Praktische Betriebswirtschaft Herausgeber Professor Klaus Olfert

Transkript

1 Kompakt-Training Praktische Betriebswirtschaft Herausgeber Professor Klaus Olfert Kirsch Führer Wirtschaftsmathematik 4. Auflage Bachelor geeignet

2 Vorwort zur 4. Auflage In der Wirtschaftswissenschaft wird die Mathematik als Handwerkzeug zur Untersuchung von betriebs- und volkswirtschaftlichen Zusammenhängen eingesetzt und bildet die Grundlage für die Erstellung von mathematischen Modellen. Die Vorlesung Wirtschaftsmathematik ist als Grundlagenveranstaltung für zukünftige Wirtschaftswissenschaftler ein Pflichtmodul an den Hochschulen geworden. Wirtschaftsmathematische Kenntnisse sind somit zwingend erforderlich um den Anforderungen in Studium und Praxis zu genügen. Dieses Buch richtet sich besonders an alle Studierende eines betriebs- und volkswirtschaftswissenschaftlichen Studiums an Universitäten, Fachhochschulen und Akademien sowie an interessierte Praktiker. Ein besonderer Schwerpunkt ist auf die anschauliche Darstellung des Lehrstoffes gelegt worden, sodass die wirtschaftsmathematischen Methoden nachvollziehbar und verständlich sind. Dies erleichtert besonders den Lesern ohne Breite mathematischer Grundkenntnisse einen sicheren Einstieg in den klausurrelevanten Lehrstoff. Auf Beweise wurde weitgehend verzichtet, sodass die praktische Bedeutung der Mathematik in den Vordergrund gerückt wurde. Mögliche mathematische Defizite im Grundlagenbereich können mithilfe des Kapitels A. notfalls schnell beseitigt werden. Über 200 ausführliche Rechenbeispiele geben einen großen Überblick der praktischen Anwendung der Mathematik in der Wirtschaftswissenschaft. Sie sollen, ohne unnötigen mathematischen Ballast, eine gute Vorbereitung für die anstehenden Prüfungen geben. Damit soll der große Berg der mathematischen Grundvorlesungen, den der Leser haben könnte, überwunden werden. Für die 4. Auflage wurde das vorliegende Buch sorgfältig durchgesehen, kleine Korrekturen und Aktualisierungen vorgenommen. Einen besonderen Dank möchte ich an dieser Stelle an meinen Kollegen Herrn Prof. Dr. Christian Führer für seine kollegiale Zusammenarbeit richten. Gleichzeitig bedanke ich mich herzlich bei Frau Corinna Ziegler und ihren Mitarbeitern des Kiehl Verlages für den angenehmen und professionellen Austausch. Den Leserinnen und Lesern dieses Buches wünsche ich viele Aha -Erlebnisse bei der Durcharbeitung des Lehrstoffes, viel Erfolg bei der Prüfung und ein wenig Freude mit der Wirtschaftsmathematik. Anregungen, Verbesserungsvorschläge und Hinweise auf etwa noch vorhandene Druckfehler, die wie üblich zu Lasten des Autors gehen, senden Sie bitte direkt per an: Siegfried Kirsch Mönchengladbach, im April 2014 Prof. Dr. Siegfried Kirsch ist Professor an der Hochschule Niederrhein und für die Lehrgebiete Wirtschafts- und Finanzmathematik sowie Wirtschaftsstatistik verantwortlich. 7

3 A. Grundlagen 2. Elementare Rechenregeln Binomische Formeln Regel (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (1. Binomische Formel) (a - b) 2 = a 2-2ab + b 2 (2. Binomische Formel) (a + b) (a - b) = a 2 - b 2 (3. Binomische Formel) Beispiel (3 + 5) 2 = = 64 (3-5) 2 = = 4 (3 + 5) (3-5) = = - 16 Reihenfolge von Rechenoperationen (bzgl. Potenz siehe Kapitel A.3.1) Regel Beispiele Punkt vor Strich = = = = 6 Potenz vor Punkt = 4 27 = = = 486 Klammer vor Potenz (3 + 2) 4 = 5 4 = (3 + 7) = 2 10 = Unter Strichoperationen werden die Addition und Subtraktion verstanden, Multiplikation und Division sind Punktoperationen. Die Reihenfolge von Rechen operationen kann zusammenfassend auf die Formel Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich gebracht werden. Beispiel 5 2 (3+2) - 3 = = = = 157 Aufgabe 2-3 > Seite

