Kapitel II Elastostatik

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1 Kapite II Eatotatik II

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3 II Eatotatik Formeammung II. Zug und Druck Normapannung: σ(x) = N(x) A(x) ; N(x): Normakraft, A(x): Querchnittfäche. Kinematiche Beziehung: ε(x) = du(x) ; ε(x): Dehnung, u(x): Verchiebung. dx Längenänderung: Δ = ε(x)dx ; 0 : Stabänge. Sonderfa geichförmiger Dehnung (ε = kont): Δ = ε. W. Hauger et a., Aufgaben zu Techniche Mechanik -3, DOI 0.007/ _, Springer-Verag Berin Heideberg 04

4 4 Eatotatik: Formeammung Hookeche Geetz (Eatizitätgeetz): ε(x) = σ(x) E + α T ΔT (x) = N(x) EA(x) + α T ΔT (x); E: Eatizitätmodu, α T : thermicher Audehnungkoeffizient, ΔT (x): Temperaturänderung, EA(x): Dehnteifigkeit. Sonderfa mit N =kont,a =kont,δt =0: Δ = F EA ; F = N: axiae Lat. Federteifigkeit de Zugtab: c = F Δ = EA Eratzfederteifigkeiten:. c = j c j (Paraechatung), c = j c j (Reihenchatung). II. Biegung a) Querchnittgrößen Fächenträgheitmomente (Fächenmomente. Ordnung, Lage de Koordinatenurprung beiebig): I y = I p = z da, I z = r da = y da, (y + z )da = I y + I z ; I yz = I zy = yz da, I y,i z :axiaefächenträgheitmomente, I yz : Deviationmoment, I p : poare Fächenträgheitmoment.

5 Biegung 5 Zuammengeetzter Querchnitt: I y = i (I y ) i, I z = i (I z ) i, I yz = i (I yz ) i. Tabee II..: Fächenträgheitmomente Rechteck y b S z h I y bh 3 I z bh 3 Krei y r S z πr 4 4 πr 4 4 dünner Kreiring (t r) y r S πr 3 t πr 3 t t z Drehung der Bezugachen: y η ϕ ϕ z ζ

6 6 Eatotatik: Formeammung I = (I y + I z )+ (I y I z )co ϕ + I yz in ϕ, I = (I y + I z ) (I y I z )co ϕ I yz in ϕ, I = (I y I z ) in ϕ + I yz co ϕ. Hauptträgheitmomente: I, = I y + I z Hauptrichtungen: ± (Iy I z ) + I yz. tan ϕ = I yz I y I z. Tabee II..: Biegeinien Nr. Latfa EI w A EI w B A x a F b B F 6 (β β3 ) F 6 (α α3 ) q 0 A x B q q q 0 3 A x a b B q ( β ) q [4( β3 ) 6( β )+( β ) ]

7 Biegung 7 Mohrcher Krei: Graphiche Darteung der Beziehungen von I y,i z,i yz zu I,I,I und zu I,I in Abhängigkeit von ϕ und ϕ. Auftragung der axiaen Trägheitmomente und de gegen Bezugachdrehungen invarianten Mittepunkt (I y + I z )/ =(I + I )/ =(I + I )/ auf der Abzie, Auftragung der Deviationmomente in Ordinatenrichtung. Drehungen der Bezugachen entprechen entgegengeetzte zweifache Drehungen der Durchmeer de Mohrchen Kreie. Dev.mom. I yz I ϕ ϕ I I z I I + I I y I I ax. Moment EI w(x) F 3 6 [βξ( β ξ )+ ξ α 3 ] EI w max F 3 48 für a = b = / q (ξ ξ3 + ξ 4 ) 5 q q [ξ4 ξ α 4 ( β ) ξ 3 +( β ) ξ]

8 8 Eatotatik: Formeammung Tabee II.. (Fortetzung) Nr. Latfa EI w A EI w B q 0 4 A x B 5 A x a M 0 B b 7 q M 0 6 (3 β ) [ M ] 0 für b =0 6 q M 0 6 (3 α ) [ ] M0 für b =0 3 6 F A x B a b 0 Fa q 0 7 A x B 0 q A q 0 x B 0 a b q β (β 3 β +3) q 0 9 A x B 0 q A M 0 x B 0 M 0 a a b Erkärungen: ξ = x ; α = a ; β = b ; EI =cont; w = dw dx.

