Institut für Produktionsmesstechnik Technische Universität Braunschweig. Klausur
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- Dominik Kaufman
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1 Isu für Produkosmessechk Techsche Uversä Brauschweg Klausur Eführug de sassche Messdaeauswerug für Boechologe Name: Markel-Nr.: Lfd. Nummer (vo Boformak-Klausur) Aufgabe Kurzfrage Gesam Puke
2 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug Formelsammlug Bomalverelug B( p) : P (X k) ( ) p k ( p) k k Bomalkoeffzee ( )! k ( k)!k!!... Ableugsregel: Produkregel (uv) u v + v u Quoeeregel ( u v Keeregel ) u v v u v dy dx u (v)v (x) für y u(v(x)) Temperaurskale: C 73 5 K
3 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug Kurzfrage. E Messsysem reagere auf e sch sprughaf äderdes Egagssgal ohe Überschwge. Ka daraus scher gefolger werde daß es e leares ysem erser Ordug s? Begrüdug?. Welche Agabe beög ma zusäzlch zu Melwer ud reuug eer ormalverele chprobe um ee Aussage über de Verrauesberech m eer sassche cherhe P%95% deser chprobe mache zu köe? 3. Welche Zusammehag gb es zwsche dem Erwarugswer µ ud der Varaz σ eer Posso-Verelug? 4. Be welchem Wer auf der x-achse leg das Maxmum eer sadardsere Normalverelug? Gebe e de Wahrschelchke a m der geau deser Wer be eer chprobe aufr ud begrüde e Ihre Awor! 5. We vel Proze der Elemee eer Verelug lege zusammegeomme uerhalb des erse (Q) oder oberhalb des vere Quls (Q4)? 6. Aus welche Elemee beseh ee Messerchug? 7. E Galvaomeer zur rommessug ehäl ee drehbar gelagere pule. M zuehmedem rom durch de pule erwärm sch dese ud hr Wdersad seg. Dam veräder sch der Iewdersad des Messgeräes was zu eer Messabwechug führ. Welche Ar vo örefluss leg vor? 8. A welche elle befde sch de Wedepuke der Gaußsche Normalverelug? 9. Nee e 4 Bassgröße des I-ysems ud dere Ehe.
4 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug Aufgabe E Thermoeleme wadel durch Thermoelekrzä Wärme elekrsche Eerge um. Dazu werde zwe Leer aus uerschedlche Maerale elekrsch meader verbude. A de free Ede der bede Drähe wrd ee Messerchug zur Auswerug der paug ageschlosse de eseh we de Verbdugsselle der bede Drähe ud de Übergabeselle a de Messerchug m uerschedlche Temperaure beaufschlag werde (eebeck- Effek). Referez Maeral A Messselle V Referezemperaur T Maeral B Messemperaur T Bld : chemasche Darsellug ees Thermoelemes De Maerale A ud B blde e Thermoeleme desse paug U vo de eebeck- Koeffzee A ud B der verwedee Maerale sowe der Messemperaur T ud der Referezemperaur T abhägg s: U ( A B ) (T T ) Im Folgede soll de mels ees Ese-Kosaa-Thermoelemes gemessee Temperaur T auf der Grudlage vo Messergebsse für de Größe A B U ud T eschleßlch der wahrschelche Abwechugsgreze ermel werde. Der eebeck-koeffze A vo Kosaa wrd vom Leferae m A 35 µv/k ± µv/k be eer Aussagewahrschelchke vo P% 99% ud sehr großem agegebe. Der Herseller des Esedrahs gb de eebeck-koeffzee B m B 9 µv/k ± µv/k be eer Aussagewahrschelchke vo P% 95% ud sehr großem a. De Verglechsemperaur T wrd vo eem sogeae Verglechssellehermosa auf T 5 C± C be eer Aussagewahrschelchke vo P% 99% gehale. De Thermospaug U wurde m Hlfe ees Messversärkers zehmal gemesse. Dabe wurde de der folgede Tabelle agegebee Ezelmesswere ermel. Messug () U ( µv) Bereche e de gesuche Temperaur T ud gebe e das vollsädge Messergebs m eer Aussagewahrschelchke vo P% 99% a! Hwes: Für alle Messgröße ka ee Normalverelug vorausgesez werde.
5 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug Aufgabe Uer. zufällg ausgewähle Famle m 3 Kder ergb sch folgede Häufgkesabelle für de Azahl der Töcher: Azahl Töcher 3 Häufgke Uersuche e m eem geegee sassche Tes ob dese Häufgkesverelug be Verwedug eer Irrumswahrschelchke vo α 5 m der Hypohese verebar s dass de Azahl der Töcher Famle m 3 Kder B(3; 5%)-verel s.
