Plattentektonik. 4.2 Änderung für Columbus OH innerhalb von 10 Jahren:...13
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- Hansl Glöckner
- vor 6 Jahren
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1 Gander Daniel 3399 GEOMATHEMATIK SS TECHNISCHER BERICHT. Übungsrogramm: Orthogonale Transformationen - Plattentektonik. AUFGABENSTELLUNG:...3. LÖSUNGSWEG:...3. Rotationsvektor und Rotationsgeschwindigkeit der Platte:...3. Änderung für Columbus OH innerhalb von Jahren: Verifizierung der Ergebnisse von a) und b): ERGEBNISSE: DURCHFÜHRUNG UND ZWISCHENERGEBNISSE: Rotationsvektor und Rotationsgeschwindigkeit der Platte: Berechnung des -Vektors: Berechnung des -Vektors: Berechnung des -Vektors: Berechnung des -Vektors: Berechnung des Rotationsvektors : Berechnung der Rotationsgeschwindigkeit: Änderung für Columbus OH innerhalb von Jahren: Berechnung des 3-Vektors: Rotation in Jahren: Berechnung der Drehmatri: Kontrolle der Drehmatri: Berechnung des 3-Vektors Variante : Berechnung des 3-Vektors Variante : Kontrolle beider Varianten: Verschiebung von Columbus OH: Verifizierung der Ergebnisse von a) und b): Verifizieren des Rotationsvektors: Verifizieren der Rotatinosgeschwindigkeit: Verifizieren der Drehmatri: Verifizieren der Verschiebung in Columbus OH:... 5 Graz, am Daniel Gander
2 Gander Daniel 3399 GEOMATHEMATIK SS. Aufgabenstellung: Duch VLBI-Messungen stellte man fest, dass sich innerhalb von 5 Jahren die beiden VLBI- Stationen Fort Davis (TX) und Mammoth Lakes (CA) um die angegebenen Beträge db bzw. dl verschoben haben. Zu bestimmen sind der Rotationsvektor, die Rotationsgeschwindigkeit und die zu erwartende Verschiebung der VLBI-Station Columbus (OH) in Jahren. Außerdem sind alle Berechnung mittels einer infinitesimalen Drehung der Platte zu verifizieren. Weitere Angaben können dem Angabeblatt (ang_ss.dat) entnommen werden.. Lösungsweg:. Rotationsvektor und Rotationsgeschwindigkeit der Platte: Für die Berechnung des Rotationsvektors und der Rotationsgeschwindigkeit α werden Ortsvektoraare benötigt, P vor und nach der Verschiebung und P vor und nach der Verschiebung. Die Ortsvektoren bestehen aus den [,,z] T Komonenten ihrer Koordinaten. Diese können aus der geograhischen Breite und Länge folgendermaßen berechnet werden. cos cos z sin ( b) cos( l) ( b) sin( l) ( b) Die geograhischen Koordinaten nach der Verschiebung können durch Addition der ursrünglichen Koordinaten mit db bzw. dl ermittelt werden. Anschließend können durch Differnzbildung Hilfsvektoren h und h orthogonal zu berechnet werden. Aus dem Kreuzrodukt beider Hilfsvektoren und normieren des Ergebnisses erhält man den Rotationsvektor. Durch Searation eines Ortsvektoraares kann der Anteil in berechnet werden, die Searation kann entweder mit dem gedrehten oder dem nicht gedrehten Ortsvektor durchgeführt werden. Hier wurde aus beiden Varianten ein Mittel berechnet. Die Anteile orthogonal zu ( und ) können dann aus der Differenz des Ortsvektors (vor oder nach der Drehung, hier wiederum Mittel aus beiden Varianten) und dem Anteil in berechnet werden. ( ) ( ) ( ) ( ),, ( + ( ) ( ) ) ( ) Die Rotationsgeschwindigkeit α kann folgendermaßen aus den orthogonalen Anteilen zu ermittelt werden. Wiederum wurde α aus dem Mittelwert von Varianten bestimmt. 3