4 B. Finanzmathematik 1. Zinsrechnung B. Finanzmathematik Die Finanzmathematik gliedert sich in die Zinsrechnung (Kapitel B.1), die Rentenrechnung (Kapitel B.2) und die Tilgungsrechnung (Kapitel B.3), die im weiteren Sinne eine Anwendung der Rentenrechnung darstellt. Zinsrechnung Finanzmathematik Rentenrechnung Tilgungsrechnung 1. Zinsrechnung Überlässt ein Gläubiger einem Schuldner für einen begrenzten Zeitraum Kapital (Darlehen, Sparplan bei einer Bank), wird für diesen Zeitraum ein Nutzungsentgelt in Form von Zinsen fällig. Die Zinsrechnung stellt mathematische Verfahren zur Berechnung der fälligen Zinsen bereit. Man unterscheidet die einfache Verzinsung und die Verzinsung mit Zinseszinsen (Kapitel B.1.1 bzw. B.1.2). Beiden Verzinsungsformen ist gemeinsam, dass sie die anfallenden Zinsen zeitanteilig berechnen, d. h. je länger das Kapital beim Schuldner verbleibt, desto höher fallen die Zinszahlungen aus. Die Dauer der Kapitalüberlassung ist bei beiden Verzinsungsformen in einzelne Zinsperioden unterteilt (z. B. einzelne Jahre bei einem mehrjährigen Banksparplan), an deren Ende jeweils die Zinsen gut geschrieben werden (nachschüssiger Charakter der Verzinsung). Ist die Laufzeit bei einer Verzinsung mit Zinseszinsen nicht in ganzen Jahren angebbar, wird in der Praxis gerne auf gemischte Verzinsung zurückgegriffen (Kapitel B.1.3). Diese Verzinsungsform stellt eine Mischform aus einfacher Verzinsung und Verzinsung mit Zinseszinsen dar. Mit dem Barwertbegriff wird es in der Finanzmathematik möglich, auch zeitlich separierte Zahlungen miteinander zu vergleichen (Kapitel B.1.4). Der Barwert stellt dabei den Wert einer Zahlung zum Zeitpunkt 0 dar. Haben zwei Zahlungen denselben Barwert, gelten sie als äquivalent. Äquivalente Zahlungen müssen nicht identisch sein. Zinsrechnung Einfache Verzinsung Verzinsung mit Zinseszinsen Gemischte Verzinsung Barwertbegriff und Äquivalenzprinzip 47

5 C. Funktionen einer Variablen 2. Elementare Typen von Funktionen einer Variablen Quadratische Funktionen (n = 2) Quadratische Funktionen lassen sich in der Form f(x) = ax 2 + bx + c (a 0) schreiben und ergeben in der grafischen Darstellung Parabeln. Die Lageparameter a, b und c bestimmen dabei die geometrische Lage der Parabel relativ zu den Achsen im Koordinatensystem. Es gilt: a > 0 Parabel ist nach oben geöffnet a < 0 Parabel ist nach unten geöffnet c > 0 Parabel ist nach oben verschoben c < 0 Parabel ist nach unten verschoben a > 0 c > 0 a < 0 c > 0 a > 0 c < 0 a < 0 c < 0 Der Betrag des Parameters a gibt ferner Auskunft über die Öffnungsbreite der Parabel. Für a = 1 spricht man von einer Normalparabel, für a < 1 ist die Parabel breiter, für a > 1 entsprechend enger als die Normalparabel. a > 1 a = 1 a < 1 86

6 D. Differenzialrechnung von Funktionen einer Variablen 1. Differenzieren von Funktionen einer Variablen Eine Funktion f wird allgemein als differenzierbar bezeichnet, wenn f in allen Punkten x 0 des Definitionsbereichs D f differenzierbar ist. Die einzelnen Ableitungswerte in allen Punkten bilden dann eine Ableitungsfunktion f' von f, die das Steigungsverhalten von f global beschreibt. Wenn f steigt bzw. fällt, nimmt f' positive bzw. negative Funktionswerte an. Verläuft f nahezu parallel zur x-achse, liegen die Funktionswerte f'(x) nahe Null. f 0 x f ' 0 x Beispiel Eine lineare Funktion f(x) = mx + b hat eine konstante Ableitungsfunktion: f' (x) = m. Ist m = 0 (d. h. f(x) = b) ergibt sich entsprechend f'(x) = 0, eine konstante Funktion hat also die Ableitung Null. Für f(x) = x 2 ergibt sich f'(x) = 2x. Fast alle in den Wirtschaftswissenschaften verwendeten Funktionen sind differenzierbar, insbesondere Polynome, Exponential-, Wurzel- und Logarithmusfunktionen sowie gebrochen-rationale Funktionen außerhalb der Nullstellen des Nenners. Nicht in allen Punkten differenzierbare Funktionen sind neben der schon diskutierten limitationalen Produktionsfunktion vor allem alle unstetigen Funktionen, vgl. Kapitel C Ableitungsregeln Da sich die Berechnung des Differenzialquotienten schon für einfache Funktionen relativ kompliziert gestalten kann, werden in der Praxis die folgenden Ableitungsregeln verwendet. Die Funktionen f, g, u und v hängen dabei alle von einer Variablen x ab und seien in allen Punkten differenzierbar; n sei eine natürliche Zahl. 112