9 Biegung 9 EI w(x) EI w max q (7 ξ 0 ξ3 +3ξ 5 ) M 0 [ξ (3 β ) + ξ 3 3 ξ α ] 6 3 M0 7 für a =0 F 3 6 [3 ξ α ξ 3 + ξ α 3 ] F 3 3 für a = q (6 ξ 4 ξ 3 + ξ 4 ) q q [ ξ α 4 4 βξ 3 +6β ( β) ξ ] q (0 ξ 0 ξ 3 +5ξ 4 ξ 5 ) q M 0 (ξ ξ α ) M 0 für a = ξ α n = { (ξ α) n für ξ>α 0 für ξ<α

10 30 Eatotatik: Formeammung Paraeverchiebung der Bezugachen (Satz von Steiner. Vorauetzung: Der Urprung de (y, z)-koordinatenytem it der Fächenchwerpunkt S): ȳ y A S z S ȳ S z z Iȳ = I y + z A, I z = I z +ȳ A, I ȳ z = I yz ȳ z A. Widertandmomente: W y = I y z max, W z = I z y max. b) Hookeche Geetz und Biegeinie Vorauetzung: y und z ind Hauptachen durch den Fächenchwerpunkt. Differenziageichungen der Biegung in z- und in y-richtung: d w(x) dx = M y(x) EI y (x), d v(x) dx = M z(x) EI z (x) [EI y (x) w (x)] = q z (x), [EI z (x) v (x)] = q y (x) ; EI y (x), EI z (x): Biegeteifigkeiten; w bzw. v: Verchiebungen in z- bzw. in y-richtung. Sonderfa gerader Biegung (M z =0)mitEI y = EI =kont,q z = q: EIw IV (x) =q(x).

11 Biegung 3 c) Normapannungverteiung Vorauetzung: y und z ind Achen durch den Fächenchwerpunkt. Normapannung bei chiefer Biegung und Zug: σ(x, y, z) = N(x) A(x) + Δ(x) {[M y (x) I z (x) M z (x) I yz (x)] z (Δ = I y I z Iyz ; neutrae Faer: σ =0). Sonderfa: y und z ind Hauptachen durch S: σ(x, y, z) = N(x) A(x) + M y(x) I y (x) z M z(x) I z (x) y. [M z (x) I y (x) M y (x) I yz (x)]y}, Maximapannung: σ max (x) = σ(x, y,z ) ; y,z : Koordinaten de Querchnittpunkt mit dem maximaen Abtand von der neutraen Faer. Sonderfa gerader Biegung (M z =0,I yz = 0) ohne Längkraft (N =0): σ(x, z) = M y(x) I y (x) z, σ max(x) = M y(x) W y (x).

12 3 Eatotatik: Formeammung II.3 Torion Tabee II.3.: Torionwidertandmomente und Torionträgheitmomente Vokreiquerchnitt r W T I T π π r3 r4 dickwandige Kreirohr ra ri π ra 4 ri 4 r a π (r4 a r4 i ) dünnwandige gechoene Hohquerchnitte Am tmin t() A m t 4 A min m d/t dünnwandige Kreirohr (t r) r t πr t πr 3 t chmae Rechteck (t h) h t 3 ht 3 ht3 dünnwandiger Kreibogen (t rα) r α t 3 rαt 3 rαt3 au chmaen Rechtecken zuammengeetzte Profie 3 i h i t 3 i t max 3 h i t 3 i i

