Änderungen in der Formelsammlung

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1 Äderuge der Formelsammlug Äderugsdaum : See 4 ur Schöheskorrekure See 6 Formel für de G-Koeffzee ergäz See 8 Idexäderug der Formel für de Forführug des ale Idex See /3 klee Äderuge bem Klumeeffek See 9 Parameer m bem Welch-Tes See 3 Korrekur des Iervalls für be der Possoaroxmao See 35 esreched der Äderug der Vorlesug s das Kael 5 jez de Varazaalyse, de adere Kaelummer äder sch esreched See 4 Formel für ˆβ aders formuler See 43 Ergäzug hzugefüg

2 Formelsammlug zur Lehrverasalug Sask Sezell für Sudee der Sudegäge BWL ud WIW Verso 0.Okober 004

3 Beschrebede Sask...4. Edmesoale Dae Samm - Bla - Pla: Box- ad Wsker-Plo: Kozeraosmaße Zerehe Idzes Idexzahle Umbaserug eer Idexrehe: Verküfug vo zwe Idexrehe:... 8 Grudlage der Wahrschelchkesrechug...9. zufällge Eregsse ud Wahrschelchkee Defo der Wahrschelchke Rechegeseze Bedge Wahrschelchkee klasssche Modelle der Wahrschelchkesrechug....3 Zufallsgröße ud dere Charakerska Defo der Verelugsfuko: Momee eer Verelug Sadardserug eer Zufallsgröße : Wchge Wahrschelchkesverelug ud hre raksche Bedeuug Grudlage des sassche Schleßes I (Schäzuge) Schrobe Schrobefukoe ud dere Schäzug Schrobelaug, Daegewug durch Schrobe Parameerschäzuge Pukschäzuge Kofdezschäzuge Grudlage des Sassche Schleßes II (Tess) Sgfkazes für Verelugsarameer Sassche Tess Parameeress Ncharamersche Tess

4 4. Schrobeläe zur Qualäskorolle Schrobela (,c) Aroxmave Berechug ees Schrobelaes Sequeelle Schrobeläe Korollkare Varazaalyse efache Klassfkao Tes be Normalverelug Kruskal- Walls-Tes zwefache Klassfkao Korrelaosaalyse Zwe Merkmale Gewöhlcher Korrelaoskoeffze Searmasche Ragkorrelao Kedall sche Ragkorrelao (Kedall s τ) > Merkmale Muller Korrelaoskoeffze Pareller Korrelaoskoeffze Korrelaosmarx Regressosaalyse Leare Regressosmodelle Efache leare Regresso Mulle (arameer-)leare Regresso Regresso m qualave Merkmale Nchleare Regressosmodelle Aassug a ee logssche Fuko (ach: TINTNER) Aassug a ee Gomerz- Kurve Ahag

5 Beschrebede Sask. Edmesoale Dae * x,..., x * se ee geordee kokree Schrobe ( * * x... x ) V u - uerer Verelwer (ueres Quarl) V o - oberer Verelwer (oberes Quarl) d - Verelwee (Ierquarlsdsaz) A u - uere Ausreßergreze A o - obere Ausreßergreze emrsches α- Qual: x * k x α = (x * * k +x k+ ) α = 0,5 : α = 0,5 : α = 0,75 : falls α ch gazzahlg: k s de auf α folgede gaze Zahl falls α gazzahlg: k = α Meda V u uerer Verelwer V o oberer Verelwer ere Zäue: A =V -,5 d u o u A =V +,5 d o äußere Zäue: A =V - 3 d u u A =V + 3 d o o d = V o V u.. Samm - Bla - Pla: Tefe Sämme Bläer Ehe : 0,0 # * 44 d.h. 6 reräseer,6 5 6o ud Schrobeumfag = * (5) 7o * o * 0 9o 7 HI,5-4 -

6 De Ehe für ee Samm-ud-Bla-Pla wrd so fesgeleg, daß de Bläer de leze zu berückschgede Dezmalselle der Dae lefer. Be eem eäsge Samm-ud-Bla-Pla gb es kee weere Aufelug des Samms. Be eem zweäsge Samm-ud-Bla-Pla sehe de folgede Symbole für de esrechede Zffer: * für de Zffer 0,,,3,4 o für de Zffer 5,6,7,8,9 Be eem füfäsge Samm-ud-Bla-Pla sehe de folgede Symbole für de esrechede Zffer: * für de Zffer 0, T für de Zffer, 3 F für de Zffer 4, 5 S für de Zffer 6, 7 o für de Zffer 8, 9 Tefesale: Summe der Klassehäufgkee h vo obe ud vo ue solage we : h / medale Klasse: Klassehäufgke ( ) Schrobeumfag: = 70 HI,5 Ausreßer ach obe (HIGH) m dem Wer,5 Ausreßer ach ue (LOW) werde her LO agegebe.. Box- ad Wsker-Plo: x m V u x 0,5 Meda V o Ausreßer zwsche erem ud äußerem Zau außerhalb des äußere Zaus Daeskala De ere ud de äußere Zäue werde ch m dargesell, de Whsker gehe bs zum (klese) größe Wer der geordee Daerehe erhalb der ere Zäue

7 ..3 Kozeraosmaße E Merkmal X wrd auf Objeke aufgeel X = x x mmale Kozerao: glechmäßge Aufelug x = ; =,..., maxmale Kozerao: exrem uglechmäßge Aufelug x =0; =,...,-; x = x = Lorezkurve: u= ; v= j= j= x x j j ; m x x x ; =0,..., v Mmale Kozerao Maxmale Kozerao 0 - u G- Koeffze ( = Lorezsches Kozeraosmaß) G= ( v +v-) = v v = + = - = - 6 -

