Wintersemester 2017 / 2018 Vorlesung Technische Mechanik 2.2

Transkript

1 Technische Universität Ilmenu kultät für Mschinenbu chgebiet Technische Mechnik Wintersemester 2017 / 2018 Vorlesung Technische Mechnik 2.2 Vorlesung: Dienstgs, 09:00-10:30 Uhr, -Hs Vorlesender: PD Dr. Crsten Behn (WB 2300) Vertretung durch Dr. Erik Gerlch (WB 2320) Seminre: Montgs, 09:00-10:30 Uhr, Hu204 PD Dr. C. Behn / Vertretung durch M.Sc.. Günther Montgs, 17:00-18:30 Uhr, Oe305 Dr. (rus) T. Becker Mittwochs, 09:00-10:30 Uhr, Hu117 PD Dr. C. Behn / Vertretung durch M.Sc. M. Schrff Hinweis: Vertretungen vom 09. Oktober 2017 bis 01. Dezember 2017! 1

2 1. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 0. Besprechung der Klusur Technische Mechnik 2.1 us dem Sommersemester 2017: Durchschnitt 4.01, 38.7% ünfen!! Aufgbe 1. (zusmmengesetzte Benspruchung: TM-Buch, Aufgbe 2.9.3, Seite 45) Gegeben ist folgender bgewinkelter Träger mit Einzelkrftbelstung. B A A B A-A D sr s K B-B b h Gegeben sind lle in der Abbildung ngedeuteten Prmeter. Bestimmen Sie die Verschiebung der Krftngriffstelle. Hinweis: Diese Aufgbe wird in 3 Wochen mit dem Stz von Cstiglino gelöst. Aufgbe 2. (zusmmengesetzter Benspruchung: lte Klusurufgbe) Gegeben ist folgendes Trgwerk z z mit den Prmetern, = 1 10, S, σ ertr, und = e e. Bestimmen Sie die ge des m stärksten benspruchten Querschnitts im horizontlen Stb. Berechnen Sie die mimle Zug- und mimle Druckspnnung in diesem Querschnitt. Wie groß drf die Krft bei gegebener ertrgbrer Spnnung σ ertr und der Sicherheit S miml werden? 2

3 Aufgbe 3. (Knickung: TM-Buch, Aufgbe 2.7.2, Seite 39) Gegeben ist der folgende, beidseitig festgelgerte Träger mit der änge, Querschnittsfläche A, E-Modul E und Wärmeusdehungskoeffizient α. Unter Temperturänderung T > 0 knn durch die verhinderte Wärmedehnung ein Knicken des lngen, schlnken Stbes entstehen. Bestimmen Sie die Ailkräfte, die kritische Krft und die kritische Temperturänderung. Hinweis: ösen Sie die Aufgbe, indem Sie den EUER-ll erkennen. Aufgbe 4. (Knickung: TM-Buch, Aufgbe 2.7.2b, Seite 39) Gegeben ist der folgende Träger mit der änge, Querschnittsfläche A, E-Modul E und Wärmeusdehungskoeffizient α. Unter Temperturänderung T > 0 knn durch die verhinderte Wärmedehnung ein Knicken des lngen, schlnken Stbes entstehen. Bestimmen Sie die Ailkräfte, die kritische Krft und die kritische Temperturänderung. Hinweis: ösen Sie die Aufgbe, OHNE den EUER-ll zu erkennen. Husufgben ösen Sie folgende Aufgben ls Husufgben: TM-Buch, Aufgbe 2.7.2c, Seite 39, OHNE den EUER-ll zu erkennen TM-Buch, Aufgbe 2.7.1, Seite 39 3

4 2. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 5. (Knickung: TM-Buch, Aufgbe 2.7.3, Seite 40) Gegeben ist folgendes Trgwerk c t mit den Prmetern, E I z = konst, c t und. () Bestimmen Sie die Eigenwertgleichung zur Ermittlung der kritischen Krft. (b) Überlegen Sie sich Möglichkeiten zur Verifiktion der Korrektheit der Gleichung. (c) Mit c ts := E Iz und der Whl γ t := ct c ts = 2 überlegen Sie sich eine Möglichkeit zur mthemtischen Berechnung der ersten kritischen Krft (ohne PC-Unterstützung)? (d) ür den Grenzwert c t + bestimmen Sie die Eigenwertgleichung und die erste kritische Krft. Aufgbe 6. (Knickung: TM-Buch, Aufgbe 2.7.4, Seite 40) Gegeben ist folgendes Trgwerk c 0 Abbildung 1: Knickproblem mit Druckfeder mit den Prmetern, E I z = konst, c und. Der Prmeter λ 0 kennzeichnet die entspnnte ederlänge der eder, siehe Abbildung 1. () Bestimmen Sie die Eigenwertgleichung zur Ermittlung der kritischen Krft. (b) ür den Grenzwert c + bestimmen Sie die Eigenwertgleichung und die erste kritische Krft. 4

