17 Reale digitale Filter: Koeffizientenquantisierung

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1 203 7 Reale digitale Filter: Koeffizientenquantisierung In der Systemtheorie werden digitale Signale und Systeme zunächst unter idealisierten Bedingungen betrachtet. Reale Systeme, wie beispielsweise bei der MATLAB-Simulation am PC, bei einer Implementierung auf einem digitalen Signalprozessor oder einer dedizierten Hardware, arbeiten jedoch stets mit endlicher Wortlänge. Es entstehen zwangsläufig Quantisierungsfehler, wenn die Koeffizienten und Variablen außerhalb des arstellungsbereiches der Maschinenzahlen liegen. Schlüsselbegriffe Arithmetikfehler, fdatool, FIR-Filter, Kaskadenform, Koeffizientenquantisierung, IIR-Filter, Polausdünnung, Pol-Nullstellenaufteilung, Wortlängeneffekte Lernziele Nach Bearbeiten dieses Versuches können Sie die Fehlerquellen bei realen digitalen Filtern nennen und verstehen die maximale Frequenzgangsabweichung durch Quantisierung der Koeffizienten bei FIR-Filtern abschätzen und bewerten mit MATLAB den tatsächlichen Fehler durch Quantisierung der Koeffizienten bei FIR-Filtern analysieren und bewerten die Wirkung der Koeffizientenquantisierung von IIR-Filtern auf den Frequenzgang anhand des Pol- Nullstellendiagramms analysieren und bewerten den Effekt der Polausdünnung anhand einer Skizze in der z-ebene veranschaulichen und bewerten ein IIR-Filter höherer Ordnung in eine für die Realisierung günstige Kaskadenform umwandeln mit MATLAB den tatsächlichen Fehler durch Quantisierung der Koeffizienten bei IIR-Filtern analysieren und bewerten das MATLAB-Werkzeug fdatool zum Entwurf und der Analyse von Filtern gezielt einsetzen 7. Wortlängeneffekte Praktische Systeme zur digitalen Signalverarbeitung werden häufig auf speziellen Mikrocontrollern implementiert, den digitalen Signalprozessoren (SP, igital Signal Processor). Nach Art der Zahlendarstellung werden zwei Gruppen unterschieden: Festkommaprozessoren und Gleitkommaprozessoren. Wichtige Vor- und Nachteile der beiden Prozessorarchitekturen stellt Tabelle 7- gegenüber. Beim praktischen Einsatz digitaler Systeme sind drei Fehlerquellen und ihre Folgen zu berücksichtigen: Quantisierungsfehler bei der A/-Umsetzung Quantisierungsfehler bei der arstellung der Filterkoeffizienten Entwurfsspezifikationen verletzt, Filter wird möglicherweise instabil M. Werner, igitale Signalverarbeitung mit MATLAB, OI 0.007/ _7, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 202

2 204 7 Reale digitale Filter: Koeffizientenquantisierung Filter bleibt ein lineares System Arithmetikfehler innerhalb des Filters treten bei Wortlängenverkürzung nach einer Multiplikation oder einem Überlauf nach einer Addition auf. Inneres Rauschen, kleine und große Grenzzyklen Filter ist kein lineares System mehr In diesem Versuch werden die Auswirkungen der Koeffizientenquantisierung auf das Übertragungsverhalten digitaler Filter untersucht. abei wird nach FIR- und IIR-Filtern unterschieden. ie Arithmetikfehler werden im nächsten Versuch behandelt. Tabelle 7- Vergleich der Festkomma- und Gleitkommaarchitektur für Signalprozessoren Festkommaarchitektur Gleitkommaarchitektur ynamik kleiner größer Präzision konstant exponentenabhängig Skalierung meist erforderlich meist nicht erforderlich Befehlssatz (Assembler) Optimierungsmöglichkeiten Entwicklungszeit Geschwindigkeit Energieverbrauch Preis Sonstiges einfacher größer meist größer größer kleiner kleiner Spezielle Architekturmerkmale zur Vermeidung von Arithmetikfehlern (Sättigungskennlinien, Akkumulatoren mit vergrößerter Wortlänge) umfangreicher kleiner meist kleiner kleiner größer größer Software von einem PC oder Arbeitsplatzrechner leichter auf den SP portierbar 7.2 FIR-Filter mit quantisierten Koeffizienten Für FIR-Filter werden in Versuch 0 sechs günstige Eigenschaften aufgezählt, darunter die relative Robustheit gegenüber Wortlängeneffekten. ie Ergebnisse der folgenden Versaufgabe bestätigen dies. Sollen jedoch Systeme mit geringer Wortlänge, z. B. 8 oder 6 Bit, realisiert werden, ist eine Fehlerbetrachtung unerlässig Fehlermodell und Fehlerfrequenzgang Bei einem nichtrekursiven Filter der Ordnung N sind die Filterkoeffizienten gleich der Impulsantwort, siehe Bild 7-.

