Übephasen produktiv gestalten

Transkript

1 Institut für Mathematische Bildung Freiburg Übephasen produktiv gestalten Prof. Dr. Lars Holzäpfel René Schelldorfer Norbert Hungerbuehler Zürich 5. November 2012

2 Programm für den Teil I: Einführung: Produktives Üben Teil II: Techniken zur Weiterentwicklung von Aufgaben Teil III: Workshop: Selbst Aufgaben verändern

3 Programm für den Teil I: Austausch der Erfahrungen im Unterricht Teil II: Gemeinsame Weiterentwicklung (Optimierung) der Aufgaben Teil III: Unterrichtspraktische Überlegungen & Implementierung weiterdenken

4 Ein Blick ins Klassenzimmer Oh je, das kapier ich nie! Mathe ist doof! Ich hab keinen Bock! Wie langweilig wann kommt endlich was Neues?!

5 sinnstiftend Den Sinn der Übung transparent machen: Was kann man durch diese Übung besser verstehen? entdeckungsoffen Eigene Wege gehen, mathematisch tätig sein, Entdeckungen machen (d.h. keine eng geführte Abarbeitung). produktive Aufgaben (sollen alle Schüler erreichen) reflexiv Anregung zum Nachdenken über den Übungsgegenstand bzw. die Tätigkeit. selbstdifferenzierend Aufgabenstellung muss ermöglichen, dass Schüler auf ihrem jeweiligen Niveau arbeiten können.

6 Beispiele a) Finde 1 Lösung! b) Finde mehrere Lösungen! c) Finde alle Lösungen!

7 Beispiele Finde eine Additionsaufgabe mit dem Ergebnis 2/3! + = 2 3 a) Verwende gleiche Summanden! b) Verwende verschiedene Summanden! c) Finde verschiedene Möglichkeiten! d) Finde verschiedene Möglichkeiten, ohne zu erweitern! e) Zeichne ein Bild dazu!

8 Zahlenmauern Welche Tätigkeiten werden von den Schülern bei der Bearbeitung dieser Aufgabe ausgeübt?

9 Zahlenmauer Welche Tätigkeiten werden von den Schülern bei der Bearbeitung dieser Aufgabe ausgeübt? Verwende möglichst viele ungerade Zahlen Verwende möglichst viele Primzahlen Verwende möglichst viele Quadratzahlen

10 Zahlenmauern Erfinden Sie selbst eine Zahlenmauer-Aufgabe! - Dezimalzahlen - Variablen - Maßeinheiten -

11 Folie: W. Herget Die Schülerinnen und Schüler beschreiben das allgemeine Muster unterschiedlich: Wie geht es weiter? Beschreiben Sie das Muster allgemein. [A] (n 1) [B] n [C] (n + 2) 2 n 2 [D] 2 (n + 2) + 2 n [E] (n + 1) 4 Welche Vorstellungen und Ideen können sich hinter diesen Termen jeweils verbergen? Gregor Wieland: Terme bauen mathematik lehren 136 / Juni 2006

12 Weitere Beispiele Entdeckungen machen und dabei üben, Mittelsenkrechten zu konstruieren Quelle: Aus: Schütte, S. Die Matheprofis 4, S. 34 (Oldenbourg)

13 Unterschiede in den Aufgaben Aufgabe Fertigkeitstraining Bearbeitung vieler Aufgaben pro Zeiteinheit Kompetenz: Operationen sicher durchführen, verschiedene Schwierigkeitsstufen Einzelne Aufgaben stehen in keinem Zusammenhang Entdeckungsaufgabe Bearbeitung weniger Aufgaben pro Zeiteinheit ( Jetzt haben wir ja nur 1 Aufgabe in der Stunde gemacht! ) Kompetenz(en): Operationen sicher durchführen, mathematische Strukturen erkennen und nutzen, argumentieren Einzelne Aufgaben stehen in Beziehung zueinander; Strukturen können erkannt und genutzt werden

14 Aufgaben systematisch (weiter-) entwickeln

15 Aufgaben entwickeln I. Zielklärung Was möchte ich üben? Was möchte ich entdecken lassen? II. Aufgaben konstruieren III. Prüfen Vorhandene Aufgaben modifizieren Neue Aufgaben konstruieren Wird die gewünschte Zieltätigkeit tatsächlich ausgeführt? Kann diese auch beobachtet, beschrieben, bewertet und begleitet werden?