5 Aufgbe 7. (Mwell) Gegeben ist folgendes Trgwerk A 1 2 mit den Prmetern,, E I z = konst, 1 und 2. () Berechnen Sie die Verformung v( ) n den Stellen = und = (Krftnfgriffsstellen). (b) Weisen Sie die Gültigkeit des Stzes von Mewell nch, indem Sie nhnd des Ergebnisses us Aufgbe ) die Einflusszhlen α ij für i, j {1, 2} identifizieren. Aufgbe 8. (Cstiglino: ähnlich TM-Buch, Aufgbe 2.8.1, Seite 41) Gegeben sind folgendes Trgwerke q 0 q 0 mit den Prmetern,, E I z = konst, A, q 0 und. () Berechnen Sie jeweils eine Verformung unter Anwendung des Stzes von Cstiglino uf die Krft. (b) Deuten Sie die Ergebnisse in Bezug uf die Ssteme und die Gesmtbenspruchung. Husufgben ösen Sie folgende Aufgben us dem letzten Semester Technische Mechnik 3.1 unter Anwendung des Stzes von Cstiglino: TM-Buch, Aufgbe 2.2.2, Seite 24 (Zug/Druck); TM-Buch, Aufgbe 2.3.4, Seite 28 (Torsion); TM-Buch, Aufgbe 2.5.2, Seite 32 (gerde Biegung). ösen Sie Aufgbe uf Seite 41 us dem TM-Buch. 5

6 3. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 9. (Cstiglino: TM-Buch, Aufgbe 2.8.1, Seite 41) Gegeben ist folgendes Trgwerk q 0 mit den Prmetern,, E I z = konst, q 0 und. () Berechnen Sie die Verformung (hier nur Durchbiegung) des Trägers n der Stelle = unter Anwendung des Stzes vonn Cstiglino. (b) Berechnen Sie die Verformung (hier nur Durchbiegung) des Trägers n der Stelle = unter Anwendung des Stzes vonn Cstiglino. Aufgbe 10. (Cstiglino: TM-Buch, Aufgbe 2.8.3, Seite 42) Gegeben ist folgendes Trgwerk z M 0 mit den Prmetern,, E, I z, A, α, und M 0 = M 0 e z. () Berechnen Sie die Verformung des Trägers n der Stelle = 0 unter Anwendung des Stzes vonn Cstiglino. Gleichbedeutend: Berechnen Sie den Biegewinkel n der Stelle = 0. Diskutieren Sie dies. (b) Welchen Einflußbesitzt die Normlkrft N uf den Biegewinkel? 6

7 Aufgbe 11. (Cstiglino) Gegeben ist folgendes Trgwerk P mit den Prmetern, E, I z, A und (mit Angriffspunkt P ). () Bestimmen Sie u() und v() gemäß der klssischen Berechnungsweise. Wie groß ist somit die Verschiebung des Krftngriffspunktes η P? (b) Berechnen Sie die Verschiebung in Richtung der Krft unter Anwendung des Stzes von Cstiglino. (c) Vergleichen Sie die Ergebnisse. Interpretieren Sie diese geometrisch. (d) Berechnen Sie die horizontle und vertikle Verschiebung unter Anwendung des Stzes von Cstiglino. (e) Welche ehren ziehen Sie us den Berechnungen? Aufgbe 12. (Cstiglino) Gegeben ist folgendes Trgwerk q 0 mit den Prmetern,, E, I z, A, q 0 und. P Berechnen Sie die Verschiebung des Krfteingriffpunktes P durch die einwirkenden Größen unter Anwendung des Stzes von Cstiglino. Husufgben ösen Sie Aufgbe uf Seite 42 us dem TM-Buch. 7

