Bestimmung eines Quasigeoides für das Kosovo

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1 Institut für Geodäsie und Photogrammetrie - ETH Zürich Bestimmung eines Quasigeoides für das Kosovo Diplomarbeit von Thomas Gross Juli 2003

2 Inhaltsverzeichnis 1 Projektdefinition 1 11 Ziele 1 12 Vorgehen 1 2 Bezugsflächen und Höhensysteme 3 21 Schwerepotential, Niveauflächen und Lotlinien 3 22 Bezugsflächen 4 3 Höhensysteme 7 31 Geopotentielle Kote 7 32 Orthometrische Höhen 7 33 Dynamische Höhen 7 34 Normalhöhen nach Molodenski 8 35 Normalorthometrische Höhen (Helmerthöhen) 8 36 Ellipsoidische Höhen 9 37 Zusammenhang zwischen den Höhensystemen 9 4 Geoidbestimmung Bestimmung von Geoid und Quasigeoid Mathemathische Grundlagen zur astrogeodätischen Methode 12 5 Situation KOSOVAREF Lotabweichungen Konsequenzen für die Geoidbestimmung 16

3 II INHALTSVERZEICHNIS 6 Direkte Bestimmung des Quasigeoides aus beobachteten Höhenanomalien Ausgangsdaten Vorgehen Beurteilung der Resultate 20 7 Astrogeodätische Bestimmung des Quasigeoids Einleitung Reduktion des Topographieeinflusses Bestimmung der Polynomkoeffizienten Interpolation der Oberfläche Korrektur des Topographieeinflusses 29 8 Resultate und Schlussfolgerungen Resultate Vergleich der angewendeten Methoden Ausblick 35 A ESRI ASCII Raster File Format 37 B Global 30 Arc-Second Elevation Data Set (gtopo30) 39 C Topographie des Kosovo 41 D Dokumentation der Programme 43 Dank 49 Literaturverzeichnis 51

4 Abbildungsverzeichnis 21 Lotabweichung 4 22 Das Geoid als Fortsetzung der Weltmeere unter den Kontinenten 4 23 Ellipsoid, Geoid, Quasigeoid, Geoidundulation N, Höhenanomalie ζ D-Darstellung der Fläche N = f(y, x, c 1, c 2,, c n ), mit Lotabweichung n x und Tangentialebene f x II NVT-Züge im Bereich des Kosovo Lotabweichungen im Bereich des Kosovo Punkte 1 und 2 Ordnung mit bekannten berechneten Höhenanomalien Quasigeoid aus Direktbeobachtungen Verlauf der rohen Lotabweichungen, sowie der Lotabweichungen, die um den Einfluss der Topographie im Umkreis von 3km bzw 5km reduziert wurden (Gurtner, 1978) Vervollständigung von KOSOVAREF01 36 C1 Relief des Kosovo; Ansicht von Süden 41 D1 Ablauf des Programms zur Berechnung des Topographieeinflusses 43 D2 Ablauf des Programms zur Quasigeoidinterpolation 44

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6 Tabellenverzeichnis 71 Tabelle mit den Koeffizienten der Interpolationspolynome sowie deren mittleren Fehlern Vergleichende Übersicht der beiden Methoden 33

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8 Zusammenfassung Im Rahmen der Diplomarbeit soll eine Bezugsfläche für KOSOVAREF01 definiert werden KOSOVAREF01 ist der neue Referenzrahmen, welcher im Rahmen des UNO-Wiederaufbauprogrammes für das Kosovo seit 1999 erstellt wird Bei KOSOVAREF01 handelt es sich um ein modernes, mit GPS bestimmtes 3D-Netz Zusätzlich wurde jedem Punkt noch eine Normalhöhe zugewiesen Ausgehend von dieser Situation liegt es nahe, für das Kosovo ein Quasigeoid zu bestimmen, da diese Fläche das noch fehlende Bindeglied zwischen den beiden Höhensystemen im Kosovo, ellipsoidische Höhen und Normalhöhen, ist Da keine Schweremessungen vorliegen, wurde der Ansatz gewählt, das Quasigeoid aus direkten Beobachtungen, sowie über die astrogeodätische Methode, dh aus Lotabweichungen, zu bestimmen Die Datengrundlage hierfür besteht aus 430 Punkten 1 und 2 Ordnung von KO- SOVAREF01 sowie aus 19 Lotabweichungen Das Prinzip der Direktbestimmung besagt, dass für jeden Punkt die Höhenanomalie als Differenz zwischen ellipsoidischer Höhe und Normalhöhe bestimmt wird Aus diesen Höhenanomalien kann mit kommerziellen Softwarepaketen (zb ArcView) direkt ein Quasigeoid berechnet werden Bei der astrogeodätischen Methode wird versucht aus Oberflächennormalen die eigentliche Oberfläche zu interpolieren Die Interpolation wurde mit Polynomen 6 Grades durchgeführt Um diese Interpolation durchführen zu können, mussten zwei Porgramme erstellt werden Dies war denn auch ein Schwerpunkt dieser Arbeit Die Programme sind im Anhang D beschrieben

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10 Kapitel 1 Projektdefinition 11 Ziele Im Rahmen der Diplomarbeit soll ein (Quasi-)Geoid für das Kosovo berechnet und nach Möglichkeit mit dem bislang verwendeten Geoidmodell EGG97 verglichen werden hierzu müssen noch entsprechende Routinen programmiert werden Ein allfällig verbessertes (Quasi-) Geoid soll Grundlage für ein Modul für SkiPro 1 sein, um damit direkt GPS-Messungen ins lokale System reduzieren zu können 12 Vorgehen Aus den vorhandenen Daten soll ein flächendeckendes Geoid berechnet werden Die dazu zur Verfügung stehenden Daten sind: Punkte des 2 Präzisionslandesnivellement in Jugoslawien (II NVT 2 ) mit Normalhöhen und ellipsoidischen Höhen: Mit Normalhöhen aus dem technischen Bericht der Messkampagne (Bilajbegovic et al, 1989) Berechnete II NVT-Punkte aus dem VTB 3 WS 4 02/03 (Gross, 2003) 1 SkiPro steht für Static KInematic-Professional Software und ist ein Produkt von Leica SkiPro ist eine Multi-Basislinien Post-Processing Software, die zur Auswertung von GPS-Rohdaten dient 2 II Nivelman Visoke Tašnosti: Das 2 Präzisionslandesnivellement der Republik Jugoslawien Mit den Messarbeiten wurde zu Beginn der Siebziger Jahre des vergangenen Jahrhunderts begonnen Die Auswertungen dauerten bis in die Achtziger Jahre Siehe hierzu auch (Bilajbegovic et al, 1989) 3 Vertiefungsblock; Semesterarbeit im Fachstudium der Geomatikingenieurwissenschaften an der ETH Zürich 4 Wintersemester

11 2 1 Projektdefinition Punkte 1 und 2 Ordnung von KOSOVAREF01 5, welche auf den Daten des VTB vom WS 02/03 bestimmt wurden und dadurch ebenfalls über Normalhöhen und ellipsoidische Höhen verfügen Lotabweichungen aus dem Atlas der Lotabweichungen (Arca, 1982) Zur Berechnung des Geoids sind folgende Vorgehen möglich: Auf Punkten, welche über Normalhöhen und ellipsoidische Höhen verfügen, können Geoidundulationen direkt bestimmt werden über h = H + N Bestimmung einer Oberfläche (Geoid) aus den vorhandenen Lotabweichungen Da die Daten sehr inhomogen über das Kosovo verteilt sind, sind Geoidundulationen auf ein flächendeckendes, regelmässiges Raster zu interpolieren bzw zu extrapolieren Da keine entsprechende Software zur Berechnung des Quasigeoides zu Verfügung steht, müssen entsprechende Programme noch erstellt werden 5 Neues Landesreferenznetz im Kosovo, welches im Rahmen eines UN-Mandates seit 1999 erstellt wird

