Rechnen in der Chemie

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3 Walter Wittenberger Rechnen in der Chemie Grundoperationen Stöchiometrie Neunte, völlig neubearbeitete Auflage Springer-Verlag Wien GmbH

4 Dr. techno lng. Walter Wittenberger Offenbach/Main Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speiche. rung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. 1946, 1949, 1955, 1958, 1961, 1964, 1968, 1971, and 1976 by Springer-Verlag Wien Ursprünglich erschienen bei Springer Vienna Softcover reprint of the hardcover 9th edition 1976 Mit 292 entwickelten Übungsbeispielen, 1090 übungsaufgaben samt Lösungen und 46 Abbildungen Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Waren- und Apparatebezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachton wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Library of Congress Cataloging in Publication Data. Wittenberger, Walter, Rechnen in der Chemie. Includes index. 1. Chemistry-Problems, exercises, etc. 1. Title. QD42.W ISBN ISBN (ebook) DOI /

5 Vorwort zur neunten Auflage Die vorliegende neunte Auflage ist völlig neu bearbeitet und auf den modernen Anschauungen und Erkenntnissen aufgebaut. Voll berücksichtigt ist das "Gesetz über die Einheiten im Meßwesen", durch das eine große Zahl der bisher gebräuchlichen Einheiten (z. B. Torr, Atmosphäre, Atomgewicht, Kalorie u. a.) durch international vereinbarte Einheiten (z. B. Millibar, relative Atommasse, Joule usw.) ersetzt werden. Als Basiseinheit für die Stoffmenge wird das Mol verwendet, und zwar - wie gefordert - für die Atom-, Molekül- und Äquivalentmasse. Schon im Vorwort zur ersten Auflage (1947) wurde betont, daß jeder, der sich in das "Ohemische Rechnen" einarbeiten will, mit den Rechenregeln allgemeiner Art vertraut sein muß. Der erste Abschnitt des Buches soll daher dem Anfänger die Wiederholung dieser Grundkenntnisse ermöglichen. Auch auf die graphische Darstellung von Meßergebnissen und die einfacheren Formen des graphischen Rechnens wird eingegangen. Ausführlich behandelt werden die Abschnitte über die Dichte, über Gehalts- und Konzentrationsangaben von Mischphasen sowie die Gasgesetze. Bei der Auswahl des Stoffes über das "Ohemische Rechnen" wurde Wert darauf gelegt, alle wichtigen, im Laboratorium und Betrieb vorkommenden Rechnungen zu berücksichtigen. Das Buch enthält daher neben den Grundgesetzen der Ohemie, dem Rechnen mit Reaktionsgleichungen usw., auch die einfacheren physikalisch-chemischen Rechnungen. Physikalische Rechnungen ergänzen den Inhalt. Jedem Abschnitt sind vollständig entwickelte Beispiele beigefügt, die den genauen Rechen- und Gedankengang für die Lösung der gestellten Aufgabe klarmachen. Sicherheit im chemischen Rechnen ist nur durch übung zu erreichen. Insgesamt 1090 übungsaufgaben werden diesem Vorhaben gerecht. Zur Selbstkontrolle der errechneten Ergebnisse sind am Schluß des Buches die "Lösungen zu den Aufgaben" wiedergegeben, falls erforderlich mit Hinweisen für den Lösungsgang.

6 VI Vorwort Es wird sicher einige Zeit dauern, bis in der Praxis die neuen gesetzlichen Einheiten ausschließlich verwendet werden. Um den übergang zu erleichtern, wurden - wo es angebracht schien - die früheren Einheiten in Klammer gesetzt. Selbstverständlich sind auch die erforderlichen Umrechnungstabellen eingefügt. Am Schluß des Buches sind einige wichtige Tabellen sowie die fünfstellige Logarithmentafel aufgenommen, um vor allem dem Anfänger den Gebrauch dieser Rechenhilfen und das Aufsuchen und Interpolieren von Tabellenwerten zu erleichtern. Ein Buch wird seinem Benutzer dann zum Erfolg führen, wenn er es oft und gern zur Hand nimmt. Wenn ein Buch, wie das vorliegende, bereits neun Auflagen erreicht hat, kann angenommen werden, daß diese Voraussetzung erfüllt ist. Der Springer-Verlag in Wien hat durch die vorbildliche Ausstattung des Buches dieses Bestreben unterstützt, wofür ihm aufrichtig zu danken ist. OffenbachJMain, im Frühjahr 1976 Walter Wittenberger

