Klausur zu Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden (Mai 2008)
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- Sebastian Heinrich Brandt
- vor 6 Jahren
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1 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) Aufgabe (3 Puke): E Lebesverscherugsuerehme ewckel ee Tarf für ee gemsche Verscherug (d. h. de Verscherugssumme wrd glecher Höhe m Todesud Erlebesfall fällg) gege Emalberag. Das Uerehme möche Hblck auf das Schwakugsrsko ee Scherhe vo 95 % erreche. Zur Verefachug wrd ageomme, dass de Verscheruge ur m Aler abgeschlosse werde köe, ee Laufze vo 4 Jahre habe ud de verschere Rske uabhägg voeader sd. Das Verscherugsuerehme geh vo de folgede Serbewahrschelchkee aus: q,5,,5 3, a) Ermel Se ee relave Zu- bzw. Abschlag, der auf de Ausschedewahrschelchkee azuwede s, um de gefordere Scherhe () für jedes der Aler bs 3 () für de Aler bs 3 sgesam zu erreche be eer Besadsgröße vo 4 Verschere für jedes Aler. (95 % - Qual der Sadard-Normalverelug: u 95% =,65). b) Verallgemeer Se de Asaz uer a), dem Se de Rskolesug des Verscherugsuerehmes ebezehe. (Asaz: Emalberag Höhe vo 8 % der Verscherugssumme, kee Kose, learer Aseg des Deckugskapals) c) Welche Äderuge ergebe sch für de Ergebsse uer a) ud b), we sch der Besad verdoppel? d) Erläuer Se de Begrff des Solvezkapals. We ka das Solvezkapal be eer gefordere Scherhe vo 95% ermel werde, we kee Modfkao der Ausschedewahrschelchkee vorgeomme wrd (Berachug ur für Verräge am Beg der Verscherug, d.h. für L = 4, L = L = L 3 = ). Selle Se herzu dre Asäze dar, skzzere ud vergleche Se de Vorgeheswese. Erläuer Se be eer der Vorgeheswese, welche Äderug sch für das Solvezkapal ergb, we sch der Besad verdoppel. Lösug: zu a): () Für de Lebesverscherer beseh de Aler bs 3 e Todesfallrsko, da de Todesfallsumme de erse Verscherugsjahre höher als de bs dah agesammele Deckugsrücksellug s. Um bzgl. des Schwakugsrskos de gefordere Scherhe vo =,95 zu erreche, muss daher für jedes Aler e relaver Zuschlag s auf de Serbewahrschelchke q ermel werde, so dass de Wahrschelchke, dass de Azahl der Toe kleer glech als de erwaree Azahl vo Toe s, 95% beräg.
2 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) Für alle Aler =,,3 muss also gele: m (! P T L q (+ s ) =,95, (*) L T s ) Azahl der Lebede m Aler, Azahl der Toe m Aler, rel. Zuschlag m Aler. De Azahl der Toe T = m B(;q ). läss sch auch darselle als Summe vo uabhägge Beroull-verele Zufallsvarable, =,, L, d.h. T Daher gl L = ) m ET = Lq ud T B(L ;q Var(T ) = L q ( q ). Glechug (*) s dam äquvale zu T ET Lq (+ s ) Lq T ET Lqs P = P Var(T ) Var(T ) Var(T ) Lq ( q ) T ET Da de Zufallsvarable Z: = äherugswese ormalverel s, folg Var(T ) Lqs! = u,95,65 Lq( q) ud dam! =,95 Lq( q), 65 q s =,65 =, für =,...,3. Lq q [Nch der Aufgabe geforder: I userem Bespel ergb sch daher ] L q s q 4,5,638,8 4,,89,8 4,5,6685,5 3 4,,5775,36 () Soll de Scherheswahrschelchke vo 95% für alle Aler sgesam egehale werde, ergb sch der Asaz
3 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) 3 3! P T L q (+ s ) =,9 = = 5 M deselbe Überleguge we obe ergb sch de Äquvalez T ET L q (+ s ) L q! = = = = P 3 3 =,95 Var T L q ( q ) = = ud dam 3 = 3 = L q s L q ( q ) = u,65, L q ( q ) q ( q ) =, 65 = s =, 65 =, L q q = = [I userem Bespel ergb sch dam ] L q q 4,5,68 4,,37 4,5,5 3 4,,73 zu b): De Rskolesug des Verscherugsuerehmes häg vom Aler des Verschere be Tod ab. Srb der Verschere m Aler, so ha das Uerehme ers 8% der Verscherugssumme ämlch de Emalberag be Verscherugsbeg m Aler als Deckugskapal agespar ud muss daher % der Verscherugssumme als Rskolesug erbrge, be Tod m Aler 5% usw. Se K das rskere Kapal (=Rskolesug) m Aler m K =, K =,5 K =, K =,5 3
