Technische Universität Chemnitz im April 2013
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- Hans Kerner
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1 Dr. Neidhart Kamprath Technisches Gymnasium an der Handwerkerschule Chemnitz Technische Universität Chemnitz im April 2013
2 Ausgangspunkt Änderung der Bildgröße mittels Photoshop Berechnungsverfahren zur Bildgrößenänderung Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 2
3 Ausgangspunkt Digitalfoto Bildgrößenänderung Entscheidung zum Berechnungsverfahren Pixelwiederholung bilinear bikubisch Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 3
4 Ausgangspunkt Digitalfoto Bildgrößenänderung Entscheidung zum Berechnungsverfahren Pixelwiederholung bilinear bikubisch Was ist bikubisch? Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 4
5 Was ist bikubisch? 1. Vollständig muss es heißen: bikubische polynomische Interpolation 2. Bikubisch bezieht sich auf ein Polynom 3.Grades, welches im R3 existiert 3. Interpolation ist die Berechnung eines Zwischenwertes zu bekannten Stützstellen, die durch eine Interpolationsfunktion erfüllt werden. Aufgabenstellung Es ist eine Funktion zu bestimmen, mit der es möglich ist, aus vorhandenen Pixelwerten Zwischenwerte für Farbe, Helligkeit oder Schwärzung für ein in der Größe verändertes Bild zu berechnen. Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 5
6 Veranschaulichung der Berechnungsverfahren zur Bildgrößenberechnung Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 6
7 Bikubische Interpolation Am einfachsten lässt sich die bikubische Interpolation für eine Bildverdopplung in zwei Achsen demonstrieren. (erste didaktische Vereinfachung) Für die Berechnung eines neuen Pixelwertes werden die 16 benachbarten Schwärzungs-, Helligkeits- oder Farbwerte einer 4x4 Pixelmatrix ausgewertet. Die Beschreibung erfolgt durch eine kubische Interpolationsfunktion mit zwei unabhängigen Variablen (x- und y-koordinaten der Pixelpositionen daher bikubisch). Für den neuen Wert werden je eine neue Spalte und eine neue Zeile mittig eingefügt. An der Kreuzung wird der Pixelwert mit der bikubischen Funktion berechnet und eingefügt. Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 7
8 Digitalfotografie als Quelle für ein mathematisches Unterrichtsproblem Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 8
9 Erarbeitung der bikubischen Interpolation - Grundlagen Vorbemerkungen Die Aufbereitung des Problems für den Unterricht erfordert einige Abstraktionen und Vereinfachungen, um das Wesentliche für Schüler sichtbar zu machen. Für die bikubische Interpolation werden 16 Werte einer 4x4-Pixelmatrix verwendet, dafür wird ein zweidimensionales Interpolationspolynom mit 16 Termen benötigt, dies ist mit einem vollständigen bikubischen Polynom möglich. Die allgemeine Definition des bikubischen Interpolationspolynoms lautet: k( x, y) := a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 y + a 5 y 2 + a 6 y 3 + a 7 x y + a 8 x 2 y 2 + a 9 x 3 y 3 + a 10 x 2 y + a 11 x 3 y + a 12 x y 2 + a 13 x y 3 + a 14 x 2 y 3 + a 15 x 3 y 2 Damit besteht die mathematische Aufgabe darin, ein lineares Gleichungssystem für die 16 unbekannten Koeffizienten a i für i = 0,1,2,...,15 aufzustellen und zu lösen. Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 9
10 Lösungsansatz - Schrittfolge 1. Aufbereitung der Pixeldaten mittels Photoshop 2. Didaktische Vereinfachungen des fototechnischen Problems 3. Datenzusammenstellung für das Gleichungssystem in Vektor- bzw. Matrixschreibweise (Koordinaten und Schwärzungswerte) 4. Aufstellen des linearen Gleichungssystems (z.b. durch Nutzung von MathCAD) 5. Lösen des Gleichungssystems 6. Definition der Interpolationsfunktion 7. Berechnung des interpolierten Wertes 8. Grafische Veranschaulichung des Ergebnisses 9. Probe, Zusammenfassung und Dokumentation Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 10
11 Aufbereitung der Pixeldaten - Datenerfassung aus einem Digitalfoto 1. Öffnen eines Digitalfotos mit einem Bildbearbeitungsprogramm (z.b. Photoshop) 2. Umwandeln des Farbfotos in ein 8-bit Schwarz-Weiß-Bild (zweite didaktische Vereinfachung) 3. Vergrößern der Ansicht des Fotos bis die einzelnen Pixel sichtbar werden. 4. Festlegen des Untersuchungsbereiches aus einem Quadrat mit 4x4 Pixeln 5. Manuelles Auslesen und Protokollieren der Schwärzungswerte der 16 Bildpunkte 6. Festlegung einfacher Koordinaten in beide Achsenrichtungen für die Pixelwerte ( z.b. 1, 2, 3,4 ) (dritte didaktische Vereinfachung) 7. Die vierte didaktische Vereinfachung besteht darin, dass direkt mit den ausgelesenen prozentualen Schwärzungswerten gerechnet wird und auf die Umrechnung in 8-bit Helligkeitswerte verzichtet wird. Die vorgenommenen Vereinfachungen betreffen nur den fototechnischen Teil, beeinflussen damit aber nicht den mathematischen Kern der Problemlösung. Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 11