12 Kapitel 2 Bezugsflächen und Höhensysteme 21 Schwerepotential, Niveauflächen und Lotlinien Die Bestimmung eines Geoides gehört in den Bereich der physikalischen Geodäsie Dabei sind die Elemente Schwerepotential, Niveauflächen und Lotlinien von zentraler Bedeutung Sie können wie folgt definiert werden: Schwerepotential Das Schwerepotetial W ist die Summe aus dem Gravitationspotential V und dem Zentrifugalpotetial U z (Als weiterführende Literatur siehe (Kahle, 2000)) Dabei entspricht die Arbeit, welche von der Graviationskraft geleistet wird, um die Einheitsmasse vom Nullpunkt in den Punkt P zu bewegen, dem Wert des Gravitationspotentials Das Zentrifugalpotential ist das Potential der Zentrifugalbeschleunigung in P Niveauflächen und Lotlinien Flächen, welche ein konstantes Schwerepotential aufweisen, werden als Niveau- oder Äquipotentialflächen bezeichnet W = W (r) = const (21) Die Lotlinie als Flächennormale in einem Punkt P, wird als Schwerevektor g bezeichnet Die Orthogonaltrajektorien zu den Niveauflächen sind die Schwerefeldlinien g = gradw (22) Lotabweichung Als Lotabweichung wird der Winkel ε zwischen der Geoidnormalen ( g) und der Ellipsoidnormalen ( n) bezeichnet (Kahle, 2000)

13 4 2 Bezugsflächen und Höhensysteme n Geoid g ε Ellipsoid Abbildung 21: Lotabweichung 22 Bezugsflächen In der Geodäsie kommen oft verschiedene Höhensysteme zum Einsatz, die auf verschiedenen Bezugsflächen basieren Die dabei häufigsten Bezugsflächen sind das Geoid, das Ellipsoid und das Quasigeoid Geoid Das Geoid ist die Äquipotentialfläche des Erdschwerefeldes, die durch die ruhenden Weltmeere, sowie deren Fortsetzung unter den Kontinenten, gebildet wird Das Geoid dient als Bezugsfläche für die Höhenbestimmung Der Abstand entlang der Schwerefeldlinie zwischen dem Referenzellipsoid und dem Geoid wird als Geoidundulation bezeichnet Topographie mittlerer Meeresspiegel Geoid Ellipsoid Abbildung 22: Das Geoid als Fortsetzung der Weltmeere unter den Kontinenten Erdellipsoid Das mittlere Erdellipsoid wird so definiert, dass es bezüglich dem Potential an der Oberfläche, der Winkelgeschwindigkeit, der Gesamtmasse und dem Schwerpunkt identisch mit den durch das Geoid begrenzten Massen ist

14 22 Bezugsflächen 5 Quasigeoid Das Potential W P in einem Punkt P kann aufgeteilt werden in einen Normalanteil U P, der vom mittleren Erdellipsoid herrührt, sowie dem Störpotential T P, welcher durch die Unregelmässigkeiten in der Erdform verursacht wird Das Quasigeoid ist keine Niveaufläche Es ergibt sich zb durch Abtragen der Höhenanomalie ζ vom Ellipsoid Die Höhenanomalie kann dabei über folgenden Zusammenhang definiert werden: ζ P = T P (23) g (P norm ) Störpotential T P = W P U P W P : Potential im aktuellen Schwerefeld U P : Potential des Erdellipsoides qqqqqqqq q qqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq P ζ P P 0 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqq ζ N q qqqqqqqqqqq q q Topographie Äquipotentialfläche W = W P Niveaufläche des Ellipsoid U = U P Telluroid Geoid W = W P0 Quasigeoid Ellipsoid U = U 0 Abbildung 23: Ellipsoid, Geoid, Quasigeoid, Geoidundulation N, Höhenanomalie ζ Telluroid Das Telluroid ist diejenige Fläche, die man erhält, wenn von jedem Punkt der Topographie die Höhenanomalie ζ abträgt Das Telluroid ist keine Äquipotentialfläche

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16 Kapitel 3 Höhensysteme Dieses Kapitel basiert auf der Zusammenstellung von (Wirth, 1990) 31 Geopotentielle Kote Die Geopotentielle Kote wird als Potentialdifferenz (siehe 21) bezüglich eines Nullniveaus definiert Das heisst, wenn ein Punkt A auf dem Geoid liegt und B zu A eine Potentialdifferenz von W aufweist, so ist die potentielle Kote C B = W 32 Orthometrische Höhen Die orthometrische Höhe H B ist die Länge der gekrümmten Lotlinie vom Punkt B bis zum Geoid Die Schwierigkeit dabei liegt in der Bestimmung der Schwere im Erdinnern, weshalb diese über eine Hypothese der Massenverteilung der Erde berechnet werden muss Dabei entspricht g B der mittleren Schwere in der Lotlinie Es gilt: 33 Dynamische Höhen g B = 1 H H = C g B (31) B B 0 g dh (32) Um anstelle von geopotentiellen Koten, die in der eher ungünstigen Einheit [m 2 s 2 ] angegeben werden, ein Höhenmass in [m] verwenden zu können, werden die geopotentiellen Koten durch die Normalschwere in 45 o Breite dividiert werden Dadurch resultieren dynamische Höhen H D C H D = g (45o ) norm (33)

17 8 3 Höhensysteme 34 Normalhöhen nach Molodenski Werden dynamische Höhen bei Breiten ungleich 45 o oder ungleich 0 müm verwendet, so treten Massstabsverzerrungen auf Diese Verzerrungen können eliminiert werden, wenn anstelle der mittleren Normalschwere in 45 o Breite die mittlere Normalschwere in der Lotlinie verwendet wird Dadurch erhält man Normalhöhen H N, welche nach Molodenski wie folgt definiert werden: H N = C g (P ) norm, g (P ) norm = 1 H N H N 0 g (ϕ,h) norm (34) Die Höhe H N eines Punktes P, abgetragen vom Ellipsoid, entspricht dem entsprechenden Telluroidpunkt P (siehe Abb 23) Trägt man H N von der Oberfläche ab, so wird der Fusspunkt zu einem Punkt des Quasigeoids Die zur Berechnung verwendete Normalschwere wird bestimmt durch: Norm = g 1 + k sin 2 ϕ Äqu 1 e2 sin 2 ϕ g (ϕ) (35) ϕ = geod Breite gäqu = ms 2 = Äquatorschwere k = e 2 = Die mittels der Formel 35 bestimmte Schwere bezieht sich jedoch auf das Referenzellipsoid Für Punkte in der Höhe h (für kleine h) über dem Referenzellipsoid kann der Wert von g mit folgender Näherungsformel berechnet werden: Norm = g 1 + k sin 2 ϕ Äqu 1 e2 sin 2 ϕ ( sin2 ϕ) h (36) g (ϕ,h) 35 Normalorthometrische Höhen (Helmerthöhen) Die Helmerthöhen sind eine Näherung für orthometrische Höhen Die Annahme besteht darin, dass das Gelände flach ist und eine konstante Dichte von ρ = 267g/cm 3 hat Dadurch kann aus gemessenen Oberflächenschweren eine mittlere Schwere in der Lotlinie berechnet werden Der Ansatz heisst dann: ḡ = g (P ) Beob H (37) H Helmert = C g (P ) Beob H = C ḡ (38)

