Merkzettel - Digitale Regelung

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1 Merkzettel - Digitale Regelung (Dozent: Dr. Wurmthaler) Martin Vierling, 3. Februar 2008 [2:55Uhr] Bei Fragen, Verbesserungen etc.: martin@die-webber.com Alle Angaben ohne Gewähr Inhaltsverzeichnis Aufgabentyp 3. Angabe der nötigen Elemente um den Regler mit einem Digitalregler zu realisieren Aufgabentyp Angabe eines Ablaufdiagramms für Rechnerprogramm Regler Aufgabentyp Herleiten eines Integrationsalgorithmus Entwickeln eines digitalen Regelalgorithums Aufgabentyp Z-Übertragungsfunktion für Integrationsalgorithmus herleiten Z-Übertragungsfunktion berechnen (quasikontinuierliche Regelung) Bedingung für Abtastzeit T Parametrierung eines quasikontinuierlichen digitalen Reglers Aufgabentyp Zeitkontinuierliche Beschreibung eines digitalen Regelkreises Aufgabentyp Vorgehen zur Bestimmung einer exakten zeitdiskreten Beschreibung des Abtastregelkreises Exakte Beschreibung der Regelstrecke durch Differenzengleichung (Zustandsgleichung) Zusammenhang zw. Eigenwerten der zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Beschreibung Wieviele Nullstellen besitzt die z-übertragungsfunktion Aufgabentyp Störsignale im Regelkreis (Aliasing) Vermeidung bzw. Verringerung des Fehlers Theoretische Bedingung zur vollständigen Vermeidung des Aliasing-Fehler Problemvermeidung durch flexiblen Regelkreiszusatz Aufgabentyp Numerische Probleme bei relativ hoher Abtastfrequenz Zusammenhang zwischen der z- und der δ-transformierten Zusammenhang zwischen den Polen der z- und der δ-transformierten

2 Merkzettel - Digitale Regelung Seite 2/3 8.4 Unterschiede/Gemeinsamkeiten der WOK bzw. Nyquist im zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Bereich Aufgabentyp Definition der Nyquist-Ortskurve Definition des Nyquist-Stabilitätskriterium Kritische Verstärkung/Bereich von k R bei Nyquist Kritische Verstärkung/Bereich von k R bei WOK Kreisfrequenz bei maximaler Reglerverstärkung berechnen (WOK) Aufgabentyp Systeme mit verschiedenen Abtastzeiten Eigenschaften unterabgetasteter Systeme Anhang 3. Transformationstabellen Reglertypen

3 Merkzettel - Digitale Regelung Seite 3/3 Aufgabentyp. Angabe der nötigen Elemente um den Regler mit einem Digitalregler zu realisieren Strukturbild für digitalen Regler (Abb. ) angeben. Variation besteht nur in: Rückführung und Sollwert separat digitalisiert werden und im Regler dann verknüpft (wie Abb. ) Rückführung und Sollwert analog subtrahiert und dann e(t) digitalisiert Wichtig ist der Takt/Synchronisation mit welchem alle Digitalwandler und der Regler angesteuert werden. Abbildung : Regelkreis mit digitalem Regler 2 Aufgabentyp 2 2. Angabe eines Ablaufdiagramms für Rechnerprogramm Regler Abfolge wie unten (Skript Seite 7) aufmalen. u [k] kann wenn nötig im letzten Schritt berechnet werden (Skript Seite 6). Abbildung 2: Abfolge des Programms Regler Es gibt drei verschiedene Fragestellungen: Ausgabe des Stellsignals möglichst schnell nach dem Einlesen der Messwerte: Hier soll u [k + ] (bzw. u [k] nach dem Altern) im letzten Schritt berechnet werden damit beim Berechnen von u[k] weniger Zeit benötigt wird: u[k] = y[k] + w[k] + u [k]