6 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug ANHANG 63 Elemeare sassche Maßzahle Arhmesches Mel: Emprsche Varaz: reuug: Kofdezervall x + x ( x x) De Messgröße X se ormalverel σ se beka: k σ x k σ x + De Messgröße X se ormalverel σ se ubeka. x α ; Leare Regresso x + α ; We durch ee Azahl vo Werepaare (x y ) ach der Mehode der klese quadrasche Abwechug ee Gerade geleg wrd geh dese ses durch de chwerpuk ( x y) der Puke: ( y y) b( x x) (geschäzer) Regressoskoeffze b (egug der Gerade) b ( x x)( y y) ( x x) x y xy x E chäzwer für σˆ x σ s de Resvaraz ˆσ ( y j y + b(x x j) ) j y ( r ) xy Besmmug der Verrauesgreze für dese chäzug des egugsmaßes:. Feslege der gefordere sassche cherhe P (z.b. 95%). Bereche der reuug x aus de Messwere x... x 3. Der Verrauesberech für de Regressoskoeffzee b zur sassche cherhe P α beräg: σˆ b ;α / x σˆ b + ;α / 4. Der Erwarugswer β für de Regressoskoeffzee b leg m der sassche cherhe P desem Iervall 5. Durch de berechee Gerade wrd eem belebg gewähle x-wer x* der y-wer y * * * y y + b(x x) zugeorde. Der Verrauesberech für y* zur sassche cherhe P α beräg: σˆ ;α / + x * * ( x x) σˆ * ;α / ( x x) x Abwechugsforpflazug f se f ( x... ) x. Das Kofdezervall für f m sasscher cherhe P α: [ f ( x...x ) c f ( x...x ) c ] f + für de Fall zufällger ormalvereler Abwechuge m: f c c f x c X x...x -Tes -Tes für Erwarugswer De Tesgröße: x μ (df ) y + x f x x + α x ; Tes der Nullhypohese be vorgewählem gfkazveau α:. H : μ x μ gege H : μ x < μ (esege Hypohese) Is < ; α wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh.. H : μ x μ gege H : μ x > μ (esege Hypohese) Is > ; α wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh. 3. H : μ x μ gege H : μ x μ (zwesege Hypohese) Is > α ; wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh. x
7 64 EINFÜHRUNG IN DIE TATITICHE MEDATENAUWERTUNG FÜR BIOTECHNOLOGEN IPROM Klausur assche Messdaeauswerug Tes für Verglech zweer Erwarugswere De Tesgröße (efachere Form we x y ): x y (df ) x + y Tes der Nullhypohese be vorgewählem gfkazveau α:. H : μ x μ y gege H : μ x < μ y (esege Hypohese) Is < x + y ; α wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh.. H : μ x μ y gege H : μ x > μ y (esege Hypohese) Is > x + y ; α wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh. 3. H : μ x μ y gege H : μ x μ y (zwesege Hypohese) Is > α x + y ; wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh. -Tes für verbudee chprobe De Tesgröße: m: d d (df ) d x y d d d ( d d) Tes der Nullhypohese be vorgewählem gfkazveau α:. H : μ d gege H : μ d < (esege Hypohese) Is < ; α wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh.. H : μ d gege H : μ d > (esege Hypohese) Is > ; α wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh. 3. H : μ d gege H : μ d (zwesege Hypohese) Is > α ; wrd H auf dem gfkazveau α abgeleh. Der χ-tes für Verelugsfukoe X se ee Zufallsgröße m ubekaer Verelugsdchefuko. Aufgrud vo Messdae oder Vorabformaoe wrd vermue das X durch de Verelugsdchefuko h(x) beschrebe wrd. Um des zu prüfe ka e χ-tes durchgeführ werde. Nullhypohese H : X wrd durch de Verelugsdchefuko h(x) beschrebe. Es wrd ee chprobe vo Messwere x...x aufgeomme. Der Tes erfolg dem zu deser Messrehe e emprsches Hsogramm ersell wrd. Aus der Verelugsdchefuko h(x) wrd e heoresches Hsogramm bereche. Als Tesgröße wrd ee ormere Dfferez zwsche bede Hsogramme bereche. We de Hypohese zurff müsse dese Dfferez hreched kle se. Vorgeheswese:. Aufele des Wereberechs r ch überlappede Klasse T so dass jede Klasse wegses 5 Were der chprobe x...x ehäl. De Iervalle köe auch uglech bre se.. Besmme der Azahl B vo Messwere der Klasse T 3. Falls de Verelugsdchefuko h(x) Parameer ehäl (z.b. μ ud σ be der Normalverelug) so werde dese Parameer aus de Messdae x...x abgeschäz. 