Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 3rd Lecture / 3. Vorlesung. Dr.-Ing.

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1 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theor I (EFT I) 3rd Lecture / 3. Vorlesung Dr.-Ing. ené Marklein marklein@uni-kassel.de Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 6) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wilhelmshöher llee 7 Büro: aum 23 / 25 D-342 Kassel Universit of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 6) Electromagnetic Field Theor (FG TET) Wilhelmshöher llee 7 Office: oom 23 / 25 D-342 Kassel Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05

2 Different Coordinate Sstems / Verschiedene Koordinatenssteme Cartesian (ectangular) Coordinate Sstem / Kartesisches Koordinatensstem Clindrical Coordinate Sstem / Zlinderkoordinatensstem Spherical Coordinate Sstem / Kugelkoordinatensstem What is the benefit of the Use of a Problem Matched Coordinate Sstems? / Was ist der Nuten der Verwendung eines problemangepassten Koordinatensstemen? (Easier) Solution of the Problem under Concern! / (Einfachere) Lösung des betrachteten Problems? Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 2

3 Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor) Cartesian Coordinate Sstem / Kartesisches Koordinatensstem ( ) + ( ) + ( ) ( e ) + ( e ) + ( e ) e + e + e e e Coordinates / Koordinaten,, ; <,, < Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren Scalar Vector Components / Skalare Vektorkomponenten e, e, e e e e e e e (,,) (,,) (,,) e Vectorial Vector Components / Vektorielle Vektorkomponenten ( ) (,, ) e e ( ) (,, ) e e ( ) (,, ) e e Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 3

4 Field Vector / Feldvektor Cartesian Coordinate Sstem / Kartesisches Koordinatensstem ( ) Coordinates /,, Koordinaten Limits / Grenen < < < < < < e e e e e e Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren e, e, e e e e e e e : Perpendicular / Senkrecht rbitrar Vector Field / Beliebiges Vektorfeld ( ) ( ) + ( ) + ( ) (,, ) e + (,, ) e + (,, ) e Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 4

5 Notation and Field Quantities / Notation und Feldgrößen Vector / Vektor: Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke Dad / Dade: Permittivit Dad / Permittivitätsdade (, t) (, t) + (, t) + (, t) E E E E 3 Vector Components / 3 Vektorkomponenten (, t) (, t) + (, t) + (, t) ε ε ε ε (, t) (, t) (, t) + ε + ε + ε (, t) (, t) (, t) + ε + ε + ε 9 Dadic Components / 9 dadische Komponenten E (,, t, ) e + E (,, t, ) e + E (,, t, ) e ε (, t,,) e e + ε (, t,,) e e + ε (, t,,) e e + ε ( t,,, ) e e + ε (, t,, ) e e + ε ( t,,, ) e e + ε ( t,,, ) e e + ε ( t,,, ) e e + ε ( t,,, ) e e 3 E (,,, t ) i 2 3 i i E (,,, t) e 2 3 i i e ε i 3 3 j ε (,,, t) 2 3 i j i j (,,, t) e e 2 3 i j i j e e with Einstein s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention Einstein s Summation Convention: If a inde appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the inde is automaticall summed over to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Inde auf einer Seite einer Gleichung weimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von bis 3 summiert. Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 5

6 Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor) Clindrical Coordinate Sstem / Zlinderkoordinatensstem ( ) + ( ) + ( ) r r( e ) ( ) + ( e ) ( ) + ( e ) re ( ) + e r r r e r ( ) e Coordinates / Koordinaten r,, ; 0 r<,0 < 2 π, < < Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren Scalar Vector Components / Skalare Vektorkomponenten Vectorial Vector Components / Vektorielle Vektorkomponenten e ( ), e ( ), e r e ( ) e ( ) e e ( ) e ( ) e r r r (, r, ) re r ( ) (, r, ) 0 (, r, ) r ( ) r ( r) er( ) rer( ) ( ) 0 e ( ) ( ) e e Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 6

7 Field Vector / Feldvektor Clindrical Coordinate Sstem / Zlinderkoordinatensstem ( ) Coordinates / Koordinaten Limits / Grenen r,, 0 r < 0 < 2π < < e ( ) e r ( ) r e r e ( ) e Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren e ( ), e ( ), e r e ( ) e ( ) e r e ( ) e ( ) e r : Perpendicular / Senkrecht rbitrar Vector Field / Beliebiges Vektorfeld ( ) r( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) r( r,, ) e + ( r,, ) e + ( r,, ) e r Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 7

