10 Funktionen Notation. Mathematik 1. Klasse Ivo Blöchliger. Funktionen. Definition 16

Transkript

1 Mathematik. Klasse Funktionen Deinition 6 Funktion Eine Funktion ordnet jedem Element einer Deinitionsmenge genau ein Element einer Wertemenge zu. Funktion oder nicht? Zuordnung von Schuhmodellen eines Versandhauses zu Preisen. Zuordnung von Noten zu Schülern einer Klasse. Zuordnung von natürlichen Zahlen zu deren Quadratzahlen. Zuordnung der Zeit zur Position eines Smartphones. Zuordnung eines Facebook-Proils zu dessen Friends. Zuordnung der Schüler einer Klasse zu deren Lieblingsarbe. In der Mathematik interessieren wir uns in erster Linie ür Funktionen, die Zahlen wieder Zahlen zuordnen. Insbesondere solche, die durch eine Formel beschrieben werden können.. Notation wobei : D W () der Name der Funktion ist (normalerweise ein beliebiger Kleinbuchstabe) D ist die Deinitionsmenge W ist die Wertemenge ist das Argument, wobei aus D kommt. Die Wahl des Buchstabens ist irrelevant. () ist der Wert von an der Stelle. () ist ein Element von W. Funktionen können ot auch als «Maschinen» augeasst werden, die aus einer Zahl eine andere berechnen. Beispiele: a : R R + 5 m : R R r r s : R R t t Diese Funktionen können auch abgekürzt wie olgt geschrieben werden: a() = + 5 m(r) = r s(t) = t q : R R + v v q(v) = v Es wird dabei die jeweils grösst mögliche Deinitionsmenge angenommen (alls möglich R). Die Funktion a ist die «Maschine», die eine Zahl als Eingabe bekommt (auch Argument genannt), dann 5 dazu zählt und das Resultat als Ausgabe (auch Wert genannt) produziert. Entsprechend multipliziert m mit, s bildet den Kehrwert und q quadriert. Berechnen Sie: a) a() = b) m(7) = s(5) = d) q( ) = a ( ) ( ) ( ) e) = ) m = g) s = h) a( ) = 4 i) m(u + v) = j) q(c + d) = k) a(m(4)) = l) m(a(4)) = m) q(m(s(.5))) = n) a(s(q( 7))) = 9. Mai

2 Mathematik. Klasse. Spezielle Funktionen In der Mathematik gibt es viele wichtige Funktionen. Einige davon kennen Sie bereits... Wurzel- und Betragsunktion Die Wurzelunktion ordnet jedem positiven reellen Argument diejenige positive reelle Zahl zu, die quadriert das Argument ergibt: : R + R + Beachten Sie: Für negative Zahlen ist die Wurzelunktion nicht deiniert. Die Wurzelunktion lieert immer positive Zahlen (oder Null). Die Gleichung = hat zwei Lösungen, nämlich + und. Die Wurzelunktion lieert, wie alle Funktionen, jedoch nur einen Wert, nämlich eine positive Zahl. Die Betragsunktion kann wie olgt deiniert werden: : R R + { wenn = sonst Überprüen Sie die Deinition, indem Sie positive und negative Zahlen ür einsetzen. Augabe 66 Erklären Sie, warum = ür alle R.. Nutzen von Funktionen Mit Funktionen können z.b. phsikalische Abläue beschrieben werden, wie z.b. die z-koordinate (in m) und Geschwindigkeit v (in m/s) eines Massepunktes im reien Fall bei Vernachlässigung der Lutreibung. Das Argument t ist die Zeit (in Sekunden): z(t) = gt wobei g = 9.8 die Erdbeschleunigung in m/s ist. v(t) = gt Augabe 67 Mit Hile der obigen Funktionen z und v, berechnen Sie die Fallstrecke und Endgeschwindigkeit nach, und Sekunden Fallzeit..4 Graph einer Funktion Augabe 68 a) Zeichnen Sie ein Koordinatensstem mit einer horizontalen t-achse (anstatt ) und einer vertikalen s-achse (anstatt ). Zum Zeitpunkt Null ährt die Trogenerbahn am Bahnho St. Gallen ab. Zeichnen Sie, möglichst realistisch, zu jedem Zeitpunkt t die zurückgelegte Strecke ein (bis zur Haltestelle Spisertor). b) Ins gleiche Koordinatensstem mit einer vertikalen v- anstatt s-achse, zeichnen Sie die entsprechende Geschwindigkeit ein. Es wurden die Graphen der Funktionen s(t) und v(t) gezeichnet. Beachten Sie, dass diese Funktionen nicht vernüntig mit Formeln dargestellt werden können. Beachten Sie, dass v(t) angibt, wie steil s(t) zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Deinition 7 Der Graph einer Funktion ist die Punktemenge aller Punkte (, ()) mit D. 9. Mai