3 Gander Daniel 3399 GEOMATHEMATIK SS α arccos ( ) ( ) α arccos ( ) ( ),, ( ) ( ) ( ) ( ) α + α α Aufgrund der numerischen Instabilität des Cosinus ist folgende Formel geeigneter: α arcsin α arcsin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α + α α Bei der Berechnung wurde der Male- Befehl angle für die Berechnung von α verwendet da die Abweichung zum arcsin nur,5 * -8 [sek] beträgt. Da die Verschiebung für 5 Jahre gegeben ist, die Rotationsgeschwindigkeit allerdings für Jahr und in Altsekunden / Jahr berechnet werden soll, muss das Ergebnis zuerst durch 5 dividiert und dann in Altsekunden umgerechnet werden.. Änderung für Columbus OH innerhalb von Jahren: Zuerst gilt es wieder den ungedrehten Ortsvektor von Columbus zu bestimmen, dies erfolgt analog zu.. Zu berechnen ist die Veränderung der VLBI-Station in Jahren, dazu muss der gedrehte Ortsvektor berechnet werden. Da sich die Station wie die anderen beiden auf der als starr angenommenen nordamerikanischen Platte befindet, hat sie die selbe Rotationsgeschwindigkeit wie die anderen beiden Stationen macht aber in Jahren natürlich die -fache Drehung eines Jahres mit. Um den gedrehten Ortsvektor zu berechnen benötigt man eine Drehmatri. Variante : R V R V e e e * * 3 * * * * [ e, e, e ] e * 3 Variante : Π Π * NORM NORM e V * T 3 + T cos( α) sin( α) sin( α) * R cos( α) 3 R 3 ( I Π ) α) + ( ( I Π ) ) sin( ) cos( α Siehe Skritum, Formelaarat S.8 Siehe Skritum, Formelaarat S.8f 4
4 Gander Daniel 3399 GEOMATHEMATIK SS Kontrolle der Drehmatri: - Determinante der Drehmatri muss sein: ) det(r Multilikation aus R T und R muss I ergeben R R T Anwendung von R auf P muss P ergeben: Abweichung Anwendung von R auf P muss P ergeben: Abweichung Durch die Differenz beider Varianten zur Berechnung des 3 -Vektors kann das Ergebnis kontrolliert, die Abweichung beträgt: ) ( ) ( Nun gilt es die Länge und Breite aus dem gedrehten Ortsvektor rückzurechnen, damit die Verschiebung dl und db durch Differenzbildung ermittelt werden kann..3 Verifizierung der Ergebnisse von a) und b): Zuerst wird der berechnete Rotationsvektor verifiziert, dazu muss er aus einer infinitesimalen Ähnlichkeitstransformation 3 neu berechnet werden. ( ) d d d z z d d z d d d z d z d d d δ δ 3 Siehe Skritum S. 5
5 Gander Daniel 3399 GEOMATHEMATIK SS Da wir beide Ortsvektoraare gegeben haben kann sowohl für den Punkt P als auch für den Punkt P kann ein Gleichungssstem aufgestellt werden. ' ' ' z z z z ' ' ' z z z z Werden die Gleichungsssteme mittels Gauss-Jordan-Algorithmus aufgelöst, erhalten wir singuläre Matrizen, welche keine Lösung liefern. Um den Rangdefekt zu beheben kann man jeweils eine Zeile des. Gleichungssstems mit derselben Zeile des. Gleichungssstems vertauschen und wiederum vereinfachen. So kommt man auf 6 verschiedene Möglichkeiten und 6 Näherungen für die Lösung, deshalb wurde am Ende der Mittelwert über alle Lösungen gebildet. Durch