Inhaltsverzeichnis. Risikomgmt SS06

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1 Ihalsverzechs Ihalsverzechs Fole Vorlesug : Hoeywell, Ic. ad Iegraed Rsk Maageme Vorlesug : Eführug Value-a-Rsk (va für Markrsko) Vorlesug 3: Rskofakore 3 Vorlesug 4: Umsezug Value-a-Rsk 4 Vorlesug 5: Ausfallrsko ud Exposure (Kredrsko) 4 Vorlesug 6: Kreddervae 5 Vorlesug 7: Value-a-Rsk für Kredrske 6 Vorlesug 8: Operaoelle Rske 7 Vorlesug 9: Corporae Face ud Rskomaageme 7 Vorlesug 0: Rskokapal ud RAROC 8 Vorlesug : Rskorasfer 9 Vorlesug : Regulerug 0 Zusammefassug Sehe auch Vorlesugsfole Nüzlches Rede Erwarugswer, KoVaraz Porfolovaraz Recheregel für Wahrschelchkee (Axome vo Kolmogorow) Defo Rskomaageme 3 Value a Rsk VaR (be Markrske) 3 Defo 3 Bespele 3 Sadardormalverele Rede 4 Vorgehe zur VaR-Berechug be Normalverelug 4 VaR vo oder mehrere Posoe be Normalverelug 4 VaR bzw Ipu Varaz ud Zehorzo 4 Belebge Vereluge ud der VaR (Obergreze) 5 Bods bzw Alage m Zse 5 Durao 5 Presveräderug vo Bods 5 Kovererug der relave yeld-volalä zur Presveräderugsvolalä 5 Berechug des VaR ees Bods (Durao, yeld-volalä) 6 Berechug des Zsrskos ach RskMercs (CF aufele auf sadardsere Laufzee) 6 Presveräderug vo Ake m Bea 7 Dervae 7 Black-Scholes Modell (Presberechug eer Opo) 7 Dela 7 Kar Solerma vo 0

2 VaR be (ch-) leare Posoe 7 VaR be leare Posoe 7 Leche Abwechug vo der perfeke Learä 8 VaR be ch-leare Posoe 8 Volle Bewerug mels Moe-Carlo Mehodk 8 Zudem gb es och hsorsche Smulaoe 8 Kredrsko 9 Kredrskomessug aus Prese gehadeler Asses (Bods): Implze Ausfall-WS 9 Berechug vo Forward yelds 0 Fole Vorlesug : Hoeywell, Ic. ad Iegraed Rsk Maageme Frage zur Fallsude Zusammefassug Hoeywell ud Implkaoe für das egrere Rskomaageme 3 Weshalb s ee Verscherug auf das aggregere Rsko bllger als de Verscherugspolce ezel? 4 M dem ale Sysem ha Hoeywell mehr Deckug gekauf als owedg war 5 Rskomaageme ha ee lage Trado, es s ke eues Kozep 6 Forschre Fazmarkheore ud Facal Egeerg ermöglche egreres Rskomaageme 7 Das Framework des egrere Rskomaagemes 8 Rskoübersch be der Idusreuerehmug 9 Geree Berachug aller Rske erhalb der Uerehme ypsche Suao auch heue och 0 Was gescheh ach der Idefkao der wchgse Rske? (Umgag, Implemeerug) Erse Implemeerugsmöglchke: Operaoell Ee se lagem geuze Mehode Zwee Implemeerugsmöglchke: Kapalsrukur 3 Rskomaageme durch Veräderug der Kapalsrukur 4 A) Harvard Busess School (000). Hoeywell, Ic. ad Iegraed Rsk Maageme, Case Sudy Vorlesug : Eführug Value-a-Rsk (va für Markrsko) Worum geh es der Markrskomessug? De klasssche Rskoaalyse s ugeüged! 3 Value-a-Rsk (Defo) 4 Charakerska der Normalverelug 5 Bespel für ee Normalverelugsabelle 6 Value-a-Rsk Berechug be Normalverelug (Auflsug wchgser z Were) 7 VaR-Ipu m efache Rede 8 VaR-Ipu m sege Rede 9 Dversfkao ud Value-a-Rsk be Normalverelug (VaR mehrerer Alage, Porfolo) 0 Charakerska vo Value-a-Rsk Kar Solerma vo 0

