Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Transkript

1 Lüneburg, Fragment Potenzen mit ganzzahligen Exponenten -E

2 -E2

3 Was sollen wir kennen? die Eigenschaften von Exponenten, die Wissenschaftliche Notation der reellen Zahlen, die Potenzenregeln. -E3

4 Wozu sind Potenzen gut? Reelle Zahlen und algebraische Ausdrücke werden oft mit Exponenten geschrieben. In diesem Teil wird gezeigt: wie man physikalische Größen wie zum Beispiel die Massse der Erde M Erde kg oder die Elektronenmasse me kg, in kompakter Form schreiben kann, d.h. in der Form: a 0 m, < a < 0, wobei m eine ganze Zahl ist. welche Regeln man anwenden kann, um mit solchen Zahlen zu rechnen. -E4

5 Potenzen als Instrumente zur Vereinfachung mathematischer Ausdrücke Mathematik kann sehr kompliziert sein, aber sie hält immer Instrumente bereit, um komplizierte Ausdrücke zu vereinfachen. Eines dieser Instrumente ist die Potenzschreibweise. Denn eine Potenz ist nichts anderes als eine Kurzschreibweise für eine bestimmte Multiplikation. Zum Beispiel kann eine wiederholte Multiplikation in Exponentialform geschrieben werden. Wiederholte Multiplikation: b b b b b4 (5 x ) (5 x) (5 x ) (5 x) Exponentialform: ( 3) 5 ( ) 6 2

6 Begriffserklärung Definition: Das Produkt von n gleichen Faktoren b heißt n-te Potenz von a bn = b b b... b, n ℕ { 0, }, b ℝ n Mal b heißt Basis, n heißt Exponent. Den Rechenvorgang, eine Basis b in eine Potenz zu erheben, nennt man Potenzieren. Beim Potenzieren besteht die Aufgabe darin, aus einer gegebenen Basis b und einem gegebenen Exponenten n den Potenzwert p = bn zu berechnen. Beispiele: 3 2 = 2 2 2, 6 5 = , 0 3 = = 000, -2a () 7 4 = = =

7 n-te Potenz Abb. -: Illustration zur n-ten Potenz -2b

8 Potenzen von 0, wissenschaftliche Notation Potenzen von 0 sind sehr praktisch, um große und kleine Zahlen aufzuschreiben und mit ihnen weiterzurechnen. Anstelle von Zahlen mit vielen Nullen, wie zum Beipiel , schreiben wir = = = Die Darstellung der Zahl als Produkt von.9 und der fünften Potenz von 0 nennt man wissenschaftliche Notation oder wissenschaftliche Schreibweise der Zahl In wissenschaftlicher Notation hat eine Zahl die Form a 0 m, 2- < a < 0, m ℤ.

9 Physikalische Größen in wissenschaftlischer Notation: Beispiel M Erde = kg Abb. -2: Die Erde ( Die Masse der Erde ist: M Erde = = = kg 2-2a 24 mal

10 Physikalische Größen in wissenschaftlischer Notation: Beispiel 2 M Saturn = kg Abb. -3: Der Saturn ( Die Masse des Saturn, des zweitgrößten Planeten des Sonnensystems, ist mehr als 95 mal so groß als die der Erde: M Saturn = 2-2b = kg 95.5 M Erde

11 Physikalische Größen in wissenschaftlischer Notation: Beispiel 3 Abb. -4: Saturn und Erde ( Die Distanz zwischen Erde und Saturn: 2-2c d.43 Milliarden km = km = km

12 Physikalische Größen in wissenschaftlischer Notation: Beispiel 4 d = km Abb. -5: Das Sonnensystem ( Die durchschnittliche Entfernung d von der Erde zur Sonne beträgt ungefähr 50 Millionen Kilometer: d 50 Millionen km = km = km 2-2d

13 Wissenschaftliche Scientific notation Notation: or standard Aufgaben form-4 Aufgabe : Schreiben Sie folgende Zahlen in wissenschaftlicher Notation: a ) , b ) c ) , d ) Aufgabe 2: Ein Jahr hat Stunden oder Minuten. Schreiben Sie diese Zahlen in wissenschaftlicher Notation. Aufgabe 3: Ein asiatischer Elephant in Hagenbecks Tierpark in Hamburg wiegt kg. Schreiben Sie diese Zahlen in wissenschaftlicher Notation. Aufgabe 4: Ein Blauwal wiegt 70 Tonen und ist 27 Meter lang. Schreiben Sie das Gewicht in kg und die Länge in cm in wissenschaftlicher Notation. 2-3a