8 . Zerehe Modell: x=g+s+r T x g s r... glechabsädge Zeuke (=,,...T)... Ewcklug ees Merkmals über de Ze... glae Komoee (Tred)... Sasokomoee... rreguläre Komoee (zufällg) Trederkeug mels Gläug (Smoohg): gleede Durchsche (movg average): * ugerade Ordug (k+): x = k+ k j=-k x +j gerade Ordug (k): * k- x= x -k+ x +j+ x k j=-k+ +k.3 Idzes.3. Idexzahle E Warekorb ehäl de Güer j =,..., o (j)... Pres des Gues j zur Bassze 0 (j)... Pres des Gues j zur Berchsze, =,... q o (j)... Mege des Gues j zur Bassze 0 q (j)... Mege des Gues j zur Berchsze, =,... Presmeßzahl: dmesosloser Ausdruck der Presewcklug Presdex () () j () j r j =, j =,..., o 0 j= () () () = w j r j, w j - Gewche - 7 -

9 De Wahl der Gewche w (j) uerschede de verschedee Presdzes: ach LASPEYRES: ach PAASCHE = L 0 j= j= () () j q j 0 () () j q j 0 0 Megedex: ach LASPEYRES: q = L 0 j= j= () () q j j 0 () () q j j 0 0 = P 0 j= j= () () j q j () () j q j 0 ach PAASCHE: q = 0 j= j= () () q j j () () q j j 0 Umsazdex u = 0 j= j= () () j q j () () j q j Umbaserug eer Idexrehe: De gegebee Idexrehe 0, 0, soll vo der Bass 0 auf de Bass τ umgesell werde: * 0 τ = = 0,,, Verküfug vo zwe Idexrehe: 0τ De Idexrehe 0, 0,..., 0 ud τ, τ, +, τ, +s,... sd auf ee gemesame Bass zu selle. Dabe gl de Bezehug: = 0, + 0 τ, + τ * 0 0, + τ,+ τ 0 - ale Bass τ - eue Bass - Zeuk des Basswechsel Forführug des ale Idex: = =,..., s Rückrechug des eue Idex: * τ τ j= 0j j = 0,,..., 0-8 -

10 Grudlage der Wahrschelchkesrechug. zufällge Eregsse ud Wahrschelchkee.. Defo der Wahrschelchke A P(A) zufällges Eregs Wahrschelchke des zufällge Eregsses A Klasssche Defo: Voraussezuge: - der berachee Versuch besz ur edlch vele alerave Versuchsausgäge (Elemeareregsse) - jedes Elemeareregs besz de gleche Chace aufzuree ( ) P A = Azahl der für A güsge Elemeareregsse Azahl aller möglche Elemeareregsse Geomersche Defo: Voraussezug: - m berachee Gesamgebe gb es kee bevorzuge Telgebee ( ) P A = Maß des Gebees bzgl. des Eregsses A Maß des Gesamgebees - de berachee Gebee köe se:. Srecke. Fläche 3. Voluma Defo durch de relave Häufgke: (Sassche Defo) H (A) absolue Häufgke des Aufrees des Eregsses A be Wederholuge desselbe zufällge Versuches ( ) H ( A) w A = relave Häufgke des Aufrees vo A lm w (A) = P(A) - 9 -

11 .. Rechegeseze allgemee Addosregel: ( ) ( ) ( ) P A B =P A +P B - P(A B) Wahrschelchke für gemesames Aufree We A ud B uverebare Eregsse [ A B= bzw. P(A B)=0 ], da: ( B ) =P( A ) +P( B ) P A allgemee Mullkaosregel: P A ( B ) =P( A/B) P( B ) =P( B/A) P( A) We A ud B (aarwese) uabhägg voeader [P(A/B) = P(A) bzw. P(B/A)=P(B)], da: P(A B)=P(A) P(B) We A,...,A k der Gesamhe uabhägge zufällge Eregsse sd, da s ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) P A A... A =P A P A P A = Π k P A k k =..3 Bedge Wahrschelchkee Voraussezug: P(B) > 0 ( B) ( ) P( A/B ) = P A bedge Wahrschelchke für das Eregs A uer PB der Bedgug, dass das Eregs B egeree s (Wk. vo A uer Bedgug B) Voraussezug: A blde ee Zerlegug vo Ω ( =,..., ) = ( ) ( ) ( ) PB= PB/A PA Toale Wahrschelchke für B BAYES`sche Formel: ( ) ( ) = ( ) ( ) PB/A j PAj PB/A j PAj j=,..., ud P B >0 P( A/B j ) = = PB ( ) PB/A PA ( ) ( ) ( ) P(A ) P(A /B) a-ror Wahrschelchkee a-oseror Wahrschelchkee - 0 -

12 . klasssche Modelle der Wahrschelchkesrechug Kombaork Aufgabe : Besmmug der Azahl vo Aordugs- bzw. Auswahlmöglchkee Mege M m Elemee Werde be jeder Aordug alle Elemee vo M berache? ja Permuao e P=! ja Beseh M aus verschedee Elemee? e Auswahl vo k Elemee aus M M beseh aus r verschedee Elemee, für =,...r s de Azahl der jewels gleche Elemee Muss de Rehefolge der Aorduge jeder Auswahl berückschg werde? ja e! P,..., = r!! r Varao Kombao Köe Elemee mehrfach ausgewähl werde? ja e e ja V = (k),w k (k)! (k) V = (k) +k - K (-k)! = K,w = k k! (-) (-k+) = = 5!= != k k!(-k)! k! - -

13 .3 Zufallsgröße ud dere Charakerska.3. Defo der Verelugsfuko: X, X,...,X, Y,... Zufallsgröße F X (x) f X (x) Verelugsfuko der Zufallsgröße X Dchefuko der Zufallsgröße X P( X<x ) = FX ( x) symbolsche Schrebwese : X ( x) ( ) ( ) ( ) X X P a X <b = F b - F a ; a R, b R ~ F X Dskre verele Zufallsgröße: X ka edlch vele oder abzählbar uedlch vele möglche Were aehme x möglcher Wer für de Zufallsgröße X ; =,,... x x x 3... x... X ~ Verelugsabelle P(X = x) = Ezelwahrschelchke = = ( ) j- F x = X j =... F (x) 3 = P(X = x 3 ) F X (x 3 ) = P(X < x 3 ) x x 0 x 3 x x - -