4 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) Der verallgemeere Asaz vo Aufgabeel a) () ergb sch da zu! P( T K L q (+ s ) K) =,95 für alle =,,3. K Da der Fakor auf bede See herausgekürz werde ka, ergebe sch be desem Asaz deselbe alersabhägge Fakore we uer a) (): Lq( q), 65 q = = s,65, für =,...,3. Lq q Der verallgemeere Asaz vo Aufgabeel a) () ergb sch zu 3 3! P T K L q K (+ s ) =,9 = = 5, Aalog zu a) () erhäl ma dam: 3 3 L q ( q ) K q ( q ) K s =,65 = L q K q K =, 65 = 3 3 = = zu c): De relave Zuschläge verrger sch um de Fakor : Ergebsse uer a): ) Lq( q), 65 q s =,65 = Lq q, ( =,,, 3) ) 3 3 L q ( q ) q ( q ) =, 65 = s =,65 = 3 3 L q q = = Ergebsse uer b): ) Lq( q), 65 q s =,65 = Lq L q,
5 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) ) 3 3 L q ( q ) K q ( q ) K s =,65 = L q K q K =, 65 = 3 3 = = zu d): Uer Solvezkapal verseh ma das Kapal, das e Verscherugsuerehme zusäzlch zum erwaree Gesamschade berehale muss, um m 95%ger Wahrschelchke de Asprüche aller Verschere erfülle zu köe. Bezeche S de Gesamschade des Verscherugsuerehmes, da ergb sch das Solvezkapal also als Dfferez zwsche dem 95%-Qual der Gesamschadeverelug ud dem Erwarugswer E(S ). Zur Besmmug des Solvezkapals muss daher zuächs de Gesamschadeverelug vo werde. S bereche Allgeme ergb sch der Gesamschade Ezelschäde S des Verscherugsuerehmes als Summe der S =, = wobe, =,,, chegave uabhägge Zufallsvarable see. Es gl da Var(S ) ES = Var( ) = σ = = = E = μ = =. ud wege der Uabhäggke der auch I userem Fall bezeche (=,,4) de Schade des Lebesverscherugsuerehmes, we e -Jährger srb. Da m erse Verscherugsjahr ers 8% der Verscherugssumme vorlege, beräg de Höhe des Schades für das Verscherugsuerehme,. d.h., B(;q ). Zur Berechug der Gesamschadeverelug gb es verschedee Asäze: ) Berechug der Gesamschadeverelug durch Falug Da de Vereluge der Ezelschäde beka sd, ka de Gesamschadeverelug durch Falug besmm werde. I userem Fall s de Verelug vo S 4 4 = = efach zu besmme, da de Falug vo uabhägge, desch verele Beroull-verele Zufallsvarable bomalverel s. Es gl daher B(4;q S4 ). Als Verelugsfuko für S 4, erhäl ma dam
6 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) 4 P( S ) P( 5 S 5 ) q ( q ) ud als Erwarugswer [5] 4 = 4 k 4 k = k= k ES =, 4 q =, 4,5 =,4 ( ) Ha ma das 95%-Qual v,95 der Gesamschadeverelug besmm, da ergb sch das Solvezkapal zu v,95 ES = v,95,4. ) Appromao der Gesamschadeverelug durch ee zusammegeseze Posso- Verelug Im kollekve Modell wrd der Gesamschade S als Summe vo N Ezelschäde der Schadehöhe dargesell: N S= Yj, j= Y j wobe de Y j ch-egav, uabhägg ud desch verel sd, N Posso-verel m Rae λ ud uabhägg vo de Y s. j I userem Fall ka Y j ur de Wer, aehme. N se de Azahl der aufreede Verscherugsfälle, also Azahl der aufreede Todesfälle be de jährge Verschere. Als Erwarugswer vo N ergb sch ud 4 = λ= E(N) = P( > ) = 4q = S=, N De Verelug des Gesamschades ergb sch da für > zu m 5 λ λ P(S = ) = P(, N = ) = P(N = ) = e = e, ( 5 )!!, ES =, EN =, 4, Ha ma das 95%-Qual v,95 der Gesamschadeverelug besmm, da ergb sch das Solvezkapal zu v,95 ES= v,95,4. 3) Appromao der Gesamschadeverelug durch Normalverelug
7 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) Da de Ezelschäde userem Fall uabhägg ud desch verel sd m B(;q ), folg m dem Zerale Grezwersaz, dass der Gesamschade, S 4 = 4 = ud Varaz asymposch ormalverel s m Erwarugswer E(S 4) =, 4 q =,4 Var(S ) =, 4 q ( q ) =, 796, 4 d.h. S N(, 4;, 796). 4 Da das 95%-Qual u 95% 95%-Qual der Gesamschadeverelug zu Var(S 4), 65 + ES4. Als Solvezkapal erhäl ma daher Var(S 4), 65 =, Verglech der Mehode: der Sadardormalverelug,65 beräg, ergb sch das Be der Besmmug der Gesamschadeverelug s ur de Mehode der Falug eak. De Berechug s aber be größere Besäde m sehr vel Aufwad verbude. Alerav bee de Posso-Appromao be große Besäde ee gue Näherug. De Normal- Appromao ka zu eer Uerschäzug des Rskos führe. Verdopplug des Besades: Be der Normalappromao ergb sch das 95%-Qual der Gesamschadeverelug be eem Besad vo Verschere zu Var(S ),65 + ES ud das Solvezkapal zu Var(S ),65. Verdoppel ma u de Besadsgröße, so ergb sch ES = ES ud wege der Uabhäggke der verschere Rske Var(S ) ) = Var(S. Als 95%-Qual ergb sch also Var(S ),65+ ES ud als Solvezkapal Var(S ),65. Verdoppel ma de Besad, so erhöh sch das Solvezkapal um de Fakor.