3 Mathematik. Klasse Augabe 69 Zeichnen Sie den Graphen olgender Funktionen in je ein Koordinatensstem. Bestimmen Sie vorgängig Deinitions- und Wertebereich, um nur den benötigten Teil des Koordinatensstems zu zeichnen. a) a(r) = r b) b(q) = q c(s) = s d) d(t) = t e) e(u) = u ) (v) = v g) g(w) = 9 w h) h() = i) i() = + Für Funktionen, die durch Formeln dargestellt werden können, muss natürlich nicht ür alle -Werte die Funktion berechnet werden. Die Art der Formel lässt au die Art der Kurve schliessen. Mehr dazu später. Augabe 7 Für ganzzahlige Argumente lesen Sie die Funktionswerte der Funktionen, g, und h aus deren Graphen ab. Hinweis: Eine Formel ür die Funktionen ist hier nicht geragt! h g 4 4 Augabe 7 Gegeben ist der Graph der Funktion a. Zeichnen Sie die Graphen der olgenden Funktionen: a) () = a() b) g() = a() 4 4 h() = a(). 4 4 a a a Gegeben sind die Graphen der Funktionen b und c. Zeichnen Sie die Graphen der olgenden Funktionen: d) () = b() + c() c b 4 4 e) g() = b() c() c b 4 4 ) h() = b(c()). c b 4 4. Mai

4 Mathematik. Klasse.5 Transormation von Funktionsgraphen Augabe 7 Gegeben sei eine Funktion z und ihr Funktionsgraph. Beschreiben Sie, wie der Funktionsgraph olgender Funktionen aussieht: a) a() = z() + b) b() = z() c() = z() + v wobei v R gegeben ist. d) d() = z() e) e() = z() ) () = z() g) g() = z() Merke Wird zur ganzen Funktion eine positive Zahl addiert (bzw. subtrahiert), verschiebt sich der Graph entsprechend vertikal nach oben (bzw. unten). Merke Wird die ganze Funktion mit einer Zahl multipliziert, wird der Graph in -Richtung entsprechend gestreckt (und zusätzlich gespiegelt, wenn die Zahl negativ ist)..6 Lineare Funktionen Augabe 7 Beschreiben Sie möglichst präzise den Graphen der Funktion () =. Finden Sie einleuchtende Argumente warum der Graph die Form hat, die er hat. Augabe 74 Zeichnen Sie olgende Funktionsgraphen mit möglichst wenig Auwand. Sie sollen dabei höchstens einen Punkt berechnen. a) a() = b) b() = c() = d) d() = e) e() = ) () = + g) g() = h) h() = + Deinition 8 Die Steigung einer Geraden im Koordinatensstem ist eine reelle Zahl, die angibt, um wieviele - Einheiten die Gerade pro -Einheit ansteigt. ± Augabe 75 Zeichnen Sie in ein einziges Koordinatensstem Ursprungsgeraden mit Steigungen ± 4,, ±, ± und ±4. Beschriten Sie die Geraden mit deren Steigungen. Augabe 76 Gegeben sind zwei Punkte mit unterschiedlichen -Koordinaten A = ( A, A ) und B = ( B, B ). Berechnen Sie die Steigung der Geraden durch A und B. Warum müssen die -Koordinaten unterschiedlich sein? 6. Juni

5 Mathematik. Klasse Augabe 77 Bestimmen Sie die Steigung einer Geraden, die mit der -Achse einen Winkel von a) b) 45 d) 6 e) 9 bildet. Deinition 9 Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die in olgender Form geschrieben werden kann: () = m + q Augabe 78 a) Begründen Sie, warum der Graph einer linearen Funktion eine Gerade ist. b) Welcher Eigenschat der Geraden entspricht m? Wenn der Graph einer linearen Funktion gegeben ist, wo kann man q ablesen? Deinition Bei einer linearen Funktion () = m + q ist m die Steigung und q der -Achsenabschnitt. Augabe 79 Finden Sie Beispiele aus dem Alltag ür lineare Funktionen. a) Augabe 8 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der olgenden linearen Funktionen: d) b) 4 5 Augabe 8 Zeichnen Sie die Funktionsgraphen und bestimmen Sie alle linearen Funktionen, a) die die Zahl au und die Zahl 4 au abbilden. b) die das Intervall [, ] vollständig au das Intervall [, 4] abbilden. die das Intervall [, ] au das Intervall [, 6] abbilden. d) die das Intervall [, 6] au das Intervall [, ] abbilden. e) ) g) die das Intervall [, ] au das Intervall [a, b] abbilden (mit a < b, a, b R). die das Intervall [a, b] au das Intervall [, ] abbilden (mit a < b, a, b R). die das Intervall [a, b] au das Intervall [c, d] abbilden.. Juni