4 Merkzettel - Digitale Regelung Seite 4/3 Zwischen Ausgabe des Stellsignals und Einlesen der Messwerte liegt gerade die Zeit eines Abtastintervalls: Ausgabe des Stellsignals wird im Ablaufdiagramm direkt vor das Einlesen der Messwerte verschoben. Somit wird eine Ausgabe immer exakt zum selben Zeitpunkt gewährleistet. Eine Verteilung der Rechenoperationen ist somit nicht notwendig. Ein Sollwert y[k] oder w[k] ist mindestens einen Abtastschritt im Voraus bekannt: Man kann diesen im Vorraus bekannten Sollwert bereits in die Berechnung von u [k] mit einbeziehen! Somit wird die Ausgabe des Stellsignals nochmals beschleunigt. 3 Aufgabentyp 3 3. Herleiten eines Integrationsalgorithmus Zunächst prüfen welche Approximation für den Integrationsalgorithmus angewandt werden soll: aktuelle Werte: Obersumme A(kT ) = e(kt )T vergangene Werte: Untersumme A(kT ) = e((k )T )T vergangene und aktuelle Werte: Trapezregel A(kT ) = T 2 {e((k )T ) + e(kt )} Beispielhaftes Vorgehen für Obersumme: t e(τ)dτ = t0 e I (t) = e I (t 0 ) + t e(τ)dτ + t t 0 t 0 e(τ)dτ t := kt ; t 0 := (k )T e I (kt ) = e I ((k )T ) + kt e(τ)dτ (k )T e(τ)dτ } {{ } A(kT ) A(kT ) = e(kt )T (hier: Obersumme - je nach Fragestellung einsetzen!) kt := k e I [k] = e I [k ] + e[k]t (Integrationsalgorithmus) Analog für u: u I [k] = u I [k ] + u[k]t 3.2 Entwickeln eines digitalen Regelalgorithums Gegeben zeitkontinuierlicher Regler mit Differentialglg. z.b.: T R u(t) + u(t) = k R e(t) u(t) = T R (k R e(t) u(t)) Nun Umformen bis der in 3. entwickelte Integrationsalgorithums eingesetzt werden kann:

5 Merkzettel - Digitale Regelung Seite 5/3 u(t) = T R k R t e(t) e I (t) t u(t) } {{ } u I (t) t := kt ; t 0 := (k )T kt := k mit e I [k] = e I [k ] + e[k]t und u I [k] = u I [k ] + u[k]t u[k] = (k R e I [k] u I [k]) T R (Gleichung integrieren) 4 Aufgabentyp 4 4. Z-Übertragungsfunktion für Integrationsalgorithmus herleiten Zeitdiskreter Regelalgorithmus ergibt sich aus dem zeitkontinuierlichen, indem man die Integration durch einen Integrationsalgorithmus ersetzt. Damit erhält man die z-übertragungsfunktion des zeitdiskreten Reglers aus der s-übertragungsfunktion durch: Herleitung wie 3.: e I [k] = e I [k ] + e[k]t Z T raf o : E I (z) = E I (z)z + E(z)T E I (z) = T E(z) z = T z z s (Obersumme) 4.2 Z-Übertragungsfunktion berechnen (quasikontinuierliche Regelung) Zunächst in Laplace überführen. Danach alle s ersetzen mit: s Damit hat man F (z) direkt vorliegen. ersetzen durch T z T z T 2 z z+ z Untersumme Obersumme Trapezregel 4.3 Bedingung für Abtastzeit T Damit ein Digitalregler in etwa dasselbe Regelkreisverhalten wie ein zeitkontinuierlicher Regler besitzt muss gelten: T < 0,... 0, 2 T Dies ist darauf Zurückzuführen, da die Frequenzgänge eines zeitkontinuierlichen Reglers mit denen einen digitalen Reglers nur für niedrige Frequenzen ω π T übereinstimmen. Deshalb muss die Abtastfrequenz f ab = T genügend hoch gewählt werden. Somit können die gleichen Reglerparameter wie im zeitkontinuierlichen Bereich verwendet werden. 4.4 Parametrierung eines quasikontinuierlichen digitalen Reglers Algorithmus für PI-Regler siehe Punkt.2 (Seite 3). Die Koeffizienten dieses Algorithmus werden mit Hilfe der Methode der Doppelverhältnisse bestimmt (Skript Seite 22f.)