7 Inhaltsverzeichnis 1. Allgemeines Rechnen... 1 A. Mathematische Schreibweise und Genauigkeit... 1 Dezimalzahlen und vielstellige Zahlen 1. - Genauigkeit im Zahlenrechnen 1. - Mathematische Zeichen 3. Formel- und Einheitenzeichen 3. - Dezimale Vielfache und dezimale Teile von Einheiten 3. - Das griechische Alphabet 4. B. Bruchrechnen... 4 Teilbarkeit der Zahlen 4. - Umformen von Brüchen 4. - Kürzen und Erweitern von Brüchen 6. - Addieren von Brüchen 7. - Subtrahieren von Brüchen 7. - Multiplizieren von Brüchen 7. - Dividieren von Brüchen 8. C. Proportionen (Verhältnisgleichungen)... 9 Schlußrechnung (Dreisatz) 9. - Proportionen Der abgekürzte Dreisatz Umgekehrte Verhältnisse 12. D. Prozentrechnen E. Mittelwert (Arithmetisches Mittel) F. Der "aliquote Teil" G. Errechnen von Zwischenwerten aus Tabellen (Interpolieren) 17 H. Potenzieren und Radizieren (Wurzelziehen) Potenzieren Radizieren 19. J. Grundzüge der Algebra Allgemeine und relative Zahlen Addieren und Sub trahieren Multiplizieren Dividieren 25. Gleichungen mit einer Unbekannten Gleichungen mit 2 Unbekannten Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten 33. K. Rechnen mit Logarithmen Begriff des Logarithmus Sätze über Logarithmen Die Logarithmentafel Rechnen mit Logarithmen 39.

8 VIII Inhal tsverzeichnis L. Der logarithmische Rechenschieber Einrichtung des Rechenschiebers Ablesen und Einstellen Multiplizieren Dividieren Potenzieren Ziehen der Quadratwurzel 48. M. Einheiten im Meßwesen Länge Fläche Volumen Ebene Winkel Masse Zeit 52. N. Flächenberechnung Pythagoreischer Lehrsatz Quadrat Rechteck Parallelogramm Dreieck Trapez Unregelmäßiges Viereck (Trapezoid) Regelmäßiges Vieleck Kreis Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreisabschnitt Kreisring 58. Ellipse Unregelmäßige Flächen 59. O. Körperberechnung Würfel Prisma Zylinder Regelmäßige Pyramide Kegel Pyramiden- und Kegelstumpf Kugel Kugelsegment (Kugelkalotte) Kugelsektor Kugelzone Liegende Zylinder Gefäße mit eingebauten Apparateteilen 66. P. Grundbegriffe der Trigonometrie R. Graphisches Rechnen Graphische Darstellung von Meßergebnissen Graphische Interpolation Graphische Rechentafeln (Nomogramme) Graphische Darstellung von Mischsystemen Dichte A. Berechnen der Dichte Der Begriff Dichte Temperaturabhängigkeit der Dichte 81. B. Bestimmen der Dichte Auftriebsmethode Bestimmen der Dichte mit dem Pyknometer Schüttdichte Chemische Grundrechnungen A. Atom- und Molekülmasse - Stöchiometrische Grundgesetze Chemische Formeln Atommasse Grundgesetze der Stöchiometrie Molekülmasse Der Molbegriff 92. B. Berechnen der prozentualen Zusammensetzung einer Verbindung C. Berechnen der empirischen Formel einer Verbindung... 96

9 Inhaltsverzeichnis IX D. Chemische Reaktionsgleichungen Bodeutung der Reaktionsgleichung Aufstellen einer R,)aktionsgleichung über die Stoffbilanz Auffinden de,r Koeffizienten nach der algebraischen Methode 100. Alfstellen von Summengleichungen Aufstellen von RJaktionsgleichungen über die Elektronenbilanz 102. E. B'Jrechnen des Umsatzes bei chemischen Reaktionen F. Ä-luivalentmasse der Elemente Mischphasen A. Gehalts- und Konzentrationsangaben Allgemeines Massengehalt (Prozentgehalt) 117. Volumengehalt Lösungen mit Angabe Gramm golöster Stoff in 100 Gramm Lösungsmittel ("Löslichk'jit") Lösungen mit der Angabe Gramm Stoff in einem bestimmten Volumen der Lösung Lösungen mit Angabe des Mischungsverhältnisses Stoffmeng'lllkonzentration und Stoffmengengehalt Normalität 127. B. lwischungsrechnen verdünnen einer Lösung mit Wasser Mischungsrnchnen Gra~ imetrie Feuchtigkeit und Glührückstand Gravimetrische Analysen Volumetrie A. Normallösungen Begriff der Normallösung Äquivalentmasse chenischer Verbindungen in der Neutralisationsanalyse Redox-Äquivalentmasse Herstellen von Norn.allösungen 148. B. Titrationsberechnungen Neutralisations-Titrationen Redox-Titrationen Fällungs-Titrationen Komplexometrische Titrationen (Chelatometrie) Diazotierungs-Titrationen Gemischte Aufgaben; aus der Volumetrie und Gravimetrie Indirekte Analyse Physikalische Rechnungen A. Temperaturmessung Temperaturskalen Fadenkorrektur bei Quecksilberthermometern Korrektur des Siedepunktes in Abhängigkeit vom Druck 177.