normieren des δ-vektors erhalten wir den Rotationsvektor. Die Abweichung zum unter Punkt. berechneten Rotationsvektor beträgt: c a Nun gilt es die ebenfalls unter Punkt. berechnete Rotationsgeschwindigkeit zu verifizieren. Die Norm des v-vektors ergibt unsere Rotationsgeschwindigkeit α, wiederum für 5 Jahre, umgerechnet auf Jahr ergibt sich folgende Abweichung in Altsekunden zur unter Punkt. berechneten Rotationsgeschwindigkeit: c a α α Aus dem δ-vektor kann wie folgt die Drehmatri bestimmt werden δ δ δ δ δ δ I R Da wir die Drehmatri mit der in Punkt. berechneten Drehmatri vergleichen wollen, muss sie auf Jahre berechnet werden, deshalb erklärt die Multilikation mit (δ wurde auf 5 Jahre berechnet). Es ergibt sich folgende Abweichung: c R b R Um die Verschiebung in Columbus zu verifizieren werden wiederum analog zu Punkt. zwei Berechnungsvarianten angewendet und anschließend verglichen. Die Abweichung des neuberechnten 3 -Vektors beider Varianten beträgt: 6
6 Gander Daniel 3399 GEOMATHEMATIK SS ( ) 3 () Aus dem 3-Vektor kann analog zu Punkt. die geograhische Länge und Breite und damit die Differenz zum ungedrehten Vektor berechnet werden. DieAbweichung zum unter Punkt. berechneten db und dl beträgt: db db b c dl dl b c 3. Ergebnisse: a) Rotationsvektor und Rotationsgeschwindigkeit:, , , α [ Sek. ], 776 Jahr b) Änderung von Columbus OH (db und dl) in Jahren: db [ Sek. ], 46 dl [ Sek. ], 48 c) Verifizierung der Ergebnisse von a) und b): - Rotationsvektor:, , , Rotationsgeschwindigkeit: α [ Sek. ], 78 Jahr - Änderung in Columbus OH (db und dl) in Jahren: db [ Sek. ], 436 dl [ Sek. ], 485 7
7 4. Durchführung und Zwischenergebnisse: Die Berechnung wurde mit Male 6. durchgeführt, es folgen Ausschnitte des Berechnungsrotokolls. Eingegebene Befehle und Formeln sind rot, die Zwischenergebnisse blau dargestellt. with(linalg); with(linearalgebra); Digits:3; Digits : 3 Inut:evalf(matri(,4,[(3+38/6)*Pi/8,(-3-57/6)*Pi/8,-.43/36*Pi/8,.9/36*Pi/8,(37+38/6)*Pi/8,(-8-56/6)*Pi/8,-.64/36*Pi/8,.8/36*Pi/8])); Inut : [ , , , ] [ , , , ] 4. Rotationsvektor und Rotationsgeschwindigkeit der Platte: 4.. Berechnung des -Vektors: P:cos(Inut[,])*cos(Inut[,]); P:cos(Inut[,])*sin(Inut[,]); Pz:sin(Inut[,]); P : :<P,P,Pz>; P : Pz :
8 : Berechnung des -Vektors: P:cos(Inut[,])*cos(Inut[,]); P:cos(Inut[,])*sin(Inut[,]); Pz:sin(Inut[,]); P : :<P,P,Pz>; P : Pz : : Berechnung des -Vektors: Pb_s:Inut[,]+Inut[,3]; Pl_s:Inut[,]+Inut[,4]; P_s:cos(Pb_s)*cos(Pl_s); P_s:cos(Pb_s)*sin(Pl_s); Pz_s:sin(Pb_s); :<P_s,P_s,Pz_s>; Pb_s : Pl_s : P_s : P_s : Pz_s :
9 : Berechnung des -Vektors: Pb_s:Inut[,]+Inut[,3]; Pl_s:Inut[,]+Inut[,4]; P_s:cos(Pb_s)*cos(Pl_s); P_s:cos(Pb_s)*sin(Pl_s); Pz_s:sin(Pb_s); :<P_s,P_s,Pz_s>; 4..5 Berechnung des Rotationsvektors : h:-; h:-; Pb_s : Pl_s : P_s : P_s : Pz_s : : h :
10 w_stern:crossproduct(h,h); w:w_stern/(norm(w_stern,)); h : w_stern : w : Berechnung von Omega aus Varianten und Bildung des Mittelwertes: w:dotrod(w,)*w; w:dotrod(w,)*w; w:(w+w)/; w : w : w :