14 Seg verele Zufallsgröße: X ka jede reelle Wer aus eem gewsse Iervall aehme P x o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X < x = F x = f x dx ; f x dx = ; f x 0 o X o X X X - - F X (x) f X (x).3. Momee eer Verelug x 0 P(X<x 0 )=F X (x 0 ) x P(X<x 0 )=F X (x 0 ) x 0 x. Erwarugswer (EX): ( ) EX = x f x dx we X seg verel s X - = EX = x we X dskre verel s. Varaz (VarX): ( ) ( VarX =E X -EX = EX - EX ) Varaz der Zufallsgröße X (erwaree quadrasche Abwechug vom Erwarugswer) VarX Varaoskoeffze (υ ): VarX υ= EX VarX s das zwee zerale Mome VarX wrd auch m D X bezeche heß Sadardabwechug Maß (dmesoslos) der Sadardabwechug bezoge auf de Erwarugswer 3. Schefe (γ ): ( ) E X-EX γ = ( VarX ) 3 3 Maß für de Symmere eer Verelug γ = 0 : symmersche Verelug γ > 0 : lkssele Verelug γ < 0 : rechssele Verelug - 3 -

15 4. Exzeß (ε) : ( ) 4 E X-EX = - 3 (VarX) ε Maß für de Wölbug Bezug auf de Normalverelug ε = 0 : Wölbug der Normalverelug ε > 0 : särker gewölb ε < 0 : flacher gewölb 5. -Qual: - X dskre verel m P(X = x ) = Jede Lösug x der Uglechuge P(X x ) ud P(X < x ) heß -Qual der Zufallsgröße X. - X seg verel m F X (x) Jede Lösug x der Glechug F X (x) = heß -Qual der Zufallsgröße X. 6. Meda: -Qual der Zufallsgröße X für = 0,5 7. Modalwer: - X dskre verel m P(X = x ) = E Wer der Zufallsgröße X, für de de Ezelwahrschelchke maxmal s, heß Modalwer. - X seg verel m F X(x) E Wer der Zufallsgröße X, für de der Fukoswer der Dchefuko f X(x) maxmal s, heß Modalwer. 8. Kovaraz cov (X,Y); Korrelaoskoeffze ρ X,Y : cov (X, Y) = E( X EX)(Y EY) = EXY EX EY Kovaraz der Zufallsgröße X ud Y (, ) cov X Y ρ X,Y= (gewöhlcher)korrelaoskoeffze VarX VarY We X ud Y uabhägg sd, da s ρ X,Y =0 We P(Y = a X + b) = ; a R, b R, a 0; da s ρ X,Y = We, da sd X ud Y ukorreler (cov (X,Y) = 0) ρ X,Y =0 We ρ X,Y =0 ud X ud Y ormalverel sd, da sd X ud Y uabhägg We ρ X,Y =, da gb es e a 0 ud e b; a R, b R m P(Y = ax +b) = - 4 -

16 9. Egeschaf e der Momee: E ( a + bx ) = a + bex E( X+Y ) = EX + EY EXY = EX EY we X ud Y ukorreler sd Var ( a+bx ) = b VarX Var ( X+Y ) = VarX + VarY+cov ( X,Y) Var ( X+Y ) = VarX+VarY we X ud Y ukorreler sd.3.3 Sadardserug e er Zufallsgröße : We vo eer Zufallsgröße X der Erwarugswer EX ud de Varaz VarX exsere, da besz X -EX Y = VarX ee Verelugsfuko m EY = 0 ud VarY = Seza lfall X ~N ( µσ, ) X - µ Y = m Y ~ N( 0, ) (sadardsere Normalverelug) σ - 5 -

17 .4 Wchge Wahrschelchkesverelug ud hre raksche Bedeuug Dskree Vereluge geomersche Verelug Ezelwahrschelchke ( = ) = ( ) P X k k = 0,,, * für Y = X + m k =,, s Egeschafe: ( = * ) = ( = * ) P Y k P X k Awedug: s de Wk für ee Mßerfolg, X s de Azahl der Erfolge bs zum. Mßerfolg, erwaree Laufläge (ARL) be Korollkare k Momee EX Wahrschelchkee VarX = = möglche Were =0,4 Hyergeomersche Verelug Ezelwahrschelchke M N M k k P( X = k) = N k = 0,,, falls < M ud < N M Loo Modell Egeschafe: Für N, M ud M N= Übergag ee Bomalverelug Awedug: uabhägge Wederholug vo Versuche, Schrobeahme ohe Zurücklege, Qualäskorolle Momee M EX = N Wahrschelchkee M N M N VarX = N N N möglche Were N=3 M= =8-6 -

18 Bomalverelug Ezelwahrschelchke P( X k) k k = 0,,, k = = ( ) k Beroullschema Egeschafe: Für, 0 ud =λ Übergag ee Possoverelug Awedug: uabhägge Wederholug vo Versuche, Schrobeahme m Zurücklege, Qualäskorolle Momee Wahrschelchkee EX = VarX = ( ) =8 =0, möglche Were Possoverelug Ezelwahrschelchke k λ P( X = k) = e λ k! λ> 0, k = 0,, Momee EX = λ VarX =λ Egeschafe: Summe uabhägger ossovereler Zufallsgröße (m λ, =,,m) s ossoverel (m λ= λ ) m = Awedug: Verelug seleer Eregsse, Bedeugsheore, Qualäskorolle Wahrschelchkee λ=0, möglche Were - 7 -

19 sege Vereluge Normalverelug Dche Momee x µ σ f(x) = e σ > 0 σ π EX = µ VarX = σ² Egeschafe: Summe uabhägger ormalvereler Zufallsgröße s ormalverel Awedug: vele Verfahre der Sask basere auf deser Verelug, wchgse Näherugsverelug f(x) µ=3 σ=0, x Exoealverelug Dche ( ) λx f x =λ e x 0, λ> 0 Momee EX = VarX = λ λ Egeschafe: Verelug ohe Gedächs (Markoff Egeschaf) Awedug: Lebesdauerverelug, der Zuverlässgkesheore ud der Bedeugsheore f(x) λ=0, x - 8 -