3 Evaluao durch Backesg Krkpuk : Exremszeara fehle (Sress Tess) 3 Alerave Rskomasse (Expeced shorfall, Tal codoal expecao) 4 Kohäree Rskomasse: Wüschbare Egeschafe vo Rskomasse 5 Krkpuk : VaR s ch subaddv 6 VaR-Parameer: Welches Kofdezveau (Wahrschelchke)? 7 Was muss durch Egekapal gedeck werde? Value-a-Rsk ud das egee Zelrag (S&P Ausfall-WS) 8 VaR Parameer: Zehorzo ud Value-a-Rsk (Ewcklug der Volalä σ über de Ze) 9 Elemee ees VaR-Sysems: Verbdug vo Rskofakore ud Porfoloposoe 0 De ezele Elemee des VaR-Sysems Ege Begrffe zur Markrskomessug Rskoerakoe: E Vorgag ha of mehrere verschedee Rske 3 Treug vo Exposure ud Rskofakor: Dekomposo vo Verlusquelle (Bods m Durao) 4 Weere leare Approxmaoe (Ake m Bea, Dervae m Dela) 5 Was s m dem spezfsche Rsko? Der Dversfkaoseffek reduzer de Bedeuug 6 Dskouäe ud Eve Rsk 7 Sress Tesg: Idefkao ud Maageme vo Suaoe, de zu exreme Verluse führe köe 8 Aufgabe : Berechug des VaR ees Porfolos m Alage 9 Aufgabe : NV vgl m Fa als 30 Vorlesug 3: Rskofakore Rskoquelle: Währugsrsko Reche m Cross-Raes (Wechselkurse ud Varaze) 3 Rskoquelle: Zsrsko (Term Spread) 4 Fakoraalyse ach Haupkompoeemehode 5 Reduko auf Sadardlaufzee ach RskMercs 6 Bespel Reduko auf Sadardlaufzee 7 Absolue versus relave Yeld-Volalä (Durao Approxmao der Pres Volalä) 3 Rskoquelle: Akersko (Parameerreduko durch Idexmodell β, Dagoales Modell vo Sharpe) 4 Rskoquelle: Commody Rsko (Coveece yeld) 5 Modellerug der Rskofakore: Begrüdug der Normalverelug 6 Abwechuge vo der Normalverelug: Fa Tals 7 Wo leg der 99% VaR maxmal? Awedug der Tschebyscheff Uglechug 8 Zevarable Volalä auf Fazmärke (Volaläscluser) 9 Volalässchäzug m gewcheer Berückschgug vergageer Rede (hsorsche Volalä, EWMA Expoeally Weghed Movg Average: Expoeelle Gläug) 0 GARCH als Verallgemeerug Ebezug der Meug der Fazmärke: Implze Volalä (Black-Scholes) Probleme be der Korrelaosmessug 3 Aufgabe : Berechug des VaR ees Bods (mels mod. Durao, rel. yeld Volalä) 4 Aufgabe : Zevarable Volalä: Welche Mehode wes grösse Sprug auf? 5 Kar Solerma 3 vo 0

4 Vorlesug 4: Umsezug Value-a-Rsk VaR vo leare Posoe: Exposure * VaR des Rskofakors Leche Abwechug vo der perfeke Learä: Bsp Resrsko bem Fuures Hedgg (mmum Varaz Hedge Rao) 3 VaR vo chleare Posoe: Leare Approxmao (Dela Mehode) 4 Nchleare Approxmao (Dela-Gamma Mehode) (Taylor Expaso) 5 Aalysche Berechug des VaR m Hlfe vo Approxmaoe 6 Volle Bewerug: De Moe-Carlo Mehodk 7 Szearos geerere (Logormales Modell vo RskMercs, Bsp) 8 0 Presverelug m Moe Carlo Smulao Ablese des Value a Rsk Hsorsche Smulao 3 Verglech der VaR Mehode 4 Sress Tess agelee durch Moe Carlo 5 E Blck de Praxs: Aufgeworfee Frage (Prof & Loss vs VaR) 6 P&L ud VaR (Überblck, Zerehe, Ierpreao) 7 Backesg (VaR Progose: VaR, so dass p(r < VaR ) x%, Kupec Tes) 3 Movao für e reduzeres Zerehemodell 4 E smples dyamsches Modell als Bechmark (ARMA m GARCH) 5 P&L ud e smples dyamsches Modell 6 7 Verglech VaR Zerehemodell ud Bak VaR 8 Backesg VaR Zerehemodell 9 Greze der VaR Modelle m Esaz 30-3 Performaceprobleme aufgrud regulaorscher Sadards 3 Zusammefassug (VaR be Bake) 33 Aufgabe : Verschedee VaR-Berechugsmehode ud mulvara NV-Rede 34 Aufgabe : Am wegse geegee Mehode für Oposrske 35 Vorlesug 5: Ausfallrsko ud Exposure (Kredrsko) Frageselluge, Glederug - 3 Koex des modere Kredrskomaageme 4 Rolle des Egekapals für das Bakesysem 5 Basel I: Egekapalsadards 988 (Vor-, Nachele) 6 Neues Basler Kapalregme (Basel II) 7 Egemeluerlegug vo Kredrske (Zele, Probleme, Mehode der Kredrskoquafzerug) 8 Ausfallwahrschelchkee vo Krede 9 Defo des Kredausfalls gemäss Basel II 0 Verschedee Defosmöglchkee sd dekbar Kompoee des Kredrskomaagemes (erwareer Verlus, ökoomsches Kapal, Kred VaR) Verelug vo Boäsdkaore (Hsogramme, Fazkezahle) 3 Kar Solerma 4 vo 0