8 Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor) Spherical Coordinate Sstem / Kugelkoordinatensstem ( ) + ( ) + ( ) ( e ) (, ) + ( e ) (, ) + ( e ) ( ) e (, ) (, ) e Coordinates / Koordinaten,, ; 0 <,0 π;0 < 2π Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren e, e, e Scalar Vector Components / Skalare Vektorkomponenten (,, ), (,, ), (,, ) Vectorial Vector Components / Vektorielle Vektorkomponenten e e e e e e ( ) (,, ) e(, ) e(, ) ( ) (,, ) e (, ) 0 ( ) (,, ) e ( ) 0 Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 8

9 Field Vector / Feldvektor Spherical Coordinate Sstem / Kugelkoordinatensstem Coordinates /,, Koordinaten Limits / Grenen 0 < π 00 < 2 π e (, ) (, ) e ( ) e (, ) ( ) e Orthonormal Unit Vectors / e Orthonormale Einheitsvektoren (, ), e(, ), e ( ) (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e e e, e, e : Perpendicular / Senkrecht rbitrar Vector Field / Beliebiges Vektorfeld (, t ) ( ) + ( ) + ( ) (,, ) e (, ) + (,, ) e (, ) + (,, ) e ( ) Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 9

10 Coordinates of Different Coordinate Sstems / Koordinaten verschiedenen Koordinatensstemen Transformation Table / Umrechnungstabelle Cartesian Coordinates / Kartesische Koordinaten Clindrical Coordinates / Zlinderkoordinaten Spherical Coordinates / Kugelkoordinaten r cos r sin sin cos sin sin cos r arctan sin cos + + arctan arctan r arctan r Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 0

11 Eamples / Beispiele. Formulate as a function of the clinder and spherical coordinates. / Formuliere als Funktion der Zlinder- und Kugelkoordinaten. rcos sin cos 2. Formulate r as a function of the Cartesian and spherical coordinates. / Formuliere r als Funktion der Kartesischen und Kugelkoordinaten. 2 2 r + sin 3. Formulate as a function of the clinder coordinates. / Formuliere als Funktion der Zlinderkoordinaten ( rcos ) + ( rsin ) r cos + sin r Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05

12 Scalar Vector Components in Different Coordinate Sstems / Skalare Vektorkomponenten in verschiedenen Koordinatensstemen Transformation Table / Umrechnungstabelle Cartesian Coordinates / Kartesische Koordinaten Clindrical Coordinates / Zlinderkoordinaten Spherical Coordinates / Kugelkoordinaten e + e + e rer + e + e e + e + e cos sin r r sin + cos sin cos + cos cos sin sin sin + cos sin + cos cos sin cos + sin sin + cos r sin + cos cos sin sin cos + sin sin + cos cos cos + cos sin sin sin + cos rsin + cos cos sin r Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 2

13 Eample: Coordinate Transformation of the Position Vector / Beispiel: Koordinatentransformation des Ortsvektor Position Vector in the Cartesian Coordinate Sstem / Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensstem e + e + e ( ) ( ),,,, (,, ) Transformation of the Coordinates / Transformation der Koordinaten Position Vector in the Cartesian Coordinate Sstem as a Function of Clinder Coordinates / (, r, ) (, r, ) rcos (, r, ) (, r, ) rsin (, r, ) (, r, ) Transformation of the Scalar Vector Components / Transformation der skalaren Vektorkomponenten r(, r,,,, ) cos + sin (, r,,,, ) sin + cos (, r,,,, ) Position Vector in the Clinder Coordinate Sstem / Ortsvektor im Zlinderkoordinatensstem (, r,,,, ) r (,, ) ( ) (,, ) ( ) (,, ) r e + r e + r e r r Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensstem als Funktion der Zlinderkoordinaten rcos e + rsin e + e ( r,, ) ( r,, ) ( r,, )? rcos cos + rsin sin r 2 2 r(cos + sin ) r rcos sin + rsin cos 0 Position Vector in the Clinder Coordinate Sstem / Ortsvektor in dem Zlinderkoordinatensstem r e ( ) + e r r Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 3

