Lösung zu Aufgabe 10: Lineare Regression

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1 LÖSUNG ZUR ÜBUNG EINFÜHRUNG IN DIE MESSTEHNIK TT Lösug zu Aufgae : Leare Regresso Be der Awedug der leare Regresso wrd durh ee Mege vo Werepaare (, ) ah der Mehode der gergse quadrashe Awehuge ee Gerade geleg. De allgemee Asazfuko eer Gerade laue: + a Dar s der sogeae Regressoskoeffze, welher de Segug der Gerade ag ud a s der Ahseash. Da ee ah der Mehode der klese Fehlerquadrae ermele Ausglehsgerade ses durh de Shwerpuk (,) der Ezelpuke verläuf, ka e Kes des Regressoskoeffzee der Ahseash durh Eseze des Shwerpukes erehe werde: a Erseze wr der allgemee Asazfuko der Gerade de Ahseash a esprehed, so erhale wr de gägge Darsellug der Regressosgerade, e welher der Ahseash h eplz soder mplz durh de Shwerpuk (, ) dargesell wrd: ( ) ( ) Der ese Shäzwer für de Regressoskoeffze wrd we folg erehe: ( )( ) ( ) Es s svoll, dese Berehug m Hlfe des de mese wsseshaflhe Tashereher verfügare Saskmodus vorzuehme. Möhe ma de Berehug hgege ohe dese Uersüzug vorehme, reduzer de folgede, mahemash äquvalee Darsellug der Glehug de Reheaufwad erhelh: Dass es sh e der so errehee Gerade ur um ee Shäzwer hadel, verdeulh ahfolgede Aldug. Da sowohl de Berehug des Segugsmaßes als auh der Shwerpuk (, ) asered auf awehugsehafee Messdae erfolg, sd üer de Awehugsforpflazug sowohl de Poso als auh de Segug der Gerade m Awehuge ehafe. Das resulerede Kofdezervall wes, we der Aldug egerage, m Bereh des Shwerpukes (, ) see gergse Bree auf ud erweer sh zu ede See m zuehmedem Asad.

2 LÖSUNG ZUR ÜBUNG EINFÜHRUNG IN DIE MESSTEHNIK UU Messpuk Regressosgerade 95% Kofdezervall Es sell sh daher, ählh we e adere eres ehadele sasshe Verfahre, de Frage ah der Usherhe deser Shäzug. Zel der vorlegede Aufgae s daher zuähs, zu dem ah oger Glehug erehee Regressoskoeffzee e zugehörges Kofdezervall zu erehe. Das Kofdezervall für de Regressoskoeffzee zur sasshe Sherhe P α eräg: σˆ ; α / S, σˆ + ; α / S Nee dem p-qual der Sude she -Verelug ; α /, der emprshe Sreuug der -Were S sowe dem Shproeumfag häg das Kofdezervall demah vo der sogeae Resvaraz ˆσ a, welhe we folg erehe wrd: ( j j ) σ ˆ + ( ) j Be dem dar ehalee Term ( j ( j) ) + hadel es sh ashaulh jewels um de Dfferez zwshe eem eoahee -Wer j ud dem Fukoswer der Regressosgerade a der Selle j. a) Besmmug des Empfdlhkeskoeffzee a mels learer Regresso I der vorlegede Aufgae soll de leare Regresso geuz werde, um auf der Bass vo Messdae de hermshe Empfdlhkeskoeffzee a ees Kodesaors zu ermel. Herzu wrd folgeder fukoaler Zusammehag agegee, welher de asählhe Kapazä m dem Empfdlhkeskoeffzee a, der Nekapazä sowe der Temperaur T ud eer Referezemperaur T Bezug sez: ( + a ( T )) T

3 LÖSUNG ZUR ÜBUNG EINFÜHRUNG IN DIE MESSTEHNIK VV Um de weere Berehug möglhs efah zu gesale, s es svoll, oge Glehug derar umzuselle, dass wr ee Srukur erhale, e welher der Koeffze a formal desh m dem Regressoskoeffzee s. Im vorlegede Fall ee sh folgede Umformug a: a ( T T ) Verglehe wr dese Srukur m der allgemee Geradeglehug erkee wr folgede Zusammehäge: T T a Przpell sd auh davo awehede Umformuge der gegeee Glehug möglh ud svoll. Es s jedoh darauf zu ahe, dass de eu kosruere -Größe vo der uahägge Größe m Rahme der Versuhsdurhführug ahäg. Aus der Versuhseshreug erg sh m vorlegede Fall, dass es sh e der Temperaur T um de uahägge -Größe hadel, da dese jewels gezel egesell wrd. De zugehörge Kapazä des Kodesaors sell desem Fall folglh de vo ahägge -Größe dar. Nah oge Zusammehäge köe wr u aus de der Aufgaesellug gegeee Were usere --Werepaare für de ahfolgede Regressoserehug ermel. M 68 F, T ud de Messwere für T ud aus der Taelle erhale wr folgede --Werepaare: / /,498,369,594,353,735 -,9 -,44 -,3794 Um aus dese Were de Regressoskoeffzee erehe zu köe, esmme wr zuähs de Melwere ud :,5 6,68 M dese Were erg sh der Regressoskoeffze zu:,474 De Usherhe deser Shäzug, also de Bree des Kofdezervalls erg sh gemäß oger Glehug m:

4 LÖSUNG ZUR ÜBUNG EINFÜHRUNG IN DIE MESSTEHNIK WW σˆ ; α / S Um das Kofdezervall des Regressoskoeffzee esmme zu köe, erehe wr zuähs de Resvaraz ˆσ : σ ˆ 3,83 7 Dam erg sh de für das Kofdezervall eöge Sadardawehug σˆ zu: σ ˆ 5,73 Das darüer haus eöge p-qual der Sude she -Verelug ; α / erg sh m 8 ud α,5 zu: ; α / 6;, 975,447 Weerh eöge wr oh de Sreuug S der -Were. Dese errehe sh zu: S,475 Dam köe wr de Usherhe erehe: 5,73,447 8,475 4,5 5 Das vollsädge Messerges für de Empfdlhkeskoeffzee a, welher desh s m dem her erehee Regressoskoeffzee, erg sh dam zu: 5 a,474 ± 4,5 ; P 95% ) Resulerede Kapazä e eer esmme Temperaur T eshleßlh Verrauesereh De Aufgaeel a) mels learer Regresso erehee Gerade orde eem eleg gewähle -Wer ee esprehede -Wer zu, für de gl: + ( ) Aufgrud der Usherhe der Gerade sels s auh de auf deser aserede Zuordug vo - ud -Were m eer Usherhe ehafe. E Kofdezervall für zur sasshe Sherhe P α eräg: σˆ ; α / + ( ) σˆ ; α / ( ) S, + + S

5 LÖSUNG ZUR ÜBUNG EINFÜHRUNG IN DIE MESSTEHNIK XX I der Aufgaesellug wrd der spezelle -Wer h drek agegee, soder drek üer de Temperaur T 7,5. Für usere Regressoserehug hae wr -Were zugrude geleg, de m der Temperaur T we folg zusamme häge: T T Für de gesuhe Wer erg sh daher: T T 7,5 7,5 Der zugehörge -Wer errehe sh dam zu: + ( ) 6,68,474 ( 7,5 +,5 ), 847 Für de Berehug des zugehörge Kofdezervalls eöge wr oh das p-qual der Sude she -Verelug zu de Parameer 8 ud α,. Herfür gl: ; α / 6;, 99 3,43 De Usherhe erg sh m de vorlegede Zahlewere zu: ( 7,5 +,5 ) (,475 ) 5,73 3,43 + 8, 8 Das vollsädge Messerges für laue dam:,847 ± 8, ; P 98% Da der Aufgaesellug ah eem vollsädge Messerges für de Kodesaorkapazä gefrag s, hadel es sh here jedoh oh h um das Ederges. We wr Aufgaeel a) fesgesell hae, gl für ud folgeder Zusammehag: Der Melwer der vo ahägge Kapazä ka zuähs efah durh Umselle oger Glehug ud Eseze der Zahlewere esmm werde. Für de Aufgaeel ) erahee Kodesaor m eem Newer vo 47 F gl: ( + ) 47 F (,847 + ) 46,3 F Da es sh e der Nekapazä um ee Kosae hadel, häg de gesuhe Usherhe der Kapazä ur vo der Usherhe vo a. Formal köe wr dese Zusammehag durh ee Awehugsforpflazugsrehug m ur eer awehugsehafee Egagsgröße ermel. Für de zugehörge Usherhe gl gemäß de ekae Zusammehäge für de Forpflazug zufällger Awehuge allgeme:

6 LÖSUNG ZUR ÜBUNG EINFÜHRUNG IN DIE MESSTEHNIK YY De parelle Aleug vo ah a der Selle erg sh zu: 47 F Dam erg sh de Usherhe zu: ( 47 F8, ),386 F Das vollsädge Messerges der Kodesaorkapazä e eer Temperaur vo T 7,5 eräg som: 46,3 F ±,386 F ; P 98%