13 Prinzip der virtueen Kräfte 33 Maximae Schubpannung: τ max (x) = M T(x) W T (x) ; M T (x): Torionmoment, W T (x): Torionwidertandmoment. Verdrehwinke pro Längeneinheit: dϑ(x) dx = M T(x) GI T (x) ; G: Schubmodu, I T (x): Torionträgheitmoment, GI T (x): Torionteifigkeit. Reative Verdrehung der Endquerchnitte: M T (x) Δϑ = GI T (x) dx. 0 Sonderfa: M T =kont,i T =kont: Δϑ = M T GI T. II.4 Prinzip der virtueen Kräfte a) Verchiebung (Verdrehung) f an der Stee i eine Sytem: N N M f = EA dx + M EI dx + MT MT dx ; GI T N,M,M T : Schnittgrößenveräufe infoge der gegebenen Beatung, N, M, M T : Schnittgrößenveräufe infoge einer virtueen Kraft (eine virtueen Moment) an der Stee i in Richtung der geuchten Verchiebung (Verdrehung). Sonderfa Fachwerk: f = S j Sj j (EA) j.

14 34 Eatotatik: Formeammung Tabee II.4.: Tafe der Integrae (Koppetafe) M i M k k k k k k i ik ik ik i(k + k ) i ik ik ik i(k k ) 3 i i (i + i )k (i 6 +i )k (i 6 + i )k (i 6 k + i k + i k + i k ) quad. Parabe i quad. Parabe i quad. Parabe i kub. Parabe i kub. Parabe i ik ik ik i(k k ) ik 5 ik ik i(3k k ) ik ik ik i(k k ) ik ik ik i(k k ) 3 ik ik ik i(4k k ) 9 kub. Parabe i ik ik 7 ik i(7k k ) Quadratiche Paraben: kennzeichnet den Scheitepunkt Kubiche Paraben: kennzeichnet die Nutee der Dreieckbeatung Trapeze: i und i (bzw. k und k )können unterchiediche Vorzeichen haben

15 Spannungzutand, Verzerrungzutand, Eatizitätgeetz 35 b) Statich unbetimmte Kraft (Moment) X bei einem einfach tatich unbetimmten Sytem: N N 0 M EA dx + M 0 EI X = N EA dx + dx + M EI dx + MT M T0 GI T M T dx GI T dx ; 0 -Sytem: Statich betimmte Sytem mit gegebener Beatung, -Sytem: Statich betimmte Sytem mit Beatung durch eine Kraft (ein Moment) an der Stee der tatich unbetimmten Reaktion, N 0,M 0,M T0 : N, M, M T : Sonderfa Fachwerk: Schnittgrößenveräufe im 0 -Sytem, Schnittgrößenveräufe im -Sytem. Sj S (0) j j (EA) X = j. S j j (EA) j II.5 Spannungzutand, Verzerrungzutand, Eatizitätgeetz a) Ebener Spannungzutand Koordinatentranformation: σ = (σ x + σ y )+ (σ x σ y )co ϕ + τ xy in ϕ, σ = (σ x + σ y ) (σ x σ y )co ϕ τ xy in ϕ, τ = (σ x σ y ) in ϕ + τ xy co ϕ.

16 36 Eatotatik: Formeammung y σ y τ yx η σ τ τ σ τ xy σ x ξ x ϕ x Hauptpannungen: σ, = σ x + σ y Hauptrichtungen: tan ϕ = ± τ xy σ x σ y. Maximae Schubpannung: (σx σ y (σx σ y ) + τ xy. τ max = Mohrcher Krei: ) + τ xy τ max = σ σ. Eretzt man da Grundymbo I der Fächenträgheitmomente durch σ und die Koordinatenindize y, z, η, ζ durch x, y, ξ, η in dieer Reihenfoge, o erhät man den Mohrchen Krei für ebene Spannungzutände. b) Ebener Verzerrungzutand Die Koordinatentranformation owie die Ermittung der Hauptdehnungen und der Hauptrichtungen werden wie beim ebenen Spannungzutand durchgeführt. Dabei ind die Spannungen σ x,σ y und τ xy durch die Verzerrungen ε x,ε y und ε xy = γ xy / zu eretzen. (Anm.: E it zu beachten, da in der Literatur auch die Notation ε xy = γ xy benutzt wird). c) Hookeche Geetz (ebener Spanungzutand) ε x = E (σ x νσ y )+α T ΔT, ε y = E (σ y νσ x )+α T ΔT,

