Finanzmathematische Modelle

Transkript

1 Fiazmathematische Modelle Zum Zeitpukt der Erstellug dieses apitels Afag 7 war das absolute Zistief. Bei Guthabezissätze i der Größeordug vo, % macht die Betrachtug vieler asoste wichtiger fiazmathematischer Probleme keie Si. Aus diesem Grud ud i der Hoffug auf adere Zeite habe sich die Verfasser etschlosse, die Beispiele ud Aufgabe mit zur Zeit urealistische Zissätze zu versehe. 5. Zis- ud Ziseszismodelle 5.. Zisbegriffe Die Fiazmathematik ist eie Diszipli der agewadte Mathematik, die sich mit Theme aus dem Bereich vo Fiazdiestleister wie etwa Versicheruge oder Bake beschäftigt. Im Fiazwese sid folgede Begriffe gebräuchlich. Uter apital versteht ma eie Geldbetrag, der agelegt oder jemad aderem überlasse wird. Uter Zise versteht ma die Gebühre, die ei Schulder dem Gläubiger für die die leihweise Überlassug ud wirtschaftliche Nutzug eies apitals über eie vereibarte Laufzeit bezahle muss. Die Agabe des Zissatzes wird dabei auf eie Zeiteiheit, die sogeate Zisperiode bezoge. Die Höhe der Zise ist abhägig vom Zissatz, der Dauer der Zisperiode ud der Höhe des apitals. Dabei muss uterschiede werde, ob afallede Zise mitverzist werde oder icht. Wesetlich ist auch, zu welche Termie ei Ziszuschlag erfolgt. Im Rahme der Zisrechug werde folgede Bezeichuge ud Symbole verwedet: Afagskapital = ursprüglich agelegter Geldbetrag Edkapital = apital am Ede der Zisperiode Zise Z j = Zise eies Jahres Laufzeit Zissatz p Zisfaktor i p

2 4 5 Fiazmathematische Modelle 5.. Jährliche Verzisug Eifache Zisrechug Bei der eifache Verzisug werde die Zise am Ede eies jede Jahres zwar gutgeschriebe, aber icht dem zistragede apital zugeschlage, d. h. sie werde i de Folgejahre icht mitverzist. Beispiel (eifache Verzisug) Herr Becker leiht sich 4, zu eiem jährliche Zissatz vo % p. a. mit eifache Zise bei eier Laufzeit vo 6 Jahre. Welche Betrag muss er ach 6 Jahre zurückzahle? Gegebe sid: 4, ; 5 Jahre ; p % ; Jeweils ach Ablauf eies Jahres ergibt sich: Zise des erste Jahres: Z i4,, 8, apital ach eiem Jahr: i 48, i =, Zise des zweite Jahres: Z i4,, 8, apital ach zwei Jahre:... ( i) i i 46, apital ach füf Jahre : 5 5i 44, Allgemei: Edkapital ach Jahre: i ( i). Edkapital bei eifacher Verzisug Bei eifacher Verzisug ergibt sich bei eiem Afagskapital, eiem Zissatz p ud der Laufzeit für das Edkapital ( i) Aufgabe. Frau Schmidt will eie redit zu 5., mit eifache Zise i Aspruch ehme. Der Gläubiger berechet,5 % Jahreszise. a) Welche Summe muss sie ach 5 Jahre zurückzahle? b) Welche Betrag ka sie i Aspruch ehme, we sie zum Ede des. Jahres 7.5, zurückzahle ka? c) Bereche Sie die Laufzeit, we sie 5., i Aspruch immt ud 8., zurückzahlt. d) Die Schuld vo Frau Schmidt wächst i 4 Jahre vo 6., auf.,. Wie hoch ist der Zissatz?. Wie viele Jahre muss ei apital vo., agelegt werde, damit es sich bei eiem Zissatz vo 4,5 % p. a. vervierfacht? Die apitaletwicklug bildet eie arithmetische Folge (siehe Ahag): i jedem Jahr wächst die Summe um de gleiche Betrag.