16 Schritt I: Zielklärung Welche Tätigkeit soll geübt werden? Wiedergeben von Wissen? Ausführen von Verfahren? Anwenden von Begriffen? Herstellen von Beziehungen? Einbeziehen von Materialen? Wechsel in verschiedene Repräsentationsformen?..

17 Schritt II: Konstruieren & Variieren Techniken für verschiedene Aufgabentypen, z.b.: robleme lösen trukturen reflektieren eflexionsanregende Fragen stellen

18 Beispiel Körperberechnung Berechne das Volumen des Quaders! Ausgangspunkt: Schulbuch a) a = 4cm, b = 5cm, c = 10cm b) a = 15cm, b = 25cm, c = 3cm c) a = 4,5cm, b = 5,1cm, c = 19cm d) a = 4cm, b = 5cm, c = 10cm Neu: a) a = 2cm, b = 3cm, c = 4cm b) a = 3cm, b = 4cm, c = 5cm c) a = 4cm, b = 5cm, c = 6cm d) a = 5cm, b = 6cm, c = 7cm

19 Beispiel Körperberechnung Berechne das Volumen des Quaders! Ausgangspunkt: Schulbuch a) a = 4cm, b = 5cm, c = 10cm b) a = 15cm, b = 25cm, c = 3cm c) a = 4,5cm, b = 5,1cm, c = 19cm d) a = 4cm, b = 5cm, c = 10cm NEU: Ein Quader hat ein Volumen von 24 cm³. Welche Kantenlängen könnte er haben? Finde mehrere Lösungen!

20 Beispiel Körperberechnung Mit welcher Anzahl von Würfeln kannst du verschiedene Quader legen, mit welcher nicht? Mit Materialeinbindung

21 Differenzierender Arbeitsauftrag Finde eine Lösung Finde mehrere Lösungen Finde alle Lösungen Wie kannst du dir sicher sein, dass du alle Lösungen gefunden hast?

22 Operatives Durcharbeiten Wann kommt heraus? Wann ist am größten / kleinsten / besten? Was passiert, wenn? Wie viele Möglichkeiten gibt es,? Wie lauten sie,? Finde drei verschiedene Quader, deren Volumen 24cm³ ist. Finde drei verschiedene Quader, deren Oberfläche 120cm² beträgt. Wann ist das Verhältnis zwischen Oberfläche und Volumen am kleinsten/am größten? In der Anwendung: Wann benötigt man am wenigsten/am meisten Verpackungsmaterial? Wie verändert sich das Volumen, wenn man alle Kantenlängen des Quaders halbiert [verdoppelt]? Wie verändert sich das Volumen des Quaders, wenn man die Oberfläche verdoppelt (und dabei die Proportionen beibehält)? Wie viele Möglichkeiten gibt es, mit 24 Würfeln einen Quader zu legen? Mit welcher Anzahl von Würfeln kannst du viele, mit welcher wenige verschiedene Quader legen?