10 x Inhaltsverzeichnis B. Wärmeenergie Spezifische Wärmekapazität Schmelz- und Verdampfungswärme 181. C. Grundgesetze der Elektrizität Ohmsches Gesetz Der unverzweigte Stromkreis (Reihenschaltung) Der verzweigte Stromkreis (Parallelschaltung) Widerstandsmessung mit Hilfe der Wheatstoneschen Brücke Spezifischer elektrischer Widerstand Leistung und Energie des elektrischen Stromes Wärmewirkung des elektrischen Stromes 191. D. Viskosität Gasvolumina 194 A. Druck Druck und Kraft Frühere Einheiten und Umrechnung Reduzieren des Barometerstandes 196. B. Gasgesetze Boyle-Mariottesches Gesetz Gay-Lussacsche Gesetze Allgemeine Gasgleichung 200. C. Molvolumen Avogadrosches Gesetz Allgemeine Gaskonstante 205. D. Dichte der Gase Dichte und relative Dichte von Gasen Abhängigkeit der Gasdichte von Druck und Temperatur 207. Dichte und Molekülmasse 207. E. Gasgemische Daltonsches Gesetz Sättigung eines Gases mit Feuchtigkeit Reduktion feuchter Gasvolumina auf den Normzustand 211. F. Gasanalyse Gesetz der einfachen Volumenverhältnisse Methoden der Gasanalyse Physikalisch-chemische Rechnungen 217 A. Optisches Drehvermögen B. Elektrolyse C. Chemisches Gleichgewicht Massenwirkungsgesetz und Gleichgewichtskonstante Gasgleichgewichte Elektrolytische Dissoziation ph-wert Säuren-Basen-Gleichgewicht Puffern LösIichkeitsprodukt 240. Komplex-Gleichgewichte Verteilungsgleichgewicht 243.

11 Inhaltsverzeichnis XI D. Bestimmung der Moirnasse Aus der Elementarzusammensetzung Aus der Gasdichte Mit Hilfe der allgemeinen Gasgleichung Aus der Dampfdruckerniedrigung Aus der Siedepunkterhöhung und Gefrierpunkterniedrigung 248. E. Thermochemische Rechnungen Wärmetönung chemischer Reaktionen Reaktionsenergie und Reaktionsenthalpie Heizwert und Brennwert Lösungen zu den Aufgaben Tabellen und Tafeln Tab. 1. Tab. 2. Tah. 3. Tah. 4. Tah. 5. Tab. 6. Tab. 7. Tab. 8. Tab. 9. Tab. 10. Tab. 11. Tab. 12. Tab. 13. Flüssigkeitsinhalte liegender Zylinder.... Trigonometrische Funktionen.... Zusammenhang SI.Einheiten/frühere Einheiten.. Relative Atommassen der Elemente.... Relative Molekülmassen häufiger verwendeter Verbindungen.... Analytische Faktoren.... Maßanalytische Äquivalente.... Löslichkeit einiger Salze in Wasser.... Dichte und Gehalt wäßriger Lösungen.... Dichte des Wassers in Abhängigkeit von der Temperatur.... Sättigungsdruck des Wasserdampfes über Wasser Litermasse einiger Gase.... FÜllfstellige Logarithmen (Mantissen) Sachverzeichnis