5 De Kompoee des erwaree Verluss (Erwareer Verlus Ausfall-WS PD * Erwarees Exposure EAD * Erwaree Verlusquoe LGD) 4 Ragageure ele de Boäe Sufe e (Ivesme Grade, Speculave Grade Rag) 5 Ausfallquoe schwake über de Ze 6 Das Aler ees Kredes beefluss de Ausfallwahrschelchke (Graphk Cumulave Defaul Raes) 7 Tradoelle Defo der Ausfallrae 8 Hsorsche Ausfallrae ach Sadard & Poor s vo Kumulere ud margale Ausfallwahrschelchkee 0 Durchschlche ud uerjährge Ausfallwahrschelchkee Wahrschelchkee für ee Ragveräderug: Übergagsmarze Rskomessug aus Prese gehadeler Asses 3 Iformaosgrudlage zur Ermlug vo Ausfallwahrschelchke 4 Kredrskomessug aus Prese gehadeler Asses: Bods (mplze Ausfall-WS) 5 7 Aber: Implze Ausfall-WS s ch glech asächlche Ausfall-WS! (Rskopräme) 8 Modellasäze zur Rskomessug der Praxs 9 Asäze zur Messug vo Kredrske 30 Klassfkaoe zur Ermlug vo Ausfall-WS (Kapalsrukurmodelle, Iesäsmodell, Defaul Mode Modelle, Mark o Marke Modelle) 3 Iere Modelle: Klasssches Scorg m der Score-Kare 3 Dskrmazaalyse Iere Modelle: Z-Score Bakrupcy Model (Alma) Kredrskomessug aus Prese gehadeler Asses: Mero `74 37 Payoff eer Kredausrechug für ee Bak 38 Mero (974): Awedug vo Black-Scholes auf Frmewere 39 De rskoeurale Ausfall-WS aus dem Mero-Modell 40 Expeced Defaul Frequecy (EDF) m KMV Porfolo Moor 4 Probleme des Black / Scholes Modell 4 Der VaR Asaz aus hsorsche Prese zur Kredrskomessug 43 Bewerug des Kredes pro Ragklasse 44 Berechug der Forward Yelds Rskomessug aus Kredprese (Grafk) Zusammefassug (Bewerug, Messug Kredrske) 50 Vorlesug 6: Kreddervae Was sd Kreddervae? Das Volume vo Kreddervae s de leze Jahre sehr sark agesege 3 Volume der verschedee Dervakaegore: Kreddervae habe Akedervae überhol 4 Klassfzerug vo Kreddervae 5 Are vo Kreddervae 6 Cred Defaul Swap CDS 7 8 Möglche Defoe ees Cred Eve m CDS 9 Kar Solerma 5 vo 0

6 Möglche Forme der Ausglechszahlug 0 We sark wrd das Kredrsko durch de CDS reduzer? Toal Reur Swap 3 Cred Spread Forward 4 Cred Spread Opo 5 Cred Lked Noe 6 Massgeschederes Zusammesalle der Emsso: Subordao 7 Verbrefug des Kredrskos: Bespel HAT (CDS) 8 Subordao ud Porfolorsko m Bespel HAT 9 Bewerug vo Kreddervae 0 Bewerug ees Cred Defaul Swap (Verscherugsmahemasch, aus Cred Spreads, aus Akeprese (Mero-Modell)) 3 Grüde für e Wachsum des Markes 4 Greze ud Probleme der Kreddervae 5 Vorele vo Kreddervae 6 Aufgabe, CDS (Präme, Werveräderug) 7-8 B) Das, 995. Cred Rsk Dervaves, Joural of Dervaves, pp Vorlesug 7: Value-a-Rsk für Kredrske De Verlusverelug m Kredrsko Kredporfolomodelle: Ökoomsches Modell oder sassches Modell 3 Was s der berachee Cred Eve? 4 CredMercs (Srukurelles Modell) Das Rsko eer ezele Poso 5 Ipu hsorsche Übergagsmarx 6 Möglche Ragveräderuge ees Bods 7 Ipu hsorsche Recovery Raes 8 De Verelug eer ezele Poso 9 Ebezug vo Korrelaoe über das Frmewermodell (Mero Modell) 0 Modellübersch Berechug des Cred VaR m Moe Carlo 3 Bemerkuge 4 CredRsk (Reduzeres Modell) Modellübersch 5 Modellaahme (Possoverelug) 6 Berechug des Cred VaR 7 Auswrkug der Volalä der Ausfall-WS 8 Sekoreaufelug (Bsp) 9 Bemerkuge Verglech der Berechuge vo CredMercs ud CredRsk 3 4 Kar Solerma 6 vo 0