8 4. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 13. (Cstiglino: TM-Buch, Aufgbe 2.8.5, Seite 42) Gegeben ist folgendes Trgwerk in orm eines Viertelkreisbogenträgers e er R z P mit den Prmetern R, E I z = konst, und α. Berechnen Sie die Verschiebung der Krftngriffsstelle P nur infolge der Biegebenspruchung. Aufgbe 14. (Menbre: TM-Buch, Aufgbe 2.8.6b, Seite 43) Gegeben ist folgendes Trgwerk A /2 B mit den Prmetern, E, I z, A, α und. Bestimmen Sie die gerrektionen des Sstems. 8

9 Aufgbe 15. (Menbre & Cstiglino: TM-Buch, Aufgbe 2.8.8, Seite 43) Gegeben ist folgendes Trgwerk /2 /2 c mit den Prmetern,, E, c, A und. Die beiden Kräfte hben denselben Wirkbstnd zur Stbchse. Bestimmen Sie die Verschiebung des Krftngriffpunktes. Aufgbe 16. (Menbre & Cstiglino: TM-Buch, Aufgbe 2.8.2, Seite 42) Gegeben ist folgendes Trgwerk B c mit den Prmetern,, E, I z, A, c, α und (mit Angriffspunkt P ). Bestimmen Sie die Verschiebung des Krftngriffpunktes P. Husufgben ösen Sie Teilufgben ) und c) der Aufgbe und die Aufgbe (jeweils uf Seite 42, TM-Buch). 9

10 5. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 17. (Menbre & Cstiglino: TM-Buch, Aufgbe 2.8.9, Seite 43) Die in der Abbildung drgestellte bgesetzte Welle (mit dem Gleitmodul G und einem Reibrd) wird durch ein Kräftepr {, } bensprucht. - A D r d B z b Die Prmeter des Sstems sind gegeben: D, d, r,,, b,, G. ) Berechnen Sie die gerrektionen in A und B. b) Bestimmen Sie die Verformung n der Stelle = + b. Aufgbe 18. (Cstiglino: TM-Buch, Aufgbe 2.9.3, Seite 45) Gegeben ist folgendes Trgwerk B A A B mit den Prmetern,, E, A, I z und. ) Bestimmen Sie die Verschiebung der Krftngriffsstelle. b) Vergleichen Sie den Rechenufwnd mit der klssischen Methodik us dem letzten Semester TM 2.1, siehe Aufgbe 1. 10

11 Aufgbe 19. (Cstiglino, räumliches Problem) Gegeben ist folgendes Trgwerk z 1 2 A M 0 mit den Prmetern,, E, I z, I A und den belstenden Größen 1 = 1 e, 2 = 2 e und M 0 = M 1 e + M 2 e mit zugehörigen Koordinten 1, 2, M 1 und M 2. ) Bestimmen Sie die Verschiebung des Querschnittes n der Krftngriffsstelle von 1. b) Bestimmen Sie die Verdrehung des Querschnittes n der Krftngriffsstelle von 1. c) Bestimmen Sie die Verformung des Querschnittes n der Krftngriffsstelle von 1. Diskutieren Sie dbei den Unterschied in der jeweiligen Aufgbenstellung und dessen Auswirkung uf den ösungslgorithmus. Husufgben ösen Sie mittels der Energiesätze von Cstiglino und Menbre die Aufgben: Aufgbe Nummer 2 uf Seite 93 im TM-Buch, Aufgbe Nummer 2 uf Seite 103 im TM-Buch. 11

12 6. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 20. (Kinemtik MP: TM-Buch, Aufgbe 3.1.1, Seite 48) Ein Wgen durchrollt unter Vorussetzung einer konstnten Beschleunigung eine gerde Strecke s 1 und kommt n ihrem Ende zur Ruhe. e r (t) s 1 t = 0 t = t1 Gegegen sind der Betrg der Beschleunigung = r und die Strecke s 1. ) Welche Anfngsgeschwindigkeit v 0 besß der Wgen? b) Welche Zeit t 1 vergeht bis zum Stillstnd des Wgens? Aufgbe 21. (Kinemtik MP: TM-Buch, Aufgbe 3.1.2, Seite 48) Der Weg s(t) eines Punktes sei ds in der Abbildung gezeigte Trpez. s s = s 1= s 2 s1 s2 t1 t 2 t 3 t Gegegen sind die Prmeter t 1, t 2, t 3 und s = s 1 = s 2. Bestimmen Sie die Geschindigkeits- und Beschleunigungsverläufe. Aufgbe 22. (Kinemtik MP: TM-Buch, Aufgbe 3.1.6, Seite 49) Gegeben ist ds in der Abbildung gezeigt Szenrio eines Autobhnuffhrproblem inkl. Beschleunigungsstreifen: Der PKW fährt mit der Geschwindigkeit v p uf die Einfädelungsspur der änge s. Auf gleicher Höhe mit dem PKW fährt uf der Autobhn ein Bus mit der konstnten Geschwindikeit v B. BUS v B PKW v P s 12