20 Glechverelug (seg) Dche f( x) = a x b b a Momee b+ a = EX ( b a) VarX = Egeschafe: alle möglche Were habe de gleche Chace, chformave Verelug Awedug: Grudlage für de Erzeugug vo Zufallszahle f(x) a= b= x logssche Verelug Dche Momee x a ex b EX = a f( x) = b > 0 x a b + ex b Egeschafe: f( x) = F( x) ( F( x) ) m b F( x) = x a + ex b Awedug: Awedug m kaegorelle Regress- osmodell, F(x) wrd auch be der Modellerug vo Wachsumsrozesse verwede f(x) x b π VarX = 3 a=3 b=0,

21 3 Grudlage de s sassche Schleßes I (Schäzuge) 3. Schrobe 3.. Schrobefukoe ud dere Schäzu g X = ( X,..., X ) mahemasche Schrobe, X : uabhägge ud desch verele Zufallsgröße, =,..., ( ) X X... X * * * * * X = X,..., X geordee mahemasche Schrobe m Schrobe melwer: (arhmesches Mel): X = X = (gewchees arhmesches Mel) : m X g= m gx g = = * Sezalfall: g =... absolue Häufgke der kokree Messug x Klassereräsea be vorlegeder Klasseeelug eer Schrobe X Schrobesreuug (emrsche Varaz) : ( ) s = X - X = X - X = X - X - = - = - = = emrscher Meda: * xk x=x 0,5 = (x * * k +x k+ ) falls α ch gazzahlg: k s de auf α folgede gaze Zahl falls α gazzahlg: k = α emrsche Schefe: γ = ( X-X ) = ( X-X ) = 3 3 emrscher Exzeß: 4 ( X-X ) ε = = - 3 ( X-X ) = - 0 -

22 emrscher Korrelaoskoeffze: R = XY - X Y = = = X - Y - Y X = = = = emrsche Verelugsfuko N : ( ) x W x = N x - Azahl der Elemee der Schrobe, für de X < x gl 3.. Schrobelaug, Daegewug durch Schrobe X zu uersuchedes Merkmal, Zufallsgröße X (Grudgesamhe) m EX = µ, VarX = σ N - Azahl der Objeke der Grudgesamhe Zufallsauswahl: Aus de N Objeke der Grudgesamhe werde zufällg ud uabhägg Objeke ach eem Zufallsrozeß (z.b. m Hlfe vo Zufallszffer) ausgewähl. X,..., X - Schrobe aus der Grudgesamhe - Schrobeumfag gsweres µ ud der Varaz σ² : Schäzug des Erwaru X = X, S = (X X) = = Geschchee Schrobe: k - Azahl der Schche der Grudgesamhe N - Azahl der Objeke der Schch, =,..., k Aus jeder der k Schche werde Objeke zur Befragug zufällg ausgewähl. Schrobeumfag: (deermssch) X - Ausrägug des Merkmals X der Schch, k = = EX = µ ; VarX = σ N = Wahrschelchke dafür, dass be zufällger Auswahl ees Objekes aus der N Grudgesamhe e Objek der Schch ausgewähl wrd: Erwarugswer (oal) der Grudgesamhe: k µ = µ = - -

23 Varaz der Grudgesamhe: k k = = ( ) σ = σ + µ µ Sreuugszerlegug: Varaz der = Varaz de + Varaz zwsche de Grudgesamhe Schche Schche X j - Ausrägug des Merkmals X der Schch bem Objek j ( =,,k ; j =,..., ) j = j= k chäzug für µ : S µ= µ µ ˆ m =X = X S chchugseffek: VarX - Var µ ˆ = ( µ µ ) k = j A ufelug des Schrobeumfag : rooroal: = omal (bzgl. der Varaz) = k σ =,...,k jσj j= σ - Sadardabwechug der Merkmalsausrägug der Schch koseomal: c σ = =,...,k k σ c c j= j j j c - gesames Kaal für de Erhebug c - Kose für ee Uersuchugsehe der Schch Klumeschrobe: de Grudgesamhe vom Umfag N besehe aus M Klume K,...,K M aus dese M Klume werde m Klume zur Uersuchug zufällg ausgewähl, erhalb der Klume fde ee Toalerhebug sa M - Azahl der Objeke m Klume, =,... M zufällge Auswahl vo m Klume aus M vorhadee m eer Wahrschelchke roor- M oal zur Azahl M der Objeke m Klume K : = N Der Schrobeumfag s be deser Auswahl zufällg! Schäzug für de Erwarugswer: h,...,h m - Idzes der m ausgewähle Klume µ hj - exaker Erwarugswer m Klume j m = M j= µ = µ m (K) m j= h j h j - -

24 Klumeeffek für M N = : M M (K) M ˆ Var X Var µ = σj σ m M j= N 3. Parameerschäzuge 3.. Pukschäzuge Egeschafe: - erwarugsreue Schäzug, d.h. E ϑ = ϑ ˆ σ - schwache Kossez, d.h. Var ϑ= 0 Verelug zu schäzede Größe Schäzug bel. Verelug EX Erwarugswer VarX Varaz X S Bomalverelug H(A) Possoverelug λ X, S Normalverelug µ σ X S be ubekaem µ * S be bekaem µ Glechverelug + X max, X max, X auf [0,a] a auf [a,b] b a δ Exoealverelug λ X * S = (x - µ ) = - 3 -