11 4..6 Berechnung der Rotationsgeschwindigkeit: :-w; :-w; : : alha:arccos(dotrod(,)/dotrod(,)); alha:angle(,); :-w; :-w; α : α : : : alha:arccos(dotrod(,)/dotrod(,)); alha:angle(,); α : α :
12 alha:(alha+alha)/; α : Rotationsgeschwindigkeit / Jahr [Radiant] alha:alha/5; α : Rotationsgeschwindigkeit / Jahr [Altsekunden] alha_sec:evalf(alha*8/pi)*36; alha_sec : Änderung für Columbus OH innerhalb von Jahren: 4.. Berechnung des 3-Vektors: Pb3:evalf(4*Pi/8); Pb3 : Pl3:evalf(-83*Pi/8); P3:cos(Pb3)*cos(Pl3); P3:cos(Pb3)*sin(Pl3); Pz3:sin(Pb3); Pl3 : P3 : P3 : Pz3 : :<P3,P3,Pz3>;
13 : Rotation in Jahren: alha_b:alha*; alha_b : Berechnung der Drehmatri: e3_s:w; e3_s : w_stern_normal:<-w_stern[],w_stern[],>; w_stern_normal : e_s:w_stern_normal/vectornorm(w_stern_normal,); e_s : e_s:crossproduct(e3_s,e_s); e_s : V:concat(e_s,e_s,e3_s);
14 V : R_s:matri(3,3,[cos(alha_b),-sin(alha_b),,sin(alha_b),cos(alha_b),,,,]); R_s : R:evalm(V&*R_s&*(transose(V))); R : Kontrolle der Drehmatri: Determinante der Drehmatri muss sein det(r); Multilikation aus R transoniert und R muss I ergeben evalm(transose(r)&*r); Anwendung von R auf P muss P' ergeben evalm(-evalm(r&*matri(3,,[[],[],[3]])));
15 Anwendung von R auf P muss P' ergeben evalm(-evalm(r&*matri(3,,[[],[],[3]]))); Berechnung des 3-Vektors Variante : 3_:evalm(R&*matri(3,,[3[],3[],3[3]])); _ : _:<3_[,],3_[,],3_[3,]>; _ : Berechnung des 3-Vektors Variante : i:identitmatri(3); i : PIw:multil(matri(3,,[w[],w[],w[3]]),transose(matri(3,,[w[],w[],w[3]])));
16 PIw : teil:evalm(piw&*(matri(3,,[3[],3[],3[3]]))); teil : teil_:evalm((i-piw)&*(matri(3,,[3[],3[],3[3]]))); teil:evalm(teil_*cos(alha_b)); teil_ : teil : teil3_:crossproduct(w,<teil_[,],teil_[,],teil_[3,]>); teil3:evalm(matri(3,,[teil3_[],teil3_[],teil3_[3]])*sin(alha_b)); teil3_ : teil3 : _:evalm(teil+teil+teil3);
17 _ : Kontrolle beider Varianten: evalm(3_-3_); 3:<3_[],3_[],3_[3]>; : Verschiebung von Columbus OH: Länge und Breite von P3' [Radiant] Pb3_s:arcsin(3[3]); Pb3_s : Pl3_s:arcsin(3[]/cos(Pb3_s)); Pl3_s : Länge und Breite von P3' [Grad] Pb3_s_grad:evalf(Pb3_s*8/Pi); Pb3_s_grad : Pl3_s_grad:evalf(Pl3_s*8/Pi); Pl3_s_grad :
18 db und dl für den Punkt P3 [Grad] db3_grad:evalf(pb3_s_grad-4); dl3_grad:evalf(pl3_s_grad+83); db und dl für den Punkt P3 [Altsekunden] db3_grad : dl3_grad : db3_sec:db3_grad*36; dl3_sec:dl3_grad*36; db3_sec : dl3_sec : Verifizierung der Ergebnisse von a) und b): 4.3. Verifizieren des Rotationsvektors: CrossProduct(<d_w,d_w,d_w3>,<,,z>); d_w z d_w3 d_w3 d_w z d_w d_w. Gleichungssstem matri(3,4,[,z,-,[]-[],-z,,,[]-[],,-,,[3]-[3]]); mat_:matri(3,4,[,[3],-[],[]-[],-[3],,[],[]-[],[],- [],,[3]-[3]]); z z
19 , , , mat_ : ,, , , ,, Gleichungssstem matri(3,4,[,z,-,[]-[],-z,,,[]-[],,-,,[3]-[3]]); mat_:matri(3,4,[,[3],-[],[]-[],-[3],,[],[]-[],[],- [],,[3]-[3]]); z z , , , mat_ : ,, , , ,, rref(mat_); rref(mat_);