17 Knickung 37 γ xy = G τ xy ; ε x,ε y : Dehnungen, γ xy : Geitung, ν: Poionche Zah ; bzw. σ x = E ν (ε x + νε y ), σ y = E ν (ε y + νε x ), τ xy = Gγ xy. Zuammenhang zwichen E, G und ν: E =(+ν) G. d) Vergeichpannung (ebener Spannungzutand) Schubpannunghypothee (Treca): (σ x σ y ) +4τxy für σ σ < 0, σ V = max σ x + σ y ± (σ x σ y ) +4τxy für σ σ 0. Hypothee der Getatänderungenergie (Huber-v. Mie-Hencky): σ V = σ x + σ y σ x σ y +3τ xy. II.6 Knickung a) Differenziageichung für die Auenkung: (EIw ) + Fw =0. b) Sonderfa: EI =kont: w IV + λ w =0 mit λ = F/EI.

18 38 Eatotatik: Formeammung Tabee II.6.: Euerche Knickaten (Euer-Fäe I - IV) in Viefachen von EI/ F F F F I II III IV π 4 π.04 π 4π Agemeine Löung: w(x) =A co λx + B in λx + Cλx+ D ; A, B, C, D: Integrationkontanten. II.7 Querkraftchub Vorauetzung: y und z ind Hauptachen durch den Fächenchwerpunkt. Schubpannung für einen Baken mit Voquerchnitt (Q = Q z ): τ(x, z) = Q(x)S y(z) ; I y b(z) S y (z): tatiche Moment von bei z abgechnittener Teifäche, b(z): Breite de Querchnitt in der Trenninie. Schubpannung für einen Baken mit offenem, dünnwandigem Querchnitt (Q = Q z ): τ(x, ) = Q(x) S y() ; I y t() S y (): tatiche Moment von bei abgechnittener Teifäche, t(): Wandtärke in der Trenninie, : Bogenänge der Trenninie im dünnwandigen Querchnitt.

19 39 Aufgaben II. Zug und Druck Aufgabe II.. Ein Stab (Dichte ϱ, Eatizitätmodu E, Länge ) mit Rechteckquerchnitt (kontante Dicke a, inear veränderiche Breite b(x)) it an einem oberen Ende aufgehängt. Man betimme die Spannung σ(x), die Spannung σ() an der Einpanntee und die Verängerung de Stabe infoge de Eigengewicht. Aufgabe II.. Der dargetete eatiche Stab (Dehnteifigkeit EA) wird am rechten Ende durch eine Feder (Federteifigkeit c = EA/) gehaten.die Beatung beteht au einer inear veränderichen Streckenat n(x) und einer Kraft F = n 0. Man betimme die Veräufe der Normakraft N(x) und der Verchiebung u(x) und tee ie grafich dar. Aufgabe II..3 Ein dünner Kreiring (Eatizitätmodu E, Wärmeaudehnungkoeffizient α T, Innenradiu r δ, δ r) mit rechteckigem Querchnitt (Breite b, Dicket r) wirderwärmt und auf ein tarre Rad (Radiu r) aufgezogen. Weche Temperaturerhöhung ΔT it dazu nötig? Wie groß it die Zugpannung σ im Ring, nachdem er ich wieder auf eine urprüngiche Temperatur abgeküht hat? Wie groß it dann der Anpredruck p de Ringe auf da Rad?

20 40 Eatotatik: Aufgaben Aufgabe II..4 Der dargetete Verbundtab (E St =E Cu = E, A St = A Cu / = A) o zwichen zwei fete Wände gekemmt werden. Für den Einbau wird da mittere Stabtei mit der Kraft F zuammengedrückt. Wie groß mu F mindeten ein, damit der Einbau geingt? Wie groß ind die Spannungen im Stab nach dem Einbau? Um wievie it da Mittetück nach dem Einbau kürzer a vor dem Einbau? Aufgabe II..5 Ein Stabzweichag (Dehnteifigkeit der Stäbe EA) wird durch eine Kraft F beatet. Man betimme die Verchiebung de Knoten K. Aufgabe II..6 Ein Tragwerk beteht au einem tarren Baken BC und zwei eatichen Stäben (Dehnteifigkeit EA). Man betimme die Verchiebung de Punkte C unter der Wirkung der Kraft F.

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