7 CredPorfolo Vew Ebezug der Makroökoome über Log-Regresso 5 Erklärugsgehal der makroökoomsche Fakore 6 Berechug des VaR m Moe Carlo 7 Bemerkuge 8 Fallsude zum Kredrsko: Logsca 9 34 Aufgabe Sekorkozerao ud VaR 35 Vorlesug 8: Operaoelle Rske Ageda Der Sarpuk: De Defo 3 Aalyse vo Bespelschäde 4 6 Effzees OpRsk Maageme erforder ee bree Palee vo Mehode ud Isrumee 7 Der Prozess des operaoelle Rskomaagemes 8 OpMaageme: Idealypsche Ewcklugsschre 9 Sammlug ud Klassfkao vo Verlusdae 0 Verlusdaesammlug: Erarbee ees Daemodells (Workshop) Idefkao vo Rske: Ergäzug der Iformao durch Self Assessme Das Aalyseobjek m Self Assessme, Bsp 3 6 Qualaves Corol Self Assessme 7 9 Überwachug vo Rske: Key rsk dcaors als Messgrüsse für OpRsk 0 Klassfzerug vo Key Rsk Idcaors OR Quafzerug adere Mehode als bem Kredrsko Sadard-Techke der Verscherugsmahemak 3 Ermlug der Gesamverlusverelug pro Jahr: Bsp aalysche Berechug 4 5 Ermlug der Gesamverlusverelug pro Jahr: Moe Carlo Smulao 6 Exremverluse sd escheded 7 Modellerug der Verlushäufgke: Posso ugeege, besser Negave Bomal - Verelug 8 9 Modellerug der Verlushöhe (Log-NV m Normalberech, Exremwerheore m Radberech) Übersezug der Expereagabe Vereluge: Nuze der Erkesse aus exere Dae 34 Der Weg de Zukuf: Kombao vo Experewsse ud Dae 35 Aufgabe : Berechug der fare Präme (be glechverele Verlushöhe) 36 Aufgabe : Berechug des erwaree Verluses be Log-NV Schadehöhe 37 Vorlesug 9: Corporae Face ud Rskomaageme Theore ud Praxs der Kapalsrukur Modgla Mller Theorem 3 Theore : Sasche Trade-off Theore 4 Theore : Peckg-Order Theore 5 Implkaoe für Ivesoe 6 Kar Solerma 7 vo 0

8 Przpal Agee Koflke ud de Kapalsrukur 7 Klasssche Przpal-Agee-Koflke (Free Cashflow Problem) 8 Neue Przpal-Agee-Kose durch Leverage: Koflke zwsche EK ud FK Geber 9 Relevaz der Kapalsrukur: Checklse 0 Ege Grudfrage zum Rskomaageme Möglche Begrüduge vo Rskomaageme Das Froo Scharfse Se (993) Modell Modellaahme 3 Das Opmerugsproblem 4 Sochassche Erweerug 5 Vollsädges Hedgg 6 Bespel zum vollsädge Hedgg 7 9 Bespel zum ch vollsädge Hedgg 0 Was hess opmales Hedgg? Warum hedge ege Frme särker als adere? 3 We hedge? Forwards oder Opoe 4 5 Emprsche Evdez über Hedgg Prakke 6 9 Ausblck: Prcg ud Performacerechug 30 C) Froo/Scharfse/Se, 993. Rsk Maageme: Coordag Corporae Ivesme ad Facg Polces, Joural of Face, Vol. XLVIII, No. 5, Vorlesug 0: Rskokapal ud RAROC Grudfrage Kapalallokao (ex ae): Erwareer Verlus ud uerwareer Verlus 3 Performacerechug (ex pos): Wurde de gefordere Rede errech? 4 Uzuläglchke vo ROE 5 6 Rskoadjusere Performace Bespel 7 Was s Rskokapal? 8 RAROC Mehodk ud Messgrösse 9 Mss EVA wrklch de Werzuwachs? 0 Rskoadjusere Performace Bespel (Forsezug) Performacerechug ud Prcg m RAROC Prcg m RAROC: Bausee des Kudezssazes für Krede 3 4 Kapalallokao: We besmm ma das Rskokapal für Produke 5 Verschedee VaR-basere Mehode zur Kapalallokao 6 Ex-pos RAROC: Allozeres Kapal oder effekv beöges Kapal? 7 Greze der VaR-basere Kapalallokao 8 Das Froo-Se (998) Modell RAROC ud Theore: Maxmer RAROC wrklch de Frmewer? 9 Ökoomsche Eelug vo Rske 0 Kar Solerma 8 vo 0