6 Merkzettel - Digitale Regelung Seite 6/3 5 Aufgabentyp 5 5. Zeitkontinuierliche Beschreibung eines digitalen Regelkreises Strukturbildumformung:. D/A Umsetzer direkt zum A/D Wandler vorverlegen (Abb. 3 oben) 2. A/D - D/A wird zu Abtast-Halteglied umbeschrieben (Abb. 3 unten) 3. Abstast-Halteglied besteht aus Impulsabtaster F IA und Halteglied F H (Abb. 4) Abbildung 3: Umformung des digitalen Regelkreises Abbildung 4: Beschreibung eines Abtast-Halteglieds Die Übertragungsfunktion des modifizierten Reglers kann man nun folgendermaßen berechnen F R (s) = U(s) E(s) Da man jedoch normalerweise F R (s) haben möchte muss man das Abtasthalteglied mit einberechnen. F R (s) = F R (s) F IA (s) F H (s) = U(s) E(s) E (s) E(s) E(s) E (s)

7 Merkzettel - Digitale Regelung Seite 7/3 Abbildung 5: Spektrum des künstlichen Signals e (t) Der Impulsabtaster F IA (s) kann nicht exakt beschrieben werden, jedoch das Verhalten des künstlichen Zwischensignals zum Eingangssignal E (s) E(s) (Siehe Abb. 5). Die hochfrequenten Anteile im Spektrum von E (s) werden durch ein genügendes Tiefpassverhalten in den nachfolgenden Teilsystemen herausgefiltert. Damit ergibt sich dann: E (s) E(s) = F IA(s) E (s) E(s) () Desweiteren hat das Halteglied eine Übertragungsfunktion von F H (s) = e st st = E(s) E (s) Einsetzen der Vereinfachung aus Gleichung () F H (s) = E(s) E(s) Somit ergibt sich ein F R (s) von F R (s) = F R (s) F H (s) = U(s) E(s) E(s) E(s) = F R(s) e st st 6 Aufgabentyp 6 6. Vorgehen zur Bestimmung einer exakten zeitdiskreten Beschreibung des Abtastregelkreises Standardmäßiges Vorgehen wie auf Seite 38 im Skript: Y S (s) = F S (s) s y(t) = L {Y (s)} y[k] = y(t = kt ) Y Z (z) = Z {y[k]} U Z (z) = Z {σ[k]} = z z F Z (z) = z Y Z (z) z

8 Merkzettel - Digitale Regelung Seite 8/3 6.2 Exakte Beschreibung der Regelstrecke durch Differenzengleichung (Zustandsgleichung) Zeitkontinuierliche Zustandsgleichung gegeben, z.b.: ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = c T x(t) Gesucht ist zeitdiskrete Zustandsgleichung in der Form: Es gilt: c T = c T d und d d = d (meist d d = 0) x[k + ] = A d x[k] + b d u[k] y[k] = c T d x[k] + d d u[k] Nun geht man von der allgemeine Lösung der Zustandsgleichung aus: x(t) = e A(t t0) x(t 0 ) + Durch Umformung (siehe Skript Seite 29) führt dies zu: mit x[k + ] = e AT x[k] + A d = e AT b d = (k+)t Falls A existiert, kann man b d (T ) berechnen zu kt t (k+)t kt t 0 e A((k+)T τ) bdτ = b d (T ) = A [ e AT I ] b e A(t τ) bu(τ)dτ e A((k+)T τ) bdτ u[k] T 0 e Aν bdν 6.3 Zusammenhang zw. Eigenwerten der zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Beschreibung Herleitung siehe Abb. 6: Abbildung 6: Beziehung zwischen den Eigenwerten zeitkontinuierlicher und zeitdiskreter Systeme Dies führt auf den Zusammenhang zw. den Eigenwerten: z ν = e s νt