14 Wissenschaftliche Scientific notation Notation: or standard Aufgaben form5-7 Aufgabe 5: Schreiben Sie die Sonnenmasse in wissenschaftlicher Notation: M Sonne = kg Aufgabe 6: Ein Lichtjahr, etwa 9,5 Billionen Kilometer ist die Strecke, die eine elektromagnetische Welle wie das Licht in einem Jahr im Vakuum zurücklegt. Schreiben Sie diese Strecke in wissenschaftlicher Notation. Aufgabe 7: 2-3b Spinosaurus ist ein Dinosaurier, der vor etwa 94 bis 3 Millionen Jahren lebte. Schreiben Sie diese Zeitspanne in wissenschaftlicher Notation.

15 Wissenschaftliche Scientific notation Notation: or standard Lösungen form, 2 Lösung : a ) = b ) =.43 0 c ) = d ) = Lösung 2: = h = min 2-4a

16 Wissenschaftliche Scientific notationnotation: or standard Lösung form3 Abb. -6: Ein Elephant in Hagenbecks Tierpark, Hamburg Das Gewicht eines asiatischen Elephanten in Hagenbecks Tierpark: 5400 kg = kg = 5.4 t t =.000 kg 2-4b

17 Wissenschaftliche Scientific notationnotation: or standard Lösung form4 Abb. -7: Blauwal ( ) Gewicht und Länge eines Blauwals sind etwa 70 Tonnen und 27 Meter: 70 t = = = kg 2-4c 27 m = = cm

18 Wissenschaftliche Scientific notation Notation: or standard Lösungen form5, 6 Abb. -8: Sonne und Erde Lösung 5: M Sonne = kg = kg Lösung 6: 2-4d m = m

19 Wissenschaftliche Scientific notationnotation: or standard Lösung form7 Abb. -9: Spinosaurus 3 Millionen Jahre = = Jahre 94 Millionen Jahre = = Jahre 2-4e

20 Scientific Wissenschaftliche notation Notation: or standard Beispiel form Beispiel: Schreiben Sie das Produkt als Dezimalzahl. Lösung: Zuerst schreiben wir die Zahl zehn hoch 4 in Form einer vierfachen Multiplikation, dann als Zahl mit vier Nullen, also. Dann multiplizieren wir mit 0 000: = ( ) = = Wir schieben das Komma um 4 Stellen nach rechts: a

21 Wissenschaftliche Scientific notation Notation: or standard Aufgaben form8, 9 Aufgabe 8: Schreiben Sie die Produkte als Dezimalzahlen. a ) , b ) c ) , d ) Aufgabe 9: Schreiben Sie die Zahlen in wissenschaftlicher Notation a ) 37, 2-5b b) 48, c) 84, d ) 5.

22 Wissenschaftliche Scientific notation Notation: or standard Lösungen form8, 9 Lösung 8: a ) b ) c ) = d ) = Lösung 9: a ) 3 7 = 287 = b ) 4 8 = = c ) 8 4 = 4096 = d ) 5 = 6 05 = c

23 2-5d

24 Begriffserklärung Die Definition einer Potenz hat zunächst nur dann Sinn, wenn n eine natürliche Zahl mit n > ist. Um Potenzen mit Exponenten beliebiger natürlicher Zahlen, also auch mit n = 0, bilden zu können, wird die Potenzdefinition durch b = b, b ℝ und 0n = 0 n 0, n = für alle zulässigen Werte des Exponenten n erweitert. 3-

25 Potenzen Potenzen von negativen Zahlen mit geraden Exponenten sind positiv, mit ungeraden Exponenten negativ. ( b) 2 n = b 2 n, ( b) 2 n + = b 2 n + Die Spezialfälle der Formeln 2 n =, 2 n = werden häufig benutzt. 4 = = 5 = = 3-2