9 Modellaahme Perode 0: Feslegug der Kapalsrukur Perode : Iveso ud Hedgg 3 Perode : Payoff ud eue Iveso 4 Prcg-Modell zur Bewerug der Bak Perode 5 Opmales Hedgg ud Ivesere Perode 6 Rskozssaz zur Bewerug der Iveso 7 Bemerkuge zur Ivesosbewerug 8 Möglche Aweduge 9 Verhäls zu RAROC 30 Was s be der RAROC Implemeerug zu beache? 3 Awedug Froo-Se (998) Bausee des Kudezssazes für Krede 3 Markvervollsädgug zb durch Verbrefug 33 D) Froo/Se, 998. Rsk Maageme, Capal Budgeg ad Capal Srucure Polcy for Facal Isuos: A Iegraed Approach. Joural of Facal Ecoomcs 47, 55-8 Vorlesug : Rskorasfer Übersch Zwe Voraussezuge für radoelle Verscherug 3 Fukoe der radoelle Verscherug 4 Egeschafe vo Verscherugskorake 5 Rückverscherug: Ege Begrffe 6 Fukoe vo Rückverscherug 7 Zwe Grudkaegore vo Rückverscherug (Faculave-, Treay Resurace) 8 Proporoale vs ch proporoale Rückverscherug 9 Greze der radoelle Rück-/Verscherug 0 Der zyklsche Charaker der Rückverscherugspräme De grösse Verscherugsfälle Verschere Verluse welwe 3 Verschere vs ökoomsche Verluse 4 Alerave Rsk Trasfer ART: Defo 5 Rskorasfer vs Rskofazerug 6 Warum soll ma e Rsko selbs rage? Warum Rskofazerug? 7 De Eschedug, Rske selbs zu rage häg ab vo Verlushöhe ud Verlushäufgke 8 Capves (Sgle-pare, Mul-pare) 9 - Fe Rsk (Loss Porfolo Trasfers LPT, Fe Quoa Share FQS) - 3 Mul-year / Mul-le Produke (MMP) 4 Isurace Lked Secures (ILS) 5 Schadedervae 6 Kar Solerma 9 vo 0

10 Kaasrophealehe (CAT Bods) 7 Grudprzp 8 Bespele 9 3 De Rede auf CAT Bods 33 Markprese vo CAT Bods 34 Probleme m Zusammehag m Isurace lked Secures 35 Rskohadel über Rsk Swaps: CATEX 36 Coge Capal (CC): Are Übersch ART Produke 39 Möglcher Nuze vo ART Lösuge 40 Wer sd de Ivesore ART Produke? 4 E) Shmp, 00. Iegraed rsk maageme, Kap. 3. Texere, New York Vorlesug : Regulerug Übersch Sadardargumee für ee Bakeregulerug? 3 Regulerug: De suoelle Möglchkee 4 Hergrudformao: Basel I 5 Zele vo Basel II 6 Basel II: Zepla ud Umsezug der Schwez 7 Basel II: De dre Säule der Egekapalverebarug 8 Awedugsberech vo Basel II 9 Bedeuug der. Säule 0 3. Säule: Markdszpl ud Offelegug Ver Bereche der Offelegug Evoluo der Kapalberechuge (Berechug der Kapalquoe) 3 4 Basel II: De Modellpalee 5 De Asäze zur Berechug des Kapalbedarfs für Kredrske 6 Ökoomsches vs aufschsrechlches Egekapal 7 Sadardasaz: Gegeparee uerschedlcher Berachug, Neu gegeüber Basel I 8 9 Warum solle exere Rags berückschg werde? 0 Rag ud Ausfallwahrschelchkee De Verwedug vo exere Rags Aerkeug exerer Ragageure 3 Sadardasaz: Forderuge a Saae, Uerehme 4 5 Bemerkuge: Sadardasaz 6 IRB. Kompoee des Kredrskos 7 Rskogewche m IRB 8 9 Verglech der Rskogewche (für Uerehme) 30 Verglech der IRB Asäze 3 Kar Solerma 0 vo 0

