IPROM Klausur Statistische Messdatenauswertung

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1 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug 4..8 Kurzfrage. e kalbrere ee Messerchug ud hale de Abwechuge zum ollwer eer Korrekosabelle fes. Durch Lese des Hadbuchs selle e fes dass de Messerchug auch juser werde ka. Dürfe e ach erfolger Juserug de zuvor erselle Korrekosabelle weer verwede? Begrüde e Ihre Awor!. E elekrsches Messgerä verhale sch we e leares ysem. Ordug. Um wevel Proze des Vollausschlags ka das Ausgagssgal deses ysem be eer sprugförmge Aregug am Egag überschwge? 3. Be eem Messgerä beobache e dass sch Ihr Messergebs wederholbar uerschede abhägg davo ob e zuvor größere bezehugswese kleere Messwere aufgeomme habe. Was s de Ursache für dese Beobachug ud we solle e be Messuge vorgehe um dese Abwechug möglchs gerg hale? 4. e selle auf Grudlage eer Messrehe ee Hypohese auf. Dürfe e de gleche Messrehe für de Tes der Hypohese verwede? 5. e habe de Verdach de m eem Würfel bem Mesch-Ärger-Dch-ch erzele Augezahle see ch glechverel soder de 6 auche ausgereche be Ihe überproporoal sele auf. I eer pelpause uersuche e 6 Würfe ob e dese Edruck besäge köe. Dabe ergebe sch folgede Were: Augezahl Würfe a) Gebe e χ sowe de Azahl der Frehesgrade d a. b) Is de Nullhypohese De m dem Würfel erzelbare Augezahle sd glechverel auf dem gfkazveau vo α azuehme oder abzulehe? 6. Welche Agabe beög ma zusäzlch zu Melwer ud reuug eer ormalverele chprobe um ee Aussage über de Verrauesberech deser chprobe m eer sassche cherhe P%95% mache zu köe? 7. Orde e de achfolgede kale aufseged ach hrem Iformaosgehal: Kardalskala Nomalskala Ordalskala 8. Zur Uersuchug des sassche Verhales eer Messgröße möche e e Hsogramm m 9 Klasse aufselle. We vele Wederholuge der Messug sd espreched der Fausformel aus der Vorlesug dafür erforderlch? 9. Was verseh ma uer eer Messabwechug?. Nee e je e Bespel für ee esve ud exesve Grudgröße des I-ysems ud dere Ehe!

2 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug 4..8 Aufgabe Zur Aalyse des Brechugsdex vo Flüssgkee werde Refrakomeer egesez. Ee Varae ees solche Messgeräs s das Jelley-Refrakomeer: e durch ee Lampe beleucheer horzoal legeder pal de als sekudäre Lchquelle. We aus der Abbldug zu eehme fäll das (moochromasche) Lch auf horzoalem Wege durch ee ebefalls spalförmge Öffug O her der e Glas-Mkroprsma auf ee Glasräger aufgekleb s so dass zwsche aufgeklebem Prsma ud Glasräger e ebefalls prsmeförmger Zwscheraum eseh. I dese füll ma ee wzge Tropfe der zu uersuchede Flüssgke. d der Brechugsdex vo Flüssgke ud Glas desch geh der Lchsrahl gerade durch dese Aordug. I de adere Fälle wrd der Lchsrahl ach obe oder ue abgelek. chau ma durch de Öffug O sche der Lchsrahl vo uer- oder oberhalb der egelche Beleuchugsöffug zu komme. Ee kala zeg da drek de Brechugsdex der Flüssgke a. Der Brechugsdex häg uer aderem vo der Temperaur ab üblche Agabe der Leraur bezehe sch daher auf de adardemperaur vo C. Wrd de Messug des Brechugsdex be eer davo abwechede Temperaur durchgeführ ka der Brechugsdex be adardemperaur mels ees Korrekurfakors bereche werde. Allgeme gl dass m segeder Temperaur der Brechugsdex vo Flüssgkee sk ud we folg korrger werde ka: T T + (T T ) k Dabe sd T der gemessee Brechugsdex (gemesse be der Temperaur T ) T der korrgere Brechugsdex be adardemperaur T ud k der Korrekurfakor. Zur Besmmug des Brechugsdex vo eer Flüssgke führe e ee Messrehe m N 8 Ezelmessuge durch be der sch folgede Were für de Brechugsdex T ergebe: Messug Brechugsdex T