8 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) Aufgabe (36 Puke): De folgede Tabelle ehäl de Eregs-Surmschäde eer Gebäudeverscherug der leze 5 Jahre Mo. : Jahr. Schade.Schade 3. Schade 3 5,4 4 38,9, 5,6,, 6,5 7 8,4,4 a) Es wrd ageomme, dass de Surmfrequez pro Jahr Posso-verel s. Schäze Se aus de Dae de zugehörge Parameer λ > m Hlfe der Mamum-Lkelhood- Mehode. (6 Puke) b) Überprüfe Se m Hlfe ees Q-Q-Plos, ob de Aahme eer Fréche-Verelug für de Ezelschadehöhe gerechferg s. Trasformere Se dazu de Dae so, dass Se aschleßed ee Apassug a ee geegee Lage-Skale-Famle vorehme köe (welche?). ( Puke) c) Zeche Se de Q-Q-Plo ee Ausglechsgerade, de durch de bede Erempuke der Daewolke verläuf, ud schäze Se dam de Parameer der ageommee Fréche-Verelug. ( Puke) d) Gebe Se de zugehörge OEP-Kurve a ud ermel Se dam rechersch de Value a Rsk zum Scherhesveau vo 99,5% für de Eregsschade [Solvecy II-Sadard]. ( Puke) Lösug: a) Tabelle der Surmfrequeze: Jahr Azahl Sürme N 3 ML-Mehode: ˆ 9 λ = N = =, 8 m = 5 6 P. 5 = b) Trasformao m l führ vo eem Fréche-verele Rsko zu eem Gumbelverele Rsko. Wereabelle für de Q-Q-Plo (ach Sorerug): l l l ( () ) ,83, 48,9, 9,37, 67, 3,5, 5,8,74,74,96,69,3,44,5 3,66 Skzze m der verlage Ausglechsgerade:
9 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) c) Berechug vo Segug ud Achseabsch: Gerade durch de Puke ud (, 5 3, 66) : 3, 66,8 3, 48 Segug: σ = = =,9, 5+,83 3, 8 (,83,8) Achseabsch: μ= 3, 66, 5σ=, Verelugsfuko für de zugehörge Fréche-Verelug: d) für >. (l ) μ F( ) = P( ) = P( l l) = ep ep σ = ep = ep, 697 μ/ σ / σ,886 ( e ) ( ) ( ) λ( ) ( ) ( ) ( (,886 )) OEP( ) = ϕ F( ) = ep F( ) = ep,8 ep, 697 N Besmmug des VaR(,5): Löse OEP( ) =, 5; Ergebs: /,886 l,995 l +,8 VaR(,5) = = 34,.,697
10 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) Aufgabe 3 ( Puke): Es se { } ee geomersche Brow sche Bewegug m Drf μ, Volalä σ > ud Afagswer >. Zege Se, dass der durch Y : =, defere Prozess ebefalls ee geomersche Brow sche Bewegug s, ud gebe Se herfür de Drf ud de Volalä a. Uer welche Bedguge a de Pa- Y rameer sd de Prozesse { } ud { } sassch ch zu uerschede? Lösug: Je ach Asaz für de geomersche Brow sche Bewegug gb es zwe Lösugsmöglchkee:. Lösugsweg: Der Prozess besz de Darsellug m eem Sadard-Weer-Prozess { }. ( μ σ ) ep, = + B B Deser s auf Grud der Symmere der Normalverelug geau so verel we { B }, d.h. { } ud B } sd sassch ch uerschedbar. Ferer gl: { } Y = = ep ( μ+ σ( B) ),, d.h. Y s ebefalls ee geomersche Brow sche Bewegug m Drf μ, Volalä σ > ud Afagswer. { } { } Dam ud Y also sassch ch zu uerschede sd, muss gele = ud μ= μ, also = ud μ =.. Lösugsweg: Der Prozess erfüll de sochassche Dfferezalglechug d = μd + σdb m eem Sadard-Weer-Prozess { B } ud der Lösug σ = ep μ σb +, >. 5P.
11 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) } Auf Grud der Symmere der Normalverelug s { B geau so verel we { B }, { } d.h. B ud { B } sd sassch ch uerschedbar. Ferer gl: σ Y = = ep μ + σ ( ),, B { } d.h. Y s ebefalls ee geomersche Brow sche Bewegug m Drf σ μ (!), Volalä σ > ud Afagswer { } { }. Dam ud Y also sassch ch zu uerschede sd, muss gele =, also = ud σ μ = (!).