6 Mathematik. Klasse Augabe 8 Gegeben ist die lineare Funktion () =. a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. b) Zeichnen Sie die Senkrechte zum Graphen von durch den Punkt (, ) und bestimmen Sie deren Funktionsgleichung in der Form g() = m + q. Wie gross ist die Steigung einer Senkrechten zu einer Geraden mit Steigung m = 4? Gegeben ist eine Gerade g mit Steigung m. Berechnen Sie die Steigung m einer Senk- Augabe 8 rechten zu g. Augabe 84 Gegeben sind zwei lineare Funktionen () = und g() = +. a) Zeichnen Sie beide Graphen von und g in ein gemeinsames Koordinatensstem. Einheitslänge: 6 Häuschen. b) Lesen Sie die ungeähren Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden ab. Berechnen Sie die eakten Koordinaten des Schnittpunktes. Hinweis: Im Schnittpunkt sind die Funktionswerte beider Funktionen gleich. Merke Die Schnittpunkte der Graphen zweier Funktionen und g erhält man, indem man die Gleichung () = g() nach (der -Koordinate eines Schnittpunktes) aulöst. Sind und g lineare Funktionen, ist die Gleichung selbst linear und kann einach gelöst werden. Augabe 85 Gegeben sind die Punkte A = (, ) und B = (, ) sowie die Steigung m = der Geraden b durch den Punkt A. Gesucht sind die Koordinaten des Punktes C au b, so dass das ABC rechtwinklig ist. a) Konstruieren Sie das Dreieck und lesen Sie die ungeähren Koordinaten von C ab. b) Berechnen Sie die eakten Koordinaten von C. Augabe 86 Gegeben sind zwei Punkte A = (, ) und B = (, ). Finden Sie die Koordinaten der Punkte C und D oberhalb von AB so, dass ABCD ein Quadrat ist. Augabe 87 Finden Sie ganzzahlige Koordinaten ür die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks so, dass die Hpotenuse parallel zur -Achse ist und das Dreieck nicht gleichschenklig ist. Bestimmen Sie dann die Koordinaten der Eckpunkte der Quadrate über den Dreiecksseiten. Betrachten Sie das Quadrat über der Seite b. Das Quadrat soll kontinuierlich (als Animation) in ein Parallelogramm überührt werden, wobei die Seite b i bleibt und die andere Seite am Schluss senkrecht au die Hpotenuse steht (wie im dritten Beweis des Satzes von Pthagoras). Finden Sie zwei lineare Funktionen, die als Eingabe Zahlen im Intervall [, ] nehmen, und als Ausgabe die - bzw. -Koordinate eines Punktes des Parallelogramms produzieren, d.h. ür das Quadrat, ür das Parallelogramm. Hintergrund: In POV-Ra gibt es eine Variable clock, die von bis läut und das Erzeugen von Animationen erlaubt. Mit den obigen Funktionen kann diese Animation programmiert werden. 7. Juni 6 6

7 Mathematik. Klasse.7 Repetition Funktion: Eine Funktion ordnet jedem Element einer Deinitionsmenge D (meistens reelle Zahlen) ein Element einer Wertemenge W (meistens wieder reelle Zahlen) zu. Diese Zuordnung kann auch als Maschine augeasst werden, die ür eine Eingabe (Element aus der Deinitionsmenge) eine Ausgabe (Element der Wertemenge) produziert. Wir werden ast ausschliesslich Funktionen antreen, die durch einache Funktionsgleichungen (Formeln) dargestellt werden können. Die Funktionsgleichung gibt an, wie aus der Eingabe (meist durch die Variable dargestellt) die Ausgabe berechnet werden kann. Beispiele: a() =, b() = +, c() = + Funktionsgraph: Sind Deinitions- und Wertemenge Zahlen, kann der Funktionsgraph einer Funktion im /-Koordinatensstem gezeichnet werden. Für jede mögliche Eingabe wird ein Punkt (, ) gezeichnet, wobei die -Koordinate die Ausgabe der Funktion ist, also = (). Die Koordinaten der Punkte des Graphen sind also (, ()) ür alle möglichen Werte von. Transormation von Graphen: Wird zu einer Funktion eine konstante Zahl addiert, bzw. subtrahiert, verschiebt sich der Graph entsprechend in -Richtung nach oben, bzw. nach unten. Wird die ganze Funktion mit einer konstanten Zahl multipliziert, wird der Graph in -Richtung gestreckt oder gestaucht (und zusätzlich gespiegelt, wenn die Zahl negativ ist). Lineare Funktion: Eine Funktion ist linear, wenn die Funktionsgleichung au die Form () = m + q gebracht werden kann. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. m ist die Steigung und gibt an, um wieviele -Einheiten die Gerade pro -Einheit ansteigt (bzw. ällt ür negative m). Für zwei beliebige unterschiedliche Punkte au der Geraden (und das Steigungsdreieck darunter) gilt: m =, wobei bzw. die vorzeichenbehateten Dierenzen der - bzw. -Koordinaten der beiden Punkte sind. Die Steigung m einer Geraden, die rechtwinklig au eine Gerade mit Steigung m steht, ist m = m. q ist der -Achsenabschnitt (Schnittpunkt der Geraden mit der -Achse), weil () = q, also ist (, q) ein Punkt der Geraden. Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen: Für die -Koordinaten der Schnittpunkte gilt, dass bei beiden Funktionen und g die gleiche -Koordinate heraus kommt. Man erhält diese Koordinaten durch Lösen olgender Gleichung: () = g(). Die -Koordinaten der Schnittpunkte erhält man durch Einsetzen der geundenen -Koordinaten in eine der beiden Funktionen..7. Standardaugaben Augabe 88 Gegeben sind die Punkte A = (, ), B = (, ) und C = (, ). a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen ür die Geraden a = BC, b = AC und c = AB. b) Gilt a c? Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Höhe h a (Gerade durch A rechtwinklig zu a). d) Bestimmen Sie den Höhenusspunkt H a (= a h a ). Augabe 89 Zeichnen Sie den Graphen olgender Funktionen in je ein Koordinatensstem. Bestimmen Sie vorgängig Deinitions- und Wertebereich, um nur den benötigten Teil des Koordinatensstems zu zeichnen. a) a(r) = r b) b(q) = q c(s) = s 6. August 6 6