3 7.2 FIR-Filter mit quantisierten Koeffizienten 205 x[n] h 0 h h N- h N y[n] Bild 7- FIR-Filter in transversaler Struktur ie Quantisierung der Koeffizienten wirkt sich bei FIR-Filtern direkt auf die Impulsantwort und schließlich die Übertragungsfunktion und den Frequenzgang aus. Fasst man den Effekt der Koeffizientenquantisierung als additive Störgröße h F [n] auf F hn [ ] hn [ ] h[ n] (7.) so resultiert das Modell einer Parallelschaltung aus dem nicht-quantisierten System und dem Fehlersystem wie in Bild 7-2. Wegen der Additivität linearer Systeme gilt für den Frequenzgang des quantisierten Systems, dem Fehlerfrequenzgang, j j j Q F Bei einer Realisierung im Festkommaformat liegen meist Zahlen im Zweierkomplementformat vor. Sie beschränkt den Zahlenbereich auf Werte zwischen und LSB. er maximale Quantisierungsfehler beträgt bei Runden LSB/2. amit kann die Abweichung vom Frequenzgang aufgrund der Koeffizientenquantisierung abgeschätzt werden. Eine obere Schranke für die Abweichung des Betragsfrequenzgangs liefert die Annahme, dass sich alle Quantisierungsfehler der Koeffizienten ungünstig überlagern. Bei einer Quantisierung der Koeffizienten mit der Wortlänge w in Bit und Runden ergibt sich demzufolge Q H e H e H e (7.2) Bild 7-2 Parallelschaltung aus nichtquantisiertem System und Fehlersystem j Q w bit max HF e N N 2 (7.3) 2 ie Abschätzung erweist sich bei vielen Anwendungen wie in der Versuchsdurchführung als pessimistisch. ie Fehler durch die Quantisierung der Koeffizienten kompensieren sich zum Teil. Anmerkung: Realistischere Abschätzungen in der Literatur berücksichtigen diesen Effekt. Sie fußen auf stochastischen Modellen für die Quantisierungsfehler. x[n] h[n] h F [n] y[n]

4 206 7 Reale digitale Filter: Koeffizientenquantisierung Wird das Zweierkomplementformat verwendet, ist der Wertebereich der Signale und inneren Größen des Systems zwischen und LSB begrenzt. Um kritische Überläufe zu vermeiden, werden häufig die Betragsfrequenzgänge auf den Maximalwert skaliert. max j H e (7.4) ann wird keine Frequenzkomponente des Eingangssignals verstärkt. ie Überlagerung unterschiedlich phasenverschobener Frequenzkomponenten im System kann jedoch prinzipiell zu Überläufen führen Vorbereitende Aufgaben A7. Bei der Versuchsdurchführung sind Filterkoeffizienten zu quantisieren. Geben Sie die MATLAB-Befehlszeile an, die eine Zahl x mit x LSB auf den ezimalwert x q mit Runden umrechnet. Verwenden Sie das Zweierkomplementformat mit der Wortlänge w in Bit. xq = A7.2 Geben Sie für die Filterordnung N = 20 die obere Schranke (7.3) für die Abweichung des Betragsfrequenzgangs bei Koeffizientenquantisierung in Tabelle 7-2 an. Welche Aussagen können durch die Abschätzungen beim Entwurf eines selektiven Filters mit vorgegebenem Toleranzschema für die Sperrdämpfung gemacht werden? Tabelle 7-2 Abschätzung der maximalen Abweichung des Betragsfrequenzgangs aufgrund der Koeffizientenquantisierung (7.3) Wortlänge w 8 bit 6 bit Quantisierungsintervallbreite Q Maximimale Abweichung (7.3) A7.3 Überlegen Sie, ob durch die Koeffizientenquantisierung die (verallgemeinerte) lineare Phase eines FIR-Filters verloren geht? Versuchsdurchführung M7. a) Entwerfen Sie zum Toleranzschema in Bild 7-3 einen FIR-Tiefpass mit Equiripple-Verhalten mit dem MATLAB-Werkzeug fdatool. Hinweis: Überprüfen Sie, ob das Toleranzschema eingehalten wird. Wenn nicht, wiederholen Sie den Entwurf mit restriktiveren Vorgaben. b) Skalieren Sie das Filter nach (7.4). Hinweis: Verwenden Sie der Einfachheit halber den Maximalwert aus dem Toleranzschema.