12 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) Aufgabe 4 (3 Puke): Gegebe see: Schadehöhe vo jewels 3 Schäde, grupper ach jewels Gebäude-Klasse ud Gebäudealers-Gruppe: Schade Schade Schade 3 Geb.-Kl. Alers-Gr. 5 5 Geb.-Kl. Alers-Gr Geb.-Kl. Alers-Gr Geb.-Kl. Alers-Gr Zel s, de Schadehöhe m eem geegee GLM zu fe. a) Ma eschede sch ahad ees geegee Scaer-Plos für ee Varaz-Fuko (6 Puke) b) Welche Verelug aus der Epoealfamle führ zu deser Varazfuko? ( Puke) c) We laue de kaosche Lk-Fuko deser Verelug? ( Puke) d) Ma zeche de möglche Melwer-Plos. (4 Puke) e) Welche Beobachug führ auf ee svolle Desg-Mar? Ma schrebe de Desg-Mar auf ud ee ee svolle Parameer-Vekor ud beschrebe de Rolle der Regressore! Welche Schluss läss de o.a. Beobachug hschlch der kaosche Lk- Fuko zu (kurze Begrüdug!)? (6 Puke) f) Ma formulere de Log-Lkelhood für de Parameer! (4 Puke) g) Ma formulere de owedge Bedguge für de Lösug der Parameerschäzug! (4 P uke) h) Ma lee für de Posso-Verelug (uabhägg vo der ggf. de vorge Aufgabe verwedee Verelug!) aus der Darsellug f w Ψ ( y) = ep [ y b( ϑ) ] ψ ϑ + c y, w durch Eseze der Fukoe ud Größe uer Ausführug aller Telschre de üblche Darsellug her! (4 Puke) P( y) = e μ y μ y!
13 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) Lösug a) Schäzer für MW Varaz d. Schades Geb.-Kl. Alers.Gr. 5 Geb.-Kl. Alers.Gr. 54 Geb.-Kl. Alers.Gr Geb.-Kl. Alers.Gr (Jewels Volume je Schade!) P. Scaer-Plo Varaz der Melwere gege Melwer de Zelle P. Varaz des MW abh. vom MW Var Schade Kosae Varaz-Fuko P. b) Kosae Varaz-Fuko ==> Normalverelug P. c) Kaosche Lk-Fuko der Normalverelug: Ideä P.
14 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) d) e) Parallelä der MW-Plos ==> Kee Wechselwrkuge. Deshalb Desg-Mar 4 P. = P. β a a b, b, wobe de a de Regressore für de Effeke der Gebäude-Klasse ud de b j de Regressore für de Effeke der Gebäude-Alersklasse sd. P. De geaue Parallelä (m Uersched z.b. zu eer Ählchke) der MW-Plos besäg de kosae Lk-Fuko. P. Parameer-Vekor = (,, ) T Y Melwer der Zelle j beo- f) M j = 3 Azahl der beobachee Schäde Zelle j, bachee Schäde: l ( β ) = σ l = π ( σ / ) ( Y ( a b )) j + ep σ / = j= j j ( Y ( a + b ) j j j ) = j= g) Nowedge Bedguge für Mamalä: + cos j j = 4 P.
15 Klausur zu Sochassche Rskomodellerug ud sassche Mehode (Ma 8) ( ) dl β = da dl( β ) = db j für alle für alle j, also (bs auf Kosae) j= = Y ( a + b ) = für alle j j Y ( a + b ) = für alle j j j 4 P. h) Ψ ϑ M =, ( ϑ) e, w Ψ w b = c y, = l( y! ) gl: f w Ψ ψ w ( y) = ep [ yϑ b( ϑ) ] + c y, = ϑ [ y e ] l( y ) = ep{! }= ϑ ϑ m μ( ϑ) = e, also ϑ l( μ) { y l( μ ) μ l( y )}= = ep! y { ep[ l( μ )]} ep( μ) ep[ l( y )] = =! y μ μ = e 4 P. y! = :
( ) ( ) ( ) E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Def Erwartungswert. 1. Diskreter Fall X sei diskrete Zufallsgröße mit = { 1, x2,
Def.. Erwarugswer. Dsreer Fall se dsree Zufallsgröße m = {, x, } p = P( = x ),( =,, ), so e ma µ = E = xp = de Erwarugswer vo, falls W x ud de Ezelwahrschelchee = x p
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Aalyche Sak Zur Ererug Sache Schäzuge ( Forezug) Populao N = uedlch Theoreche Verelug Erwarugwer Theoreche Sreuug Schprobe = edlch Häufgkeverelug Durchch Sadardabwechug Aufgabe der Schäzheore Zur Ererug
Erzeugen und Testen von Zufallszahlen
Erzeuge ud Teste vo Zufallszahle Jürge Zumdck Eletug Ee Lergruppe wrd aufgefordert 00 Zufallszahle (0 oder ) ach folgede Methode zu erzeuge: De Hälfte der Gruppe beutzt a) ee Müze oder b) de Zufallszahlefukto
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Lösuge Aufgabe Merkmal (x) Häufgket (h) h x,, 3, 3,, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 3, 8, 3 5, 9, 38,, 5,, 8 68,, 6 3, 3, 9,, 8, 5, 5 5, 6, 3 78, 7, 5, 8, 8, 3, 3, Summe 5.63, Aufgabe Häufgketsvertelug (Stabdagramm)
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Biometrische Methoden zur Planung und Auswertung von Sicherheitsstudien
Bomersche Mehode zur Plaug ud Auswerug vo cherhessude Hablaosschrf zur Erlagug der Lehrbefugs für das Lehrgebe Bomere Dem Fachberech ask der Uversä Dormud vorgeleg vo Dr Deer Hauschke aus Kosaz Dormud
annehmen, so heißt die Funktion, die jedem atomaren Ereignis { x i } mit i { 1; 2; ;