25 3.. Kofdezschäzuge zerale Kofdezervalle Parameer µ X~N ( µ,σ ) σ X~N Voraussezuge σ beka σ ubeka µ ( µ,σ ) µ beka ubeka = P(A) groß asymosche Normalver- elug zulässg σ X z S X X =H α, α S χ Kofdezschäzuge < µ < X + σ z α < µ < X + S, α S χ, α ( S ) ( )S χ, α *, α < σ G < < G ( ) u < σ o < χ < *, α A absolue Häufgke ( X) X Gu,o = X + z α α + α z z + z α 4 X ~N ( µ, σ) µ µ X ( µ σ ~N, ) σ = σ = σ σ ubeka G u,o = X X S g G <µ µ < G u + o +, α - Umfag der Schrobe ; =, σ σ X ~N, ( µ σ ) ( µ σ ) X ~N, µ, µ ubeka S S σ F,, α < < F,, α σ S S = P(A ) Gu < < G o = P(A ) X X X X X X, groß Gu,o = z α asymosche Normalverelug zulässg X = H ( A ); =, absolue Häufgke ( ) ( ) - 4 -

26 ausgewähle uere ud obere Kofdezgreze Parameer µ σ σ Voraussezuge ( ) X ~ N µ,σ X ~ N µ ubeka ( µ, σ ) ubeka = P(A) groß asymosche Normalver- elug zulässg X ~ µ, σ ) µ µ X ~ N( µ σ ) σ σ, = σ = σ ubeka Kofdezschäzuge S uere Greze: X, α < µ S obere Greze: µ < X +, α uere Greze: obere Greze: σ ( A) ( ) χ S, α < ( ) χ < σ S, α X = H absolue Häufgke uere Greze: + z α obere Greze: < + z uere Greze: X obere Greze: µ X µ X α S < X z + α z α X + z g + X - α + S g + z X α ( X) X ( X), α < + + Umfagder + z 4 µ α + z 4 µ +, α Schrobe ; < α =, Bezechuge : * S = X µ S g = z f, f f,f = +, ( ) [( ) S + ( ) S ] Berechug vo S u. S we S : -Qual der sadardserenormalverelug : -Qual der f Verelug χ : -Qua Verelug, l der χf - F : -Qual der F - Verelug f, f - 5 -

27 4 Grudlage des Sassche Schleßes II (Tess) 4. Sgfk azes für Verelugsarameer 4.. Sassche Tess De Durchführug ees sassche Tess verlag de achfolgede Schre:. Formulerug eer Hyohese H o aus der zu bearbeede Aufgabesellug ud eer Alerav- bzw. Arbeshyohese H A. Vorgabe ees Sgfkazveaus α esreched der durch de Aufgabesellug gefordere Scherhe für de Eschedug 3. Auswahl eer Tesgröße T. Dabe muss T ee Schrobefuko se, dere Verelug beka s ud de vo H o abhäg. 4. Feslegug des krsche Bereches K. Der krsche Berech s der Ablehugsberech für H o ud wrd durch de Verelug F T () ud durch α besmm. M welche Were für α ud α der Tes durchgeführ werde soll, wrd durch de Aleravhyohese H A ud dam durch de zu bearbeede Aufgabesellug fesgeleg. ( ) Es gl P α < T < α α ; α, α 0, α +α = α. f T () α +α =α α α α α α krscher Berech Aahmeberech für H 0 krscher Berech : α α -Qual der Zufallsgröße T, : (-α α )-Qual der Zufallsgröße T, - 6 -

28 Sezalfälle:. α = α = α/, symmerscher krscher Berech. α = 0, α = α, eseger krscher Berech ach obe 3. α = α, α = 0, eseger krscher Berech ach ue 5. Berechug eer Realser ug der Tesgröße T für ee kokree Schrobe x = (x,...,x ) 6. Eschedug: we K, da muß H o abgeleh werde we K, da ka H o ch abgeleh werde Dabe beräg de Wahrschelchke für de Ablehug eer rchge Hyohese α (Fehler. Ar). I der Sofware zur Sask wrd ch der Verglech der berechee Tesgröße m der Greze des krsche Berechs vorgeomme, soder es wrd aus dem Wer der Tesgröße ud der Verelug e Wer -value (α*) bereche, der m dem vorgegebee Sgf- verglche werde kazveau muß. Eschedug: we α* < α, da H o ablehe we α* > α, da H o aehme f T () α vorgegebees Sgfkazveau α Aahmeberech für H0 α berecheer Wer α* Realserug der Tesgröße krscher Berech - 7 -

29 4.. Parameeress Voraussezug: X ~N ( µσ, ) Hyohese Voraussezuge Tesgröße T HO H A µ= µ µ µ O O O µ µ µ>µ µ µ µ<µ O σ = σ O σ σ σ σ σ O = σ σ σ µ =µ µ µ µ µ O O O O σ σ O σ > σ σ < σ O σ σ σ² beka σ² ubeka Verelug vo T X µ O T = N(0;) σ T X µ S = O * S µ beka T = σ µ ubeka O ( )S T = σ σ µ ; µ ubeka > σ = µ µ µ > µ µ < µ ρ = 0 ρ 0 σ = = σ σ σ ubeka Schrobe uabhägg σ, σ ubeka zwe Merkmale m gemesamer Normalverelug T S O X X T = S + - χ χ - S F, g sehe Welch- Tes R T = R Voraussezug: asymosche Normalverelug zulässg Hyohese H O H A = = > < > < Voraussezuge groß groß groß T = T = Tesgröße T X o X o ( ) X * * ( ) + o + - χ χ χ χ χ χ krscher Berech z z α α z α ; α ; α ; α ; α oder χ; α ; α ; α ; α oder χ ; α ; α ; α F oder F F, ; α, ; α, ; α + ; α + ; α + ; α α - ; Verelug vo T N(0;) N(0;) krscher Berech z z α α z z z α α α z α

30 * S = ( X µ ) S = ( X X) = = S = S S Berechug vo S u. S we S ( ) + ( ) g + * X+ X P = ; X = H ( A ) =, + X, X aaloge Berechug we X Welch- Tes: H 0 : µ = µ H A : µ µ ( σ, σ ubeka) (be, > 30 auch ohe Voraussezug der Normalverelug durchführbar) Tesgröße: T = Eschedug: X S X S + Ablehug vo H 0, we T > m, α / m S S + m = S S + Rages ach Wlcoxo - kee Verelugsvoraussezug für X ög - ordale Were geüge H 0 : µ = µ X Ragzahle (kleser Wer: Ragzahl ) R... Ragzahlesumme der. Schrobe (R... Ragzahlesumme der. Schrobe ) Tesgröße: T = R krscher Berech: K = { k klesmögl. Ragsumme } { k größmögl. Ragsumme } + α + α k so, dass k ud ( k+ ) > Eschedug: Ablehug vo H 0, we K - 9 -