3 5 Fiazmathematische Modelle 4 Ziseszisrechug Werde die Zise am Ede eies Jahres zum apital hizuaddiert, also im folgede Jahr mitverzist, spricht ma vo Ziseszise. Nebe de bereits bekate Bezeichuge ud Symbole betrachtet ma de Aufzisugsfaktor q i Im Folgede soll die Berechug a eiem Beispiel erläutert werde. Beispiel (Ziseszis) Ei Afagskapital vo., wird 5 Jahre lag zu % p. a. zisverzist. Am Ede eies jede Jahres werde die Zise dem apital hizugerechet. Wie hoch ist das Edkapital ach 5 Jahre? Gegebe sid: Afagskapital.,, Gesamtlaufzeit 5 Jahre, Zissatz p %, Zisfaktor i, Aufzisugsfaktor qi, Gesucht ist: Edkapital 5 Die Zise für ei Jahr erhält ma, we ma das apital am Afag eies Jahres mit dem Zisfaktor i multipliziert. We ma das apital am Afag eies Jahres mit dem Aufzisugsfaktor q multipliziert, erhält ma das apital am Ede des Jahres eischließlich der Zise. Die Berechug des Edkapitals bezeichet ma daher auch als Aufzisug. Das apital am.. eies Jahres ist idetisch mit dem apital am 3.. des Vorjahres. Mit diese Überleguge geligt die Berechug des apitals ach 5 Jahre, hier i Form eier Tabelle dargestellt (alle Geldsumme i ): Jahr apital am.. Zise im Jahr apital am 3..., Z,.,., Z 4,.44, 3.44, Z3 8,8 3.6, ,8 Z4,4 4.84, ,3 Z5 6,49 5.4,8 Nach 5 Jahre hat sich das Afagskapital vo., auf eie Betrag vo.4,8 erhöht.

4 4 5 Fiazmathematische Modelle Etspreched zur Vorgehesweise i dem Beispiel lasse sich allgemei Formel zur Berechug der Ziseszise ud des Edkapitals iklusive der Ziseszise herleite. Jahr apital am.. Zise im Jahr apital am 3.. Afagskapital Z i i ( i) q q Z q i q q i ( ) q i q q q 3 q Z3 q i q q 3 Z q i q 3 Damit ergibt sich: Ziseszisrechug Bei der Ziseszisrechug sid folgede Formel vo Bedeutug: Berechug des apitals am Ede des Jahres : q j Berechug der Zise eies beliebige Jahres j: Z q i (Zise = apital am Ede des Vorjahres Zisfaktor) Berechug der Zise über die gesamte Laufzeit: Z Die apitalbeträge zweier aufeiader folgeder Jahre uterscheide sich durch de Faktor q. Sie stelle damit eie geometrische Folge dar. Die Ziseszisformel eiget sich zur Berechug des Edkapitals. Im Folgede wird ahad vo Beispiele erläutert, wie sich auch das Afagskapital, die Laufzeit ud der Zissatz bereche lasse. j Vergleiche Sie dazu auch die Überleguge i apitel 4.3. Vergleiche Sie dazu auch Ahag.

5 5 Fiazmathematische Modelle 43 Berechug des Edkapitals Zur Berechug des Edkapitals werde alle gegebee Größe i eie Zeitachse eigetrage ud die obige Formel für das Edkapital agewedet. Beispiel (Berechug des Edkapitals) Ei Betrag vo 7.6, wird Jahre lag zu,5 % p. a. bei Zisverzisug agelegt. Wie hoch ist das Edkapital ach Jahre? Zeitachse: = q =,5 Zeit Rechug: q 7.6,,5 37.8,93 Das Edkapital ach Jahre beträgt 37.8,93. Für das Edkapital ach Jahre gilt allgemei: Ziseszisformel zur Berechug des Edkapitals Bei Verzisug mit Ziseszis ergibt sich bei eiem Afagskapital, eiem Zissatz p ud der Laufzeit für das Edkapital: q = 7.6, =?. (Edkapital = Afagskapital Aufzisugsfaktor für Jahre) Das Edkapital ergibt sich aus dem Afagskapital durch eie Aufzisug mithilfe des Faktors q. Aufgabe 3. Auf welche Betrag wächst ei apital vo 4.5, a, we es 9 Jahre lag zu 4,5 % p. a. zisverzist wird? 4. Ei apital i Höhe vo 5., muss bei 6 % p. a. Zisverzisug Jahre lag agelegt werde, damit es sich verdoppelt. Überprüfe Sie recherisch diese Behauptug. 5. Ei Sparbetrag vo 5., wird 5 Jahre lag zu 7 % p. a. zisverzist. a) Wie hoch ist das apital ach 5 Jahre? b) Wie hoch ist die Summe der Zise i diese 5 Jahre? c) Wie hoch sid die Zise des 8. Jahres?