8 Mathematik. Klasse d) d(t) = t e) e(u) = u ) (v) = v g) g(w) = w h) h() = i) i() =.7. Vertieungs- und Releionsaugaben Augabe 9 Von einer unbekannten Funktion weiss man, dass ( ) =, () = und () =. a) Au wie viele Arten kann der Graph von vervollständigt werden? Zeichnen Sie eine Variante. b) Ausgehend von Ihrer Variante, zeichnen Sie die Graphen der Funktionen g() = () +, h() = () und k() = ( + ). c ) Finden Sie eine mögliche Funktionsgleichung ür. Wer indet mehr als eine mögliche Formel? Augabe 9 Gegeben sind zwei lineare Funktionen () = und g() = +. a) Zeichnen Sie die Graphen der beiden Funktionen. b) Messen Sie den Abstand der beiden Geraden (in Einheiten, nicht in cm!). Berechnen Sie den eakten Abstand der beiden Geraden. d ) Berechnen Sie den Abstand zweier Geraden mit Steigung m und Unterschied der Achsenabschnitte q. Augabe 9 Wahr oder alsch? Begründen Sie und korrigieren Sie alls möglich alsche Aussagen in sinnvolle wahre Aussagen. a) Für zwei beliebige Punkte in der /-Ebene gibt es immer eine lineare Funktion, deren Graph durch diese Punkte geht. b) Haben zwei Geraden die gleiche Steigung, sind sie parallel. Haben zwei Geraden den gleichen -Achsenabschnitt q, schneiden sich die Geraden au der -Achse. d) Gegeben ist eine lineare Funktion () = m+q. Ersetzt man sowohl m wie auch q durch ihre Gegenzahlen, wird der Graph an der -Achse gespiegelt. e) ) Die Steigung einer horizontalen Geraden ist nicht deiniert. Die Steigung der Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen ist. g) Die Steigung einer vertikalen Geraden ist. h) Das Produkt der Steigungen zweier rechtwinkligen Geraden ist. i) j) Erhöht man die Steigung einer Geraden um, verschiebt sich die Gerade um Einheiten in -Richtung. Wenn eine lineare Funktion ist, dann ist auch h() = () eine lineare Funktion. k) Gegeben sind zwei lineare Funktionen und g. Die Funktion h() = () + g() ist ebenalls eine lineare Funktion. l) Wenn und g lineare Funktionen sind, dann ist auch h() = (g()) eine lineare Funktion. m)wenn eine lineare Funktion ist, dann ist auch g() = () () eine lineare Funktion. n) Die Graphen der Funktionen () = und g() = + schneiden sich in den Punkten (, ) und (, 4). o) Die Graphen der Funktionen () = ( + ) und g() = ( ) + schneiden sich in genau einem Punkt. p) Die Graphen der Funktionen () = ( ) + und g() = schneiden sich in zwei Punkten. q) Die Summe h() = () + g() zweier nicht-linearen Funktionen und g ist nie linear. r) s) t) Das Produkt h() = () g() zweier linearen Funktionen und g ist nie linear. Der Abstand zweier Geraden ist gleich dem Unterschied der -Achsenabschnitte. Für beliebige -Werte liegt der Punkt ((), ) au dem Graphen der Funktion. u) Dr. Blöchligers Notenskala ist eine lineare Funktion der Punktzahl. v) Die Zeit, die benötigt wird, um von einem Ort zu einem anderen zu gelangen, ist eine lineare Funktion der Enternung der beiden Orte. 6. August 6 6

