) m Rame des KMV-Modells! b) Wese Se ac, dass m Rame des Mero-Modells de fudameale Bezeug PD N( DD) gl Dabe bezece PD de Ausfallwarscelcke m Zepuk ud N de Verelugsfuko der Sadardormalverelug Hwes: De Ewcklug {A } der Markwere der Akva wurde beres Aufgabe spezfzer Lösugsskzze: a) Defo Dsace o Defaul DD: E(l A) l(dp) DD : Dabe s DP der Defaul Po ud es gl 1 DP : Sor erm Deb Log erm Deb b) Es gl ac Hwes A A exp{m ud dam: Z } l( A ) l A m Z Heraus folg zuäcs (l A ) l A m, E da E(Z ) Es folg dam weer

5 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 5 vo 16 E (l A ) l(dp) l(a / DP) m Nac dese Vorüberleguge erale wr: PD P(A P[m l(a N N( DD) DP) P(A Z / DP) DP) l(dp / A P[m Z l(a / DP)] l(a / DP) m P Z m )]

6 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 6 vo 16 Block II (Barels) Aufgabe 4: (6 Mue) Um eer zsarme Ze oc albwegs passable Erräge zu erwrscafe, scleß e 6-järger Ma ee zwejärge ree Erlebesfallverscerug ab m zwe glec oe Jarespräme Es sd folgede Dae beka: De e- bzw zwejärge Überlebeswarscelcke ees 6-järge Maes berage ac der DAV-Serbeafel R4RM : 997, p 9947 p6 6 () M dese Dae berece ma be eer Ablauflesug vo 1 - m Erlebesfall de owedge Jareseopräme be eem Garaezs vo 5% bzw alerav vo 3% (1 Mue) De Alagesraege des Verscerugsueremes se ur Ivesmes Zerobods m dem glece Ablaufdaum we de esprecede Verscerug vor De Vorgabe a de Akuar laue, dass ur solce Garaezse be der Kalkulao verwede werde dürfe, de für dese Versceruge kee Abscerug des Zsverspreces ewa über Europäsce Call-Opoe auf Zerobods beöge Herbe wrd uersell, dass auc ac eem Jar de Prese für Zerobods ses uer 1 lege, d dass auc eem Jar de Kapalmärke kee egave Zse auswese Aufgrud der akuell gülge Zssrukurkurve ke ma de akuelle Prese vo e- bzw zwejärge Zerobods: P(,1) = 963 P(,) = 93 sowe de Pres ees Europäsce Calls auf ee Zerobod m Ausübugspres 9846: C P (,1,,9846) =4 Herbe bezece we üblc: P(,) de Pres ees Zerobods zum Zepuk ud Ablaufdaum, so dass also zum Ablaufdaum gl P(,) = 1; CP (,,B,X) bezece zum Zepuk de Pres eer Europäsce Call- Opo m Ausübugspres X, Laufze auf ee Zerobod, der zu eem Zepuk B fällg wrd, so dass zb der Wer der Call-Opo zum Zepuk gerade C (,,,X) (P(, ) X) max(p(, ) X,) s P B B () We ka geerell für de geae Verscerug ee Abscerug ees Garaezses m Call-Opoe auf Zerobods vorgeomme werde? (15 Mue) () Ma prüfe ac, ob be eem Garaezs vo 5 % bzw 3 % ee solce Abscerug dem er vorlegede Fall wrklc beög wrd (15 Mue) (v) Falls ee Abscerug owedg s, was wäre da der Pres der Abscerug be de er vorlegede umersce Dae mels Call-Opoe auf Zerobods? (1 Mue) Dem Kude wrd auc de Möglcke egeräum, bede Präme eer Emalzalug zu lese; de zuäcs c beöge zwee Präme wrd da eem Prämedepo für e Jar verzs ud se da für de zwee fällge Zalug zur Verfügug B