12 Auslesen der Bildpunktinformationen Einschalten der Palette für die Bildpunktinformationen Anzeige Schwärzungswert K Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 12
13 Anzeigen der Bildpunktinformation an der Cursorposition in Photoshop Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 13
14 Beispiel eines stark vergrößerten Bildes mit Anzeige der Pixeldaten Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 14
15 Beispiel für die prozentuale Flächendeckung eines pixelreduzierten Bildes aus 13 x 15 Pixel im Vergleich zum Originalbild mit 163 x 194 Pixel Auslesen der Schwärzungswerte der 4x4 Pixel-Matrix Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 15
16 Datenzusammenstellung für das Gleichungssystem Ausgelesene Schwärzungswerte K KW := Festgelegte, vereinfachte Koordinaten xk := yk := Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 16
17 Mathematische Voraussetzungen für die Problemlösung Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 17
18 Beitrag der Informatik zur Lösung des Problems Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 18
19 Entwurf des MathCAD-Arbeitsblattes für die bikubische Interpolation 1. Gestaltung der Dateneingabe für die Schwärzungswerte und die zugehörigen x- und y-koordinaten. 2. Aufbereitung der Eingabedaten durch Bereitstellung einer mittigen Leerzeile und mittigen Leerspalte in einer erweiterten 5x5 Datenmatrix für den in der Mitte liegenden Interpolationswert. 3. Vorbereitungen zur Erzeugung der Koeffizientenmatrix (MathCAD Anweisungen: stapeln, erweitern, transponieren, submatrix) 4. Erzeugung der Koeffizientenmatrix (MathCAD Anweisung: vektorisieren) 5. Erzeugung des Spaltenvektors der Schwärzungswerte 6. Lösung des Gleichungssystems (MathCAD Anweisungen: Matrixinversion, Matrizenmultiplikation, llösen) 7. Funktionsdefinition der bikubischen Interpolationsfunktion 8. Berechnung und Ausgabe des interpolierten Wertes 9. Grafische Veranschaulichung der Interpolationsfunktion im Geltungsbereich des ausgelesenen Bereiches 10. Probe, Plausibilitätskontrollen, Vergleiche Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 19
20 Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems, Berechnung des interpolierten Wertes siehe MathCAD Programm Bikubische_Interpolation_SAXSIM_CAS_2013 Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 20
21 Ableitung der Einsatzbereiche des mathematischen Unterrichtsgegenstandes Mathematik Sekundarstufe II Als Praxisbeispiel für die Interpolation und zur Veranschaulichung der Anwendungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme, Übung zur Matrizenrechnung, ggf. Variantenvergleich verschiedener Lösungsmöglichkeiten mit unterschiedlichen Werkzeugen, Funktionen im R3 Schulung in MathCAD Bikubische Interpolation - Didaktische Potenzen des mathematischen Gegenstandes Vertiefte Übung und Veranschaulichung zur Anwendung der Matrizenrechnung für die Lösung eines linearen Gleichungssystems und zu Berechnungen mit Funktionen mit zwei Variablen, 3D-Grafik Unterrichtsfach Fotografie Theoretische Vertiefung eines Standardproblems der digitalen Bildbearbeitung, mathematischer Hintergrund wird mittels der fertigen MathCAD-Lösung propädeutisch erläutert Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 21
22 Zusammenhang von Quellen und Zielen des Unterrichtsgegenstandes Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 22
23 Zusammenfassung Bikubische Interpolation - Didaktische Potenzen des mathematischen Gegenstandes 1. Aus Neugier kann eine unerwartete Aufgabe mit konkretem Praxisbezug entstehen. 2. Mit den didaktisch notwendigen Vereinfachungen entfernt man sich zwar von der wesentlich komplizierteren Realität der Bildgrößenänderung, aber man gewinnt fachübergreifend in der Mathematik eine konkrete und anschauliche Aufgabenstellung. 3. Durch die Nutzung von MathCAD werden Aufgaben lösbar, die bisher nicht als Unterrichtsgegenstand verwendbar waren. 4. Für den lehrenden Techniker sollte sichtbar werden, dass sich komplizierte fachwissenschaftliche Sachverhalte durch geeignete Vereinfachungen gut in einen Unterrichtsfachgegenstand überführen lassen. Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 23
24 Ergänzungsmaterial zum Vortrag 1. Aufgabenstellung für Schüler zur bikubischen Interpolation 2. MathCAD-Quelltext zur bikubischen Interpolation Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 24
25 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 25
26 Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 26
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