9 Mathematik. Klasse Augabe 9 Gegeben sind 4 Funktionen: () =, g() = 5, h() =, k() =. Bestimmen Sie die Deinitionsbereiche ür diese Funktionen. Für g und h bestimmen Sie ebenalls die Wertebereiche. Berechnen Sie und vereinachen Sie soweit wie möglich: a) (7) b) g() h( ) d) k( ) e) h(()) ) k(g( )) g) g( h(( ))) h) g( ((4) + h(4))) i) k(a) (a) j) (a + b) + k( a+b ) + h() k) (a + ) k(a ) l) h( + ) Augabe 94 Gegeben sind zwei Funktionen und g durch ihre Graphen. Skizzieren Sie dann die Graphen der gesuchten Funktion h: a) h() = () + b) h() = () h() = ( ) d) h() = ( ) e) h() = () + g() ) h() = () g() g g Augabe 95 Gegeben sind die Funktionen () = und g() = + q, wobei q jeweils einen der drei Werte, und annehmen soll. a) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen und g ür die drei Werte von q. Wie viele Schnittpunkte erwarten Sie in den drei Fällen? b) Bestimmen Sie Mit Hile des Taschenrechners die Schnittpunkte der Funktionsgraphen. c ) Formen Sie die drei Schnittpunktsgleichungen so um, dass die Anzahl der Lösungen ersichtlich wird. Augabe 96 Gegeben sind die zwei Funktionen () = 4 und g() =. a) Was ist der Deinitions- und Wertebereich der Funktion g? b) Mit Hile des TR, skizzieren Sie die Graphen der Funktionen (), g() und g() im gleichen Koordinatensstem. Wählen Sie die Einheitslänge mindestens 4cm ( Häuschen). Skizzieren Sie dann (zuerst von Hand) die Graphen der Funktionen h () = () + g() und h () = () g() mit roter Farbe.. August 6 6

10 Mathematik. Klasse.8 Lösungen Hinweise zu den Smbolen: Diese Augaben könnten (mit kleinen Anpassungen) an einer Prüung vorkommen. Für die Prüungsvorbereitung gilt: I ou want to nail it, ou ll need it. Diese Augaben sind wichtig, um das Verständnis des Prüungsstos zu vertieen. Die Augaben sind in der Form aber eher nicht geeignet ür eine Prüung (zu grosser Umang, nötige «Tricks», zu oene Augabenstellung, etc.). Teile solcher Augaben können aber durchaus in einer Prüung vorkommen!. Diese Augaben sind dazu da, über den Tellerrand hinaus zu schauen und oder die Theorie in einen grösseren Kontet zu stellen. Lösung zu Augabe 69 e-unktionen-zeichnen 4 = = = 4 a) b) = = d) e) ) = = = 9 = + 4 g) h) i). August 6 6-i

11 Mathematik. Klasse Lösung zu Augabe 7 e-unktionen-ablesen ( 4).7 g( 4).4 h( 4).5 ( ) g( ). h( ).8 ( ).7 g( ) h( ) ( ).7 g( ).7 h( ) () g().4 h() ().7 g() h().8 ().7 g() h().5 () g() nicht deiniert h() Die ungeähren Funktionswerte sind: (4).7 g(4) nicht deiniert h(4).5 Lösung zu Augabe 7 e-unktionen-ablesen-addieren-multiplizieren a), b), d), e), ) () = b() + c() c h b g h = b(c()) g() = b() c() a Lösung zu Augabe 7 e-unktionen-transormieren a) Graph von z um Einheiten nach oben verschieben. b) Graph von z um Einheit nach unten verschieben. Graph von z um v Einheiten nach oben (wenn v ) oder unten (wenn v < ) verschieben. d) Graph von z um Faktor in -Richtung strecken. D.h. alle Punkte au dem Graphen sind danach doppelt so weit von der -Achse enternt. e) Graph von z um Faktor in -Richtung strecken. D.h. alle Punkte au dem Graphen sind danach halb so weit von der -Achse enternt. ) Graph von z wird an der -Achse gespiegelt. g) Graph von z wird an der -Achse gespiegelt und mit Faktor in -Richtung gestreckt. (Bzw. einach mit Faktor an der -Achse gestreckt. Lösung zu Augabe 74 e-lineare-unktionen-zeichnen Ausgehend vom Graphen der Funktion i() = (die Winkelhalbierende zwischen der positiven - und -Achse), können die Graphen durch Streckung (und gegebenenalls anschliessender Verschiebung) als Geraden gezeichnet werden. a) Graph von i mit Faktor in -Richtung gestreckt. Ergibt eine Gerade durch den Nullpunkt, die um -Einheiten pro -Einheit ansteigt. b) Gerade durch den Nullpunkt, steigt um -Einheit pro -Einheiten an. Graph von i an der -Achse gespiegelt. Ergibt die «andere Winkelhablierende». d) Graph von c mit Faktor gestreckt. Gerade durch den Nullpunkt, ällt um -Einheit pro -Einheiten. e) Graph von i um Einheit nach unten verschoben. ) Graph von c um Einheit nach oben verschoben. g) Gerade durch den Punkt (, ), die pro -Einheit um -Einheiten ansteigt. Gerade durch den Punkt ( ) h),, die pro -Einheiten um eine -Einheit abällt.. August 6 6-ii