26 Potenzen Es besteht ein Unterschied zwischen ( b) n und bn, b > 0 Hier ist die Reihenfolge der Rechenoperation zu beachten! Im ersten Fall soll die negative Zahl b potenziert werden. Das Ergebnis wird positiv oder negativ, je nachdem der Exponent eine gerade oder ungerade Zahl ist. Im zweiten Fall wird b zuerst potenziert und dann mit multipliziert. 2 2 = 2 2 = 4, 2 2 = 4 Basis und Exponent einer Potenz dürfen nicht miteinander vertauscht werden bn nb 3-3

27 Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten Die ursprüngliche Definition des Potenzbegriffs ist nur für ganzzahlige positive Exponenten gemeint, denn eine Zahl b kann wohl 3 mal, aber nicht (-3) mal als Faktor in einem Produkt auftreten. Es erweist sich jedoch für viele Probleme als nützlich, neben den Potenzen mit Exponent Null auch Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten zuzulassen. Definition: Für jede reelle Zahl b und eine natürliche Zahl n gilt b 0 =, b n =, n b bn = b n, b 0 Beispiele: 0 3 = = 4- = 3 = = = 5 =

28 Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten Niels Bohr und sein Atommodel Das Elektron ist ein negativ geladenes Elementarteilchen mit der Masse m e = kg. 3 Dezimalstellen 4-2

29 Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten Illustration zur Alphastrahlung oder α-strahlung. Alpha-Teilchen, bezeichnet als α, sind ziemlich schwere, positiv geladene Teilchen, die von gewissen radioaktiven Atomen ausgesandt werden. Sie bestehen aus zwei Protonen und zwei Neutronen. Die Masse eines AlphaTeilchen ist m = kg. 27 Dezimalstellen 4-3

30 Wissenschaftliche Scientific notation Notation: or standard Aufgaben form 0, Darstellung einer Zahl, kleiner als, in wissenschaftlicher Notation: = Aufgabe 0: Schreiben Sie die Zahlen in wissenschaftlicher Notation: a ) b ) c ) Aufgabe : Schreiben Sie die Masse eines Elektrons in wissenschaftlicher Notation: m e = g 28 Dezimalstellen 4-4a

31 Wissenschaftliche Scientific notation Notation: or standard Lösungen form 0, Lösung 0: a ) = b ) = c ) = Lösung : m e = g = g 28 Dezimalstellen 4-4b

32 Scientific Wissenschaftliche notation Notation: or standard Beispiel form Beispiel: Schreiben Sie das Product als Dezimalzahl. Lösung: Dieses Produkt kann man in folgender Form schreiben: ( = ) = = Wir schieben das um Komma 3 Stellen nach links: a

33 Wissenschaftliche Scientific notation Notation: or standard Aufgaben form 2, 3 Aufgabe 2: Schreiben Sie die Produkte als Dezimalzahl: a ) , b ) c ) , d ) e ) , f ) Aufgabe 3: Schreiben Sie die Zahlen in wissenschaftlicher Notation a 0 n, a 0, n ℤ 4-5b a ) , b ) , c ) , d )

34 Wissenschaftliche Scientific notation Notation: or standard Lösungen form 2, 3 Lösung 2: a ) = b ) = c ) = d ) = e ) = = f ) = Lösung 3: a ) = b ) = c ) = d ) = c

35 Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten: Aufgaben 4-6 Aufgabe 4: Bestimmen Sie den Wert a ) 0.5 2, b ) , c ) Aufgabe 5: Bestimmen Sie c a ) c = , 2 b ) c = Aufgabe 6: Bestimmen Sie den Wert der algebraischen Ausdrücke 30, 4-6a a0, a b 0, a0 b0, a 0 a b 0 c 0

36 Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten: Lösung 4 Die Rechnung wird viel einfacher, wenn man den Dezimalbruch in Form eines echten Bruches darstellt 4-6b a ) b ) c ) (0.2) 3 = 2 2 = 4 4 = ( ) 3 5 = = 2 2 = 4 = 4 = ( 5 ) 3 = 4 4 = = 5 3 = 25

37 Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten: Lösungen 5, 6 Lösung 5: a ) 7 0 =, 2 2 = 4, c = b ) 0 2 = 0, 2 = = 4 3 = =, 4 2 = 6, 2 2 = c = = 0 6 Lösung 6: 3 0 =, a 0 =, a 0 + b 0 = + = 2, 4-6c = 4 22 = (a b) 0 = a 0 + (a b) 0 + c 0 = + + = 3

38 4-7a

39 4-7b