5 7.3 IIR-Filter mit quantisierten Koeffizienten 207 c) Berechnen Sie die Filterkoeffizienten im Zweierkomplementformat mit der Wortlänge 8 Bit und Runden. Hinweis: quant2c d) Benutzen Sie das MATLAB-Werkzeug fvtool um die Betragsfrequenzgänge in db des skalierten Filters, des quantisierten Filters und des Fehlerfilters in einem Bild darzustellen. Wird das Toleranzschema nach der Koeffizientenquantisierung erfüllt? Vergleichen Sie den maximalen Betragsfehler mit der Abschätzung (7.3). Hinweis: Möglicher Programmaufruf fvtool(h,,h2,,h-h2,) e) Ist das Toleranzschema einzuhalten, wenn nun die Wortlänge von 6 Bits für die Koeffizienten verwendet wird? 2 = 0.04 Frequenzgang H(e j ) 0 2 S = / = = S / normierte Kreisfrequenz / Bild 7-3 Toleranzschema zum Entwurf des FIR-Tiefpasses 7.3 IIR-Filter mit quantisierten Koeffizienten An die Implementierung von IIR-Filter werden höhere Anforderungen als bei FIR-Filtern gestellt, weil IIR-Filter wegen ihrer rekursiven Struktur anfälliger gegen Wortlängeneffekte sind Kaskadenform ie direkte Umsetzung der Übertragungsfunktion eines IIR-Filters N b0 bz bn z Hz N a0az an z (7.5) führt auf Strukturen, wie die in Bild 7-4 gezeigte transponierte irektform II. Letztere zeichnet sich durch die minimal mögliche Zahl von Additionen und Multiplikationen aus und wird deshalb häufig eingesetzt, siehe auch kanonische Form.

6 208 7 Reale digitale Filter: Koeffizientenquantisierung x[n] b N b b 0 b N b 2 y[n] a N a N a 2 a Bild 7-4 Blockdiagramm der IIR-Filterstruktur in transponierter irektform II (a 0 = ) Theoretische Analysen und praktische Erfahrungen zeigen, dass die Realisierung als Kaskade von Blöcken 2. Ordnung relativ robust gegenüber Wortlängeneffekten ist. H z H z H z H z 2 K (7.6) Man zerlegt dabei das System in hintereinander geschaltete Teilsysteme 2. Ordnung und gegebenenfalls. Ordnung, falls einzelne reelle Pole auftreten. Man spricht dann von der Kaskadenform, siehe Bild 7-5. x[n] H (z) H 2 (z) H K (z) y[n] Bild 7-5 Kaskadenform mit Teilsystemen. und 2. Ordnung ie Aufteilung der Pole und Nullstellen auf die Teilsysteme sowie deren Skalierungen sind nicht beliebig. Auf eine Optimierung wird häufig verzichtet, da eine einfache Faustregel brauchbare Resultate liefert. er Einfachheit halber gehen wir von konjugiert komplexen Pol- und Nullstellenpaaren aus, wie sie für die Standardfilter typisch sind. ie Faustregel zur Aufteilung der Pole und Nullstellen auf die Teilsysteme wird in Bild 7-6 veranschaulicht. Leitgedanke dabei ist, den Einfluss der einzelnen Pole und Nullstellen auf die Frequenzgänge der Teilsysteme möglichst auszugleichen. Pol-Nullstellen-Aufteilung für die Kaskadenform (Faustregel) Es wird das zum Einheitskreis am nächsten liegende konjugiert komplexe Polpaar mit dem zu ihm am nächsten liegenden konjugiert komplexen Nullstellenpaar zusammengefasst. as Zusammenfassen wird für die verbleibenden Pole und Nullstellen entsprechend dem ersten Schritt wiederholt, bis alle Pol- und Nullstellenpaare erfasst sind. ie Teilsysteme 2. Ordnung werden in steigender oder fallender Reihenfolge des Zusammenfassens implementiert.