3 4..8 Klausur assche Messdaeauswerug IPROM Zusäzlch habe e währed der Messrehe de Temperaur prookoller de Azahl der ezele Messuge s we bem Brechugsdex ebefalls N 8. Als mlere Temperaur währed der Messrehe erhale e T 35 C m eer reuug vo T 4 C. (Hwes: De adardemperaur T s als exak azuehme.) Der Tabellewer des Korrekurfakors k für de uersuche Flüssgke wurde durch ee sehr große Azahl vo Messuge ermel ud beräg k 4 4 ± 5 für ee sassche cherhe vo K P%98%. Aufgabe a) Gebe e das vollsädge Messergebs für de Brechugsdex der Flüssgke für de Temperaur T C m eer sassche cherhe vo P%95% a. b) Der Leraurwer für dese Flüssgke be der adardemperaur T C s T Prüfe e m eem -Tes für de Erwarugswer ob der vo Ihe besmme Wer auf dem gfkazveau α 5 der pezfkao esprch. (De reuug des korrgere Brechugsdex T köe e durch de reuug des gemessee Brechugsdex T abschäze.) Hwes: e köe be de Messwere vo eer ormalverele Grudgesamhe ausgehe.

4 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug 4..8 Aufgabe Juge chmpase lere vo hre Müer aus Zwege vo Pflaze Agelrue zu ferge ud dam Terme Termehaufe zu agel. Erse Uersuchuge lege ahe dass juge chmpase-webche dabe erfolgrecher ware als hre mälche Argeosse. Dese Vermuug solle m eem Experme uermauer werde be dem 9 juge Webche ud 7 Mäche beobache wurde we se Terme aus eem Termehaufe fsche. Für jede Versuch (d.h. das Eführe der Agel de Termehaufe) wurde de Azahl der dabe erbeuee Terme oer. Dabe ergabe sch de der folgede Tabelle agegebee Were: Aufgabe: Versuch erbeuee Terme (Webche) W erbeueer Terme (Mäche) M a) Überprüfe e m eem geegee sassche Tes ob de juge chmpasewebche be eer sassche cherhe vo P%95% be der Termejagd asächlch ee größere Azahl Terme erbeue. b) M welcher Wahrschelchke werde durch de Webche bzw. Mäche be eem Versuch 6 oder mehr Terme erbeue? Hwes: e köe auch her be de Messwere vo eer ormalverele Grudgesamhe ausgehe.