7 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 7 vo 16 (v) Be welcem ejärge Zs für das Prämedepo läss sc jedem der bede Fälle ses ee Abscerug durc Call-Opoe vermede? (1 Mue) Aleug: Herbe gee ma we m Semar vo eem deermssce Asaz für de Bomere aus, de ezge Uscere bese also er der zuküfge Zsewcklug Außerdem werde Abscluss- ud Verwalugskose deser Beracug komple auße vor gelasse Lösugsskzze: Zu (): Der Zusammeag zwsce der Erlebesfallsumme VS = 1 ud der järlce Präme ergb sc we m Semar aufgrud der Äquvalezglecug: 1 1 p x VS (1 p x ) (1 g) 1 g Für g = 5% gl: ( 1 1 1g 997 ) 1 1g ud für g = 3 % berece sc zu Zu (): Iveser ma de erse Präme komple Zerobods zum Pres vo P(,), so eräl ma dafür be Ablauf der Verscerug ac zwe Jare de Berag De zwee Jarespräme muss daer für de edfällge Erlebesfallsumme ur oc folgede Berag erwr- P(,) scafe: S : px VS P(,) Der erfür owedgerwese zu erwrscafede Zssaz y berece sc ac der folgede Äquvalezglecug: (1) ( 1 y) px S Falls jez der beöge Zssaz y < s, wrd kee Abscerug beög: Ma errec jedem Fall de aus der zwee Präme zu erwrscafede Summe S Für y > gl: Is zum Zepuk =1 der Pres vo ejärge Zerobods öer als 1/(1+y), d der da gülge Markzs zu edrg, ka ma m der voradee Präme de Summe S durc Ze-

8 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 8 vo 16 robods c mer erwrscafe Um für dese Fall Vorsorge zu reffe, kauf ma be 1 Verragsabscluss Call-Opoe auf Zerobods m Ausübugspres fällg zum Zepuk 1, ud zwar geau ( 1 y) px Sück zum Pres vo C P 1 y 1 (,1,, ) 1 y Zu (): Be de er vorlegede umersce Dae ergebe sc folgede Were: Für g = 5% s = ud daer S = = ud eraus 93 ergb sc ac Glecug (1) für 1+y e Wer kleer als 1, d selbs oe ee Zs ka ma de Summe S aus der zwee Präme besree Für g = 5 % wrd also desem kokree Bespel eer zwejärge Verscerug kee Abscerug über Call-Opoe beög Für g = 3 % s = ud daer S = = ud eraus 93 ergb sc ac Glecug (1) folgeder Wer für 1+y: 1+y = 1156 ud dam s , das s gerade der Ausübugspres der agegebee Call-Opo Her wrd 1 y der a ee Abscerug für de Fall zu edrger Markzse ac eem Jar beög Zu (v): Als Gesampres für de Abscerug über Call-Opoe we () bescrebe ergb sc so: Zu (v): Falls m sclecese Fall m zwee Jar ke Zs zu erzele s, muss durc Aufzsug m Prämedepo der Wer S errec werde Nur m Fall g = 3 % bese überaup de eveuelle Nowedgke eer Abscerug ac () Für g = 3 % a ma zur Besmmug für de Zssaz (p) des Prämedepos de folgede Glecug: p 6 (1 (p)) 48 49, woraus sc der mmal owedge Zssaz (p) für das Prämedepo zu 1,56 % berece

9 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 9 vo 16 Block III (Maurer) Aufgabe 5: Scäzrske ud Ieraoale Porfolo-Dversfkao (3 Mue) Gegebe se ee Zwe-Läder-Wel m eem Werpaper 1 aus Lad 1 (Hemalad des Ivesors) ud eem Werpaper aus Lad (Auslad) Es werde folgede Bezecuge für de beracee Ivesmeperode geroffe R := lokale Rede vo Werpaper ( = 1, ), e : = Wecselkursrede zwsce Lad ud Lad 1, Gegebe see de Erwarugswere ud Sadardabwecuge der Rede: μ(r 1 ) =,75; μ(r ) =,175; μ(e ) =,4 σ(r 1 ) =,3; σ(r ) =,1; σ(e ) =,8 De Rede-Kovarazmarx s gegebe durc: R 1 R e R 1,9,45 -,45 R,1 -,3 e,64 - Füre Se de folgede Berecuge aus der Sc des lädsce Ivesors durc - Veraclässge Se be Ire Berecuge alle Varaze, Kovaraze ud Erwarugswere der (R e ) Kreuzproduke - Füre Se alle Berecuge m 4 Nackommaselle durc - Beace Se de abelle zur Sadardormalverelug m Aag a) E Ivesor forder ee Porfolorede, de m eer Warscelcke vo 9% über eer Mdesrede vo % leg Welce Srukur (relave Ivesosgewce), welce Sadardabwecug ud welce erwaree Rede besz das Porfolo aus Werpaper 1 ud, welces de obge Bedgug erfüll, ud de erwaree Rede maxmer Uerselle Se zur Lösug des Problems ormalverele Rede ud gee davo aus, dass der Ivesor kee Wärugsscerug durcfür (9 Mue) Hwes: Der effzee Rad (oe Wärugsscerug) der aus Werpaper 1 ud kosruerbare Porfolos a de Form,16,1565(,9)