Wahrschelchet Ee Futo X : Ω R, de edem Ergebs ees zufällge Vorgages ee reelle Zahl zuordet, heßt Zufallsgröße (oder auch Zufallsvarable Ee Zufallsgröße X heßt edlch, we X ur edlch vele Werte x aehme a
Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,
Statistische Grundlagen Ein kurzer Überblick (diskret)
Prof. J.C. Jackwerth 1 Statstsche Grudlage E kurzer Überblck (dskret De wchtgste Begrffe ud Deftoe: 1 Erwartugswert Varaz / Stadardabwechug 3 Stchprobevaraz 4 Kovaraz 5 Korrelatoskoeffzet 6 Uabhäggket
Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 5.2. Eigenschaften von Zufallsvariablen
Vorlesugscharts Vorlesug 5. Egeschafte vo Zufallsvarable Reproduktvtät Approxmatoe Zetraler Grezwertsatz Sete vo Chart : Uabhäggket vo Zufallsvarable Zwe Zufallsvarable X ud Y mt hre Realsatoe { x, x,...,
Institut für Produktionsmesstechnik Technische Universität Braunschweig. Klausur
Iu für Produkomeechk Techche Uverä Brauchweg Klauur Eführug de ache Medaeauwerug für Boechologe.7. Name:............................... Markel-Nr.:............................... Aufgabe Kurfrage Geam
Bogenlängen. Beispiele: Die Länge eines Grafen (Bogenlänge) einer Funktion f über [ a ; b ] läßt sich berechnen mit der Formel :
![Bogenlängen. Beispiele: Die Länge eines Grafen (Bogenlänge) einer Funktion f über [ a ; b ] läßt sich berechnen mit der Formel :](/thumbs/65/54237888.jpg "Bogenlängen. Beispiele: Die Länge eines Grafen (Bogenlänge) einer Funktion f über [ a ; b ] läßt sich berechnen mit der Formel :")
Bogeläge De Läge ees Gre Bogeläge eer Fuko üer [ ; ] läß sch ereche m der Formel : l ' d Des ühr de mese Fälle u komplzere Iegrde, de sch häug ur äherugswese ereche lsse. Bespele: De Keele m h, e e - h
Finanzmathematische Grundlagen zur Zins- und Rentenrechnung
Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug (Fassug - November 008) /3 Markus Scheche Emal: mal@markus-scheche.de Homepage: www.markus-scheche.de Fazmahemasche
a) A, B sein Aussagen, betrachtet werde die Aussageverbindungen A B B und A B. Beweisen Sie deren Äquivalenz durch eine Wahrheitstabelle
. Auge ud ege A B e Auge berche werde de Augeerbduge A B B ud A B. Bewee Se dere Äqulez durch ee Whrhebelle b Selle Se de ege C der Gußche Zhleebee dr! } { z z C z } Im z > } 6 Puke. Komplee Zhle Bereche
Klausur Statistik IV Sommersemester 2009
Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame 013456 Klausur Statstk IV Sommersemester 009 Prof. Dr. Torste Hothor Isttut für Statstk Name: Name, Vorame Matrkelummer: 013456 Wchtg: ˆ Überprüfe Se, ob Ihr Klausurexemplar
( x) eine Funktion definiert, in der nur die i-te Komponente variabel ist. Folgende Schreibweisen werden aufgrund dieser Anmerkungen auch verwendet:
Pro. Dr. Fredel Bolle LS ür Volkswrtschatslehre sb. Wrtschatstheore (Mkroökoome) Vorlesug Mathematk - WS 008/009 4. Deretalrechug reeller Fuktoe IR IR (Karma, S. 00 06, dort glech ür IR IR m ) 4. Partelle
Grundlagen der Entscheidungstheorie
Kaptel 0 Grudlage der Etschedugstheore B. 0 (Gegestad) De Etschedugstheore befasst sch mt dem Etschedugsverhalte vo Idvdue ud Gruppe. Se besteht aus we Telgebete. Deskrptve Etschedugstheore De deskrptve
Kapitel XI. Funktionen mit mehreren Variablen
Kaptel XI Fuktoe mt mehrere Varable D (Fuktoe vo uabhägge Varable Se R ud D( f R Ist jedem Vektor (Pukt (,,, D( f durch ee Vorschrft f ee reelle Zahl z = f (,,, zugeordet, so heßt f ee Fukto vo uabhägge
Institut für Produktionsmesstechnik Technische Universität Braunschweig. Klausur
Isu für Produkosmessechk Techsche Uversä Brauschweg Klausur Eführug de sassche Messdaeauswerug für Boechologe 7. 6. 4 Name:................................ Markel-Nr.:................................ Lfd.
Klausur SS 2005 Version 1
BEMERKUG: für de Rchtgket der Lösuge wrd atürlch kee Garate überomme!! Klausur SS 005 Verso Aufgabe : e Gamma-Quat hat kee Ladug > el. Felder übe kee Kräfte aus > kee Kräfte, kee Äderug der Bewegug (ewto)
2 Integrierte Sicherheitstechnik
Iegrere Scherhesechk Scherhesechsche Archekur o MOISAFE UCS..B 2 2 Iegrere Scherhesechk De acholged beschrebee Scherhesechk des MOISAFE UCS..B erüll olgede Scherhesaorderuge: Kaegore 4 ud erorace Leel
Seminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Unbegrenzt teilbare und stabile Verteilungen.