11 Basel II Kapalaforderuge ud Kredrsko 3 Mmale Aforderuge für de IRB 33 Securserug Operaoelles Rsko: De Basel II Defo 37 De Asäze zur Berechug des Kapalbedarfs für Operaoelle Rske 38. Bassdkaorasaz 39. Sadardasaz Forgeschreer Asaz 43 Basel II: Schlussbemerkuge 44 Zusammefassug Sehe auch Vorlesugsfole Nüzlches Rede Eperode (über ee Alage Perode ) Porfolo (über Alage) Mehrperode P P R P R Dskree, Efache R w R P P p,,, w Porfoloegeschaf gegebe P P k exp( r ) Wer Alage Wer aller Alage m Porfolo R ( ) ( + ) (über k Perode) k R k Mulplkave Verküpfuge führe zu rechsschefe Vereluge (dh ua NV- Aahme verlez) 0 r l Sege r P P p p ( + R ) l l( P ) l( P ) Be klee Rede r p, l( + RP, ) RP, Kee Porfoloegeschaf, Umweg über efache Rede owedg r k ( ) k r 0 NV-Eperoderede führe zu NV- Mehrperoderede Erwarugswer, KoVaraz N Erwarugswer E(X): µ (p WS vo x, dr /N) p x Regel: (a, b, c Kosae, ch sochassch): E(aX ± by ± c) ae(x) ± be(y) ± c X, Y uabhägg: E(XY) E(X)E(Y) Varaz Var(X): σ E { X E( X )} [ ] E( X ) E( X ) Sadarabwechug Sabw(X), Volalä Vol(X): σ N [ ] ( µ ) Kovaraz Cov(XY): σ E[ { X E( X )}{ Y E( Y )}] E( XY ) E( X ) E( Y ) p ( x µ )( y µ ) XY p x N X Y Kar Solerma vo 0

12 Korrelao Corr(XY): ρ σ } lear abhägg < XY XY 0 σ Xσ Y > gegerchug abhägg lear uabhägg rchugsglech abhägg Regel Var a X + b a Var( X ) + aa jcov( X X j ) j + zb Var(aX ± by + c) a Var(X) + b Var(Y) ± abcov(xy) Porfolovaraz M Hlfe der Varaz-Kovaraz-Marx, der verschedee Alage, bzw j, ud dere Gewchug, w S hres Weraels, eem Porfolo ka de Porfolovaraz bereche werde. σ σ, we j s σ de Varaz, sos de Kovaraz. (sehe auch Regel der Varaz) P j w j w j Recheregel für Wahrschelchkee (Axome vo Kolmogorow) Jedes Ergebs ees zufällge Expermes A ha ee Wahrschelchke p(a), de durch de folgede Bezehuge beschrebe wrd: () 0 < p(a) < () We Ω der Schproberaum s, folg p(ω). (3) Für de leere Mege gl: p( ) 0. (4) De komplemeäre Wahrschelchke vo A s: P( A) P( A). Bedge WS p(a B): WS, dass A er, we beka s, dass B egeree s. Bedge WS Uabhägge Eregsse: De Eregsse A ud B sd uabhägg, we das Aufree vo B de Wahrschelchke vo A ch veräder ud umgekehr. De bedge Wahrschelchke p(a B) s für uabhägge Eregsse glech p(a). dsjuke WS: A B, da s P(A B) 0 P ( B) P( B ) Dfferezmege: A aber ch B A, falls A ee vollsädge Zerlegug vo B blde. P ( A) P( ) A Kar Solerma vo 0

13 Polyomapproxmao: Saz vo Taylor Fragesellug. Welches Polyom P (x) 0 a (x x 0 ) -e Grades approxmer y f(x) der Umgebug ees Pukes x 0 am bese? Lösug: P ( x) f! -e Ableug ( x0 ) ( ) x x 0 Defo Rskomaageme Daruer verseh ma de plavolle Umgag m Rske. Dabe ka es sch um allgemee uerehmersche Rske hadel oder um spezelle fazelle Rske. M zuehmeder Komplexä der Fazmärke ud produke wrd das effekve Messe, Korollere ud Bewrschafe vo uerehmeswee Rske escheded für de Uerehmeserfolg. Rskomaageme wrd som zu eem Gebe vo uverseller Wchgke sowohl Fazsuoe als auch Idusreuerehme. Dese Vorlesug vermel ee Behadlug wchger Gebee des fazelle Rskomaagemes: Markrske, Kredrske, operaoelle Rske, egreres Rskomaageme, Corporae Face, Hedgg Isrumee, Rskorasfer ud Regulerug. Das Schwergewch der Vorlesug leg auf de Zusammehäge zwsche de euese Erkesse der Rskomessug, der Fazmarkheore ud der Corporae Face. Value a Rsk VaR (be Markrske) Defo Verlus, der m eer gewsse WS erhalb ees besmme Zehorzos ch überschre wrd. Bespele ) E VaR vo 5 Geldehee (90% Kofdezveau, 0 Tage Haledauer) sag aus, daß be eer Haledauer vo 0 Tage (Markpresveräderug vo T 0 bs 0) der Verlus m eer Wahrschelchke vo 90% ch höher als 5 Geldehee se wrd. Adererses s 0% der Fälle (also Tag vo 0 Tage) e Verlus vo mehr als 5 Geldehee zu erware. ) CHF 3 Mo. Tages-VaR m 99%: De Poso verler m Erwarugsfall mmal CHF 3 Mo. vo 00 Hadelsage. Adererses verler de Poso m Erwarugsfall maxmal CHF 3 Mo. 99 vo 00 Hadelsage. E wchger Parameer zur VaR Berechug s de Volalä σ (esprch dem Rsko). Be NV gb es ee : Bezehug zwsche VaR ud σ. Kar Solerma 3 vo 0