31 aroxmav: (we 4, 4, + 0 ) R ( + + ) Z = Z~N(0,) ( + + ) 4..3 Ncharamersche Tess χ -Aassugses (Tes auf Vorlege eer besmme Verelug) H 0: FX (x) = F0 Schrobe X,...,X wrd k Klasse egeel Tesgröße: k T = = ( h ) h - absolue Häufgke der Schrobewere der Klasse ( =,...,k) - Wahrschelchke uer H 0, daß ee Beobachug der Klasse leg Eschedug: Ablehug vo H 0, we m Azahl der für de Hyohese geschäze Parameer Kogezafel (Tes auf Uabhäggke zweer Merkmale X ud Y) T > χ k m ; α H0: X ud Y sd sochassch uabhägg Y B... Bq X A h h q h... h j... A h h q h h... h q = h Merkmal X: Klasse A,...,A Merkmal Y: q Klasse B,...,B q h j - absolue Häufgke der Realseruge der Klassekombao A ud B j h - Zelesumme h j - Salesumme Tesgröße: q T = h h hj h h j = j= j... Azahl der Zele q... Azahl der Sale Eschedug: Ablehug vo H 0 falls T >χ( )( ) q ;- α

32 4. Schrobeläe zur Qualäskorolle 4.. Schrobela (,c)... Schrobeumfag c... Aahmezahl X... Azahl der Ausschußsücke... Ael des Ausschußes a der Gesamhe α... Fehler. Ar - Produzeersko β... Fehler. Ar - Kosumeersko α... Feslegug der Hyohese H :=, Argume der OC-Fuko m L α β... Feslegug der Hyohese ( ) 0 α α H A : = β, Argume der OC-Fuko m ( ) L β β 4.. Aroxmave Berechu g ees Schrobelaes A roxmao durch ee Normalverelug Wege ( ) ( ( )) B, N, löse ma de Glechuge L α ( α ) α d.h. c Φ α ( ) α α L ( β ) d.h. c β β Φ β β ( β) Φ(x )... Verelugsfuko der sadardsere Normalverelug α ( ) + ( ) α z α β α β β z β α + z α α( α ) c β z ( β β β ) - 3 -

33 Aroxmao durch ee Posso-Verelug Aroxmao der OC-Fuko: ( ) c m=0 ( ) L~ e m! m - De Glechuge L( α ) - α ud L( β ) < β werde erfüll durch: χ χ c+ ;- β c+ ; α ( ) ( ) β Für de Schrobela (, c) wähle ma das klese c für das dese Uglechug gl ud desem Iervall das klese. α 4..3 Sequeelle Schrobeläe Be jeder Prüfug wrd eschede über: x k... Azahl der Ausschußsücke uer de erse k gerüfe - Aahme des Poses - Forsezug der Prüfug - Ablehug des Poses k... Azahl der gerüfe Sücke c s... Aahmezahl T esgröße: T = x ck k Eschedug: s Aahme, we T - a ; Aahmegerade: xk ck s a Ablehug, we T b ; Ablehugsgerade: xk ck s + b Forsezug, we a< T < b L( α ) ( ) D e Forderuge: α ud L β β werde äherugswese erfüll durch: = ( ) β α d l α ( β ) α l β a = d - 3 -

34 β l b = α d c s l = d α β erwareer Schrobeumfag : EN b (a+ b) L() c für c = s ab = c( s c) s für c s s Eschedugsgebee be eem sequeelle Schrobela x k x k > c s k + b Ablehugsberech Forsezugsberech x k c s k - a b a 0 Aahmeberech Azahl der Prüfuge

35 4.3 Korollkare Varablerüfug m der Melwerkare M erkmal X se ormalverel m X ~ N(m,s²) a : Sollwer ( j) x : Melwer aus eer Schrobeahme vom Umfag zum Zeuk j, j =, Hyohese : H 0 : 0 µ = a de Hyohese H wrd ch abgeleh, falls daraus ergebe sch de Koroll- ud Wargreze: () j x a < z α σ a z σ () j < x < a + z α α σ m α = 0,0 erhäl ma de Korollgreze für de euroäsche Berech m α = 0,05 erhäl ma de Wargreze Egrffskele De Egrffskele esrch der Güefuko des Tess auf H 0 : m = a, also der Wahrschel chke, de Hyohese abzulehe, we m der wahre Wer s. µ a g µ = g δ = Φ δ z +Φ δ z m δ = σ ( ) ( ) ( α ) ( α ) Laufläge N : Azahl der Korolle bs zum erse Egrff : Wahrschelchke des Egrffs zu eem fese Zeuk, ( ) ( N geüg eer geomersche Verelug : ( ) ( ) k PN= k = EN = = = g g ( µ ) ( δ) = g µ = g δ )

36 5 Varazaalyse 5. efache Klassfkao 5.. Tes be Normalverelug H 0 : µ = µ =...= µ (e Fakor A ha kee Efluß auf e Merkmal X) Voraussezug: X geüg wegses äherugswese eer Normalverelug ANOVA - Tafel: Quelle der Varao Frehesgrade Summe der Quadrae Mlere Quadrae Sreuug zwsche de - SSA SSA = (X X ) Sufe MSA = = Sreuug erhalb der - SSR SSR = Sufe (Res) ( X j X ) MSR = = j= Gesam- - SST = s uug ( X j X re ) = j= SST = SSA + SSR Tesgröße T = M SA MSR Krscher Berech F ; ; α... Azahl der Sufe ees Fakors... Azahl der Meßwere sgesam... Azahl der Meßwere der Sufe X... Melwer der Sufe X... Toaler Melwer E schedug: Ablehug vo H 0 falls T > F ; ; α 5.. Kruskal- Walls-Tes H 0 : E Fakor A ha kee Efluß auf e Merkmal X kee Voraussezug über de Verelug vo X erforderlch X j... Meßwer j der Sufe Tesgröße: T = r 3( ) B ( ) = + + = B b 3 g 3 b = ( h h) h= g h... Azahl der verschedee Meßwere... Azahl der gleche Meßwere eer Bdug h =,...,g