12 Mathematik. Klasse Lösung zu Augabe 77 e-spezielle-steigungen Hinweis: In der Lösung hier werden nur positive Steigungen berechnet. Spiegelt man die Geraden an der -Achse bleibt der Winkel gleich, die Steigung wird aber negativ. D.h. zu allen Augaben ist auch die entsprechend negative Steigung eine Lösung. a) b) Die Steigung ist. Man zeichnet ein -6-9 Stütz-Dreieck, z.b. so, dass die Hpotenuse ist. Dann sind die Katheten (-Dierenz) und (-Dierenz). Die Steigung ist somit = =... = = = Steigung. d) Wie in b), einach und vertauschen, also ist die Steigung. e) Die Steigung ist nicht deiniert. Eine vertikale Gerade ist nicht der Graph einer Funktion. Die Steigung wäre quasi. Lösung zu Augabe 8 e-lineare-unktionen-ablesen a) -Achsenabschnitt q =. Steigung m = (z.b. mit den Punkten (, ) und (, ), () = +. =. Also b) -Achsenabschnitt q =. Steigung m = (z.b. mit den Punkten (, ) und (, ), Also () =. =. -Achsenabschnitt q =. Steigung m = (z.b. mit den Punkten (, ) und (, ), () = +. =. Also d) -Achsenabschnitt q =. Steigung m = (z.b. mit den Punkten (, ) und (, 7 ), Also () =. = 4. Lösung zu Augabe 8 e-intervalle-abbilen a) () = + b) () = + und () = + () = 5 + und () = d) () = 5 5 = 5 ( ) und () = = 5 (6 ) e) () = (b a) + a und () = (a b) + b ) g) () = a b a = b a a b a () = a b a b (d + c und () = b a Augabe g) kann wie olgt augeasst werden: b und () = a b = b a + b b a (d + c. Erst das Intervall verschieben: () = a. Damit bildet man das Intervall [a, b] au [, b a] ab.. Das verschobene verkleinert man au das Intervall [, ], indem man durch seine Länge dividiert, also () = a b a. Damit bildet man au [, ].. August 6 6-iii

13 Mathematik. Klasse. Man vergrössert das Intervall au die endgültige Länge, durch Multiplikation mit (d, also () = (d. a b a 4. Zu letzt verschiebt man das Intervall an die endgültige Lage, durch Addition von c: 4 () = () = (d + c. a b a Die zweite Funktion erhält man ast gleich, ausser dass man im ersten Schritt zusätzlich zum Verschieben das Intervall noch umdreht mit () = b. Lösung zu Augabe 8 e-rechtwinklige-geraden a) b) g() = + Für eine Gerade mit Steigung 4 kann ein Stützdreieck mit Katheten = und = 4 gezeichnet werden. Dieses Dreieck wird um 9 Grad gedreht. Das neue Stützdreieck der Senkrechten hat die Katheten vertauscht, wobei eine noch das Vorzeichen wechselt. Die neue Steigung ist also 4. Lösung zu Augabe 84 e-schnittpunkt Wenn die -Koordinate des Schnittpunktes ist, gilt () = g() Eingesetzt in eine der Funktionen: ( in g: g ( ) = 6 + = 7. = = = : = Und damit sind die Koordinaten des Schnittpunktes: (, 7 ) = = 7. Zur Kontrolle (nicht wirklich nötig) eingesetzt Lösung zu Augabe 85 e-rechtwinkliges-dreieck-konstruieren Vorgehen: Zuerst werden die Funktionsgleichungen der Geraden b und a = BC bestimmt. Dann wird der Schnittpunkt bestimmt. Geradengleichung von b (Steigung ): b() = + q b. Es gilt A b: Setzt man die -Koordinate von A in die Funktion b ein, erhält man die -Koordinate von A: b( ) = + q b = + q b = + q b = ) Die Gerade a ist rechtwinklig zu b, hat also die Steigung a() = + q a = =. Es gitl B a, also + q a = + q a =. August 6 6-iv

14 Mathematik. Klasse Es ist also der Schnittpunkt der Geraden a() = + und b() = + zu bestimmen: + = + + = = Die -Koordinate des Schnittpunktes erhält man durch Einsetzen (in a oder b): ( ) 6 a = 6 + = 5 Kontrolle (eigentlich unnötig): ( ) 6 b = 6 + = 5 Damit sind die Koordinaten von C = ( 6, ) 5 (.465,.69). Lösung zu Augabe 86 e-koordinaten-quadrat Das Stützdreieck unter [AB] hat die Katheten = 5 und =. Dreht man das Stützdreieck um 9 und hängt es bei A und B an, erhält man die Punkte C und D, d.h. C = ( +, + 5) = (5, ) und D = ( +, + 5) = (, 6). Lösung zu Augabe 87 e-koordinaten-rechtw-dreieck In der POV-Ra Datei sind am Anang olgende Variablen deiniert: a (in POV-Ra a): Die -Koordinate vom Punkt A. b (in POV-Ra b): Die -Koordinate vom Punkt B. m b (in POV-Ra mb): Die Steigung der Seite b. Aus diesen Variablen werden sukzessive alle weiteren Grössen berechnet. Geraden b und a und der Punkt C Die Gerade b hat olgende Funktionsgleichung: b () = m b + q b wobei q b im Moment noch unbekannt ist. Da der Punkt A = ( a, ) au b liegt, gilt olgende Gleichung (die dann nach q b augelöst wird): ( a ) = m b a + q b = m b a q b = m b a Damit lässt sich in POV-Ra die Variable q b wie olgt deinieren: #declare qb = -mb*a; Die Steigung der Gerade a lässt sich aus der Steigung der Geraden b berechnen, da diese rechtwinklig aueinander stehen. Es gilt ür rechtwinklige Steigungen m und m : m = m also oder in POV-Ra Code ausgedrückt: #declare ma = -/mb; m a = m b. August 6 6-v