9 Merkzettel - Digitale Regelung Seite 9/3 6.4 Wieviele Nullstellen besitzt die z-übertragungsfunktion Unabhängig davon, ob das zeitkontinuierliche System eine Nullstelle besitzt, weist die zeitdiskrete Beschreibung n Nullstellen auf. Bei Systemen mit Totzeit ergibt sich der Nennergrad zu n + m + und der Zähler zu n + = n. Begründung (siehe auch Seite 44 Skript) Ausgangsformel: Rücktransformieren in k -Bereich. F Z (z) = Y Z(z) U Z (z) = b n z n b 0 z n + a n z n a 0 Danach einmal Auswerten für k = n und einmal für k = n +. Daraus folgt dann: Hieraus ergibt sich, dass n Nullstellen existieren. y[0] = 0 y[] = b n 7 Aufgabentyp 7 7. Störsignale im Regelkreis (Aliasing) Falls Strukturbild gegeben, schauen wo Störung eingreift. Aliasing entsteht dann immer hinter dem nächsten A/D- Wandler. Erklärung: Ist ω a < 2ω g, weist das Spektrum von y st aufgrund von Überlappungen bei der Faltung Veränderungen auf (siehe Abb. 7). Dieser Effekt wird Aliasing genannt und führt dazu, dass Frequenzanteile im Bereich oberhalb der halben Abtastfrequenz zu niederfrequenten Schwankungen des Abtastsignals führen. Sie greifen an der gleichen Stelle wie w[k] an und werden als niederfrequente Störungen vom Regler registriert und bekämpft, obwohl diese nicht existieren (Phantomstörungen)! Abbildung 7: Periodisches Spektrum durch Abtastung

10 Merkzettel - Digitale Regelung Seite 0/3 7.2 Vermeidung bzw. Verringerung des Fehlers Eine Möglichkeit der Verringerung ist der Einbau eines Anti-Aliasing-Filters nach dem Störeingriff und vor dem A/D-Wandler (In Strukturbild einzeichnen!). Dieser senkt Frequenzanteile oberhalb ω a /2 stark ab, sodass der verbleibende Aliasing-Fehler nicht mehr relevant ist. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Störung im Nulldurchgang abzutasten, falls diese periodisch ist. 7.3 Theoretische Bedingung zur vollständigen Vermeidung des Aliasing-Fehler Nötig wäre ein idealer Tiefpass mit F T P = 0 oberhalb der Grenzfrequenz ω > ω a /2. Dies ist jedoch nicht realisierbar. 7.4 Problemvermeidung durch flexiblen Regelkreiszusatz Durch hochfrequente Abtastung mit einem entsprechend angepasstem analogen Tiefpass ergibt sich ein zeitdiskretes Signal y[k] bei dem durch einen digitalen Tiefpass die Frequenzanteile oberhalb von ω a /2 unterdrückt werden können. Dies bietet die Möglichkeit der einfachen/flexiblen Anpassung der Eckfrequenz. 8 Aufgabentyp 8 8. Numerische Probleme bei relativ hoher Abtastfrequenz Bei sehr kleinen Abtastzeiten tritt das Problem auf, dass b d (T 0) 0 geht und alle Eigenwerte (=Pole) nach z = wandern. Daraus resultieren numerische Probleme bei der Simulation Reglerdimensionierung Reglerrealisierung Abhilfe schafft eine modifizierte Beschreibung des Abtastsystems ( -Transformation): Auf beiden Seiten x[k] abziehen und die Gleichung durch T dividieren führt auf x[k + ] = A d x[k] + b d u[k] x[k + ] x[k] = [A d I] x[k] + b d u[k] x[k + ] x[k] T = [A d I] T } {{ } A δ x[k] + b d T b δ u[k] 8.2 Zusammenhang zwischen der z- und der δ-transformierten Eine geeignete Transformation für die zeidtiskrete Darstellung lautet: {y[k]} = Y δ (δ) = T y[k]( + δt ) k k=0 Zum Vergleich die z-transformation: Y Z (z) = y[k]z k k=0