6 44 5 Fiazmathematische Modelle Berechug des Afagskapitals Zur Berechug des Afagskapitals müsse wir die Ziseszisformel umstelle: q : q q q Der Faktor q heißt Abzisugsfaktor für Jahre. Berechug des Afagskapitals Zur Berechug des Afagskapitals muss ma das Edkapital abzise. Ma erhält das Afagskapital, idem ma das Edkapital mit dem Abzisugsfaktor q multipliziert:. q (Afagskapital = Edkapital Abzisugsfaktor für Jahre) Beispiel (Berechug des Afagskapitals) Ei Geldbetrag wurde 8 Jahre lag zu 4 % p. a. zisverzist. Wie hoch war das Afagskapital, we das Edkapital 3.65, beträgt? Zeitachse: = 8 q =,4 Zeit =? 365 Rechug: 8.666,96 q8 8,4 Das Afagskapital betrug.666,96. Aufgabe 8 = 7.6, 6. Welche Betrag muss ma heute bei 6,5 % p. a. Zisverzisug alege, damit ma i 7 Jahre über., verfüge ka? 7. Ei Afagskapital wächst i 6 Jahre auf 7.38,4 a. Wie hoch war es bei % p. a. jährlicher Verzisug? 8. Welche Betrag muss ei Sparer heute bei eier Sparkasse eizahle, we er bei 4,5 % p. a. Zisverzisug ach 8 Jahre über., verfüge will? 9. Ei Uterehme berechet, dass i 5 Jahre eie Erweiterugsivestitio i Höhe vo 76., erforderlich sei wird. Da das laufede Geschäftsjahr mit eiem Gewi abgeschlosse hat, wird ei Teil des Gewis zu 6 % p. a. Ziseszise agelegt. Wie hoch muss diese Alage sei, damit i 5 Jahre das erforderliche apital zur Verfügug steht?

7 5 Fiazmathematische Modelle 45 Berechug der Laufzeit Bei dieser Aufgabestellug steht die gesuchte Größe i der Ziseszisformel im Expoete eier Potez. Dies führt zu eier Expoetialgleichug, die durch Logarithmiere ud Awede der Logarithmegesetze gelöst werde ka. q : q lg q lg lg( ) lg lg( q) lg( ) lg( ) lg( q ) :lg( q ) lg( ) lg( ) lg( q) Berechug der Laufzeit Die Laufzeit eier Zisverzisug wird berechet durch lg( ) lg( ) lg( q). Beispiel (Berechug der Laufzeit) Wie viele Jahre wurde 5.6, agelegt, we sie bei 6 % p. a. Zisverzisug am Ede der Laufzeit auf.63,48 agewachse sid? Zeitachse: =? q =,6 Zeit = 5.6, =.63,5 lg( ) lg( ) lg(.63,5) lg(5.6,) Rechug: lg( q) lg(,6) Die Laufzeit betrug rud Jahre.,4 Jahre Aufgabe. Wie viele Jahre müsse 6.34, zu 4 % p. a. zisverzist werde, damit sie auf 8.343, awachse?. Wie viele Jahre müsse 6., bei 8 % p. a. Zisverzisug agelegt werde, damit sie sich verdreifache?. Ei Sparbetrag vo 5., wird zu 7 % p. a. zisverzist. Dabei wächst er auf 9.57,7 a. a) Nach wie viele Jahre hat der Betrag diese Höhe erreicht? b) Wie hoch sid die Zise des 5. Jahres?