Uverstät Ulm, Isttut Stochastk 5. Jul 200 Semar: Stochastsche Geometre ud hre Aweduge - Ubegrezt telbare ud stable Verteluge. Ausarbetug: Stefa Fuke Betreuer: Ju.-Prof. Dr. Zakhar Kabluchko Ubegrezt telbare
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket
3 BE b) Wie kann man als Spieler eine Standardabweichung von annähernd null realisieren?
Lk Mahemak /. Klauur. 0. 00 Bla (v ). Krakehauke 6 BE De Verwalug eer Spezalklk leg für de ufehaldauer X ee aee Tage flgede Wahrchelchkeverelug zugrude: x 5 (X x) 60 % 0 % 0 % Jeder ae zahl für de ufahme
Eigenwerteinschließungen I
auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Satz vo Bayes ud totale
Praktikumsbericht AUSFALLRATEN
Praumsberch AUSALLATEN.7. Clauda Hallau Tel.: 5-95- E-Mal: verehrssysemech@dlr.de> Copyrgh ach DIN beache. Weergabe sowe Vervelfälgug deses Doumes, Verwerug ud Melug sees Ihales sd verboe, sowe ch ausdrüclch
Sitzplatzreservierungsproblem
tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche
5. Autokorrelation und Heteroskedastizität
5. Auokorrelao ud Heereskedaszä Ökoomere I - Peer Salder 5. Auokorrelao ud Heeroskedaszä (Maddala Kapel 5 ud 6) Daegeerereder Prozess:... u u ~ IN( 0, ) Geschäze Regressosglechug: ˆ ˆ ˆ... û Schäzug der
Der Suchalgorithmus von Grover
Der Suchalgorhmus vo Grover Semar: Quaerecher Dozee: Prof. Johaes Köbler ud Olaf Beyersdorff Refere: Gregor Pcker Das Problem...3 Der Algorhmus als Quaeschalkres...4 Verwedee Operaore...4 De Walsh-Hadamard-Trasformao...5
1.4 Wellenlängenbestimmung mit dem Prismenspektrometer
F Lorbeer ud Ardt Quer 5.0.006 Physkalsches Praktkum für Afäger Tel Gruppe Optk.4 Wellelägebestmmug mt dem Prsmespektrometer I. Vorbemerkug E Prsmespektrometer st e optsches Spektrometer, welches das efallede
Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln
5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes Quellecoderug Durch de Quellecoderug werde de Date aus der Quelle codert, bevor se ee Übertragugskaal übertrage werde De Coderug det der Verkleerug
Physikalische Messungen sind immer fehlerbehaftet! Der wahre Wert ist nicht ermittelbar. Der wahre Wert x ist nicht identisch mit dem Mittelwert
Physkalsche Messuge sd mmer fehlerbehaftet! Der wahre Wert st cht ermttelbar. Der wahre Wert st cht detsch mt dem Mttelwert Der Wert legt mt eer gewsse Wahrschelchket (Kofdezahl bzw. Vertrauesveau %) m
Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Schliessenden Statistik
Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Aufgabe ud Lösuge vo Peter M Schulze, Verea Dexhemer. Auflage Übuge zur Wahrschelchketsrechug ud Schlessede Statstk Schulze / Dexhemer schell ud portofre
Lohnkosten pro Arbeitsstunde. Wie hoch sind die Lohnkosten pro Arbeitsstunde im Jahresdurchschnitt?
Klausur Wrtschaftsstatstk. [ Pukte] E Uterehme hat folgede Date ermttelt: Moat Gelestete Arbetsstude Lohkoste pro Arbetsstude Jauar 86.400 0,06 Februar 75.000 3,0 März 756.000 4,47 Aprl 768.000,53 Ma 638.400
Vl. Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 3: Diskrete Verteilungen
Vl. Statstsche Prozess- ud Qualtätsotrolle ud Versuchsplaug Übug 3: Dsrete Verteluge Prof. Dr. B. Grabows Zur Lösug der folgede Aufgabe öe Se auch de begefügte Tabelle der dsrete Verteluge m Ahag verwede.
Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik
Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert
Asymptotische Normalverteilung nach dem zentralen Grenzwertsatz
Asymptotsche ormalvertelug ach dem zetrale Grezwertsatz Erwartugswert eer Summe vo Zufallsvarable mt jewels de Erwartugswert x (Y Y Asymptotsche ormalvertelug ach dem zetrale Grezwertsatz Varaz eer Summe
Varianzfortpflanzung
5.0 / SES.5 Parameterschätzug Varazortplazug Torste Maer-Gürr Torste Maer-Gürr Dskrete Zuallsvarable Ee dskrete Zuallsvarable mmt edlch vele oder abzählbar uedlch vele Werte a. - Werte: - Wahrschelchket:,,,,,,,,
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statstk ud Wahrschelchketsrechug Mathas Graf 8.04.009 Ihalt der heutge Vorlesug Auswahl eer Vertelugsfukto: Wahrschelchketspaper Schätzug ud Modelletwcklug: Methode der Momete Methode der Maxmum Lkelhood
Prinzip "Proportional Reduction of Error" (PRE)
Dr. Reate Prust: Eführug quattatve Forschugsmethode Bvarate Maße: Przp "Proportoal Reducto of Error" (PRE) E 1 - E Fehler be Regel 1 - Fehler be Regel = E 1 Fehler be Regel 1 Regel 1: Vorhersageregel ur
Fehlerrechnung im Praktikum
Fehlerrechug m Pratum Pratum Phsalsche Cheme (A. Dael Boese) I chts zegt sch der Magel a mathematscher Bldug mehr, als eer überbertrebe geaue Rechug. Carl Fredrch Gauß, 777-855 Themegebete Utertelug vo
WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade
Multiple Regression (1) - Einführung I -
Multple Regreo Eführug I Mt eem Korrelatokoeffzete ud der efache leare Regreo köe ur varate Zuammehäge zwche zwe Varale uterucht werde. Beutzt ma tatt dee mehrere Varale zur Vorherage, egt ma ch auf da
Konzentrationsanalyse
Kaptel V Kozetratosaalyse B. 5.. Im Allgemee wrd aus statstscher Scht zwsche - absoluter ud - relatver Kozetrato uterschede Der absolute ud relatve Aspekt wrd och emal utertelt - statscher ud - dyamscher
Marketing- und Innovationsmanagement Herbstsemester 2013 - Übungsaufgaben Lesender: Prof. Dr. Andreas Fürst
Marketg- ud Iovatosmaagemet Herbstsemester 2013 - Übugsaufgabe Leseder: Prof. Dr. Adreas Fürst Isttut für Marketg ud Uterehmesführug Abtelug Marketg Uverstät Ber Ihaltsverzechs 1 Eletug Allgemee Grudlage
Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes
Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows De folgede ufgabe löse wr uter Verwedug der bede ombatorsche
die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n).