18 36 Ellipsoidische Höhen 9 36 Ellipsoidische Höhen Die ellipsoidische Höhe h p ist definiert als der Abstand des Punktes P vom Referenzellipsoid Dadurch, dass dieses System rein geometrisch definiert ist, unterliegt es weder den Einflüssen des lokalen Schwerefeldes, noch dessen zeitlichen Veränderungen 37 Zusammenhang zwischen den Höhensystemen Die ellipsoidischen, orthometrischen und Normalhöhen können über folgende Beziehung miteinander verknüpft werden: h P = H + N = H N + ζ (39) Dabei ist N die Geoidundulation, also der Abstand zwischen Geoid und Ellipsoid, und ζ ist die Höhenanomalie und somit der Abstand zwischen Ellipsoid und Quasigeoid

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20 Kapitel 4 Geoidbestimmung 41 Bestimmung von Geoid und Quasigeoid Nachfolgende Zusammenstellung nach (Marti, 1997) Astrogeodätische Methode Grundlage für die astrogeodätische Geoidbestimmung ist die Messung von Lotabweichungen Diese werden in der Regel aufgeteilt in eine Nord-Süd-Komponente ξ und eine West-Ost- Komponente η Dabei gilt die Beziehung ε = ξ 2 + η 2 (41) Die Lotabweichungen geben direkt Auskunft über die Richtung der Flächennormalen (was bezüglich des Geoids g entspricht) Dadurch ist der Verlauf der Oberfläche zwischen zwei Punkten bestimmt durch N = B A ε ds (42) Da sich mit einem astrogeodätischen Nivellement nur Geoidhöhendifferenzen bestimmen lassen, muss für eine absolute Lagerung in mindestens einem Punkt ein absoluter Wert für die Geoidundulation N vorgegeben sein Gravimetrische Methode Dies ist die klassische Methode zur Bestimmung des Geoids und geht zurück auf G Stokes (1849) Sie liefert absolute Geoidundulationen Es gilt die Formel von Stokes: R N = g S(Ψ) dσ (43) 4πg norm

21 12 4 Geoidbestimmung Dabei bezeichnen: N Geoidundulation im Punkt(ϕ, λ) R Mittlerer Erdradius g norm Normalschwere im Punkt(ϕ, λ) S(Ψ) Wert der Stokes-Fkt im spärischen Abstand Ψ g Schwereanomalie im Oberflächenelement dσ Auf diese Methode wird nicht weiter eingegangen, sondern es sei hier auf die einschlägige Literatur verwiesen Direkte Beobachtung von Geoidundulationen Mit den Methoden der Satellitengeodäsie können direkt ellipsoidische Höhen bestimmt werden Dadurch ist es möglich direkt Geoidundulationen oder Höhenanomalien zu bestimmen, und die Beziehung zwischen den verschiedenen Höhensystemen auszunutzen (Formel 39) Es gilt also N = h ell H orth und ζ = h ell H norm 42 Mathemathische Grundlagen zur astrogeodätischen Methode Bei der astrogeodätischen Methode handelt es sich aus mathematischer Sicht um eine Flächeninterpolation basierend auf Flächennormalenvektoren Eine Fläche in R 3 kann dabei definiert werden durch: N = f(y, x, c 1, c 2,, c n ) (44) wobei y und x die Ortskoordinaten und c i Koeffizienten der Funktion sind Die Flächennormale im Punkt P kann über die Winkel n x bzw n y definiert werden Die Beziehungen hierfür sind: n x = f (45) x n y = f (46) y Polynominterpolation von Flächen Muss eine Oberfläche interpoliert werden, so liegt es nahe, dafür eine Polynominterpolation zu verwenden Der Ansatz für die Fläche N ist dann: N = n n i c ik y i x k (47) i=0 k=0

22 42 Mathemathische Grundlagen zur astrogeodätischen Methode 13 n x P N f x Abbildung 41: 2D-Darstellung der Fläche N = f(y, x, c 1, c 2,, c n ), mit Lotabweichung n x und Tangentialebene f x x n bezeichnet dabei den Grad des Polynoms Der Vorteil dieses Ansatzes liegt auch darin, dass die c i nur als Linearkombinationen vorliegen Dadurch können komplizierte Approximationsverfahren zur Bestimmung dieser Koeffizienten vermieden werden Um zur Flächennormalen zu gelangen, benötigt man die entsprechenden Ableitungen vom Ansatz 47 Dies führt zu folgenden Beziehungen: N y = N x = n n i i c ik y i 1 x k (48) i=0 k=0 n n i k c ik y i x k 1 (49) i=0 k=0 Dadurch erhält man die Beobachtungsgleichungen für die Lotabweichungskomponenten ξ (Nord-Süd-Komponente) und η (West-Ost-Komponente) ξ = N x ρ (410) η = N y ρ (411) ρ = π Die Fläche ist demnach bestimmt Die Interpolationsfunktion, bzw deren Koeffizienten c ik, kann nun über die Beobachtungsgleichungen 410 und 411 durch vermittelnde Ausgleichung bestimmt werden Die Anzahl u der unbekannten Koeffizienten c ik für ein Polynom des Grades n ist: (n + 1)(n + 2) u = 1 (412) 2 Allein durch Lotabweichungen lässt sich nur der Verlauf des Polynoms bestimmen, jedoch nicht eine absolute Höhe Dh für das Polynom muss in einem Punkt ein Wert für N festgelegt werden Dieser Wert entspricht gerade dem Koeffizienten c 00 Darum enthält die Formel 412 auch den Zusatz (-1) Man spricht hier von einer Randbedingung für die Polynominterpolation

23 14 4 Geoidbestimmung Spezielle Polynomkonfigurationen Der Ansatz 47 verwendet allgemeine Polygone Es ist jedoch denkbar, hier auch spezielle Polygone zu verwenden wie orthogonale Polygone (zb Tschebyscheff-Polygone) oder trigonometrische Polygone (zweidimensionale Fourierreihen) Auf diese Methoden wird hier nicht eingegangen Einen guten Überblick bietet aber (Elmiger, 1969)

24 Kapitel 5 Situation 51 KOSOVAREF01 Mit KOSOVAREF01 wird das neue Referenznetzwerk im Kosovo bezeichnet, welches sich seit 1999 in stetigem Aufbau befindent Unterdessen sind die Netze 1-3 Ordnung erstellt worden, wobei nach Möglichkeit GPS eingesetzt wurde Ensprechend liegen flächendeckend Daten in geozentrischen Koordinaten mit ellipsoidischen Höhen vor Mit der Einführung des neuen Höhenbezugsrahmens liegen für die Fixpunkte von KOSOVA- REF01 nun Höhenwerte in einem weiteren Höhensystem vor Der neue Höhenbezugsrahmen Im Rahmen einer Semesterarbeit an der ETH Zürich (Gross, 2003) wurde für KOSOVAREF01 ein neuer Höhenbezugsrahmen bestimmt Basis dafür waren Daten und Messungen des 2 Präzisionsnivellement in Jugoslawien (II NVT (Bilajbegovic et al, 1989)), sowie eine GPS- Messkampagne im Sommer 2002 (Gross, 2003) Das Vorgehen war bestimmt durch die Datenlage So mussten in einem ersten Schritt die aus der II NVT-Messkampagne vorliegenden Original-Messwerte entlang der Hauptzüge ausgeglichen werden, basierend auf 4 Stützpunkten (O-619 Ivangrad, C-625 Mitrovica, C-462 Urosevac, FR Bujanovac), da nur von diesen Punkten definitv bestimmte Höhen vorliegen (Abb 51) Von diesen Stützpunkten lagen dafür Höhenwerte in vier Systemen vor, nämlich Geopotentielle Koten, orthometrische Höhen, Normalhöhen nach Molodenski und normalorthometrische Höhen (Helmerthöhen) (Bilajbegovic et al, 1989) Um eine gewisse Kompatibilität mit anderen europäischen Staaten zu erhalten wurde festgelegt, dass für KOSOVAREF01 Normalhöhen zu verwenden seien Die auf dieser Grundlage berechneten Höhen der II NVT-Punkte liegen demnach auch als Normalhöhen vor Basierend auf diesen II NVT-Punkten wurde anschliessend die GPS-Messkampagne vom Sommer 2002 ausgewertet, wodurch der neue Höhenbezugsrahmen ebenfalls wieder Normalhöhen enthält