8 46 5 Fiazmathematische Modelle Berechug des Zissatzes Bei dieser Aufgabestellug ist die Ziseszisformel zuächst ach dem Aufzisugsfaktor q aufzulöse. Aus q lässt sich da der Zissatz p bereche. Die Umstellug der Ziseszisformel ach q liefert: q : q q Damit ergibt sich für de Zissatz: p q p( q). Berechug des Zissatzes Der Zissatz eier Zisverzisug berechet sich mithilfe der Formel q ud p ( q ). Beispiel (Berechug der Laufzeit) Zu welchem Jahreszissatz wurde 4.8, zisverzist, we sie ach 5 Jahre auf 6.54,48 agewachse sid? Zeitachse: = 5 q =? Zeit Rechug: q = 4.8, 5 5 5, 5 ud p ( q ) (,5 ) , Der Jahreszissatz betrug 5%. 5 = 6.54,48 Aufgabe. 3. Jemad hat bei eier Sparkasse.3, agelegt. Welcher Zissatz wurde vereibart, we das apital ach Jahre auf 4.54,77 agewachse ist? 4. Zu welchem Zissatz müsse 8., über 3 Jahre agelegt werde, damit sie sich verdoppel? 5. Ei apital vo 3.6, wächst i 6 Jahre auf 7.38,4 a. Wie hoch ist der Zissatz? 6. Zu welchem Zissatz müsse 3., 3 Jahre lag agelegt werde, damit sie sich verdoppel? 7. Leite Sie eie Formel her, mit dere Hilfe ma de Zissatz bereche ka, we ei apital i Jahre auf de k-fache Wert awachse soll.

9 5 Fiazmathematische Modelle 47 Vermischte Aufgabe 8. a) Womit muss ma ei Afagskapital multipliziere, um das zugehörige Edkapital zu erhalte? b) Womit müsse wir ei Edkapital multipliziere, um das zugehörige Afagskapital zu erhalte? c) Erkläre Sie de Begriff Ziseszisrechug. d) Löse Sie die Formel zur Berechug des Edkapitals allgemei ach alle Größe auf. 9. Eie Geldalage wächst i 5 Jahre bei 6 % p. a. Zisverzisug auf eie Betrag vo 5., a. Wie hoch war die Alage?. Bei welchem Zissatz verdoppelt sich ei apital ierhalb vo 9 Jahre.. Wie viele Jahre muss ei apital i Höhe vo 7., zu 5 % p. a. Zisverzisug agelegt sei, damit es sich verdoppelt?. Ei Betrag vo 3., wird eie Azahl vo Jahre zu 4 % p. a. zisverzist. I diesem Zeitraum wächst es auf , a. Wie viele Jahre wurde der Betrag verzist? 3. Zu welchem Zissatz muss ei apital 3 Jahre lag agelegt werde, damit es sich verdreifacht? 4. Wie viele Jahre müsse 35., zu 6 % p. a. zisverzist werde, damit sie auf 5., awachse? Löse Sie zuerst allgemei ach der gesuchte Größe auf. 5. Herr Meyer hat zu viel gezahlte Steuer i Höhe vo 6.35,75 vom Fiazamt erstattet bekomme. Er möchte das Geld so alege, dass er ach Jahre isgesamt, a Zise bekommt. Wie hoch müsste dazu der Zissatz sei? 6. Herr Müller hat vor eiem Jahr Aktie im Wert vo.5, gekauft. Die Jahresabrechug zeigt, dass die Aktie um 4,5 % p. a. gestiege sid. Die Gebühre für die Verwaltug der Aktie betrage,5 % p. a. des Wertes der Aktie am Jahresede. a) Wie viel Gewi hat Herr Müller vor Abzug der Gebühre gemacht? b) Wie hoch sid die Gebühre? c) Wie viel Euro Gewi Herr Müller im erste Jahr ach Abzug der Gebühre gemacht? d) Um wie viel Prozet ist das Startkapital ach Abzug der Gebühre gestiege?