37 ... Azahl der Sufe... Azahl der Meßwere der Sufe r... Summe der Räge der Sufe... Ragzahl der j-e Beobachug der -e Sufe r j =,..., j =,..., Eschedug: Ablehug vo H 0 falls T >χ -;- α 5. zwefache Klassfkao Tes be Normalverelug Modell: X =µ+α + β j +γ +ε j j j =,..., ; j =,..., q µ α... allg. Mel... Effeke der Sufe vo A β j... Eff eke der Sufe vo B γ j... Effek durch Wechselwrkug vo A ud B ε j... zufällger Fehler A H : α = α = = α = 0 0 B H : β =β = =β = 0 0 q AB H : γ = = γ = 0 0 q

38 Aova- Tabelle: gleche Klassebesezug balacerer Fall Quelle der Varao Sreuug zwsche de Sufe vo A Sreuug zwsche de Sufe vo B Wechselwrkug zwsche A ud B Res Frehesgrade Summe der Quadrae Mlere Quadrae - SSA MSA q - SSB MSB ( )(q ) SS(AB) MS(AB) q(-) SSR MSR Tesgröße T = MSA MSR T = MSB MSR T = MS (AB) MSR Krscher Berech F -, q(-), - α F q-, q(-), - α F (-)(q-), q(-), - α Gesam- sreuug q - SST... Beobachuge jeder Uerklasse ( ), sgesam also q Beobachuge Falls kee Wechselwrkug AB aufr, s de Zahl der Frehesgrade für Res : q q+ Formel für SSA, SSB ec. sehe: Web-See Sask - Auszüge aus dem Vorlesugsskr Sask II Harug, Elel, Klöseer : Sask - Lehr- ud Hadbuch der agewade Sask

39 6 Korrelaosaalyse 6. Zwe Merk male 6.. Gewöhlcher Korrelaoskoeff ze (Maß für de leare Zusammehag zweer Zufallsgröße X ud Y) ρ X,Y = E X ( EX)( Y EY) VarX VarY ρ X,Y = 0 X, Y ukorreler ρ X,Y = ± X,Y vollsädg korreler Sch äzug vo ρ X,Y durch emrsche Korrelaoskoeffzee r X, Y : r X,Y = xy x y = = = x x y y = = = =. H 0 : ρ X,Y = 0 H A : ρ X,Y 0 Tesg röße: rx,y T = T ~ - r X,Y. H 0 : ρ = ρ 0 Tesgröße: ( ) T = z z 3 m z = ar ah r X,Y = 0 + r l r X,Y X,Y (Z- Traformao ach Fsher) z 0 +ρ0 ρ0 = l + ρ 0 ( ) T ~ N (0,)

40 6.. Searmasche Rag korrelao X,Y R (X), R (Y) (Ragzahle) x 3 3 ( ) ( j j) ( j sj) 6 R( x) R( y) s ( ) R = S j= k= = y ( ) x y 3 3 ( ) ( j j) ( ) ( j j) j= j= x Azahl der verschedee Were der X-Rehe, j Häufgke des j-e Weres y Azahl der verschedee Were der Y-Rehe, s j Häufgke des j-e Weres 6..3 Kedall sche Ragkorrelao (Kedall s τ) R (K) =τ= 4q = ( ) s s q... Azahl der Räge, de, verglche m der Ragzahl R(y ), kleer oder glech sd als dese Ragzahl ud her deser sehe Hwes: Objeke,..., müsse georde se. Objek m mr(x ) ud es Objek m maxr(x ) Rehefolge der R(y ) durch R(x ) gebe (ch edeug, falls Bduge vorlege!) H0: ρ = X,Y 0 Tesgröße: = 3 ( ) T τ T ~ N (0,) > Merkmale De gewöhlche Korrelao der Varable m der Varable j wrd m r j bezeche. 6.. Muller Korrelaoskoeffze (Korrelao zwsche eer Zufallsgröße ud eer Learkombao der reslche Zufallsgröße) r = r + r r r r r / 3 3 ( r / 3... Besmmhesmaß) (Bedeuug: Varable Abhäggke vo eer Learkombao der Varable ud 3)

41 H0: ρ X/(Y...Y = ) 0 Tesgröße: r( ) T = ( r) T ~ F, 6.. Pareller Korrelaoskoeffze (Korrelao zwsche zwe Zufallsgröße uer Ausschalug des Eflusses der reslche Zufallsgröße) r / 3 = r r r 3 3 ( ) ( r r 3 3 ) (Bedeuug: Korrelao der Varaable ud uer Ausschalug des Eflusses der Var- 3) able H0: ρ XY / Z =0 T esgröße: rxy / Z 3 T = T ~ - 3 r XY / Z 6..3 Ko rrelaosmarx ρ ρ ρ ρ ρ= (symmersche Marx, wel ρ j =ρ j) ρ ρ ρ j... Korrelaoskoeffze... Azahl der zufällge Merkmale