25 16 5 Situation Abbildung 51: II NVT-Züge im Bereich des Kosovo 52 Lotabweichungen Im Atlas of the vertical deflection points in Europe and mediterranean countries (Arca, 1982) wurden Lotabweichungen aus ganz Euroa und Nordafrika zusammengetragen Im Bereich des Kosovo, dh im Gebiet der ehemaligen Republik Jugoslawien sind 19 Lotabweichungen sinnvoll einsetzbar Sinnvoll heisst hier, dass sie ziemlich regelmässig verteilt sind im zu bestimmenden Gebiet und innerhalb eines Umkreises von ca 50 km um das Kosovo liegen (Abb 52) Die im Atlas (Arca, 1982) aufgeführten Lotabweichungen sind mit keinerlei Metadaten versehen Es ist also nicht möglich, irgendwelche Aussagen über die Qualität der Daten zu machen Nach Rücksprache mit Herrn Dr U Marti von der Swisstopo wurden deshalb folgende Annahmen getroffen: Geodätisches Datum: ED-50, Genauigkeit der aufgeführten Lotabweichungen: ca 3cc Die für das Projekt verwendeten Lotabweichungen wurden durch Herr Marti von cc in umgewandelt und vom ED-50 ins GRS-80-System transformiert Von den 19 Lotabweichungen sind bei allen die ξ-komponenten und bei 16 Lotabweichungen auch die η-komponenten bekannt 53 Konsequenzen für die Geoidbestimmung Das Ziel ist, ein Geoid für das Kosovo zu bestimmen, so dass dieses als Modul auch zb in Ski- Pro eingebunden werden kann Die Punkte von KOSOVAREF01 verfügen über ellipsoidische und berechnete Normalhöhen (basierend auf den II NVT-Zügen (Gross, 2003)) Die verbindende

26 53 Konsequenzen für die Geoidbestimmung 17 Abbildung 52: Lotabweichungen im Bereich des Kosovo Bezugsfläche ist dabei das Quasigeoid, wobei der Bezug über ζ = h ell H norm (51) hergestellt werden kann Es ist darum anzustreben, dass für das Gebiet des Kosovo ein Quasigeoid bestimmt wird, und zwar so, dass die KOSOVAREF01-Punkte 1 Ordnung, welche in (Gross, 2003) bestimmt wurden, optimal eingebettet sind Dadurch erhält man eine Bezugsfläche, die zukünftigen geodätischen Aufgaben optimal angepasst ist Wird dieses Quasigeoid als Modul in SkiPro 1 implementiert, ist es möglich, GPS-Rohdaten direkt ins System von KOSOVAREF01 zu reduzieren 1 SkiPro wird standardmässig zur Auswertung von GPS-Daten durch die Kosovo Cadastral Agency (KCA), Vermessungsamt des Kosovo, verwendet

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28 Kapitel 6 Direkte Bestimmung des Quasigeoides aus beobachteten Höhenanomalien 61 Ausgangsdaten Auf der Basis der Bestimmung von Normalhöhen für einige ausgewählte Punkte 1 Ordnung von KOSOVAREF01 (Gross, 2003) wurden durch das KCA für sämtliche Punkte erster und zweiter Ordnung Normalhöhen bestimmt Dadurch liegen flächendeckend 430 Punkte vor, welche über ellipsoidische Höhen und Normalhöhen verfügen 1 (Abb 61) 62 Vorgehen Da alle Punkte in zwei Höhensystemen vorliegen, kann über die Beziehung ζ = h ell H norm (61) direkt für jeden Punkt ein Wert für die Höhenanomalie bestimmt werden Somit erhält man Stützpunkte für ein Quasigeoid, die als 3D-Punkte vorliegen (Y, X, ζ) Diese Stützpunkte können in einem ASCII-File gespeichert und dann direkt in zb ArcView 2 weiterverarbeitet werden ArcView ermöglicht mit der 3D Spatial Analyst -Erweiterung die direkte Interpolation des DHM aus den Rohdaten 3 In einem weiteren Schritt können dann Höhenkurven generiert werden Das Resultat ist in Abb 62 zu sehen (Äquidistanz 20 cm) 1 siehe hierzu auch Abschnitt 51 2 Die Daten müssen dann als GENERATE -File abgelegt sein, dh in der Form 1,Y,X,H ( 1 steht für die Geometrie Punkt ) 3 Eine Anleitung hierzu findet sich zb unter

29 20 6 Direkte Bestimmung des Quasigeoides aus beobachteten Höhenanomalien Abbildung 61: Punkte 1 und 2 Ordnung mit bekannten berechneten Höhenanomalien 63 Beurteilung der Resultate Betrachtet man die Abb 62, so kann man folgendes feststellen: Es ist klar ersichtlich, dass das mit ArcView bestimmt Quasigeoid nicht flächendeckend ist Es gibt noch verschiedene Randbereiche, die nicht abgedeckt sind Zusätzlich muss man feststellen, dass am Rand des interpolierten Gebietes die Resultate kaum zuverlässig sind Besonders auffällig ist dabei der Verlauf entlang der westlichen Grenze des Kosovo Ursache hierfür ist wahrscheinlich die Topographie Die westliche Grenze des Kosovos liegt auf einer Gebirgskette, die bis auf 2500m reicht Die zu Verfügung stehenden Messdaten liegen aber alle am Fusse dieses Gebirgszuges Entsprechend sind in diesen Gebieten Unregelmässigkeiten in der Interpolation zu erwarten Die Methode über Direktbeobachtungen und ArcView ist eine schnelle, effiziente Methode Das interpolierte Quasigeoid lässt sich auch problemlos als Rasterdatensatz exportieren 4 Man erhält dadurch auch die Möglichkeit der Weiterverarbeitung der Daten Das Problem liegt aber in ArcView ArcView und die 3D Spatial Analyst -Erweiterung sind Blackboxes, dh es ist nicht klar ersichtlich, wie aus den Rohdaten die Rasterdaten berechnet werden Auch fehlen Anga- 4 ESRI ASCII-Raster-File-Format, siehe Anhang A

30 63 Beurteilung der Resultate 21 Abbildung 62: Quasigeoid aus Direktbeobachtungen ben über den Interpolationsalgorithmus Der Benutzer gibt lediglich die Rohdaten ein und hat wenige Mausclicks später die graphische Darstellung seiner Daten Hier wäre es wünschenswert, weitere Angaben zu haben

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32 Kapitel 7 Astrogeodätische Bestimmung des Quasigeoids 71 Einleitung Das Vorgehen bei der astrogeodätischen Bestimmung eines Quasigeoids lässt sich grob in vier Schritte aufteilen: 1 Lotabweichungen um den Einfluss der Topographie reduzieren 2 Bestimmung der Polynomkoeffizienten 3 Interpolation der Oberfläche 4 Einfluss der Topographie der interpolierten Oberfläche wieder hinzufügen Für die Interpolation des Quasigeoids wurden zwei Programme erstellt, welche im Anhang D dokumentiert sind 72 Reduktion des Topographieeinflusses In einem ersten Schritt werden die Lotabweichungen um den Einfluss der Topographie reduziert Dieser Schritt bewirkt eine Glättung der Oberfläche (Abb 71) Zur Berechnung des Topographieeinflusses wurde ein dreiteiliges Modell über die Massenverteilung verwendet: Nahbereich Im Nahbereich (0-5 km Abstand vom Stationspunkt) wird angenommen, die Masse sei regelmässig innerhalb eines Quaders verteilt Als Quaderhöhe wird die Höhe der Topographie im Quadermittelpunkt verwendet