13 Gegegen sind die Prmeter v P, v B und s. Welche konstnte Beschleunigung P muß der PKW ufbringen, wenn er m Ende der Einfädelungsspur mit einem Sicherheitsbstnd s vor dem Bus uf die Autobhn überwechseln will. Bemerkung: Die hrzeuglänge sollen vernchlässigt werden. Aufgbe 23. (Kinemtik MP: TM-Buch, Aufgbe 3.1.7, Seite 49) Zu behndeln ist der schräge Wurf über einer schiefen Ebene E, siehe Abbildung. g v 0 r P A 0 Gegegen sind die Prmeter Abwurfwinkel φ 0, Anfngsgeschwindigkeit v 0, Erdbeschleunigung g und Neigung der Ebene α. ) Bestimmen Sie die Koordinten des Aufschlgpunktes P A = ( A, A ). b) Bestimmen Sie die lugduer t A. c) Berechnen Sie den optimlen Abwurfwinkel φ opt für eine mimle Wurfweite (ntürlich in Abhängigkeit vom Winkel α). d) Welche Bedingung zwischen φ 0 und α muß erfüllt sein, dmit der Aufschlg P A uf die Ebene nch Überschreiten des Gipfelpunktes der lugbhn erfolgt. E Husufgben ösen Sie die Aufgben: uf Seite 48 im TM-Buch, uf Seite 49 im TM-Buch. 13

14 7. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 24. (Kinemtik MP) Besprechung der 2. Husufgbe (TM-Buch, Aufgbe 3.1.8, Seite 49) ür einen Stunt sollen mit einem Motorrd (Mssenpunkt) zehn Autos übersprungen werden, siehe Abbildung. g z h... H Gegegen sind die folgenden Prmeter der Absprunggeschwindigkeit v 0, Msse von Motorrd inkl. hrer m, Erdbeschleunigung g, Mße der Autos (änge, Höhe H und Breite B) und der Sicherheitsbstnd zum letzten Auto. ) Berechnen Sie bei einem Rmpenwinkel von 0 < α < π und gegebener Geschwindigkeit des Motorrds v 0 die notwendige Absprunghöhe, wenn ds letzte Auto mit einem 2 Sicherheitsbstnd in der uft pssiert werden soll. b) Wie lnge ist ds Motorrd in der uft? c) Durch Windeinfluß wird ds Motorrd in z-richtung um b Meter bgetrieben. Welche konstnte Windgeschwindigkeit herrschte? Aufgbe 25. (Kinemtik MP/SK: TM-Buch, Aufgbe 3, Seite 90) Eine Riemenscheibe rotiert mit einer konstnten Winkelbeschleunigung φ. Zur Zeit t 1 wird die Winkelgeschwindigkeit ω 1 gemessen, nchdem bei t = 0 die Scheibe in Ruhe wr. Der Scheibendurchmesser R sei beknnt. (t) R e r (t) e r eiten Sie den Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor eines Peripheriepunktes in polren und krtesischen Koordinten her. 14