7 7.3 IIR-Filter mit quantisierten Koeffizienten 209 Im(z) z Im(z) z Im(z) a) b) c) z Re(z) Re(z) Re(z) Bild 7-6 Gruppieren der Pole und Nullstellen in Blöcken 2. Ordnung für einen Cauer-Tiefpass nach der Faustregel Koeffizientenquantisierung und Polausdünnung Im Weiteren wird exemplarisch ein einzelner Block der Kaskadenform betrachtet, ein reellwertiges rekursives System 2. Ordnung mit konjugiert komplexem Polpaar und konjugiert komplexem Nullstellenpaar. und 0 * z e z (7.7) j z e z2 Eingesetzt in die Übertragungsfunktion liefert j b0 bz b2z 20cos0 H 0 z b az a2z 2cos (7.8) ie Realisierung des Blockes 2. Ordnung im üblichen Zweierkomplementformat erfordert die Quantisierung der Filterkoeffizienten. 2 b0 Q b Qz b2 Qz HQ z 2 a Q z a2 Q z (7.9) Wegen 2 a 2Re z und a2 z (7.0) wirkt sich die Quantisierung auf die Realteile und die Beträge der Pole aus. Für die Nullstellen gilt Entsprechendes. Im wichtigen Fall stabiler kausaler Systeme liegen alle Pole innerhalb des Einheitskreises. emzufolge gilt für die Beträge der Nennerkoeffizienten 0 a 2 und 0 a2 (7.) sodass a den Zahlenbereich des Zweierkomplementformats überschreiten kann. Während die Zählerkoeffizienten durch geeignete Skalierung stets betragsmäßig kleiner eins gewählt werden können, muss für den Nenner anderweitig Abhilfe geschaffen werden. ie in Bild 7-7 gezeigte Struktur mit einer Aufspaltung der Multiplikation mit a in zwei Additionen vermeidet die Zahlenbereichsüberschreitung um den Preis einer zusätzlichen Addition.

8 20 7 Reale digitale Filter: Koeffizientenquantisierung x[n] b 2 b b 0 y[n] a 2 a /2 Bild 7-7 Block 2. Ordnung für quantisierte Koeffizienten in transponierter irektform II Für die für die Stabilität wichtigen Pole gilt a Rez 2 Q Q 2 und a2 Q Q (7.2) emzufolge sind nur diskrete Werte für den Realteil und den Betrag eines Pols möglich. Bild 7-8 zeigt die sich demzufolge ergebenden möglichen Lagen der komplexen Pole im ersten Quadranten für die Wortlänge von 5 Bit. Im(z) z Re(z) Bild 7-8 Mögliche Lagen der komplexen Pole () im ersten Quadranten und auf der imaginären Achse der z-ebene für w = 5 bit Bild 7-8 zeigt, dass sich die Lage der Pole durch die Quantisierung meist verschiebt, weshalb der Frequenzgang gegenüber dem Entwurf erheblich verändert werden kann. Besonders augenfällig ist die Ausdünnung der möglichen komplexen Pole um die reelle Achse, die Polausdünnung. Weil bei schmalbandigen Tiefpässen die Polwinkel im urchlassbereich um 0 liegen, also die Pole in der Nähe von z =, macht sich bei schmalbandigen Tiefpässen die Koeffizientenquantisierung besonders ungünstig bemerkbar. as Sperrverhalten, bei dem es vor allem auf die Nullstellen ankommt, ist weniger empfindlich. ie Nullstellen auf dem Einheitskreis bleiben auch nach der Quantisierung dort. Nur ihre Phasen verschieben sich gegebenenfalls.