5 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug 4..8 ANHANG 63 Elemeare sassche Maßzahle Arhmesches Mel: Emprsche Varaz: reuug: Kofdezervall x + x ( x x) De Messgröße X se ormalverel σ se beka: k σ x k σ x + De Messgröße X se ormalverel σ se ubeka. x α ; Leare Regresso x + α ; We durch ee Azahl vo Werepaare (x y ) ach der Mehode der klese quadrasche Abwechug ee Gerade geleg wrd geh dese ses durch de chwerpuk ( x y) der Puke: ( y y) b( x x) (geschäzer) Regressoskoeffze b (egug der Gerade) b ( x x)( y y) ( x x) x y xy x E chäzwer für σˆ x σ s de Resvaraz ˆσ ( y j y + b(x x j) ) j y ( r ) xy Besmmug der Verrauesgreze für dese chäzug des egugsmaßes:. Feslege der gefordere sassche cherhe P (z.b. 95%). Bereche der reuug x aus de Messwere x... x 3. Der Verrauesberech für de Regressoskoeffzee b zur sassche cherhe P α beräg: σˆ b ;α / x σˆ b + ;α / 4. Der Erwarugswer β für de Regressoskoeffzee b leg m der sassche cherhe P desem Iervall 5. Durch de berechee Gerade wrd eem belebg gewähle x-wer x* der y-wer y * * * y y + b(x x) zugeorde. Der Verrauesberech für y* zur sassche cherhe P α beräg: σˆ ;α / + x * * ( x x) σˆ * ;α / ( x x) x Abwechugsforpflazug f se f ( x... ) x. Das Kofdezervall für f m sasscher cherhe P α: [ f ( x...x ) c f ( x...x ) c ] f + für de Fall zufällger ormalvereler Abwechuge m: f c c f x c X x...x -Tes -Tes für Erwarugswer De Tesgröße: x μ (df ) y + x f x x + α x ; Tes der Nullhypohese be vorgewählem gfkazveau α:. H : μ x μ gege H : μ x < μ (esege Hypohese) Is < ; α wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh.. H : μ x μ gege H : μ x > μ (esege Hypohese) Is > ; α wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh. 3. H : μ x μ gege H : μ x μ (zwesege Hypohese) Is > α ; wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh. x

6 64 EINFÜHRUNG IN DIE TATITICHE MEDATENAUWERTUNG FÜR BIOTECHNOLOGEN 4..8 Klausur assche Messdaeauswerug IPROM -Tes für Verglech zweer Erwarugswere De Tesgröße (efachere Form we x y ): x y (df ) x + y Tes der Nullhypohese be vorgewählem gfkazveau α:. H : μ x μ y gege H : μ x < μ y (esege Hypohese) Is < x + y ; α wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh.. H : μ x μ y gege H : μ x > μ y (esege Hypohese) Is > x + y ; α wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh. 3. H : μ x μ y gege H : μ x μ y (zwesege Hypohese) Is > α x + y ; wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh. -Tes für verbudee chprobe De Tesgröße: m: d d (df ) d x y d d d ( d d) Tes der Nullhypohese be vorgewählem gfkazveau α:. H : μ d gege H : μ d < (esege Hypohese) Is < ; α wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh.. H : μ d gege H : μ d > (esege Hypohese) Is > ; α wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh. 3. H : μ d gege H : μ d (zwesege Hypohese) Is > α ; wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh. Der χ-tes für Verelugsfukoe X se ee Zufallsgröße m ubekaer Verelugsdchefuko. Aufgrud vo Messdae oder Vorabformaoe wrd vermue das X durch de Verelugsdchefuko h(x) beschrebe wrd. Um des zu prüfe ka e χ-tes durchgeführ werde. Nullhypohese H : X wrd durch de Verelugsdchefuko h(x) beschrebe. Es wrd ee chprobe vo Messwere x...x aufgeomme. Der Tes erfolg dem zu deser Messrehe e emprsches Hsogramm ersell wrd. Aus der Verelugsdchefuko h(x) wrd e heoresches Hsogramm bereche. Als Tesgröße wrd ee ormere Dfferez zwsche bede Hsogramme bereche. We de Hypohese zurff müsse dese Dfferez hreched kle se. Vorgeheswese:. Aufele des Wereberechs r ch überlappede Klasse T so dass jede Klasse wegses 5 Were der chprobe x...x ehäl. De Iervalle köe auch uglech bre se.. Besmme der Azahl B vo Messwere der Klasse T 3. Falls de Verelugsdchefuko h(x) Parameer ehäl (z.b. μ ud σ be der Normalverelug) so werde dese Parameer aus de Messdae x...x abgeschäz. 4. Bereche der Wahrschelchke p m der be Aahme der hypohesche Verelugsdche h(x) uer Aahme der uer 3. geschäze Parameer e Messwer m Iervall T zu erware s. 5. Bereche der Produke E p de de heoresche Besezugszahle der Klasse T be Aahme der Verelugsdche h(x) darselle. 6. Prüfe ob für alle Klasse gl: E 5. Klasse m E < 5 werde m beachbare Klasse zusammegeleg. Nach desem chr lege r* Klasse vor m r* r. 7. Bereche der Tesgröße: χ * r ( B E ) E 8. Besmmug der Zahl der Frehesgrade: r* s de Zahl der auswerbare Klasse (Besezugszahl 5) s s de Zahl der aus der chprobe abgeschäze Parameer der Verelugsdchefuko De Zahl der Frehesgrade s df r* s 9. Feslege der Irrumswahrschelchke α H s abzulehe m gfkazveau α we: χ > χ r* s; α