11 Merkzettel - Digitale Regelung Seite /3 Beide Transformationen lassen sich ineinander überführen: Y δ (δ) = T Y Z (z = + δt ) Y Z (z) = T Y δ (δ = T ) (z ) Beziehungsweise für die Übertragungsfunktionen F δ (δ) = F Z (z = + δt ) F Z (z) = F δ ( δ = T (z ) ) 8.3 Zusammenhang zwischen den Polen der z- und der δ-transformierten Der Zusammenhang zw. den Transformierten siehe Punkt 8.2 (Seite 0) führt auf den Zusammenhang zw. den Polen: z = + δt bzw. δ = (z ) T Und damit zu dem Stabilitätsgebiet in δ: δ = T (z ) Kreis mit R= Streckung Abbildung 8: Pollagen in der z-ebene (links) und δ-ebene (rechts) Für T = 0 geht der Radius in der δ-ebene gegen. Damit geht das Stabilitätsgebiet der δ-transformierten in das der Laplace-Transformierten über. 8.4 Unterschiede/Gemeinsamkeiten der WOK bzw. Nyquist im zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Bereich Nyquist: Bei Konstruktion und Stabilität keine Unterschiede zw. zeitkontinuierlich und zeitdiskret Wurzelortskurve: Gemeinsamkeit: Konstruktionsregeln gelten im zeitkontinuierlichen wie auch im zeitdiskreten Unterschied besteht im Stabilitätsgebiet: Zeitkontinuierlich: Stabilitätsgebiet links der Imaginärachse Zeitdiskret: Stabilitätsgebiet innerhalb Einheitskreis um den Ursprung

12 Merkzettel - Digitale Regelung Seite 2/3 9 Aufgabentyp 9 9. Definition der Nyquist-Ortskurve F R (z = e jωt ) F S (z = e jωt ) für π ωt π 9.2 Definition des Nyquist-Stabilitätskriterium Für zeitdiskrete Systeme: Für zeitkontinuierliche Systeme: + F O (z = e jωt ) = 0 für π ωt π + F O (s = jω) = 0 für ω 9.3 Kritische Verstärkung/Bereich von k R bei Nyquist Im Bild der Ortskurve den Schnittpunkt mit der reellen Achse finden (x ). Dort ist die Verstärkung k R, =. Die kritische Verstärkung tritt auf wenn die Ortskurve durch den Punkt x krit = läuft. Daraus ergibt sich die kritische Verstärkung über den Dreisatz: k R,krit = x krit x k R, 9.4 Kritische Verstärkung/Bereich von k R bei WOK WOK stabil für F O =. Als Beispiel für F O = k R z(z ) F O = k R k R,krit = z = = (z ) = Betrag von z ergibt sich durch die Zeigeraddition von dem Pol bei ausgehend (Vektor bis zum 2. Pol und von diesem aus dann + Vektor z muss ebenfalls vom Betrag her ergeben) 9.5 Kreisfrequenz bei maximaler Reglerverstärkung berechnen (WOK) Grafisch den Winkel zw. der reellen-achse und dem Vektor von Polen/Nullstellen zum Punkt der max. Verstärkung bestimmen. Dieser Winkel entspricht dem Winkel ϕ. ϕ {}}{ Aus z = e j ωt folgt ϕ = ωt und daraus die Kreisfrequenz bei maximaler Reglerverstärkung: ω = ϕ T 0 Aufgabentyp 0 0. Systeme mit verschiedenen Abtastzeiten Strukturbildumformung von den Abtastverhältnissen her so aufteilen, dass die kleinste Abtastzeit innen liegt, die größte außen (vgl. Kaskadenschaltung).

13 Merkzettel - Digitale Regelung Seite 3/3 Formel für Transformation aus der Zeit T in Zeit T 2 (m entspricht dem Verhältnis der Abtastzeiten T2 T ): x[k 2 + ] = x[k + m] = A m à m x[k 2 ] + ν=0 A ν b u[k2] } {{ } b 0.2 Eigenschaften unterabgetasteter Systeme Die Ordnung bleibt erhalten und die Zustände werden exakt wiedergegeben (Entspricht Übergang vom zeitkont. in zeitdiskret) Eigenwerte (Pole der Ü.fkt.) verändern sich Anhang. Transformationstabellen Hier die wichtigsten Umformungen: y[k] Y Z (z) z σ[k] := z e akt z := z e at Z {y[k a]} = z a Y Z (z) F S (s) F Z (z) e st := z T := s (z ) a (s + a) := e at (z e at ).2 Reglertypen PI-Regler: + st N F R (s) = k R st { N bzw. zeitkont.: u(t) = k R e(t) + t T N bzw. zeitdiskret: u[k] = k R { e[k] + T N e I [k] } } e(τ)dτ