14 Farada s Induction Law in Integral Form / Faradasches Induktionsgeset in Integralform () Farada s Induction Law / Faradasches Induktionsgeset d E (, t) id B (, t) ids J m (, t) ids d t C() t S() t S() t S() t Time Dependent Surface / Zeitabhängige Fläche St () Ct () St () Time Dependent Contour / Zeitabhängige Kontur Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 4

15 Farada s Induction Law in Integral Form / Faradasches Induktionsgeset in Integralform (2) Farada s Induction Law / Faradasches Induktionsgeset d E (, t ) id B (, t ) ids J (, t ) ids d C() t S() t S() t S() t t m id [] Ct () St () [m] Closed Contour Integral / Geschlossenes Kurvenintegral (, ) Et [V/m] Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke d [m] Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentielles Linienelement E (, t ) i d [V] Scalar Product of E and d tangential projection of E onto d / Skalarprodukt von E auf d Tangentialprojektion von E auf d Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentielles Linienelement d s d Tangential Unit Vector / Tangentialer Einheitsvektor Scalar Differential Line Element / Skalares differentielles Linienelement Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 5

16 Different Products / Verschiedene Produkte Scalar Product / Skalarprodukt C i B Vector Product / Vektorprodukt C B Dadic Product / Dadisches Produkt C B Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 6

17 Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) () i B B cos (, B) B cos φ B φ B Enclosed ngle / Eingeschlossener Winkel φ B cos B φ φ B cos B B φ B ib Bi B cos B cos φ φ B B cos φ B i B B ( ) ( ) cos φb c os φb φ B i B arccos B Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 7

18 Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (2) ib ( e + e + e ) i( B e + B e + B e ) B e ie + B e ie + B e ie B e ie + B e ie + B e ie 0 0 B e ie + B e ie + B e ie 0 0 B + B + B ib ( e + e + e ) i( B e + B e + B e ) B + B + B ( e + e + e ) i ( B e + B e + B e ) i B + B + B B i i Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren 0 0 e e e 0 0 Cartesian Coordinates / Kartesische Koordinaten Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 8

19 Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (3) ib ( e + e + e ) i( B e + B e + B e ) 3 3 i j 3 3 i j 3 3 i j B e i B e i i j j e i B e i j i j i i j j B i j i j δ ij δ B or/oder i δ j ij δ i ij B j B i j j B B i i ij Kronecker Delta / Kronecker-Delta δ ij 0 i j i j with Einstein s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention Einstein s Summation Convention: If a inde appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the inde is automaticall summed over to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Inde auf einer Seite einer Gleichung weimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von bis 3 summiert. Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 9

20 Magnitude of a Vector / Betrag eines Vektors i i ( e + e + e ) i ( e + e + e ) + + e ie e ie e ie e ie + e ie + e ie e ie + e ie + e ie i j 2 i i j j i i j j i j i j i e i B e e i e δ ij Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 20

21 Eample: Position Vector and Electric Field Strength Vector / Beispiel: Ortsvektor und elektrischer Feldstärkevektor Cartesian Coordinate Sstem / Kartesisches Koordinatensstem Position Vector / Ortsvektor Electric Field Strength Vector / Elektrische Feldstärkevektor (,,) (,,) e + (,,) e + (,,) e e + e + e E (, t) E(,,, t) E (,,, t) e + E (,,, t) e + E (,,, t) e Magnitude of the Position Vector (Distance) / Betrag des Ortsvektor (bstand) Magnitude of the Electric Field Strength Vector (Strength) / Betrag des elektrische Feldstärkevektors (Stärke) (,, ) (,, ) i (,, ) ( e e e) i ( e e e) E(,,) E(,,) i E(,,) ( Ee Ee Ee) i ( Ee Ee Ee) E + E + E Position Unit Vector (Direction) / Ortseinheitsvektor (ichtung) Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Elektrische Feldstärkeeinheitsvektor (ichtung) ˆ (,,) (,,) (,,) e + e + e ˆ E (,,) E (,,) E (,,) E e + E e + E e E E E Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 2

22 End of Lecture 3 / Ende der 3. Vorlesung Dr.-Ing.. Marklein - EFT I - SS 05 22