15 Aufgbe 26. (Kinemtik MP/SK: TM-Buch, Aufgbe 3.1.9, Seite 50) Eine kreisförmige Scheibe rollt mit konstnter Mittelpunktsgeschwindigkeit uf einer horizontlen Gerden b, siehe Abbildung. r R M Gegegen sind die Prmeter R und ẋ M = v 0. ) Bestimmen Sie den Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor eines Peripheriepunktes ls unktion des Rollwinkels φ bei idelem Rollen in krtesischen Koordinten. b) Stellen Sie die Vektoren us Aufgbe ) nur in Abhängigkeit von der Zeit und den gegebenen Größen dr. c) Bestimmen Sie den Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor us Aufgbe ) in ntürlichen Koordinten. Hinweis: Die Krümmung für eine ebene Kurve in Prmeterdrstellung lutet: κ = d dφ [ ( d dφ d 2 d2 dφ 2 dφ 2 ) 2 + ( d dφ d dφ ) 2 ] 3 2 Berechnen Sie zusätzlich die unktion t s(φ(t)). Aufgbe 27. (Kinemtik MP: TM-Buch, Aufgbe , Seite 51) Ein Mnn schwimmt mit betrgsmäßig konstnter Reltivgeschwindigkeit v über einen luß der Breite und stets mit Richtung uf den dem Punkt A gegenüberliegenden Punkt B zu. Der luß besitzt n jeder Stelle die konstnte Strömungsgeschwindigkeit u. v u ( ) B A Gegegen sind die Prmeter v, u und. 15

16 ) Bestimmen Sie die Absolutgeschwindigkeit r in polren, krtesischen und ntürlichen Koordinten. b) eiten Sie eine Differentilgleichung für die Bhnkurve her. c) ösen Sie die Differentilgleichung. d) Zu welcher Zeit T erreicht der Schwimmer ds ndere Ufer? e) Unter welcher Bedingung knn der Schwimmer ds ndere Ufer nicht erreichen? Husufgben ösen Sie die Aufgben: Aufgbe 3 uf Seite 89 im TM-Buch, Aufgbe 3 uf Seite 99 im TM-Buch. 16

17 8. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 28. (Kinemtik SK: TM-Buch, Aufgbe 3.2.2, Seite 53) Ein Rd mit dem Rdius R rollt uf einer Gerden mit konstnter Geschwindigkeit v 0 der Nbe. M 3 v M 0 M 2 4 M 1 Gegegen sind die Prmeter R und v 0. Bestimmen Sie die Geschwindigkeitsvektoren und die Geschwindigkeiten der mrkierten Punkte M 1... M 4, ußerdem die Winkelgeschwindigkeit des Rdes. Aufgbe 29. (Kinemtik SK: TM-Buch, Aufgbe 3.2.3, Seite 53) Zwei prllele Stngen bewegen sich (in gleicher Richtung) mit den konstnten Geschwindigkeiten v 1 und v 2. Zwischen den Stngen bewegt sich eine Scheibe mit dem Rdius R ohne Schlupf. v 1 0 v 0 v 2 Gegeben sind die Prmeter v 1, v 2 und R. ) Bestimmen Sie durch eine nltische Berechnung die Winkelgeschwindigkeit ω der Scheibe und die Geschwindigkeit v 0 ihres Zentrums 0. b) Bestimmen Sie durch eine geometrische Betrchtung und nschließender Berechnung die gesuchten Größen us Aufgbe ). Ws fällt Ihnen bei dieser Betrchtungs- und Berechnungsweise uf? c) Bestimmen Sie die jeweiligen Größen für die Zhlenwerte v 1 = 6 m/s, v 2 = 2 m/s und R = 0.5 m. 17

18 Aufgbe 30. (Kinemtik SK: TM-Buch, Aufgbe 3.2.7, Seite 54) Der Kolben D einer hdrulischen Presse wird durch den Mechnismus 0ABD bewegt. In der Stellung der Abbildung ht ds Glied 0 die Winkelgeschwindigkeit ω 0. A 0 0 B D Gegegen sind die Prmeter ω 0, α und AB. ) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Kolbens D und die Winkelgeschwindigkeit des Gliedes AB. b) Bestimmen Sie die jeweiligen Größen für die Zhlenwerte ω 0 = 2 s 1, AB = 0.15 m und α = 30. Aufgbe 31. (Kinemtik MP/SK: TM-Buch, Aufgbe 3.2.8, Seite 54) Bestimmen Sie den Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor für den Endefffektorpunkt P der beiden bgebildeten Roboterstrukturen, wobei die Prmeter r bzw. l 1 und l 2 gegeben sind. z r z l 2 P P 2 q (t) 2 q (t) 1 q (t) l 1 1 q (t) Stellen Sie die Vektoren im rumfesten krtesischen Koordintensstem und in einem geeignet gewählten körperfesten Sstem uf. 18