9 7.3 IIR-Filter mit quantisierten Koeffizienten 2 Nach der Quantisierung bleiben die Pole des Blockes 2. Ordnung stets im Einheitskreis. as quantisierte System ist stabil. Bei einer Implementierung in der irektform II nach Bild 7-4 ist dies nicht sichergestellt. Sind die Auswirkungen der Quantisierung der Koeffizienten nicht mehr vernachlässigbar, so sind verschiedene Gegenmaßnahmen möglich: Berücksichtigung der Koeffizientenquantisierung bereits beim Entwurf; Optimierung der Wortlängenverkürzung; Implementierung des Filters in einer unempfindlicheren Struktur, z. B. in Normalform, in Leiterstruktur oder als Wellendigitalfilter Vorbereitende Aufgaben A7.4 In der Versuchsdurchführung sollen Sie die Schritte vom Toleranzschema bis zum IIR-Filter mit quantisierten Koeffizienten in MATLAB selbständig durchführen. Zur Vorbereitung machen Sie sich mit dem folgenden Entwurfsbeispiel in fünf Schritten vertraut. Entwurfsvorgaben Toleranzschema und Filterprototyp Cauer-Filter H TP (e j ) = S = = = S / Bild 7-9 Toleranzschema zum Tiefpassentwurf Filterentwurf MATLAB-Werkzeug fdatool Mit dem MATLAB-Werkzeug fdatool wird ein Cauer-Tiefpass zum Toleranzschema in Bild 7-9 entworfen. as Ergebnis ist in Bild 7- zu sehen. Über die Menüauswahl File Export werden die Filterdaten in den Workspace geladen, siehe Bild 7-0. anach befinden sich im Arbeitsspeicher die beiden Variablen SOS und G. ie Matrix SOS enthält die Filterkoeffizienten der Teilblöcke 2. Ordnung (Second Order System) für die Kaskadenform des IIR- Tiefpasses. Und der Vektor G beschreibt die Gewichtsfaktoren (Gain, Scale Values) der Teilblöcke und des Gesamtsystems. Im Beispiel ergeben sich die Zahlenwerte in Tabelle 7-3. Bild 7-0 Menü Export

10 22 7 Reale digitale Filter: Koeffizientenquantisierung Bild 7- Tiefpassentwurf mit dem MATLAB-Werkzeug fdatool zum Toleranzschema in Bild 7-9 Tabelle 7-3 Filterparameter des Cauer-Tiefpasses nach Bild 7-9 und Bild 7- (fdatool) SOS = G = ie Angaben in Tabelle 7-3 entsprechen einem IIR-Filter in Kaskadenform H ( z) G H( z) G2 H2( z) G3 H3( z) G4 mit G i = G(i) (7.3) ie Teilsysteme sind definiert durch

11 7.3 IIR-Filter mit quantisierten Koeffizienten 23 H i z 2 b0i biz b2iz 2 a0i aiz a2iz (7.4) mit b 0i = SOS(i:), b i = SOS(i:2) und b 2i = SOS(i:3) a 0i = SOS(i:4), a i = SOS(i:5) und a 2i = SOS(i:6) ie Koeffizienten der Teilsysteme sind zeilenweise in der Matrix SOS abgelegt. ie 4. Spalte von SOS enthält die stets auf eins normierten Koeffizienten a 0i. Überprüfung der Pol-Nullstellenaufteilung Mit dem fdatool wird das Pol-Nullstellendiagramm in Bild 7-2 dargestellt. ie Zuordnung der Pole und Nullstellen zu den Teilsystemen erfolgt im Beispiel anhand der Filterkoeffifzienten in Tabelle 7-3. ie letzte Spalte der SOS-Matrix enthält die Polradien in der Reihenfolge der Teilsysteme, 2 und 3 von oben nach unten. Mit den gerundeten Polradien 0.7, 0.5 und 0.9 ergibt sich eine eindeutige Zuordung in Bild 7-2. Für die Zuordnung der Nullstellen ist die zweite Spalte geeignet. Sie enthält 2Re( 0 ), sodass mit den gerundeten Realteilen 0,06, 0,7 und 0,3 ebenfalls die Zuordnung erfolgen kann. ie von MATLAB vorgenommene Pol-Nullstellenaufteilung folgt der Fausregel. Anmerkung: MATLAB bietet Optimierungensmöglichkeiten bei der Konversion der Filterkoeffizienten in die der Teilsysteme mit dem MATLAB-Befehl tf2sos an. Wie im nächsten Versuch vorgestellt wird, sind für die Implementierung auf Festkommarechnern die Überlaufwahrscheinlichkeit und das innere Rauschen in Betracht zu ziehen. Pole/Zero Plot Imaginary Part Real Part Bild 7-2 Pol-Nullstellendiagramm mit der Aufteilung in Teilsysteme mit dem MATLAB-Werkzeug fdatool zum Toleranzschema in Bild 7-9