10 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 1 vo 16 b) Uerselle Se umer, der Ivesor korrger de Scäzwere für de erwaree Rede (oe Wärugsscerug) gemäß dem Bayes-Se-Verfare m eem Scrumpfugsfakor ( zum Mmum Varaz Porfolo) Berece Se zuäcs de korrgere erwaree Rede Uerscede Se dre Fälle: ) =, ) = 1 ) = Der Ivesor versuc wederum de erwaree Porfolorede zu maxmere uer der Nebebedgug, dass m eer Warscelcke vo 9% ee Mdesrede vo % erzel wrd Welce Srukur (relave Ivesosgewce), welce Sadardabwecug ud welce erwaree Rede ergebe sc u? Skzzere Se Ire Ergebsse eer geegee Grafk (9 Mue) Hwes: Der effzee Rad (oe Wärugsscerug) der aus Werpaper 1 ud kosruerbare Porfolos m Fall =, a de Form,16,1(,9) c) Erläuer Se krsc de Resamplg-eck zur Berückscgug vo Scäzfeler be der Besmmug opmaler Porfolos (5 Mue) Lösugsskzze: Es ergb sc für de ugescere Werpapere lädscer Wärug: µ(r 1 ) =,75; µ(r + e ) =,1475; σ(r 1 ) =,3; σ(r + e ) =,1; Weer gl: Cov(R 1, R + e ) = Cov(R 1, e ) + Cov(R 1, R ) = a) 1) Effzeer Rad,16,1565(,9) ) Se N 9 das 9% Qual der Sadardormalverelug da resuler für de Sorfallresrko = + N 9 Gemäß begefüger abelle der N(, 1)- Verelug gl 1,8 < N,9 < 1,9 Im Folgede wrd (approxmav vo der scere See) N 9 = 1,9 gesez =, + 1,9 Seze 1) = ), 1,9,16,1565(,9) Maxmaler Erwarugswer uer Ealug der Sorfallresrko op,141, 7 =,75x +,1475(1-x); x 1 =,461; x =,5739