19 Husufgbe zur Diskussion nächste Woche Aufgbe 32. (Kinemtik MP: TM-Buch, Aufgbe , Seite 50) Ein Mssenpunkt bewege sich uf einer gewöhnlichen Schrubenlinie mit einer betrgsmäßig konstnten Geschwindigkeit. z e n e z e r h r R Die Prmeter Schrubenrdius R, Gnghöhe h und ṙ = v 0 sind gegeben. ) Bestimmen Sie den Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor in krtesischen und Zlinderkoordinten. b) Berechnen Sie die uf den Mssenpunkt wirkende Krft und deuten Sie diese geometrisch (TM-Buch, Aufgbe 4.1.1, Seite 55). 19

20 9. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgelufene Aufgben zu Ende rechnen! 20

21 10. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 33. (Kinetik MP: TM-Buch, Aufgbe uf Seite 56 und uf Seite 57) Ein Mssenpunkt der Msse m gleitet innerhlb einer vertikl ufgestellten, kreisförmigen ührungsrinne (Rdius R) unter dem Einfluß der Schwerkrft (Konstnte im homogenen Schwerefeld g). Die Anfngsbedingungen dieser kreisförmigen Bewegung luten φ(0) = 0, φ(0) = ω 0. R g m Betrchten Sie die Bewegung des Mssenpunktes (1) reibungsfrei, und dnn (2) unter Einfluß Coulomb scher Gleitreibung (Gleitreibungskoeffizient µ). Gegegen sind die Prmeter R, m, g, ω 0 und µ. Bestimmen Sie für beide älle: ) Impulsstz in vektorieller orm; b) Bewegungsdifferentilgleichung; c) Zwngskrft Z ls unktion von φ; d) für den 1. ll einen Ablösewinkel φ 0, bei dem der Mssenpunkt die Rinne verlässt. Aufgbe 34. (Kinetik MP: TM-Buch, Aufgbe 89/4, Seite 89) Gegeben ist ds bgebildete mthemtische Pendel mit ederfesselung und Einfluß von Gewichtskrft, Stokes scher und/oder Newton scher Reibungskrft (Prmeter k S und k N ). g + 0 O m c, 0 O 1 21

22 Die oslgerung m ederende soll jederzeit eine vertikle Ausrichtung der ederlinie ermöglichen. Gegeben sind die Prmeter m,, g, k S, k N, c und λ 0. ) Bestimmen Sie den Impulsstz in vektorieller orm. b) Wie lutet die Bewegungsdifferentilgleichung für die Punktmsse? c) Wie lutet die Gleichung der Zwngskrft Z in Abhängigkeit von φ und φ? d) Im lle von Stokes scher Reibung und kleinen Auslenkungen φ < 5 lösen Sie bitte die Bewegungsdifferentilgleichung. Aufgbe 35. (Kinetik MP: TM-Buch, Aufgbe 4.1.9, Seite 57) Der Mssenpunkt m des bgebildeten ebenen mthemtischen Pendels ist mit dem estlger durch eine msselose eder mit der ederkonstnte c verbunden. Die Originllänge der eder sei λ 0 < b. Bei der Bewegung des Mssenpunktes tritt Newton sche Reibung uf (Konstnte k N ). +b 0 m g c, Gegegen sind die Prmeter, b, g, m, c, λ 0 und k N. Stellen Sie die Bewegungsdifferentilgleichung in Polrkoordinten uf. Husufgben ösen Sie die Aufgben: Aufgbe uf Seite 55 im TM-Buch, Aufgbe uf Seite 55 im TM-Buch. 22

23 q q q 11. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 36. (Kinemtik & Kinetik MP: TM-Buch, Aufgbe 88/3, Seite 88) Gegeben ist ein vereinfchtes Modell einer Sortiernlge von Pketen mit Verteilertisch und Zielrutsche, siehe Abbildung. g H v 0 s H 2 v A Ds Pket mit der Msse m bewegt sich dbei reibungsfrei us dem Ruhezustnd unter Einfluß des Schwerefeldes zum Verteilertisch und fliegt zur Zielrutsche. Gegegen sind die Prmeter m, H und g. Bestimmen Sie: ) die Abluggeschwindigkeit v 0 m Verteiler; b) die Strecke s zwischen Verteilertisch und Zielrutsche; c) Wurf- bzw. lugduer t A des Pketes; d) den Anstiegswinkel α der Zielrrutsche, dmit diese prllel zur Aufschlggeschwindigkeit usgerichtet und die Aufschlggeschwindigkeit v A. Aufgbe 37. (Kinetik MP: TM-Buch, Aufgbe 4.1.6, Seite 56) Ein Skispringer springt von einer Sprungschnze mit einer Neigung von α zur Horizontlen unter Einfluß der Gewichtskrft. Die Anfngsgeschwindigkeit v 0 im Moment des Absprungs besitzt die Komponenten v 0 us der Anfhrt (infinitesiml klein ngenommemer Schnzentisch, der nur die Anfhrtgeschwindigkeit in komplette -Richtung umlenkt) und v 0 ls vertikl entwickelte Kompenente durch ds Abspringen des Skispringers. Die Anfhrt uf der Schnze geschieht unter Gleitreibung mit Prmeter µ, die Hngneigung ist β. h A B Gegeben sind die Prmeter m, h, g, µ, α, β und v 0. Berechnen Sie die Sprungweite s. 23