12 24 7 Reale digitale Filter: Koeffizientenquantisierung Quantisierung der Koeffizienten im Zweierkomplementformat Bei der Quantisierung der Koeffizienten sind die Gewichtsfaktoren zu beachten. abei sind zwei gegensätzliche Effekte zu berücksichtigen. Grundsätzlich sollte das Eingangssignal möglichst wenig abgeschwächt werden und die Gewichte zum Ausgang hin möglichst klein sein, um das in den Teilsystemen aufgrund von Wortlängeneffekten entstehende innere Rauschen möglichst wenig zu verstärken. Andererseits besteht bei zu hoher Aussteuerung des Eingangssignals die Gefahr von Überläufen und damit gravierenden nichtlinearen Störeffekten. Eine optimale Aufteilung der Gewichtsfaktoren erfordert eine Analyse, die den hier abgesteckten Rahmen sprengen würde. eshalb werden vereinfachend, die Gewichte so auf die Teilsysteme übertragen, dass der maximale Zählerkoeffizient stets kleiner gleich.5 ist, also G = Zu beachten ist ferner, dass die Koeffizient a i entsprechend Bild 7-7 und (7.2) zu quantisieren sind. Für die Modellüberlegungen werden die Koeffizienten a i durch zwei geteilt, quantisiert und danach wieder mit zwei multipliziert. as Ergebnis der Quantisierung ist in Tabelle 7-4 zusammengefasst. Es enthält die skalierten Koeffizienten vor der Quantisierung SOSg und die quantisierten Koeffizienten bei 8-Bit-Wortlänge SOSq. Anmerkung: ie Skalierung und Quantisierung wurde mit dem Programm quant2ciir durchgeführt, welches das Programm quant2c verwendet. Tabelle 7-4 Skalierte (g) und quantisierte (q) Koeffizienten der Teilsysteme zum Cauer- Tiefpass SOSg = SOSq = Überprüfung des Filters im Festkommaformat Zur Überprüfung des Betragsfrequenzgangs des quantisierten Systems wird das MATLAB-Werkzeug fdatool eingesetzt. ie Koeffizienten in SOSq werden über den Menü-Punkt File Import Filter from Workspace an fdatool übergeben. as Gewicht Gain wird zu gesetzt. Bild 7-3 zeigt die Einstellungen. Zum Vergleich mit der Entwurfsvorschrift wird im arstellungsfenster des MATLAB-Werkzeugs fdatool die normierte arstellung mit dem Maximum des Betragsfrequenzganges gleich eins gewählt. as quantisierte System weicht im urchlassbereich deutliche vom Wunschbetragsfrequenzgang ab. Am Rande des urchlassbereichs treten Werte kleiner als 0,9 auf.

13 7.3 IIR-Filter mit quantisierten Koeffizienten 25 ie Abweichungen im urchlassbereich sind teilweise größer als 0., gefordert sind maximal Ein Blick auf den Sperrbereich (nicht in Bild 7-3) ergibt eine minimale Sperrdämpfung von etwas über 55 db statt der geforderten von 60 db bei der normierten Kreisfrequenz ungefähr gleich Alles in allem, erweist sich der entworfene IIR-Tiefpass als relativ robust gegenüber der Quantisierung der Koeffizienten in Kaskadenform auf nur 8 Bits. Bild 7-3 Untersuchung des auf 8-Bit-Wortlänge quantisierten Cauer-Tiefpasses (SOSq) mit dem MATLAB-Werkzeug fdatool Versuchsdurchführung M7.2 Führen Sie die Entwurfsschritte der Vorbereitung selbst mit MATLAB durch. M7.3 Entwerfen Sie mit dem MATLAB-Programm fdatool einen Chebyshev-II-Tiefpass mit den Vorgaben des Toleranzschemas: = 0.04 = 0.02 S = 0. S = 0.000

14 26 7 Reale digitale Filter: Koeffizientenquantisierung as System soll in Kaskadenform mit Blöcken. und 2. Ordnung mit der Wortlänge 6 Bit realisiert werden. Führen Sie die dazu notwendigen Schritte durch. Überprüfen Sie die Pol-Nullstellenaufteilung durch MATLAB. Erfüllt das in Kaskadenform realisierte Filter die Entwurfsspezifikationen? Hinweise zu MATLAB-Funktionen und M-Files Im Folgenden werden für die Versuchsdurchführung nützliche MATLAB-Befehle und -Funktionen aufgelistet, zu denen Sie sich mit der Help-Funktion Erläuterungen und Beispiele am Bildschirm anzeigen lassen können, siehe auch vorherige Versuche. Tabelle 7-5 MATLAB-Befehle benutzte Programme und ateien Spezielle Befehle MATLAB-Programme Onlineressourcen load, save, sos2tf, tf2sos fdatool, fvtool quant2c.m, quant2ciir.m