7 E. Integralrechnung von Funktionen einer Variablen 3. Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung 2. Beispiel: Um das bestimmte Integral 2 x e x2 dx 1 zu berechnen, wird zunächst g(x) = x 2 gesetzt. Das x im Integranden ist bis auf einen Faktor 2 die Ableitung von g. Es gilt dt = d g(x) = g'(x) = 2x, also dx = dt. dx dx 2x Durch den Übergang zur Variablen t kürzt sich der x-faktor in f gerade heraus. Gleichzeitig verschwindet der x 2 -Term im Exponenten, der Integrand wird deutlich einfacher. Insgesamt ergibt sich: 2 g(2) 4 x ex 2 dx = 1 e t dt = 1 e t dt = 1 e t = 1 e 4-1 e 1 = 25, g(1) Beachte, dass g(2) = 2 2 = 4 und g(1) = 1 2 = 1 die neuen Integrationsgrenzen sind. Aufgabe 72 > Seite Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung Eine Anwendung der Integralrechnung in den Wirtschaftswissenschaften ist zum Beispiel die Gewinnung einer Kostenfunktion aus ihrer Grenzkostenfunktion, was bei Kenntnis zumindest eines Funktionswertes der Kostenfunktion möglich ist (Kapitel E.3.1). Besonders in der Volkswirtschaftslehre sind ferner Konsumenten- und Produzentenrenten von Interesse, die die Vorteilhaftigkeit eines Marktgleichgewichts für Nachfrager und Anbieter beschreiben (Kapitel E.3.2 und E.3.3). Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung Ermittlung einer Funktion aus einer gegebenen Grenzfunktion Konsumentenrente Produzentenrente 149

8 G. Lineare Algebra 2. Lineare Gleichungssysteme Die untereinander erbrachten Leistungen der Hilfsbetriebe können mithilfe einer Leistungsmatrix L dargestellt werden, die direkt aus obiger Tabelle hervorgeht: L = Die Nulleinträge auf der Diagonalen zeigen an, dass sich die Hilfsbetriebe nicht selbst Leistungen erbringen können. Werden mit p 1, p 2 und p 3 die gesuchten Verrechungspreise bezeichnet, führt die Gleichung primäre Kosten + sekundäre Kosten = Wert der produzierten Leistungen für die drei Hilfsbetriebe auf folgende Gleichungen: K 1 : p 2 + 2p 3 = 20p 1 K 2 : p 1 + 3p 3 = 40p 2 K 3 : p 1 + 3p 2 = 20p 3 Die erste Gleichung besagt, dass K 1 bei primären Kosten von 24 je zwei Leistungseinheiten von K 2 und K 3 erhalten hat, die jeweils mit den Verrechnungspreisen p 2 und p 3 dieser Hilfsbetriebe multipliziert werden. Insgesamt hat K 1 20 Leistungseinheiten erbracht, die ihrerseits mit dem Verrechnungspreis p 1 von K 1 multipliziert werden müssen, um die Gesamtleistung von K 1 zu erhalten. Mithilfe der Matrix-Vektor-Schreibweise entsprechen diese Gleichungen: p p 2 = p 3 20p 1 40p 2 20p 3 (primäre Kosten + sekundäre Kosten = Wert der produzierten Leistung) Beachte, dass die dabei auftretende Matrix die Transponierte L T von L ist. Werden alle p-abhängigen Größen auf eine Seite gebracht, ergibt sich das lineare Gleichungssystem K 1 : 20p 1-2p 2-2p 3 = 24 K 2 : - p p 2-3p 3 = 103 K 3 : - 2p 1-3p p 3 = 87 bzw

9 Aufgabe 96: Teilbedarfsrechnung ÜBUNGSTEIL (AUFGABEN UND FÄLLE) In einem chemischen Betrieb werden aus drei Rohstoffen R 1, R 2 und R 3 zunächst zwei Zwischenprodukte Z 1 und Z 2 gefertigt, aus denen in einem zweiten Produktionsschritt das Endprodukt X hergestellt wird. Der zugehörige Gozintograph sei: R 1 5 R Z 1 0,2 2 1 X Z 2 R 3 3 Berechnen Sie die zur Produktion von 100 Einheiten des Endprodukts erforderlichen Rohstoffmengen. Lösung s. Seite 277 Aufgabe 97: Innerbetriebliche Leistungsverrechnung In einem Unternehmen mit einem Hauptbetrieb und vier Hilfsbetrieben K 1, K 2, K 3 und K 4 bestehen folgende Leistungsströme unter den Hilfsbetrieben: Empfang durch K 1 Empfang durch K 2 Empfang durch K 3 Empfang durch K 4 Lieferung durch K Lieferung durch K Lieferung durch K Lieferung durch K Daneben sei bekannt, dass K 1, K 2, K 3 und K 4 primäre Kosten von 9, 117, 28 bzw. 51 GE aufweisen und Gesamtleistungen von 20, 40, 20 bzw. 10 LE erbringen. Stellen Sie das zur Bestimmung der Verrechnungspreise erforderliche lineare Gleichungssystem auf und ermitteln Sie die Verrechnungspreise der Hilfsbetriebe. Lösung s. Seite