23 (2) x 2 2x 1 (3) 2x 2 + 8x (4) x 2 20x (6) x x x (7) 4x 2 64 (8) x x mathewerkstatt 8, Cornelsen, Berlin b) Beschreibe, worin sich die Aufgaben in einer Gruppe jeweils ähneln. c) Tauscht eure Zettel aus und vergleicht die Gruppen, die ihr gebildet habt. Überprüfe mit Umformungen, ob wirklich alle Aufgaben je zu einer Gruppe gehören. 4 Binomische Formeln (in selbstdifferenzierender Aufgabe Probleme lösen ) x 2 + x + = ( x + ) 2 Welche Zahlen passen in die Kästchen? Suche zu jeder der folgenden Teilaufgaben möglichst viele verschiedene Lösungen: a) irgendwelche Zahlen b) nur gerade Zahlen c) nur ungerade Zahlen d) nur Quadratzahlen d) nur negative Zahlen Abb. 8

24 Zeichne verschiedene Figuren mit dem Flächeninhalt 1cm². Schülerlösung Klasse 5, Realschule

25 S Strukturen reflektieren

26 Beispiel Mittelwert Vorher (Schulbuchaufgabe) S

27 Beispiel Mittelwert Muster erkennen S

28 Vertiefen... als selbstdifferenzierendes Training S

29 Beispiel Mittelwert Aufgaben produktiv gestalten und damit vielfältigere Zugänge ermöglichen S Die durchschnittliche Körpergröße der Klasse 8a beträgt 158cm (und Modalwert beträgt 145cm; der Median 155cm). Finde Möglichkeiten, wie die Verteilung der Körpergrößen der 30 Schülerinnen und Schüler aussehen könnte!

30 Binomische Formeln: Muster erkennen 2 Binomische Formeln (in selbstdifferenzierender Aufgabe M uster erkunden ) S a) Wie geht es weiter? Rechne und setzte die Päckchen fort. (1) (x + 3) = x 2 + 6x + 11 (x + 2) = (x + 1) = (2) (x + 1)(x + 3) = x 2 + 4x + 3 (x + 1)(x + 2) = (x + 1)(x + 1) = b) Hinter diesen Päckchen stecken immer Muster. Welche Muster kannst du erkennen? Versuche deine Vermutungen zu begründen. c) Erfindet selbst Päckchen mit ähnlichem Muster und stellt sie euch gegenseitig als Aufgaben. 3 a) Binomische Formeln (in selbstdifferenzierender Aufgabe Beispiele ordnen ) Ordne die Aufgaben. Überlege dazu, welche Aufgaben sich zu Gruppen zusammenfassen lassen.

31 Muster erkennen und erzeugen S Welche Muster kannst du entdecken? Wie lässt sich das Muster fortsetzen? Wie lauten ähnliche Aufgaben? (Warum sind sie ähnlich?) Bilde die Durchschnitte der folgenden Datenreihen 10,11,12,13,14 11,12,13,14,15 Welche Besonderheiten oder Zusammenhänge kannst du erkennen? Kannst du deine Beobachtungen begründen? Bilde die Mittelwerte der folgenden Datenreihen 1,3 1,3,5 1,3,5,7 Setze die Reihe fort und berechne die Durchschnitte. Erfinde eigene, ähnliche Reihen und berechne sie. Bilde die Durchschnitte der folgenden Datenreihen: 3, 4, 7, 8 5, 6, 10, 11 12, 13, 21, 22 Was haben die Aufgaben gemeinsam? Bilde eigene weitere!

32 Grad der Strukturierung S Unstrukturiertes Üben Strukturiertes Üben Idee: Lösung der einzelnen Aufgabe trägt zum Erkennen der übergeordneten Struktur bei Wittmann/Müller (1992). Handbuch produktiver Rechenübungen. Band 2. Klett. S. 179.