7 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug 4..8 ANHANG 65 Varazaalyse M der Varazaalyse ka geprüf werde ob verschedee chprobe zu eer Grudgesamhe gehöre. De Nullhypohese H laue: Alle chprobe habe de gleche Erwarugswer. De Aleravhypohese H laue: Es gb mdeses zwe chprobe a b m μ a μ b umme der Abwechugsquadrae: Q oal QZ + QI k j k k j (xj x) j(x j x) + (xj x j) j j j De Tesgröße F soll be Zureffe der Hypohese H eer F-Verelug geüge. De Azahl der Frehesgrade s f k ud f k. 6. Besmmug der Greze ahad der F-Verelug zum gfkazveau α: Fk ; k; α Deser so geae krsche Wer wrd aus Tabelle eomme. 7. H wrd abgeleh sobald gl: F> Fk ; k; α Aderefalls beseh ke Alass H zu verwerfe. k: Azahl chprobe j : Azahl Wederholuge erhalb der chprobe k j : Gesamazahl der Messwere j. Berechug der umme der Abwechugsquadrae QI erhalb der chprobe: k j QI (x x ) j j. Berechug der mlere Quadrasumme MQI erhalb der chprobe: QI MQI k Aalog zur Berechug der reuuge wrd auf de Azahl der Frehesgrade Bezug geomme. Be bekae Melwere sd das k uabhägge Elemee. 3. Berechug der umme der Abwechugsquadrae QZ zwsche de chprobe: k QZ j(x jx) j m k x jx j j 4. Berechug der mlere Quadrasumme MQZ zwsche de chprobe: QZ MQZ k Aalog zur Berechug der reuug wrd auf de Azahl der Frehesgrade Bezug geomme. Be bekaem Melwer sd das k uabhägge Elemee. 5. Berechug der Tesgröße: MQZ F MQI j

8 66 EINFÜHRUNG IN DIE TATITICHE MEDATENAUWERTUNG FÜR BIOTECHNOLOGEN 4..8 Klausur assche Messdaeauswerug IPROM Tabelle ummefuko der sadardsere Normalverelug Φ ( ) ; ( ) ( z ) z π z e / d z (z) (z) (z ) ( 76) Ablesebespel: z z z z z z z z Φ(z) Φ(z) Φ(z) 5% 6% 7% 8% 9% 95% 975% 99% 995% 9975% 999% 9995% Φ(z) z z

9 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug 4..8 p-quale sp der ude sche -Verelug m s Frehesgrade p s

10 68 EINFÜHRUNG IN DIE TATITICHE MEDATENAUWERTUNG FÜR BIOTECHNOLOGEN 4..8 Klausur assche Messdaeauswerug IPROM p-quale χ sp der χ -Verelug m s Frehesgrade s p

11 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug 4..8 ANHANG 69 p-quale χ sp der χ -Verelug m s Frehesgrade s p

12 7 EINFÜHRUNG IN DIE TATITICHE MEDATENAUWERTUNG FÜR BIOTECHNOLOGEN 4..8 Klausur assche Messdaeauswerug IPROM 9%-Quale F r s 9 der F-Verelug s r %-Quale F r s 95 der F-Verelug s r