33 24 7 Astrogeodätische Bestimmung des Quasigeoids Abbildung 71: Verlauf der rohen Lotabweichungen, sowie der Lotabweichungen, die um den Einfluss der Topographie im Umkreis von 3km bzw 5km reduziert wurden (Gurtner, 1978) Mittlerer Bereich In einem mittleren Bereich (5-20 km) wird anstelle eines Quaders eine Massenlinie angenommen Dh die Ausdehnungen des Quaders in X- und Y-Richtung gehen gegen Null Die Höhe bleibt jedoch unveändert Fernbereich Im Fernbereich (über 20 km) wird die Masse in einem Punkt ohne räumliche Ausdehnung konzentriert Weitere relevante Parameter bei der Bestimmung des Topographieeinflusses sind: Dichte Die Dichte zur Berechnung des Einflusses der Topographie wurde im ganzen Einzugsgebiet konstant mit 267g cm 3 angenommen Höhenmodell Neben dem Modell über die Massenverteilung wird auch noch ein digitales Höhenmodell (DHM) benötigt Dazu standen zwei Datensätze zu Verfügung Zum einen existiert ein DHM des Kosovos, das auf Grund von Luftbildern erstellt wurde 1 Das Problem hierbei ist aber, dass das DHM sich auf das Gebiet des Kosovo beschränkt Um ein aussagekräftiges Quasigeoid zu erhalten, muss das zu betrachtende Gebiet (in dem Fall das Kosovo) um ca 50 km in jede Richtung erweitert werden Für diesen ca 50 km breiten Streifen um das Kosovo ist also ein weiteres DHM notwendig Als zweites, mögliches DHM bot sich das Global 30 Arc Second Elevation Data Set (gtopo30) an Dieses DHM ist über das Internet frei erhältlich (Details siehe Anhang B) Dieses DHM, mit einer Rasterweite von 30 (was etwa 1 km entspricht), ist ausreichend genau für die Bestmmung des Topographieeinflusses Deshalb wurde entschieden, nur das gtopo30 zu verwenden Eine mögliche Alternative wäre gewesen, das Umland um das Kosovo durch gtopo30 zu modelieren und für das Kernland das DHM von Blom zu verwenden Unterschiedliche Lagerungen und ein unzweckmässiges Datenformat des DHMs von Blom 2 favorisierten jedoch den Entscheid zu Gunsten von gtopo30 1 Das DHM wurde durch die Firma Blom ( erstellt Dazu erstellte im Jahr 2001 die Swisstopo Luftbilder und die Firma Blom wertete diese bis Juni 2002 aus 2 Das DHM von Blom ist als *dgn-file für Microstation abgelegt Für diesen Filetyp besteht eine Grössenbeschränkung von 32 MB Entsprechend liegt das DHM von Blom in über 100 einzelnen Kacheln vor

34 73 Bestimmung der Polynomkoeffizienten Bestimmung der Polynomkoeffizienten Das Vorgehen entspricht im wesentlichen dem Lösungsweg in (Marti, 1985), wird aber der Vollständigkeit halber hier nochmals detailliert aufgezeigt Das Quasigeoid des Kosovos soll aus Lotabweichungen mittels Polynominterpolation bestimmt werden Dies bedeutet, dass in einem ersten Schritt die Polynomkoeffizienten c ik der Interpolationspolynome bekannt sein müssen, um anschliessend eine Oberfläche der Form N = n n i c ik y i x k (71) i=0 k=0 bestimmen zu können (siehe auch Abschnitt 42) Modelltransformation Bei der Interpolation mit Polynomen empfiehlt sich eine Modelltransformation, um bei Polynomen höheren Grades grosse Werte zu vermeiden Im Rahmen dieser Arbeit wurde das zu betrachtende Gebiet in ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 um den Nullpunkt transformiert Y und X nehmen dadurch nur noch Werte zwischen -1 und 1 an Die Transformationsgleichungen sind: y = 2y max(y) min(y) L y (72) x 2x max(x) min(x) = (73) L x Hierbei sind L x und L y die Ausdehnung des Gebietes in X- und Y-Richtung Das Modell hat auf Grund dieser Transformation zwei Massstäbe: in Y-Richtung 2 L y in X-Richtung 2 L x Diese Modelltransformationen haben auch einen Einfluss auf die Lotabweichungen Werden diese Verzerrungen nun so gewählt, dass sie genau dem Massstab der X-Koordinate entsprechen, so müssen die ξ-komponenten nicht verändert werden Für die η-komponenten gilt dann: η = η L Y L x (74) Im Rahmen dieser Modelltransformation findet bezüglich der Lotabweichungen noch ein Vorzeichenwechsel statt

35 26 7 Astrogeodätische Bestimmung des Quasigeoids Wahl des Polynomgrad Die Wahl des Polynomgrades wird im Fall der Quasigeoidbestimmung für das Kosovo durch die Anzahl Beobachtungen limitiert In diesem Fall liegen 19 Lotabweichungen vor, wovon 16 sowohl über eine ξ- wie auch über eine η-komponente verfügen Dadurch stehen 35 Beobachtungen zu Verfügung, wodurch maximal 35 Unbekannte bestimmt werden können Die Anzahl u der unbekannten Polynomkoeffizienten eines Polyoms des Grades n lässt sich berechnen durch: (n + 1)(n + 2) u = 1 (75) 2 Das (-1) steht deshalb, weil aus Lotabweichungen nur der Verlauf einer Oberfläche, nicht aber die absolute Position bestimmt werden kann In einem Punkt muss N also bekannt sein Auf Grund der Gleichung 75 stellt man fest, dass der maximal mögliche Grad 7 ist Den maximalen Grad n für den Fall, dass nicht alle Lotabweichungen in zwei Komponenten vorliegen lässt sich auch rechnen über die Formel n 1 + 8m (76) wobei m die kleinere Anzahl Messungen von ξ oder η ist, hier also 16 (es liegen nur 16 η- Komponenten vor, gegnüber 19 ξ-komponenten) Auf Grund dieser beiden Abschätzungen ergibt sich ein maximaler Grad von 6 für die Interpolationspolynome Bestimmung der Polynomkoeffizienten mit vermittelnder Ausgleichung Beobachtungsgleichungen Da bei einer Polynominterpolation die Polynomkoeffizienten c ik nur als Linearkombinationen vorkommen, lassen sich diese in eine Form bringen, so dass sie der allgemeinen Form einer linearen Beobachtungsgleichung entsprechen: v = A x l (77) mit: v Verbesserungen der Beobachtungen A Koeffizientenmatrix (Einflusskoeffizientenmatrix A = f(x, y)) l Beobachtungsvektor (Lotabweichungen) x Vektor der Unbekannten (Koeffizienten c ik der Polynome) Die konkreten Beobachtungsgleichungen erhalten demnach folgendes Aussehen: v = n n i i c ik y i 1 x k η (78) i=0 k=0