11 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 11 vo 16 b) ) ) E(R 1, BS ) =,75(1-) +,16 =,5 E(R 1, BS +e, BS ) =,1475(1-) +,16 =,15 1) Effzeer Rad,16,1(,9) ) Sorfallresrko =, + 1,9 1) = ), 1,9,16,1(,9) Maxmaler Erwarugswer uer Ealug der Sorfallresrko op,135, 1883 =,5x +,15(1-x) x 1 =,3833; x =,6167 Der effzee Rad scrumpf auf de Puk des MVP zusamme Das MVP erfüll offesclc de Sorfall-Resrko, d Prob(R MVP <,) = (-1,476) = 6,94% < 1% I desem Fall fäll das Ergebs m dem MVP aus elaufgabe b zusamme ) Kee Adjuserug der Erwarugswere, d der effzee Rad s desc zu elaufgabe a Ergebsse see a) c) Es exsere verscedee Verfare um Probleme aus Scäzrske m Rame eer Porfoloopmerug zu berückscge Ausgagspuk s ee sassce Scwese der MV Opmerug: De beobacee (sorsce) Rede selle ur ee Realsao des daegeererede Prozesses dar Um de Varablä zu berückscge, werde wederol aus der sorsce Redeverelug ( resamplg ) eue Rede smuler Dese resampled reurs füre zu jewels eem eue Se a Ipuparameer (Melwere, Kovaraze) für de ascleßede (wederole) Opmerug De für c zu eem, soder eem Spekrum a Effce Froers Durc geegee Durcscsbldug werde da de opmale Asse- Gewce besmm Problem deser eurssce Verfare s dere magelde eoresce Begrüdug; es wrd a de Sympome (sclecer Dversfkaosgrad) ud c a de Ursace (Uscere bzgl der Ipufakore) agesez (see Albrec/Maurer 8, S 8f) Aufgabe 6: "Devseforwards" (17 Mue) Se sd e europäscer Ivesor Der rskolose dskree Zs der Eurozoe beräg r EU = 3% pa Der rskolose dskree Zs m US-Dollarraum beräg gege r US = 6% pa Der Wecselkurs s akuell S =,8 /USD a) Berece Se de arbragefree Forwardkurs F ( /USD) ud de Forwardpräme f für ee Devseforward m Laufze 1 Jar (4 Mue)

12 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 1 vo 16 b) Am Mark beobace Se gege ee Forwardkurs vo F =,79 /USD Formulere Se ee Sraege, um dese Arbrage auszuuze, we Se m Euroraum Kred aufeme köe (4 Mue) c) Welce Arbragegew ( Euro) köe Se dam erzele, we Se eue maxmal 1 Kred aufeme köe (Kredaufame Dollar s Ie c möglc) (4 Mue) d) I der acfolgede abelle sd de Crossraes verscedeer Wäruge eale Ermel Se de felede Were A bs E uer der Aame, dass zwsce de Devsemärke kee (Dreecks-) Arbragemöglckee exsere! (5 Mue) Wärug EUR USD GBP SFR EUR 1 B,6758 1,5896 USD A 1,5363 1,61 GBP 1,4797 C 1 E SFR,691,799 D 1 Lösugsskzze: a) $ b) ) Kredaufame Euro ) ) v) Umausc USD Alage US Geldmark Forward für aufgezse Berag egee v) Geld eem Jar zum Forwardkurs zurückausce v) Kred lge Geld bleb übrg, bzw äe c Sraege verwede werde müsse

13 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 13 vo 16 c) 1 ü: 13 : $ ö : $ : $ Für Kredlgug werde also ur 984 beög Heuger Arbragegew s demac 16 Ebefalls volle Puke gb es für de Sraege, de komplee Euroberag de USA azulege: $ : Da ur 13 zurückgezal werde müsse, leg ( eem Jar) e Arbragegew vo 1675 vor d) Wärug EUR USD GBP SFR EUR 1 B,6758 1,5896 USD A 1,5363 1,61 GBP 1,4797 C 1 E SFR,691,799 D 1 A =,7936 B = 1,61 C = 1,8646 D =,45 E =,3517