24 Aufgbe 38. (Kinetik MP: lte Klusurufgbe) Ein Körper der Msse m gleitet uf einer Bhn von A nch E, siehe Abbildung. Dbei ist Coulomb sche Gleitreibung µ nur uf der Teilstrecke von C nch E wirksm, von A nch C ist sie zu vernchlässigen. Gegegen sind die Prmeter m, g, α, β, µ,, b, c. Gesucht: ) Bewegungsdifferentilgleichung für die Bewegung von C nch D (mittels Impulsstz); b) Anfngsgeschwindigkeit v A so, dss der Körper den Punkt E mit der Geschindigkeit v E = 0 gerde noch erreicht (mittels Arbeits- und Energiestz). Husufgben ösen Sie die Aufgben: Aufgbe uf Seite 56 im TM-Buch, Aufgbe 88/4 uf Seite 88 im TM-Buch. 24

25 12. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 39. (Kinetik MP/SK: TM-Buch, Aufgbe 4.2.3, Seite 59) Eine Kiste der Msse m gleitet eine geneigte Ebene herunter und stößt uf einen elstischen Anschlg (ederkonstnte c und Originllänge λ 0 ). Zwischen Kiste und Gleitbhn wird Coulomb sche Reibung mit Reibungsbeiwert µ ngenommen. m s g c, 0 Gegegen sind die Prmeter m, µ, g, c, λ 0, α und s. ) Nch welcher Zeit berührt die Kiste den elstischen Anschlg? Welche Geschwindigkeit v A ht die Kiste dbei, wenn sie us dem Ruhezustnd den Hng hinunterrutscht? b) Wie groß ist der mimle Weg der ederverformung, wenn die Msse der eder vernchlässigt wird? Aufgbe 40. (Kinetik SK: TM-Buch, Aufgbe 4.2.5, Seite 60) ür einen gegebenen Körper sind die Mssenträgheitsmomente bezogen uf eine Achse durch den Schwerpunkt durch einen Pendelversuch zu bestimmen. Dzu wird der Körper im Punkt P 1 ufgehängt (siehe Abbildung) und für eine Pendelbewegung bei kleinen Auslenkungen die Schwingungsduer T 1 gemessen. P 1 g S b P 2 D die ge des Schwerpunktes S im Körper nicht beknnt ist, erfolgt für den Punkt P 2 eine Wiederholung des Versuches. Gegegen sind die Prmeter m, g, T 1, T 2 und. Bestimmen Sie: 25

26 ) die Mssenträgheitsmomente J 1 und J 2 bei Aufhängung im Punkt P 1 bzw. P 2 ; b) die Abmessungen und b; c) ds Mssenträgheitsmoment J S. Aufgbe 41. (Kinetik SK: TM-Buch, Aufgbe 4.2.6, Seite 60) Ein drehbr gelgerter Rotor mit konstntem Mssenträgheitsmoment J wird ngetrieben durch ein zeitlich veränderliches Drehmoment M(t), siehe Abbildung. z M(t) (t) J = konst. Gegeben sind J und M(t) = M 0 e t τ e z mit den Konstnten M 0 und τ. Bestimmen Sie die unktion φ(t) für die Anfngsbedingungen φ(0) = 0 und φ(0) = 0. Husufgben ösen Sie die Aufgben: Aufgbe 92/4 uf Seite 92 im TM-Buch, Aufgbe 93/4 uf Seite 93 im TM-Buch. 26