Aufgabe Wr betrachte ee Reteverscherug der Retebezugszet mt jährlch vorschüssger Retezahlug solage der Verscherte lebt. a) Bezeche V bzw. V de rechugsmäßge Deckugsrückstellug am Afag bzw. am Ede des Verscherugsjahres.
Wie man für einen Test Peroe testet
Pädagogche Ittut der Uvertät Freburg 996 ALLES ZUFALL - ODER WAS? Eführug de Stattk für Pädagoge ud Pädagoge III Formelammlug Ha-Peter Hotz, Iwa Schrackma Ihaltverzech. Stattche Kewerte. Verglech eer Stchprobe
14. Folgen und Reihen, Grenzwerte
4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Eplzte Defto Reursve Defto 4. Gleder eer vorher deferte Folge bereche E Gled Mehrere Gleder 6 4 5 4.3 Ee Folge defere ud ege hrer
Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud
Ergebnis- und Ereignisräume
I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt
Standardnormalverteilung. Normalverteilung. Verteilungsfunktion. Intervallwahrscheinlichkeiten
Normalvertelug Stadardormalvertelug Normalvertelug N(μ, ) mt chte : Gaußche Glockekurve μ μ μ+ μ >, f ( ) = ( μ) WS 7/8 Prof. r. J. Schütze, FB GW NV π Egechafte der chte: - Mamum μ - mmetrch zu μ - Wedepukte
(Markowitz-Portfoliotheorie)
Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug
4. Marshallsche Nachfragefunktionen Frage: Wie hängt die Nachfrage nach Gütern
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 4. Marshallsche Nachfragefuktoe Frage:
Schätzverfahren bei der linearen Einfachregression
chäzverfahre e der leare fachregreo Kofdezervalle der Regreokoeffzee Kofdezervalle der Progoewere Prof. Kück / Dr. Rcaal Delgado Lehruhl ak Regreo IV lografe: Prof. Dr. Kück Uverä Roock ak, Vorleugkrp.
Prüfung DAV-Spezialwissen in Finanzmathematik 2010 Version 4. September 2011
Prüfug DAV-Spezalwsse Fazmaemak 1 Verso 4 Sepember 11 Block I (Albrec) Aufgabe 1: (3 Mue) a) De Rede R V / v eer Fazposo über e Zeervall der Läge se ormalverel, R ~ N(, ) Lee Se de Value a Rsk deser Fazposo
Es wird zwischen expliziter und impliziter Integration unterschieden. Die explizite Integration hat die Form:
Eleg er Grgeae er olgee beschrebee Verahre beseh ar, ass a as Glechgewch r z bese Zee bes. ese Vorgeheswese a be Aagswerroblee agewee were. Bege beae Were z Ze wr schrwese er Glechgewchszsa z ee säere
Thema 5: Reduzierte Datenanforderungen II: Naive Diversifikation
Thea 5: Reduzerte Dateaforderuge II: Nave Dversfkato roble: Klealeger verfüge oft cht eal über hrechede Iforatoe zur Awedug des Sgle-Idex-Modells. I wetere: Herletug eer Hadlugsepfehlug für de Fall fehleder
Ein paar einfache q-analoga des binomischen Lehrsatzes
E paar efache -Aaloga des bosche Lehrsatzes Joha Cgler Sowet r beat st, gbt es ee allgeee Utersuchuge darüber, we sch das Reurrezverhalte vo Boalsue ädert, we a de Boaloeffzete durch ersetzt U ee erste
= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:
E Tilgugsrechug.. Jährliche Raeilgug Ausgagspuk: Bei Raeilgug wird die chuldsumme (Newer des Kredis [Aleihe, Hypohek, Darleh]) i gleiche Teilberäge T geilg. Die Tilgugsrae läss sich ermiel als: T =.. Jährliche
Aufgabe 1: Lösung: Der Medianwert d 50,3 kann aus Q 3 (d) ermittelt werden, wobei Q3( exp. ) 0, 5 ist. Damit folgt. k (2) n (1)
ufgabe : I er mechasche Verfahresech were häufg aalysche Fuoe, we e RRB Ros- Rammler-perlg-Bee- oer e GG Gaes, Gau, chuhma-verelug beuz, um Parelgrößevereluge zu beschrebe. e esprechee Parameer eser aalysche
IPROM Klausur Statistische Messdatenauswertung
IPROM Klausur assche Messdaeauswerug 4..8 Kurzfrage. e kalbrere ee Messerchug ud hale de Abwechuge zum ollwer eer Korrekosabelle fes. Durch Lese des Hadbuchs selle e fes dass de Messerchug auch juser werde
Festverzinsliche Wertpapiere. Kurse und Renditen bei ganzzahligen Restlaufzeiten
Festverzslche Wertaere Kurse ud Redte be gazzahlge Restlaufzete Glederug. Rückblck: Grudlage der Kursrechug ud Redteermttlug 2. Ausgagsstuato 3. Herletug der Formel 4. Abhäggket vom Marktzsveau 5. Übugsaufgabe
Einführung Fehlerrechnung
IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate
19. Amortisierte Analyse
9. Amortserte Aalyse Amortserte Aalyse wrd egesetzt zur Aalyse der Laufzet vo Operatoe Datestrukture. Allerdgs wrd cht mehr Laufzet ezeler Operatoe aalysert, soder de Gesamtlaufzet eer Folge vo Operatoe.