14 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 14 vo 16 Aufgabe 7: "Lagfrsvesmes Immoble" ( Mue) Aufgrud des akuelle edrge Zsveaus aalyser der Fazvorsad ees Versorgugswerkes de Vorele/Nacele eer Iveso ee Offee Immoblefods Das verfügbare Ivesosvolume beräg EUR 5 Mlloe Nac grüdlcer Recerce erware Se für de auf kouerlcer Bass berecee järlce (Log-)Rede r des Ivesmes ee mlere Rede vo 4% pa, be eer Volalä vo % pa ud eer Auokorrelao 1 Ordug vo a =,6 Der akuelle Pres für ee Fodsael beräg EUR 1 zzgl eem Ausgabeaufsclag vo 5% auf de Aelswer (es köe belebge Brucele ees Aels erworbe werde) Be Verkauf der Fodsaele vor Ablauf vo ver Jare falle weere rasakoskose Form ees Rückameabsclags vo 1% auf de da erzelbare Aelswer a Uerselle Se m Folgede ormalverele d-rede m adjuserer Volalä ac dem Bludell/Ward-Verfare a) Berece Se be Iveso der 5 Mo Aele des Offee Immoblefods für das erzelbare Edvermöge ac ver ud eu Jare: de Erwarugswer, de Sadardabwecug, de Meda sowe das Mdesvermöge, welces m eer Warscelcke vo = 9% c uerscre wrd (7 Mue) b) We groß s de Warscelcke, dass sc das afäglc vesere Kapal ac ver bzw ac Ablauf vo eu Jare mdeses m eer (kouerlce) Rede vo,5% pa verzs a? (7 Mue) c) Was verse ma verse ma uer eem edosce Immobledex? (6 Mue) Hwese: Se X ~ LN(m, v²) ee logarmsc ormalverele Zufallsgröße m de Parameer m ud v², ud N das -Qual der Sadardormalverelug (see abelle m Aag), da gl ax b ~ LN(la + bm, b²v²) sowe für Erwarugswer, Varaz, ud -Qual E(X) m,5v e E(X) e v 1 mnv mn1 v Var(X) LN (m, v ) e e 1 a Das Bludell/Ward-Verfare korrger de Varaz gemäß: VAR(r ) VAR(r ) (1 a) Lösugsskzze: a) Korrekur vo SD der Eperode Log-Rede gemäß dem Bludell/Ward-Verfare: 1 a 1,6 ( r ) SD( r ) % (1 a) (1,6) % 4% Be (berege) d Eperode-Rede r ~ N; = N(4%; 4%) resuler für kumu- lere Logrede bs r r ~ N ; 1, Für das Edvermöge ac Jare ud

15 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 15 vo 16 Ausgabeaufsclag vo a = 5% ud Rückamegebüre vo b=1% (für >4) bzw b=% des Verkaufspreses gl dam: S (1 b) /(1 a) 5Mo e ~ LN M de Hwese ergb sc da m ; v LNl(5Mo(1 b) /(1 a)) ; r, E( S ) 5Mo(1 b) /(1 a) e LN LN SD( S ) E( S ) 9% 5% e 1 (,5 ) ( S ) 5Mo(1 b) /(1 a) e ( S ) 5Mo(1 b) /(1 a) e 1,8 ) Jare () 4 9 E() 5,45 68,75 SD() 4,4 8,8 LN()_9% 45,39 58,5 LN()_5% 5,9 68,5 b) Für kumulere Logrede bs ac rasakoskose Hv a = 5% des Kaufpreses ud b = 1% (bzw %) des Verkaufspreses gl: K 1 b 1 b r, r, l ~ N[ l, ] 1 a 1 a Be eer kouerlce Zelrede vo z =,5% per aum resuler für de kumulere Zelrede z, = z z [ l(1 b) l(1 a)] SW P( r K z) Φ, Für = 4 resuler 1-SW = 1-Φ(1,519) = 14,64% Für = 9 resuler 1-SW = 1-Φ(-,959) = 81,75% c) Hedoscer Immobledex: Es adel sc um ee spezelle Form rasakosbaserer Idzes Dese versuce, de Heerogeäsproblemak dadurc zu löse, dass mels ees ökoomersce Modells de werbeeflussede Fakore vo Immoble erfass ud vo de zelce Eflussfakore separer werde De eoresce Kozepo deser Idzes baser auf der Aame, dass der Wer eer Immoble vollsädg durc ee Vekor vo separa bewerbare Egescafe (Größe, Lage, Aler, Aussaug, Zal der Räume, ua) bescrebe werde ka Demac blde sc Prese für Immobleobjeke als Summe der erworbee ezele Egescafe we bespelswese Lage oder Größe Sassc leg dem Asaz e mulples Regressosmodell zugrude m de rasakosprese als zu erklärede ud de Egescafe als erklärede Varable Des erlaub es, de egelc eerogee Alageklasse der Immoble omogee Arbue zu separere ud gleczeg dere Efluss auf de Wer der Objeke zu besmme (see Albrec/Maurer 8, S 833)

16 Klausur zum DAV-Spezalwsse Fazmaemak am 311 See 16 vo 16 Aag Verelugsfuko der Sadardormalverelug (x) x