15 Mathematik. Klasse Für den Achsenabschnitt q a verährt man genau gleich wie bei q b. Es gilt: q a = m a b Für den Schnittpunkt C = a b mit -Koordinate c gilt: a ( c ) = b ( c ) m a c + q a = m b c + q b q a m b c c (m a m b ) = q b q a : (m a m b ) c = q b q a m a m b also #declare c = (qb-qa)/(ma-mb); Die -Koordinate c von C erhält man durch Einsetzen: also #declare c = ma*c+qa; c = a ( c ) = m a c + q a Punkte A b und C b Man zeichnet das Steigungsdreieck ür die Gerade b an den Punkten A und C. Man dreht das Dreieck um 9 um A im Gegenuhrzeigersinn. Man subtrahiert also von der -Koordinate von a den -Unterschied zwischen A und C, d.h. a ( c ). Zur -Koordinate von A wird der -Koordinatenunterschied zwischen A und C addiert, d.h. + ( c a ). Als POV-Ra Code: #declare Ab=<a-c, c-a, >; Die Gleichen Koordinatenunterschiede werden den Koordinaten von C hinzugerechnet, also: #declare Ab=<c-c, c+c-a, >; Punkte Abtop, Cbtop und Cbbottom Zuerst ermittelt man die Funktionsgleichung der Parallen b zu b durch A b.die Steigung ist die gleiche, nämlich m b. Der Achsenabschnitt kann entweder wie am Anang berechnet werden, oder man sieht ein, dass der vertikale Abstand genau der Seite c entspricht. Man erhält au beide Weisen q b = q b + (b a) oder in POV-Ra Code: #declare qb=qb+(b-a); Man kennt die -Koordinaten ( a, bzw. c ). Durch einsezten in die Funktionsgleichung b erhält man die - Koordinaten. Oder man sieht ein, dass der Abstand der Punkte A und A btop gleich der Seite c ist, also sind die -Koordinaten + ( c a ), bzw. c + ( c a ). In POV-Ra Code: #declare Abtop=<a,c-a,>; und #declare Cbtop=<c,c+c-a,>; Die Koordinaten von C bbottom sind c ür und c ür wobei c = c a. Also #declare Cbbottom=<c,c-a,>; Lösung zu Augabe 88 e-geraden-durch-punkte a) Steigungen m = : m a =, m b =, m c =. Achsenabschnitte: Ein Punkt au der Geraden in die Funktionsgleichung mit unbekanntem q einsetzen, nach q aulösen. Beispiel ür die Gerade a: a () = m a + q a = + q a = q a = 7. August 6 6-vi

16 Mathematik. Klasse Entsprechend q b =, q c = und damit a () = 7 b () = c () = b) Nein, da m a m c h () = m h + q h mit m h = =. q h erhält man durch Einsetzen der Koordinaten von A und Aulösen nach q h. Resultat: h () =. d) Aulösen der Gleichung a () = h () 7 = lieert = 9. Eingesetzt erhält man = a ( 9 ) = 9 7 = 4 6 = 7 Lösung zu Augabe 89 e-unktionsgraphen-zeichnen a) D = R +, W = R b) D = R, W = R+ D = R, W = R 4 = = = 4 d) D = R, W = R e) D = R, W = R + ) D = R, W = [, [ = = 4 5 = 4 4 g) D = R, W = [, [ h) D = R, W =], ] i) D = R, W = R + = = = Lösung zu Augabe 9 e-transormation-unbekannte-unktion a) Nur die Werte ür =, und sind bestimmt. Alle anderen Werte sind rei wählbar. Es gibt also unendlich viele solche Graphen (diese Unendlichekeit ist sogar noch grösser als jene der reellen Zahlen, wenn der Funktionsgraph nicht eine durchgehende Linie sein muss). b) g: Der Graph wird um Einheiten nach oben verschoben. h: der Graph wird an der -Achse gespiegelt. k: der Graph wird um zwei Einheiten nach links verschoben (die Eingabe ist quasi zwei Einheiten zu rüh). Nice tr.... August 6 6-vii