4. Bereche der Wahrschelchke p m der be Aahme der hypohesche Verelugsdche h(x) uer Aahme der uer 3. geschäze Parameer e Messwer m Iervall T zu erware s. 5. Bereche der Produke E p de de heoresche Besezugszahle der Klasse T be Aahme der Verelugsdche h(x) darselle. 6. Prüfe ob für alle Klasse gl: E 5. Klasse m E < 5 werde m beachbare Klasse zusammegeleg. Nach desem chr lege r* Klasse vor m r* r. 7. Bereche der Tesgröße: χ * r ( B E ) E 8. Besmmug der Zahl der Frehesgrade: r* s de Zahl der auswerbare Klasse (Besezugszahl 5) s s de Zahl der aus der chprobe abgeschäze Parameer der Verelugsdchefuko De Zahl der Frehesgrade s df r* s 9. Feslege der Irrumswahrschelchke α H s abzulehe m gfkazveau α we: χ > χ r* s; α
8 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug ANHANG 65 Varazaalyse M der Varazaalyse ka geprüf werde ob verschedee chprobe zu eer Grudgesamhe gehöre. De Nullhypohese H laue: Alle chprobe habe de gleche Erwarugswer. De Aleravhypohese H laue: Es gb mdeses zwe chprobe a b m μ a μ b umme der Abwechugsquadrae: Q oal QZ + QI k j k k j (xj x) j(x j x) + (xj x j) j j j De Tesgröße F soll be Zureffe der Hypohese H eer F-Verelug geüge. De Azahl der Frehesgrade s f k ud f k. 6. Besmmug der Greze ahad der F-Verelug zum gfkazveau α: Fk ; k; α Deser so geae krsche Wer wrd aus Tabelle eomme. 7. H wrd abgeleh sobald gl: F> Fk ; k; α Aderefalls beseh ke Alass H zu verwerfe. k: Azahl chprobe j : Azahl Wederholuge erhalb der chprobe k j : Gesamazahl der Messwere j. Berechug der umme der Abwechugsquadrae QI erhalb der chprobe: k j QI (x x ) j j. Berechug der mlere Quadrasumme MQI erhalb der chprobe: QI MQI k Aalog zur Berechug der reuuge wrd auf de Azahl der Frehesgrade Bezug geomme. Be bekae Melwere sd das k uabhägge Elemee. 3. Berechug der umme der Abwechugsquadrae QZ zwsche de chprobe: k QZ j(x jx) j m k x jx j j 4. Berechug der mlere Quadrasumme MQZ zwsche de chprobe: QZ MQZ k Aalog zur Berechug der reuug wrd auf de Azahl der Frehesgrade Bezug geomme. Be bekaem Melwer sd das k uabhägge Elemee. 5. Berechug der Tesgröße: MQZ F MQI j
9 66 EINFÜHRUNG IN DIE TATITICHE MEDATENAUWERTUNG FÜR BIOTECHNOLOGEN IPROM Klausur assche Messdaeauswerug Tabelle ummefuko der sadardsere Normalverelug Φ ( ) ; ( ) ( z ) z π z e / d z (z) (z) (z ) ( 76) Ablesebespel: z z z z z z z z Φ(z) Φ(z) Φ(z) 5% 6% 7% 8% 9% 95% 975% 99% 995% 9975% 999% 9995% Φ(z) z z
10 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug ANHANG 67 p-quale s p der ude sche -Verelug m s Frehesgrade s p
11 68 EINFÜHRUNG IN DIE TATITICHE MEDATENAUWERTUNG FÜR BIOTECHNOLOGEN IPROM Klausur assche Messdaeauswerug p-quale χ sp der χ -Verelug m s Frehesgrade s p
12 IPROM Klausur assche Messdaeauswerug ANHANG 69 p-quale χ sp der χ -Verelug m s Frehesgrade s p
13 7 EINFÜHRUNG IN DIE TATITICHE MEDATENAUWERTUNG FÜR BIOTECHNOLOGEN IPROM Klausur assche Messdaeauswerug %-Quale F r s 9 der F-Verelug s r %-Quale F r s 95 der F-Verelug s r
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