14 Sadardormalverele Rede Vorgehe zur VaR-Berechug be Normalverelug Geg. (sege) Rede für Tag ~ NV(µ, σ ), ges. VaR be KI% (zb 99%), dh Rede r* Asaz: Sadardormalvereler Wer be Kofdezervall KI% (zb 99%) z * 64 7 VaR 448 r µ * r % σ + µ σ KI % z KI ) Suche aus Sadardormalverelugsabelle de esprechede Wer für z herraus (eseg). ) Bereche VaR (her vo der Rede) r* zσ+µ. Be kurzer Haledauer (zb Tag) ka µ 0 ageomme werde ud be klee sege Rede s r R efache Rede. KI 90% 95% WS 0% 5% (-)z,8,65 De Berechug des VaR erfolg dr ählch we deses Bsp m Rede. Sehe 97.5%.5%.96 dazu de folgede weere Bsp. 99% %.33 VaR vo oder mehrere Posoe be Normalverelug Geg Alage m µ 0,,, eem Porfolo m Gesamwer X. w (Wer Alage ) / X (Werael am Porfolo), w. KI% der VaR der Alage s glechgross: Wer des Porfolos X VaR w x VaR, KI % + ρ VaR VaR j +, j : Geg. Porfolo P m Gesamberag X beseh aus Alage A m Werael w A ud Alage B m Werael w B - w A. Som s X Xw A + Xw B. Ebefalls beka VaR A,KI%, VaR B,KI%, ρ A,B m VaR glechgrosse KI%. Aahme: µ A, µ B 0. P, KI % A, KI % B, KI % A, B A, KI % B, KI % j VaR + VaR + ρ VaR VaR VaR bzw Ipu Varaz ud Zehorzo Kar Solerma 4 vo 0

15 Belebge Vereluge ud der VaR (Obergreze) Der VaR 99% s für belebge Vereluge m edlcher Varaz ch grösser als 3 Mal der VaR be Normalverelug. Bods bzw Alage m Zse Durao Sesvä des Bodpreses P ggü desse yeld y. (Semelaszä). Der Yeld ees Bods s der Prozee ausgedrücke asächlche Errag der Oblgao (Dskofakor). modfed Durao D P P D y Dollar Durao DP P DP y Be eer % Erhöhug des yelds (absolu) veräder sch der Pres um -D% (relav). Be eer % Erhöhug des yelds (absolu) veräder sch der Pres um DP Geldehee (absolu). M Aahme P Oposwer ud y Basselwer, esprch Dollar Durao dem Dela eer Opo. Presveräderug vo Bods Leare Approxmao: P -(DP) y Approxmao m Taylor.Grades: P -(DP) y + 0.5P( y) K m K Kovexä Kovererug der relave yeld-volalä zur Presveräderugsvolalä Gebrauch als Ipu für VaR relave Zsvolalä 678 y 678 σ kos. σ y y absolue Zsvolalä y yσ y Kovererug Geg. ( ) Presveräderugsvolalä: σ( P) PDσ( y) {D Durao} Es ka de Presveräderugsvola % (P%) oder Geldehee bereche werde! Kar Solerma 5 vo 0

16 Berechug des VaR ees Bods (Durao, yeld-volalä) Geg: Poso m Nomalberag Coupo Laufze Markpres ( %) p% Marchzse z% Yeld (asächlche Rede) y% Modfed Durao Relave Yeld Volalä p.a. B C D y σ y Ges: VaR KI% für Tag (T Hadelsage pro Jahr) ) effekve Pres % bereche P% p% + z% Pres der gesame Poso P B(p% + z%) ) Kovererug der relave yeld-volalä über de absolue yeld-volalä zur Presveräderugsvolalä σ( P). ACHTUNG: esprch Volalä ees Jahres!!! σ ( P) P } D modfed σ ( 48 ) 647 y y yσ y 3) Berechug des VaR zσ( P)/ T zb(p% + z%)d, (PD Dela be Dervae), Volalä ees Tages σ( P)/ T y σ y y T Berechug des Zsrskos ach RskMercs (CF aufele auf sadardsere Laufzee) Geg: m-jahres yeld y(m) m Volalä σ(m), -jahres yeld y() m Volalä σ(), Korrelao ρ(m,), m > Ges: Aufelug des s-jahres CF(s) m ud (m > s > ) ) Ierpolao des yelds: y ( m) y( ) y( s) y( ) m s y s m ) Berechug des Barweres des s-jahres CF(s): BW(s) CF(s) / [+y(s)] s 3) Ierpolao der Volalä: σ ( m) σ ( ) σ ( s) σ ( ) m s ( s) [ y( m) y( ) ] + y( ) σ s m 4) Gewchug des Barweres bereche (α Gewchug des BW m): σ (s) σ [αy(m) + (-α)y()] α σ (m) + (-α) σ () + α(-α)ρ(m,)σ(m)σ() b ± b 4ac a M aα + bα + 0 > α > 0, ( s) [ σ ( m) σ ( ) ] + σ ( ) wobe a σ (m) + σ () - ρ(m,)σ(m)σ(); b ρ(m,)σ(m)σ() - σ (); c σ () - σ (m) 5a) BW(s) auf BW der Jahre m ud aufele: BW(s,m) αbw(s); BW(s,) (-α)bw(s) 5b) CF(s) auf Jahre m ud aufele: ( s m) CF( s, m) m [ + y( m) ] ( s, m) BW ( s, m) [ y( m) ] m,, aalog für CF(s,) BW CF + Kar Solerma 6 vo 0