33 R Reflexionsanregende Fragen stellen Denke über nach und übe dabei

34 Brüche R a) b) = = = = = = = = Sortiere die Aufgaben nach der Größe der Ergebnisse

35 b) Hinter diesen Päckchen stecken immer Muster. Welche Muster kannst du erkennen? Versuche deine Vermutungen zu begründen. c) Erfindet selbst Päckchen mit ähnlichem Muster und stellt sie euch gegenseitig als Aufgaben. 3 Binomische Formeln Binomische Formeln (in selbstdifferenzierender Aufgabe Beispiele ordnen ) a) Ordne die Aufgaben. Überlege dazu, welche Aufgaben sich zu Gruppen zusammenfassen lassen. (1) x 2 + 3x 10 (2) x 2 2x 1 (3) 2x 2 + 8x (4) x 2 20x (5) x 2 25 (6) x x x (7) 4x 2 64 (8) x x b) Beschreibe, worin sich die Aufgaben in einer Gruppe jeweils ähneln. c) Tauscht eure Zettel aus und vergleicht die Gruppen, die ihr gebildet habt. Überprüfe mit Umformungen, ob wirklich alle Aufgaben je zu einer Gruppe gehören. 4 Binomische Formeln (in selbstdifferenzierender Aufgabe Probleme lösen ) x 2 + x + = ( x + ) 2 Welche Zahlen passen in die Kästchen? Suche zu jeder der folgenden Teilaufgaben

36 Schätze zuerst: Welches Ergebnis ist am größten? Welches Ergebnis liegt am nächsten an 10000? Ordne die Aufgaben zuerst in Gruppen, die ähnlich zu lösen sind. Passt deine Einteilung? Bilde zu jeder Aufgabe eine eigene ähnliche. Welche Aufgaben sind für dich die drei schwierigsten/leichtesten? Warum?

37 R Wie könnte hier eine reflexionsanregende Frage lauten?

38 Schritt III: Prüffragen an Aufgaben Kann die Aufgabe dazu beitragen.. Erfahrenes und Gelerntes zu verstehen, zu vernetzen, in vorheriges Wissen einzubetten?. Relevantes Wissen systematisch aufzuarbeiten?. Motivation zum Gegenstand, zum Lernen und für das Fach zu fördern?. Kommunikation über das Gelernte zu ermöglichen?. sich über sein eigenes Lernen klar zu werden?

39 Arbeitsauftrag I. Formulieren Sie Ziele Was genau sollen die Schüler/innen üben? Orientierung an Kompetenzen II. Entwickeln Sie eine produktive Aufgabe Mithilfe einer der vorgeschlagenen Techniken (Sie können dazu das Schulbuch nutzen) diese Aufgabe sollten Sie in der nächsten Stunde einsetzen können! III. Bilden Sie eine 3er-Gruppe und stellen sich gegenseitig die formulierten Ziele und die Aufgaben vor. IV. Diskutieren Sie über ihre Ziele und Aufgaben und modifizieren Sie diese gegebenenfalls. V. Stellen Sie eine Aufgabe vor alleine! gemeinsam!

40 Erprobung im Unterricht Erproben Sie mehrere Aufgaben im Unterricht! Schülerprodukte sammeln und auswerten Welche Unterrichtsmethoden wählen Sie?

41 Wir wünschen Ihnen viel Erfolg im Unterricht! Prof. Dr. Lars Holzäpfel Pädagogische Hochschule Freiburg Kunzenweg 21 D Freiburg

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43 Wo findet man solche Aufgaben? Sinnstiftende Kontexte Wozu ist das gut? Genetisches Lernen Wo kommt das her? Verstehensorientierung Was bedeutet das? Aktivierung, Eigentätigkeit Was kann ich damit tun?

44 Holzäpfel & Renkl (2010): In der Gruppe arbeiten (lassen) Phänomene bei der Gruppenarbeit und Gestaltungsideen. In: PM 35, Ein paar Worte zur Gruppenarbeit Phänomene, die häufig auftreten Was-sollen-wir-denn-jetzt-tun -Phänomen Der-Hans-der-machts-dann-eh -Phänomen Da-mach-ichs-doch-gleich-lieber-selbst -Phänomen Ja-bin-ich-denn-der-Depp -Phänomen Kann-und-mag-ich-nicht-mach-du -Phänomen Ich-habe-meinen-Teil-erledigt -Phänomen Gruppenarbeit-nein-danke -Phänomen