17 Mathematik. Klasse Lösung zu Augabe 9 e-abstand-paralleler-geraden Eine Möglichkeit besteht darin, die Konstruktion rechnerisch nachzuvollziehen. Es wird also eine Rechtwinklige mit beiden Geraden geschnitten, z.b. die Gerade mit der Funktionsgleichung k() =. Man löst die Gleichungen () = k() und g() = k() und erhält den Schnittpunkt mit ( 5, ) 5 und mit g: ( 5, ) ( 5. Der Abstand der beiden Punkte beträgt 4 ) ( 5 + ) 5 = 5 = 5 5 = d) Seien () = m und g() = m q. Die Gleichung ( einer Rechtwinkligen ) Gerade ist k() = m. Der q Schnittpunkt mit ist (, ), der Schnittpunkt mit g ist, q m+ m m +. Der Abstand der beiden Punkte ( ) ( ) ( ) ( ) q ist also + q m + = qm m + + q m + = q (m +) m + q m + = +m m+ m (m +) = q Lösung zu Augabe 9 e-wahr-oder-alsch a) Falsch. Das gilt nicht wenn die Punkte vertikal übereinander liegen (gleiche -Koordinate, unterschiedliche -Koordinaten). Um die Aussage wahr zu machen, könnte man «... Punkte mit unterschiedlichen -Koordinaten...» schreiben. b) Wahr. Der einzige Streitpunkt hier ist, ob man identische (übereinanderliegende) Geraden ebenalls als parallel bezeichnet. Falsch. Sie schneiden sich au der -Achse. d) Falsch. Die neue Funktion ist einach g() = (), also an der -Achse gespiegelt. e) ) Falsch. Die Steigung ist Null. Wahr. -Einheit pro -Einheit. g) Falsch. Vertikale Geraden haben keine deinierte Steigung (wäre quasi unendlich). h) Wahr. m m =. i) Falsch. Richtig wäre z.b. «Erhöht man den -Achsenabschnit um...». j) Wahr. h() = () = (m + q) = m + q. k) Wahr. () = m + q, g() = m g + q g, also h() = (m + m g ) + (q + q g ). l) Wahr. Wie in k) erhält man h() = (m g + q g ) = m (m + q g ) + q = m m g + (m q g + q ). m)falsch. Z.B. ür () = und g() = ist h() = nicht linear. n) Wahr. Überprüen durch einsetzen der -Koordinaten in die Funktionen. o) Wahr. Die Gleichung () = g() vereinacht sich au eine lineare Gleichung ( ällt weg) und die hat genau eine Lösung (der Koeizient von ist nicht Null). p) Falsch. Man kann z.b. die Graphen zeichnen, oder die Gleichung () = g() umormen, um = zu inden, was keine Lösung hat. q) Falsch. Z.B. () = und g() =. Die Summe ist h() = linear. r) s) t) Falsch. Das Produkt genau dann ein lineare Funktion, wenn in mindestens einer Funktion die Steigung gleich Null ist (und damit der quadratische Term wegällt). Flasch. Das ist nur wahr, wenn die Geraden horizontal sind. Falsch. Der Punkt (, ()) liegt au dem Graphen. Man könnte auch noch monieren, dass aus dem Deinitionsbereich kommen muss. u) Falsch. Die Skala ist linear bis zur ür die Note 6 benötigte Punktzahl. Dort macht der Graph einen Knick, Noten über 6 werden nicht gemacht. Genau genommen setzt sich die Skala aus zwei linearen Funktionen zusammen. v) Falsch. Das würde eine konstante Durschnittsgeschwindigkeit (=Steigung!) voraussetzen, was nicht realistisch ist.. August 6 6-viii

18 Mathematik. Klasse Lösung zu Augabe 9 e-unktionen-auswerten Deinitionsbereiche: D = R, D g =], 5], D h = R, D k = R (alles ausser ). Wertebereiche: W = [, ], W g = R +, W h = R +, W k = R. a) 5 b) 4 d) e) h( ) = ) k(6) = g) g( h()) = g( ) = h) g( (8+)) = g( ) = 6 5 i) a (a a) = (a ) j) (a + b) (a + b) + k) (a+) (a ) (a+b)+ = (a+b) a = l) = + (a + ) (a + b) + Lösung zu Augabe 94 e-graphen-abslesen-manipulieren a) h() = () + b) h() = () h() = ( ) h h d) h() = ( ) e) h() = () + g() ) h() = () g() g h h h 4 4 h g Lösung zu Augabe 95 e-unktionen-tr 4 b) solve(*=*-,) lieert alse, d.h. eine alsche Aussage, d.h. es gibt kein ür das diese Gleichung wahr wäre. Es gibt also keinen Schnittpunkt ür q =. Für q = erhält man die Lösung = und damit den (einzigen) Schnittpunkt (, ). ür q = erhält man Lösungen, = und =, also die Schnittpunkte (, ) und (, 4). Für q = kann die Gleichung au die Form + = gebracht werden, wobei die linke Seite ein Binom ist, also ( ) =. Ein Quadrat kann aber nie negativ sein, darum hat diese Gleichung keine Lösung. Für q = kann die Gleichung au die Form ( ) = gebracht werden. Es gibt nur eine einizge Zahl, die quadriert ergibt, nämlich selbst. Also ist = die einzige Lösung. Für q = kann die Gleichung au die Form ( ) = gebracht werden. D.h. entweder ist = oder ( ) =.. August 6 6-i

19 Mathematik. Klasse Lösung zu Augabe 96 e-unktionen-tr a) Die Zahl unter der Wurzel dar nicht negativ sein, also ist D = [, ]. Der Wertebereich ist [, ]. b) und : () + g() g() =.5 () = g().5 () g(). August