27 13. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 42. (Kinetik SK: TM-Buch, Aufgbe 4.2.7, Seite 61) An euber federnd und drehbr gelgerten homogenen Kreisscheibe der Msse m greift über einen undehnbren den die konstnte Krft K n, siehe Abbildung. g c t R m, J K Ds Rückstellmoment der Torsionsfeder sei proportionl der Verdrehung. Gegegen sind die Prmeter m, R, K und c t. Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentilgleichung und lösen Sie diese. Aufgbe 43. (Kinetik SK: TM-Buch, Aufgbe 4.2.8, Seite 61) Ein homogener Kreiszlinder der Msse m rollt unter dem Einfluß der Schwerkrft uf einer schiefen Ebene, wobei er über einer zur Zlinderchse senkrechten eder in der ngegebenen Weise mit einem festen Punkte gekoppelt ist, siehe Abbildung. g z c, 0 R m Gegegen sind die Prmeter R, m, α, g, c, λ 0 und µ 0. ) eiten Sie die Bewegungsdifferentilgleichung für die Bewegung des Zlinders her und lösen Sie diese. b) Wie weit drf der Zlinder in -Richtung für den Sonderfll α = 0 gezogen werden, dmit beim oslssen noch Rollen und nicht Gleiten (Coulomb sche Hftreibung) eintritt. 27

28 Aufgbe 44. (Kinetik SK: TM-Buch, Aufgbe 99/4, Seite 99) Gegeben ist ein pendelnd ufgehängter, drehfedergefesselter Stb mit Endpunktmsse im Schwerefeld der Erde und unter Einfluß von Stokes scher Reibung. c t 0, l, A g (t) k t m Gegeben sind die Prmeter ϱ, l, A, m, g, c t (eder bei φ = φ 0 entspnnt), k t und die Anfngsbedingungen φ(0) = φ 0 und φ(0) = 0. Bestimmen Sie: ) ds Mssenträgheitsmoment bzgl. des Punktes 0, b) die Bewegungsdifferentilgleichung für kleine Winkel φ(t), c) die Bewegungsgleichung φ(t), d) die Gleichung des Energiestzes für den Sonderfll k t = 0. Husufgben ösen Sie die Aufgben: Aufgbe 102/3 uf Seite 102 im TM-Buch, Aufgbe 103/4 uf Seite 103 im TM-Buch. 28

29 14. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgbe 45. (Kinetik SK: TM-Buch, Aufgbe , Seite 62) Ein Schltrm bewegt sich unter Wirkung der Schwerkrft G und einer Torsionsfeder zum Kontktstück K. Ds Nullniveu liege bei = 0. P g S m, J S c t K Gegeben: m (mit Schwerpunkt S bei ), J 2 S,, c t (eder bei φ = φ 0 entspnnt), g und die Anfngsbedingungen φ(0) = π und φ(0) = 0. 2 Bestimmen Sie mit Hilfe des Energiestzes die Aufprllgeschwindigkeit v A des Punktes P uf ds Kontktstück K. Aufgbe 46. (Kinetik SK: TM-Buch, Aufgbe , Seite 63) Ein homogener Kreiszlinder der Msse m rollt unter dem Einfluß der Schwerkrft uf einer schiefen Ebene, wobei er über einer zur Zlinderchse senkrechten eder in der ngegebenen Weise mit einem festen Punkte gekoppelt ist, siehe Abbildung und Aufgbe 43. g z NN c, 0 R m Gegegen sind die Prmeter R, m, α, g, c und λ 0. Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentilgleichung der Bewegung des Zlinders und vergleichen Sie ds Ergebnis mit Aufgbe

30 Aufgbe 47. (Kinetik MKS: TM-Buch, Aufgbe 4.3.1, Seite 63) Ein vertikl beweglicher Körper der Msse m 1 ist in der skizzierten Weise über eine eder und ein undehnbres Seil mit einer homogenen, drehbren Scheibe gekoppelt. g c t r m, J 1 m 1 c 1 0 Eine Spirlfeder übt uf die Scheibe ein Rückstellmoment us. Gegeben: m, r, J, c t, g, m 1, c 1, λ 0. Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentilgleichungen. Husufgben ösen Sie die Aufgben: Aufgbe 94/4 uf Seite 94 im TM-Buch, Aufgbe 95/4 uf Seite 95 im TM-Buch. 30

31 15. Übungs- und Husufgbenserie: Aufgben zu Ende rechnen und Klusurvorbereitung! 31