17 Presveräderug vo Ake m Bea Rede vo Ake m CAPM R α + β R m + ε β R m P /P P R P β R m P Dervae Black-Scholes Modell (Presberechug eer Opo) Wer eer Pu-Opo: X P N rt e ( d ) B + N( ) d Dela Das Dela gb de effekve Veräderug oder auch Sesvä des Opossches zum Kurs des Basswers a. Es beawore de Frage, um welche (approxmave) Berag sch der Wer der Opo veräder, we sch der Pres des Bassels um Geldehe erhöh. Dela Oposwer f Basselwer S Veräderug des Oposwers f S ZB Ha ee Opo e Dela vo 0,70, so seg de Opo um 0,70 GE, we das der Kurs des Uderlyg um GE seg. Mahemasch: Erse Ableug der Black-Scholes-Formel ach dem Pres des Bassels (B). M Aahme Oposwer P ud Basselwer y, esprch Dela der Dollar Durao ees Bods. VaR be (ch-) leare Posoe VaR be leare Posoe M f S (sehe Dela) gl: VaR( f ) VaR des Rskofak } ors VaR S Dela ( ) Kar Solerma 7 vo 0

18 Leche Abwechug vo der perfeke Learä Bsp Resrsko bem Fuures Hedgg We S ud F perfek lear abhägg, da Varaz des Resrskos 0. VaR be ch-leare Posoe Dela Mehode Leare Approxmao durch Verfahre we be leare Posoe. Be beahe leare Posoe brauchbar. Dela Gamma Mehode Nchleare Approxmao mels der Taylor Approxmao.Grades Bsp. sehe Presveräderug vo Bods Volle Bewerug mels Moe-Carlo Mehodk ) Szearos geerere Uer Verwedug der Volaläe ud Korrelaoe der Rskofakore werde zufällge Presszearos für de Posoe m Porfolo geerer ) Porfolo bewere Für jedes Szearo wrd der Porfolower bereche 3) Zusammefassug der Szeare De Szearos werde zu eer Porfoloverelug oder zu eem spezfsche Rskomass aggreger Zudem gb es och hsorsche Smulaoe Kar Solerma 8 vo 0

19 Kredrsko Kredrskomessug aus Prese gehadeler Asses (Bods): Implze Ausfall-WS Beg m Ejahres-Zerobod T y* y + Cred Spread π Implze Ausfall-WS, f Recovery Rae (% des Kredberags, de ma och zurückerhäl), T Laufze Jahre ( + y) ( + y*)[ - π( - f)] Implze Ausfall-WS π + y ( ) f + y * Aahme π( - f) y* - y rskobehafeer yeld y* y + π( - f) Aber: Implze Ausfallwahrschelchke π s ch glech asächlcher, objekver, sochasscher Ausfallwahrschelchke π (zb bereche vo eer Ragageur)! De mplzere WS π uersell Rskoeuralä. Es wrd m dem rskolose yeld y abdskoer. yeld be π : y* T + y π ' ( f ) (π auflöse ach y*) rskobehafeer yeld(beobachbar) yeld(bereche m π ) + Rskopräme: y* y* + RP. dh beobachbarer yeld y* y + CS > yeld aus π y* RP y* - y* T M obger Aahme y* y + π ( - f) + RP y* + RP Kar Solerma 9 vo 0

20 Berechug vo Forward yelds Laufze des Zerobods Aus : 0 z 0 r Aus : 0 z bereche (beka aus ) Ec. Ma erhäl 0 z,, Ergb de FYC RF als z, z, 3 z, Um de Rskoadjusere Forward Yeld Curve (FYC R ) zu erhale, wrd auf de Rsk-Free Forward Zero Yeld Curve (FYC RF ) e fxer Cred Spread (s ) pro Laufzejahr ud Ragklasse hzuadder. Kar Solerma 0 vo 0