36 73 Bestimmung der Polynomkoeffizienten 27 v = n n i k c ik y i x k 1 ξ (79) i=0 k=0 Die Dimensionen der Matrix A entsprechen in der einen Richtung (Anzahl Spalten) der Anzahl unbekannter Koeffizienten, die Anzahl Zeilen ist mit der Anzahl gemessener Lotabweichung identisch Dies bedeutet für den Fall einer Interpolation mit Polynomen 6 Grades, dass A = A(35, 27), Normalgleichungen Mittels der Methode der kleinsten Quadrate erhält man ein Normalgleichungssystem, das eindeutig lösbar ist Nimmt man für alle Beobachtungen den selben mittleren Fehler an, so reduziert sich die Gewichtsmatrix zur Einheitsmatrix Dadurch lässt sich das Normalgleichungssystem nach den Unbekannten x auflösen, was zur folgenden Beziehung führt: x = (A T A) 1 A T l (710) Setzt man nun die berechneten x in den Beobachtungsgleichungen wieder ein, so können die Verbesserungen berechnet und daraus zusätzliche statistische Grössen bestimmt werden Es ist jedoch zu beachten, dass die berechneten Verbesserungen noch den Modelltransformationen unterliegen Sie können demnach erst mit den Beobachtungen verglichen werden, nachdem sie mit ρ multipliziert und um die Modellverzerrungen korrigiert wurden Statistische Grössen Mit den berechneten Verbesserungen lassen sich nun folgende statistische Grössen bestimmen: Schätzung des mittleren a posteriori Fehlers der Gewichtseinheit s 0 = vt v n u mit n als Anzahl der Beobachtungen und u als Anzahl der Unbekannten (711) Der mittlere Fehler der berechneten Koeffizienten m c = s 0 Q xx = s 0 (A T A) 1 (712) Der Einfluss der Fehler der Koeffizienten auf eine mittels dieser Koeffizienten berechneten Quasigeoidhöhe m f = s 0 Q ff = s 0 A Q xx A T (713) Es ist zu beachten, dass diese Grössen für das transformierte Gebiet bestimmt werden Dementsprechend müssen die berechneten Werte für c ik, m c und m f noch mit dem Modellmassstab L x 2 multipliziert werden Die Koeffizienten der Interpolationspolynome sowie deren mittlere Fehler sind in Tabelle 71 aufgelistet

37 28 7 Astrogeodätische Bestimmung des Quasigeoids c ik m ci c ik m ci c0, c2, c0, c2, c0, c2, c0, c2, c0, c3, c0, c3, c0, c3, c1, c3, c1, c4, c1, c4, c1, c4, c1, c5, c1, c5, c2, c6, Tabelle 71: Tabelle mit den Koeffizienten der Interpolationspolynome sowie deren mittleren Fehlern Beurteilung der Koeffizienten Die Koeffizienten sind allesamt sehr klein, der Einfluss eines einzelnen Summanden eines Polynoms ist entsprechend klein Was erfreulich aussieht, sind die mittleren Fehler der Koeffizienten Die Frage bleibt aber, ob sie auch aussagekräftig sind (Besprechung der Resultate siehe Kapitel 8) Noch anzumerken ist, dass der Koeffizient c 00 nicht bestimmt, sondern manuell festgelget wird Der mittlere Fehler wird auf gesetzt 74 Interpolation der Oberfläche Mit den oben bestimmten Koeffizienten lässt sich nun für einen beliebigen Punkt P (y, x) einen Wert für die Höhenanomalie ζ P (x, y) bestimmen nach der bekannten Formel ζ P = 6 6 i c ik y i x k (714) i=0 k=0 Die Parameter, die hier festgelegt werden müssen, sind: Grösse des Gebietes (zb x max, x min, y max, y min ) Rasterweite des interpolierten Quasigeoids Diese beiden Faktoren haben vor allem einen Einfluss auf die Rechenzeit Für die Berechnungen wurden meist folgende Werte verwendet (Y, X in Grad):

38 75 Korrektur des Topographieeinflusses 29 y min = 2000 y max = 2175 x min = 4175 x max = 4275 F aktor = 3 Der Wert von Faktor gibt an, um ein Wievielfaches grösser die Rasterweite des Quasigeoides ist, bezüglich der Rasterweite des DHM gtopo30 (Im Beispiel würde dies bedeuten, dass das Quasigeoid eine Rasterweite von 90 hat) 75 Korrektur des Topographieeinflusses Im ersten Schritt (siehe Abschnitt 72) wurde mit der Reduktion um den Topographieeinfluss eine Glättung des Verlaufs des Quasigeoids bewirkt Dieser Schritt muss nun wieder rückgängig gemacht werden, dh der unruhige Verlauf der Oberfläche muss wieder erstellt werden Dabei werden dieselben Modelle und Annahmen, wie oben beschrieben, verwendet

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40 Kapitel 8 Resultate und Schlussfolgerungen 81 Resultate Quasigeoid aus Direktbeobachtungen Werden die direkt beobachteten Höhenanomalien in einem GIS (hier ArcView) ausgewertet, so erhält man rasch einigermassen brauchbare Resultate Die Höhenanomalien des bestimmten Quasigeoids liegen in einem Bereich zwischen 436 m und 458 m, was den Erwartungen entspricht Es wurde hier aus Gründen der Visualisierung die Darstellung des Quasigeoids durch Höhenlinien gewählt Es wäre aber auch möglich gewesen, die Daten in einem anderen Format (zb als ASCII Raster-File) auszugeben Massgeblich ist hier der weitere Verwendungszweck Unschön ist, dass bei dieser Variante das System bzw das GIS (ArcView) das zu interpolierende Gebiet festlegt, ohne dem Benutzer die Möglichkeit zu geben, Einfluss zu nehmen Die einzige Grösse, welche eingestellt werden kann, ist die Rasterweite Dadurch ist das bestimmte Quasigeoid nicht flächendeckend für das Kosovo Dazu kommt, dass der Interpolationsalgorithmus am Rand versagt, und dadurch der verwendbare Bereich des Quasigeoids weiter verkleinert wird Es wäre hier zu prüfen, ob anstelle von ArcView mit der Erweiterung des 3D Spatial Analyst ein anderes 3D-fähiges GIS verwendet werden könnte Dieser Ansatz wurde jedoch nicht weiter verfolgt Astrogeodätische Quasigeoidbestimmung Das mittels der astrogeodätischen Methode bestimmte Quasigeoid entspricht im Wesentlichen einer schiefen Ebene, welche von der nordwestlichen Ecke ziemlich regelmässig gegen die südöstliche Ecke abfällt Dies entspricht jedoch nicht den Erwartungen und hält auch dem Vergleich mit einem Quasigeoid aus Direktbeobachtungen nicht stand Mögliche Gründe hierfür können sein:

41 32 8 Resultate und Schlussfolgerungen Zu geringe Anzahl Beobachtungen: In dem zu betrachtenden Gebiet liegen nur 19 Lotabweichungen vor, und dies nur in den flachen, gut zugänglichen Gebieten Das führt einerseits dazu, dass die Wahl des Grads der Interpolationspolynome stark eingeschränkt ist Andererseits gibt es gerade in den Gebieten, welche einen deutlichen Einfluss auf das Quasigeoid haben können (diejenigen mit den hohen Gebirgen, dh das westliche Kosovo bzw das nördliche Albanien), keine Messungen, was zu einem Modellfehler führen kann Das bestimmte Quasigeoid entspricht also demjenigen, welches vorliegen würde, wenn keine Gebirge vorhanden wären (Vergleiche hierzu Anhang C und Abb 52) Qualität der beobachteten Lotabweichungen: Die in (Arca, 1982) publizierten Lotabweichungen verfügen über keinerlei Metadaten, aus welchen Aussagen betreffend der Qualität gemacht werden könnten In Absprache mit Herrn Dr U Marti von der Swisstopo wird eine Genauigkeit von ca 1 angenommen Bei der geringen Anzahl Messungen kommt der Faktor der relativ bescheidenen Qualität der Beobachtungen als massgebliche Grösse zusätzlich ins Spiel Fehler in der Modellierung: Die bestimmten Polynomkoeffizienten (siehe Tabelle 71) sind alle sehr klein Ebenso klein sind ihre mittleren Fehler Dies wirkt auf den ersten Blick vertrauenswürdig Es wird jedoch keinerlei Aussage über die Zuverlässigkeit gemacht (wurde auch nicht untersucht) Es wäre möglich, dass eine vertiefte stochastische Untersuchung der Koefizienten eine mangelnde Zuverlässigkeit zu Tage förderte Allenfalls könnten solche Untersuchungen auch mögliche Modellfehler aufzeigen Nicht berücksichtige Modellverzerrungen: Die theoretischen Grundlagen basieren alle auf einem planaren, orthogonalen Koordinatensystem Für die Bestimmtung des Quasigeoides wurden jedoch durchgehend Kugelkoordinaten verwendet Es wurde wohl darauf geachtet, sämtliche Modellverzerrungen 1 zu eliminieren Es ist denkbar, dass hier noch Effekte einen Einfluss haben, die nicht berücksichtigt wurden Der Einfluss dieses Umstandes müsste jedoch regelmässig das ganze Gebiet betreffen Darum liegt die Annahme nahe, dass es sich hierbei lediglich um einen Shift, evtl um einen Massstab handelt, der konstant ist für das ganze Gebiet Es ist festzuhalten, dass wahrscheinlich Anzahl und Anordnung der beobachteten Lotabweichungen sowie deren Qualität einen massgeblichen Einfluss auf das Resultat haben Auf Grund der Situation vor Ort ist es zur Zeit jedoch nicht möglich zusätzliche Messungen durchzuführen, da zum einen hierfür keine Infrastruktur vorhanden ist, zu anderen auch kaum Geldgeber zu finden sind, um zb in Zusammenarbeit mit einer Hochschule ein solches Projekt zu finanzieren Die politische und wirtschaftliche Situation auf dem Balkan erschwert ein solches Vorhaben, dh eine ausgedehnte Messkampagne zur Erhebung von zusätzlichen Lotabweichungsbeobachtungen sind vorerst kaum möglich 1 Bsp: ein Rasterelement von 30 Seitenlänge ist nicht quadratisch sondern ein sphärisches Viereck Die Seitenlängen messen hierbei ca 712 m in Ost-West- und 925 m in Nord-Süd-Richtung auf 40 o nördlicher Breite

42 82 Vergleich der angewendeten Methoden Vergleich der angewendeten Methoden Bestimmung aus direkten Beobachtungen Astrogeodätische Methode Vorteile Schnell & effizient Einfacher Datenfluss Visualisierung Flächendeckende Interpolation möglich keine Blackbox Nachteile Interpolation in ArcView ist Blackbox Interpoliertes Gebiet ist vorgegeben Komplexe Modellierung Zeitintensiv Tabelle 81: Vergleichende Übersicht der beiden Methoden Die beiden Methoden (Bestimmung aus direkten Beobachtungen und astrogeodätische Methode) haben Eigenschaften, die je nach Anwendung und Projekt positiv oder negativ sein können Tabelle 81 bietet eine erste Übersicht über die Vor- und Nachteile der verwendeten Methoden Anhand dieser vergleichenden Darstellung kann man verschiedene Schlüsse ziehen Zu beachten ist hier jedoch, dass diese Schlüsse auf Grund der konkreten Datenlage erfolgt Aus anderen Projekten können alenfalls auch andere Schlussfolgerungen gezogen werden Blackbox Wenn ArcView verwendet wird, so hat der Benutzer keinerlei direkt verfügbaren Angaben, was mit den Daten geschieht zwischen der Eingabe der Rohdaten und dem visualisierten Endprodukt Auch stochastische Grössen sind nicht verfügbar Kontrollmöglichkeiten sind demnach entweder rein optisch, dh man vergleicht das Resultat mit einem Referenzbild, oder mittels GIS-Funktionalität, dh man liest ein zweites Quasigeoid (zb EGG97) ein und versucht mittels räumlicher Differenzenbildung Fehler zu detektieren Dies bedingt aber, dass Referenzdaten vorliegen Bei der astrogeodätischen Methoden muss der ganze Weg von den Rohdaten bis zum Endprodukt selber festgelegt und programmiert werden Mit einer entsprechenden Dokumentation ist es dadurch möglich, dass ein Benutzer die Verarbeitung nachvollziehen und die Resultate interpretieren kann Die Ausgabe von stochastischen Grössen ist möglich

43 34 8 Resultate und Schlussfolgerungen Flächendeckende Interpolation Eine zentrale Forderung der Aufgabenstellung ist die flächendeckende Interpolation des Quasigeoids Diese Forderung wird im ersten Fall (Verarbeitung via ArcView) klar verletzt Sinnvolle Aussagen lassen sich nur für zentrale Gebiete des Kosovos gewinnen In den Randgebieten kann keine Aussage über das Quasigeoid gemacht werden Wird ein Qusigeoid über die individuell programmierten Routinen aus Lotabweichungen interpoliert, so obliegt es dem Benutzer, die Grösse des zu interpolierenden Gebietes festzulegen Effizienz / Zeitaufwand Ein gewaltiger Vorteil in der Verwendung kommerzieller Produkte liegt in der Effizienz bzw der Zeitersparnis Zum einen fällt die ganze Entwicklungsphase weg, die benötigt wird, um neue Programme zu erstellen Der Zeitaufwand, um von Rohdaten (vorausgesetzt sie liegen in einem Datenformat vor, dass vom entsprechenden GIS interpretiert werden kann) zu einem fertig dargestellten Plot von Höhenkurven zu gelangen, ist kleiner als 1h Betrachtet man auf der anderen Seite die Verarbeitung der Rohdaten durch die selbst erstellten Programme, so wird eine Rechenzeit von mindestens einer Stunde benötigt (abhängig von der Gebietsgrösse und der Rasterweite) Der Entwicklungsaufwand für neue Software liegt im Bereich von mehreren Wochen Komplexität der Modellierung Die Modellierung der Bestimmung eines Quasigeoides aus Lotabweichungen verlangt eine vertiefte Auseinandersetzung mit der physikalischen Geodäsie Ebenso ist es notwendig, entsprechende Mathematikkenntnisse zu haben Dieser Weg ist deshalb ausschliesslich Spezialisten zu empfehlen Bei Anwendungen in der Praxis, die unterschiedliche Benutzer zulassen, ist der Weg über ein kommerzielles GIS eher zu empfehlen, da dann nicht zwingend eine vertiefte Auseinandersetzung mit den Grundlagen stattfinden muss Unabhängig von möglichen Benutzersegmenten ist festzustellen, dass eine komplexe Modellierung auch anfälliger für Fehler sein kann, da leicht ein vielleicht wichtiges Detail übersehen oder falsch behandelt werden kann Schlussfolgerung Die Wahl der Methode hängt in hohem Masse von zwei Faktoren ab: Datengrundlage Aufgabenstellung / Zielsetzungen Je nach Zielsetzungen und entsprechender Datengrundlage sind die oben aufgeführten Vorund Nachteile gegeneinander abzuwägen Wäre zum Beispiel auch ausserhalb des Kosovos eine angemessene Zahl von Direktbeobachtungen vorhanden, so wäre der Weg über ArcView sicher eine schnelle und effiziente Methode Mit einer grösseren Anzahl beobachteter Lotabweichungen, und vor allem einer regelmässigeren Verteilung würde jedoch auch die astrogeodätische Methode eine unabhängige Bestimmung des Quasigeoides garantieren, was Vergleichsmöglichkeiten böte