20 Vertauschen der. Zeile in der. Matri mit der. Zeile in der. Matri reg_mat_:matri(3,4,[mat_[,],mat_[,],mat_[,3],mat_[,4],mat_[,],mat_[,],mat_ [,3],mat_[,4],mat_[3,],mat_[3,],mat_[3,3],mat_[3,4]]); lsg_mat_:rref(reg_mat_);, , , reg_mat_ : ,, , , ,, lsg_mat_ : Vertauschen der. Zeile in der. Matri mit der. Zeile in der. Matri reg_mat_:matri(3,4,[mat_[,],mat_[,],mat_[,3],mat_[,4],mat_[,],mat_[,],mat_ [,3],mat_[,4],mat_[3,],mat_[3,],mat_[3,3],mat_[3,4]]); lsg_mat_:rref(reg_mat_);, , , reg_mat_ : ,, , , ,, lsg_mat_ : Vertauschen der 3. Zeile in der. Matri mit der 3. Zeile in der. Matri reg_mat_3:matri(3,4,[mat_[,],mat_[,],mat_[,3],mat_[,4],mat_[,],mat_[,],mat_ [,3],mat_[,4],mat_[3,],mat_[3,],mat_[3,3],mat_[3,4]]);
21 lsg_mat_3:rref(reg_mat_3);, , , reg_mat_3 : ,, , , ,, lsg_mat_3 : Vertauschen der. Zeile in der. Matri mit der. Zeile in der. Matri reg_mat_4:matri(3,4,[mat_[,],mat_[,],mat_[,3],mat_[,4],mat_[,],mat_[,],mat_ [,3],mat_[,4],mat_[3,],mat_[3,],mat_[3,3],mat_[3,4]]); lsg_mat_4:rref(reg_mat_4);, , , reg_mat_4 : ,, , , ,, lsg_mat_4 : Vertauschen der. Zeile in der. Matri mit der. Zeile in der. Matri reg_mat_5:matri(3,4,[mat_[,],mat_[,],mat_[,3],mat_[,4],mat_[,],mat_[,],mat_ [,3],mat_[,4],mat_[3,],mat_[3,],mat_[3,3],mat_[3,4]]); lsg_mat_5:rref(reg_mat_5);, , , reg_mat_5 : ,, , , ,,
22 lsg_mat_5 : Vertauschen der 3. Zeile in der. Matri mit der 3. Zeile in der. Matri reg_mat_6:matri(3,4,[mat_[,],mat_[,],mat_[,3],mat_[,4],mat_[,],mat_[,],mat_ [,3],mat_[,4],mat_[3,],mat_[3,],mat_[3,3],mat_[3,4]]); lsg_mat_6:rref(reg_mat_6);, , , reg_mat_6 : ,, , , ,, Mittelwert bilden lsg_mat_6 : dw:(lsg_mat_[,4]+lsg_mat_[,4]+lsg_mat_3[,4]+lsg_mat_4[,4]+lsg_mat_5[,4]+lsg_mat_6[, 4])/6; dw:(lsg_mat_[,4]+lsg_mat_[,4]+lsg_mat_3[,4]+lsg_mat_4[,4]+lsg_mat_5[,4]+lsg_mat_6[, 4])/6; dw3:(lsg_mat_[3,4]+lsg_mat_[3,4]+lsg_mat_3[3,4]+lsg_mat_4[3,4]+lsg_mat_5[3,4]+lsg_mat_6[3, 4])/6; dw:<dw,dw,dw3>; dw : dw : dw3 :
23 w_c:dw/(vectornorm(dw,)); dw : w_c : Abweichung w-w_c; Verifizieren der Rotatinosgeschwindigkeit: alha_c:evalf(vectornorm(dw,)/5); alha_c_grad:evalf(alha_c*8/pi); alha_c : alha_c_grad : alha_c_sec:evalf(alha_c_grad*36); alha_c_sec : Abweichung alha_sec-alha_c_sec;
24 4.3.3 Verifizieren der Drehmatri: dr:matri(3,3,[,-dw[3],dw[],dw[3],,-dw[],-dw[],dw[],]); dr : R_c:evalm(IdentitMatri(3)+evalm(*dR)); R_c : Abweichung evalm(r-r_c); Verifizieren der Verschiebung in Columbus OH: Neuberechnung von P3' - Variante 3 c:evalm(r_c&*matri(3,,[3[],3[],3[3]])); c : c:<3 c[,],3 c[,],3 c[3,]>; c :
25 Neuberechnung von P3' - Variante PIw_c:multil(matri(3,,[w_c[],w_c[],w_c[3]]),transose(matri(3,,[w_c[],w_c[],w_c[3] ]))); PIw_c : teil_c:evalm(piw_c&*(matri(3,,[3[],3[],3[3]]))); teil_c : teil_c_:evalm((i-piw_c)&*(matri(3,,[3[],3[],3[3]]))); teil_c:evalm(teil_c_*cos(alha_c)); teil_c_ : teil_c : teil3_c_:crossproduct(w_c,<teil_c[,],teil_c[,],teil_c[3,]>); teil3_c:evalm(matri(3,,[teil3_c_[],teil3_c_[],teil3_c_[3]])*sin(alha_c)); teil3_c_ : teil3_c :
26 3 c:evalm(teil_c+teil_c+teil3_c); c : Kontrolle beider neuberechneten Varianten evalm(3 c-3 c); _c:<3 c[],3 c[],3 c[3]>; _c : Verschiebung in Columbus OH nach Jahren [Altsekunden] db3_sec_c:(evalf(evalf((evalf((arcsin(3_c[3]))*8/pi))-4)))*36; dl3_sec_c:(evalf(evalf((evalf((arcsin(3_c[]/cos(arcsin(3_c[3]))))*8/pi))+83)))*36; db3_sec_c : Aweichung dl3_sec_c : db3_sec-db3_sec_c; dl3_sec-dl3_sec_c;
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