für j=0,1,...,n Lagrange zur Lösung der Interpolation nicht geeignet, da numerisch problematisch und teuer. 1 n
Aahme: Es gbt zwe Polyome p ud q vom Grad
Mathematik für VIW - Prof. Dr. M. Ludwig Lineare Systeme in Jordanscher Normalform - Lineare Dgl'n höherer Ordnung.
Maeak für VIW - Prof. Dr. M. Ludwg 7.3.3 Leare Sysee Jordascer Noralfor - Leare Dgl' öerer Ordug Geg.: x Ax; A Jordascer Noralfor, d.. x x x x x x a a a a x x A x x Durc Ausullzere Ax eräl a x x x3 x x
Einführung in die Stochastik 3. Übungsblatt
Eführug de Stochastk 3. Übugsblatt Fachberech Mathematk SS 0 M. Kohler 06.05.0 A. Fromkorth D. Furer Gruppe ud Hausübug Aufgabe 9 (4 Pukte) Der Mkrozesus st ee statstsche Erhebug. Herbe werde ach bestmmte
1 Elementare Finanzmathematik
Elemetare Fazmathemat 4 Elemetare Fazmathemat Zel: Bewertug ud Verglech atueller ud zuüftger Geldströme. Determstsche Zahlugsströme Defto: E determstscher Zahlugsstrom st ee Futo Z: N R, de jedem Zetput
Formelsammlung gültig ab Einstellungstermin 1. April 2011 (Stand: 1. April 2011)
Formelsammlug gülg ab Esellugserm. Aprl (Sad:. Aprl ) FACHHOCHSCHULE DER DEUTSCHEN BUNDESBANK - UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES - Schloss Hacheburg Fachsude für de gehobee Bades m Bachelorsudegag Fachhochschule
Einführung 2. Teil: Fehleranalyse
Phskalsch-chesches Praktku I Modul Eführug. Tel: Fehleraalse Ja Helbg, 7.09.08 Uterlage: htt://www.che.uzh.ch/stud/old/docuets/ear/che3.htl Fehlerrechug Gesucht: wahrer Wert eer Grösse Aber: Sere vo Messuge
Ein Kredit von 350.000 soll mit 10% p.a. verzinst werden. Folgende Tilgungen sind vereinbart:
E. Tlgugsechuge Aufgabe E Ked vo 350.000 soll 0% p.a. vezs wede. Folgede Tlguge sd veeba: Ede Jah : 70.000 Ede Jah : 63.000 Ede Jah 6:.500 Ede Jah 7: Reslgug. A Ede des 3. ud 5. Jahes efolge keele Zahluge
Beispielklausur BWL B Teil Marketing. 45 Minuten Bearbeitungszeit
Bespelklausur BWLB TelMarketg 45MuteBearbetugszet BWLBBespelklausurTelMarketg Sete WchtgeHwese:. VOLLSTÄNDIGKEIT: PrüfeSeuverzüglch,obIhreKlausurvollstädgst(Aufgabe).. ABGABE: EsstdegesamteKlausurabzugebe.
Deskriptive Statistik - Aufgabe 3
Desrptve Statst - Aufgabe 3 De Überachtugszahle der Fremdeverehrsgemede "Bachstadt" für de Moate ud zege auf de erste Blc scho deutlche Uterschede de ezele Ortschafte. We seht e etsprecheder Verglech der
= 0 i n S ( ) ) Aufgabe 2. Aufgabe 2. Aufgabe 2. Aufgabe 4. E. Tilgungsrechnungen. E. Tilgungsrechnungen
Aufgabe Ee chuld vo 4. se 5 Jahre m kosae Tlgugsrae zu lge; de Verzsug erfolge zu 7,5% p.a. a) Welche Zahluge sd sgesam zu lese? umme der Tlgugszahluge chuldsumme 4. Zszahluge: arhmesche Folge (Raeschuld)