42 7 Regressosaalyse 7. Leare Regressosmodelle 7.. Efache leare Regress o Modell für ee wegse äherugswese leare Zusammehag zwsche x ud Y Y(x) = a + bx +ε(x) x... Eflußgröße, Regressor Y(x)... Beobachugsergebs, Wrkugsgröße, Regressad ε(x) zufällge Abwechug ((x,y ),...,(x,y ))... Schrobe (Beobachugswere) m y = y(x ) =,..., Besmmug vo Schäzwere für a ud b ach der Mehode der klese Quadrae: ˆ Lösug : b = = ( x x)( y y) = ( x x) ( ) = y a bx M â= y ˆ bx ŷ = aˆ +ˆ bx - geschäze Regressosgerade ( Ausglechsgerade ) a,b Sreuugszerlegug: ( y -y ) = ( y -y ˆ ) + ( ˆy -y ) Toalvaraz = Resvaraz + durch Regresso erkläre Varaz SST = SSR + SSE ( ) Schäzug der Fehlervaraz σ Var ε= σ ˆσ = SSR = s Res B esmmhesmaß: SSE SSR B = SST = SST = r x y - 4 -

43 Varaze der Schäzuge â ud bˆ : x σ σ = + σ ; σ = x x bˆ ( ) ( x x) â Schäzuge für de Varaze σ ud σ sd : Tes: (Voraussezug: ε ~ N(0,σ )) â bˆ x sres sa = + s Res ; s = b ( ) x x ( x x ). H : a = a H : a 0 0 a A 0 Tesgröße: T = ( â a ) s a 0 E schedug: Ablehug vo H 0, we T α > ; /. H : b = b H : b T 0 0 ( ˆb b0 ) esgröße: T = s b b A 0 Esched ug : Ablehug vo H 0, we T α > ; / Zerale Kofdezervalle zum Nveau - α (Voraussezug: ε ~ N(0,σ )) für a: a-s ˆ ; aˆ+ s a, α/ a, α/ für b: b-s ˆ ; bˆ+ s b, α/ b, α/ ( ) für de Fuko y x = a + b x a eer fese Selle x : ( x x) x x ˆy( x) s + ; ˆy( x) + s + ( ) ( ) ( ) Re s, α/ Re s, α/ x x x x für alle x aus dem Versuchsberech, ergb sch das sogeae Kofdezbad um ŷ( x ) - 4 -

44 7.. Mulle (arameer-)leare Regresso Modellerug der Abhäggke eer Wrkugsgröße Y vo mehrere Eflußgröße x,..., x k M odell: T x = (x,..., x ) Vekor der Eflußgröße k ( r ) ( ) = ( ) ( ) ( ) r T T ( ) a f ( x) = + ε d.h. T f x f x,..., f x Fukoevekor a= a,...,a Parameervekor arameer-learer Asaz: Y x Y(x,..., x ) = a f (x,..., x )+a f (x,..., x )+...+a f (x,..., x )+ ε k k k r r k Besmmug vo Schäzwere für a ach der Mehode der klese Quadrae: = T ( ( )) y a f x M a â s de Lösug des sogeae Normalglechugssysems T m y = (y,..., y ), y = y(x ) =,..., ud F(f(x ),..., f(x )) T Falls F F regulär, da s ( T ) T ˆ ˆ ( ) aˆ = F F F y ud y = a T f x T T FFaˆ = F y T Besmmhesmaß: T ( y aˆ f( x) ) ( ) SSR B = = SST y y T es : (Voraussezug: ε ~ N(0,σ )). Sgfkaz ees Regressoskoeffzee a j, j =...r H : a = 0 0 j âj T esgröße: T = ; SSR = s Res ; m : -es Dagoal-Eleme vo (F T F) - s m r Re s Eschedug: Ablehug vo H 0, we T > r; α /

45 . F-Tes H 0 r : a = a = = a = 0 Quelle der Frehes- Summe der Mlere Tesgröße Krscher Varao grade Quadrae Quadrae Berech Modell k - SSE Res - k SSR Toal - SST SSA MSA = k SSR MSR = k MSE F k, -k, -α T = MSR E schedug: Ablehug vo H falls T > F 0 k, -k, -α 7..3 Regresso m qualave Merkmale Log- Modell Sezalfall: Wrkugsgröße mm ur zwe Were a: y { 0, } Aufgabesellug: logssche Verelugsfuko: We groß s de Wahrschelchke dafür, dass y = s ( Abhäggke vo a+bx)?: P(y = / x) = (x), Modellerug m logs. Verelug x e F(x) = + e x Normalverelug logssche Verelug Aus (x) e e a+ bx = + a+ bx (x) wrd l = a + bx (x), also q(x) = (x) l (x)

46 chug: q(x) = a + bx (allgeme: = r Modellgle q(x) ajj f (x) ) für Dae x,..., x sd q(x ) de sogeae Logs Schäzug der Parameer a ud b der Modellglechug durch MkQ (s. 6..) Schäzug für de Wahrschelchke P(y = / x) ) : ˆ(x) = (aˆ + bx) ˆ + e 7. Nchleare Regressosmodelle 7.. Aa ssug a ee logssche Fuko (ach: T INTNER) j= η γ (, α, β, γ ) = +β α e γ S chäzug der Parameer: Seze = η( α, β, γ) y m y = y( ) (Beobachuge) γ + β 0 ud dam s α e α = + e, also y γ y z = a + b z Schäzug vo a ud b ach der M kq (s. 6..) αˆ = lb ˆ e ˆγ= â αˆ αˆ ˆγ ex ( ) l falls alle y ˆ + + γ y = ˆγ α ˆ ˆβ = e = y α ˆ e = sos

47 7.. Aassug a ee Gomerz- Kur ve a c b e + η (,a,b,c) = (0 b ). Schr: Trasformao der Gomerz- Kurve ee log. Fuko a * * * c * -α Seze : = : =η =γ =β b = e l η(,a,b,c) c + b lη a a a da s γ * * η = * ee log. Fuko α +β * e *. Schr : Schäzug der Parameer γ, α ud β we Absch Schr: Rückrasformao ˆ â ˆ β = = = ˆγ ˆγ * ˆ* α b e ˆc * *

48 8 Ahag grahsche Darse lluge zu de Quale für de Prüfvereluge der Sask Normalverelug -Verelug z, Ch-Quadra-Verelug F-Verelug ch, F,, De Bezechuge de Grahke esreche folgede Qualbezechuge: Normalverelug z -Verelug, Ch-Quadra-Verelug ch, F-Verelug F,, z, χ, F,,