44 83 Ausblick 35 Einschub: Vergleich von Resultaten aus Direktbestimmung und astrogeodätischer Bestimmung Bei einem Vergleich zwischen einem Quasigeoid aus direkten Beobachtungen und einem aus Lotabweichungen ist zu beachten, dass es wahrscheinlich ist, dass ein Shift oder gar eine Verkippung feststellbar ist Dieser Effekt sollte aber über eine Helmert- oder eine Affintransformation behebbar sein Dieser Effekt konnte im Rahmen dieser Diplomarbeit auf Grund fehlender aussagekräftiger Resultate nicht untersucht werden 83 Ausblick Mischvariante führt zum Erfolg Die Methode über eine Polynominterpolation der Quasigeoidfläche ist sehr flexibel und bietet viele Möglichkeiten Passt man nun das in Kap7 beschriebene Verfahren so an, dass man anstelle von Lotabweichungen direkt bestimmte Höhenanomalien verwendet, so hat man wahrscheinlich ein ausreichende Anzahl an Beobachtungen Dies würde bedeuten, dass man ausgehend vom Ansatz 6 6 i ζ = c ik y i x k (81) i=0 k=0 in Abweichung zu Kap 7 direkt aus den beobachten ζ i die Polynomkoeffizienten bestimmt und somit auch Kenntnis über den Verlauf der Oberfläche erhält (unter Verwendung der Bestimmungsgleichung 81) Neues Quasigeoid als Vervollständigung von KOSOVAREF01 Die Bestimmung eines Quasigeoides ist die sinnvolle Vervollständigung des Referenznetzwerkes KOSOVAREF01 (Abb 81) KOSOVAREF01 ist ein moderner, mit GPS bestimmter, Referenzrahmen, welcher noch zusätzlich Normalhöhen implementiert hat Jeder Punkt P von KO- SOVAREF01 verfügt also über zwei Lage- und zwei Höhenkoordinaten: P (Y, X, h ell, H norm ) Momentan fehlt noch das Verbindungsstück zwischen h ell und H norm, was genau einem lokal bestimmten Quasigeoid entspricht (Gl 82) ζ = h ell H norm (82) Ein diesbezüglich konsequentes Handeln würde auch beinhalten, dass das Quasigeoid in eine Form gebracht wird, durch die es in der täglichen Arbeit einsetzbar wird Hier drängt sich die Implementierung des Quasigeoids in SkiPro auf, da dieses Softwarepaket durch die KCA 2 standardmässig zur Auswertung von GPS-Rohdaten verwendet wird Im Rahmen der vorhandenen Möglichkeiten sollte diese Arbeit also weiter vorangetrieben werden 2 Kosovo Cadastral Agency; das KCA arbeitet mit dem GPS500-System von Leica und wertet die Daten in SkiPro aus

45 36 8 Resultate und Schlussfolgerungen KOSOVAREF01 GPS-Messungen P (Y, X, h ell ) II NVT KOSOVAREF01 P (Y, X, h ell, H norm ) Diskrete Punkte Flächendeckende Information = KOSOVAREF01 + Quasigeoid Abbildung 81: Vervollständigung von KOSOVAREF01

46 Anhang A ESRI ASCII Raster File Format Das ASCII Raster File Format ist ein einfaches Format, welches zb für DHM verwendet werden kann Das File besteht aus einem Header gefolgt von den Daten Der Header ist wie folgt aufgebaut ncols nrows xllcorner yllcorner cellsize nodata value Anzahl Spalten im Datensatz Anzahl Zeilen im Datensatz West-Ost Koordinate der unteren linken Ecke Nord-Süd koordinate der unteren linken Ecke Rasterweite Wert für Rasterzellen mit unbekanntem Wert Anschliessend folgen die Daten, gruppiert nach Anzahl Zeilen und Spalten Beispiel ncols 480 nrows 360 xllcorner 19 yllcorner 41 cellsize NODATA value

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48 Anhang B Global 30 Arc-Second Elevation Data Set (gtopo30) Einführung GTOPO30 ist globales digitales Höhenmodell (DHM) welches vom US Geological Survey s EROS Data Center vertrieben wird Die Höhen sind in einem regelmässigen Raster von 30 (Bogensekunden) erfasst, was einer Maschenweite von ca 1 km entspricht (im Bereich Kosovo (40 o ) N-S: 925m, W-E: 712m) Eigenschaften des Datensatzes Der Datensatz ist in einem regelmässigen Raster von 30 angeordnet Die Lagekoordinaten des Gitters sind in Länge und Breite in Dezimalgrad angegeben bezüglich dem Referenzsystem WGS84 Die Höhenangaben sind in Metern über dem Meeresspiegel (meters above mean sea level) Diejenigen Bereiche, die von den Ozeanen bedeckt sind, haben standardmässig einen Höhenwert von -9999, was no data entspricht Inseln, die einen Querschnitt von weniger als 1km 2 haben, werden, bedingt durch die Rasterweite, nicht dargestellt Datenformat Die Daten des GTOPO30 DHM sind in Kacheln unterteilt Für das Gebiet von 60 o südlicher Breite bis 90 o nördlicher Breite, sowie von 180 o westlicher bis 180 o östlicher Breite sind 27 Kacheln notwendig Eine Kachel überdeckt dabei ein Gebiet von 50 o Breite und 40 o Länge Die Kacheln werden mit den Koordinaten der linken oberen Ecke bezeichnet, zb E020N40, was bedeutet, das die linke obere Ecke auf 20 o östlicher Länge und 40 o nördlicher Breite liegt Eine Kachel ist wiederum in 6000 Zeilen und 4800 Spalten unterteilt, wobei sich die einzelnen

49 40 B Global 30 Arc-Second Elevation Data Set (gtopo30) Kacheln nicht überlappen Auf 40 o Nord entspricht die Auflösung von 30 Bogensekunden in etwa 712m in West-Ost- Richtung und 925m in Nord-Süd-Richtung Fileformate Die Daten einer Kachel sind in 8 Files abgelegt Die Identifikation erfolgt dabei über die Endung: Endung Inhalt Format DEM DHM-Daten Binär HDR Header-File für DHM ASCII DMW World File (Angaben zur Georeferenzierung) ASCII STX Statistik File ASCII PRJ File mit Informationen bezüglich der Projektion ASCII GIF Bild mit schattiertem Relief GIF (Binär) SRC Source Map Binär SCH Header-File für Source Map ASCII Die Bytereihenfolge in den Binärfiles entspricht der Motorola oder Big Endian Bytereihenfolge Datenquellen Für die Herstellung des GTOPO30 DHM wurden verschiedene Datenquellen verwendet Grundlage für die Daten im Bereich des Balkans ist das Digital Terrain Elevation Data (DTED) welches von der NIMA produziert wird Die Rastergrösse des DTED ist 3 Bogensekunden (ca 90 Meter) Genauigkeit Die absolute Genauigkeit der Daten aus dem DTED wird mit ±30m angegeben für das 90% Vertrauensintervall Quellenangabe Diese Zusammenfassung basiert auf der GTOPO30 Dokumentation des US Geological Survey s EROS Data Centers erstellt worden Der englische Originaltext ist auf dem Web zu finden unter

50 Anhang C Topographie des Kosovo Abbildung C1: Relief des Kosovo; Ansicht von Süden Das Kosovo liegt im südlichen Balkan Es wird begrenzt durch Albanien im Westen, Montenegro im Nordwesten, Serbien im Norden und Osten und Mazedonien /FYROM 1 im Süden Das Kosovo hat eine Ausdehnung von 160 km in Nord-Süd- und 140 km in Ost-West-Richtung In der Mitte des Kosovos verläuft ein Gebirgsrücken, der eine Höhe von ca 1200 m erreicht Die Westgrenze des Kosovo zu Albanien, sowie der südliche Bereich (Region Dragash, im Vordergrund in Abb C1) sind sehr gebirgig Das Terrain erreicht hier Höhen von bis zu 2500 m Die Ebenen südwestlich bzw nordöstlich des mittleren Rückens liegen zwischen 400 m und 500 m 1 Former Yugoslav Republic of Macedonia