12 1. Allgemeines Rechnen A. Mathematische Schreibweise und Genauigkeit 1. Dezimalzahlen und vielstellige Zahlen Dm.imalbrüche werden von den ganzen Zahlen durch ein Komma getrennt (z. B. 23,76), im Englischen durch einen Punkt (z. B. ~3.76). Vielstellige Zahlen sollen niemals durch das Komma und den Punkt in Gruppen aufgetrennt werden, sondern durch Zwischenräume. Z. B (falsch wäre 25, ). Um lange und unübersichtliche Zahlen zu vermeiden, kann die Zahl auf die Einheit zurückgeführt werden, die sofort die Größenordnung erkennen läßt. 1. Beispiel = 2, = 2, ,898 = 8,98. 0,1 = 3, ,00054 = 5,4. 0,0001 = 5, (s. dazu S. 27). 2. Genauigkeit im Zahlenrechnen Dio Genauigkeit der Angabe eines Meß- oder Analysenergebnisses richtet sich nach der Genauigkeit des Meßgerätes und des Meßverfahrens. Es wäre widersinnig, wollte man in einem techniclchen Betrieb den Inhalt eines etwa 500 Liter fassenden Gefäßes auf Zehntelliter genau angeben. Anderseits wäre es grundfalsch, z. B. beim Wägen auf der analytischen Waage die Tausendsteigramm zu vernachlässigen. Auch das praktische Bedürfnis ist zu berücksichtigen (z. B. Angabe des Wassergehaltes einer Kohle: 8,72% und nicht 8,7184%). Die Angabe soll stets mit soviel Stellen erfolgen, daß die vorletlte Stelle als sicher, die letzte schon als unsicher gilt. 'Verden z. B. mehrere Einzelwerte addiert, dann richtet sich die ar zugebende Stellenzahl nach der ungenauesten Größe. Steht an letzter Stelle eine Null, muß diese geschrieben werden, wenn die vorhergehende Ziffer gesichert ist. Wittenberger, Rechnen, 9. Auf!.

13 2 Allgemeines Rechnen 2. Beispiel. a) 43,68 g + 18,734 g = 62,41 g b) 43,68 g + 18,736 g = 62,42 g (falsch wäre 62,414 g) (falsch wäre 62,416 g) Die Zahlen 18,734 bzw. 18,736 müssen ab- bzw. aufgerundet werden, so daß sich folgende Additionen ergeben: a) 43,68 b) 43, ,73 = 62, ,74 = 62,42 Beim Runden von Zahlen wird so verfahren, daß die vorhergehende Ziffer dann um 1 erhöht wird, wenn der wegfallende Rest eine halbe Einheit oder mehr beträgt (Aufrunden). Die vorhergehende Ziffer behält ihren Wert, wenn der wegfallende Rest kleiner als eine halbe Einheit ist (Abrunden). 3. Beispiel. 2,4251 wird aufgerundet auf 2,43 2,4250 wird aufgerundet auf 2,43 2,4249 wird abgerundet auf 2,42 Kontrolle des Rechenergebnisses. Man gewöhne sich daran, ein erhaltenes Ergebnis durch eine überschlägige Rechnung zu kontrollieren, wodurch z. B. Stellenwertfehler erkannt werden. 4. Beispiel. Die Berechnung des Volumens eines rechteckigen Kastens der Grundlinie g = 2,8 m, Seite s = 1,2 m und Höhe h = 50 cm hätte 168 Liter ergeben. Zur Kontrolle mittels Kopfrechnung wird mit stark gerundeten Zahlen gerechnet, also mit g = 3 m, s = 1 mund h = 0,5 m. Das ergäbe ein Volumen von ,5 = 1,5 m 3 = 1500 Liter. Daraus ist zu erkennen, daß bei der ursprünglichen Rechnung ein Dezimalfehler vorliegt, das richtige Ergebnis kann nur lauten: 1680 Liter! Zum gleichen Ergebnis würde man durch die räumliche Vorstellung gelangen, denn ein Raum dieser Ausmaße muß bedeutend mehr als 168 Liter haben. Rechnungen mit Hilfe von Rechenhilfen (z. B. Nomogramme, Rechenschieber) sind mit deutlichen Ungenauigkeiten behaftet. Sie sind aber wichtig für technische und überschlägige Bechnungen und zur Kontrolle des Rechenergebnisses.

14 Mathematische Schreibweise und Genauigkeit 3 3. Mathematische Zeichen Zeichen Bedeutung Zeichen Bedeutung + plus :<::; kleiner oder gleich minus ~ größer oder gleich. oder )( mal ""' proportional -,: oder / durch (geteilt durch) gleich - identisch gleich =f. ungleich (nicht ~ angenähert gleich (rund) 00 unendlich ~ Summe gleich) % Prozent (von A entspricht Hundert) %0 Promille (von < kleiner als Tausend) ppm parts per million, > größer als (Teil je 106 Teile) 4. Formel- und Einheitenzeichen Formelzeichen (Symbole der Größen) werden kursiv (SchrägschriW gedruckt, z. B. Volumen V, Masse m Druckp. Einheitenzeichen werden in senkrechter Schriftart wiedergegeben, z. B. Ampere A, Millibar mbar, Gramm g, Meter m. (Üher das Umrechnen SI-Einheiten/frühere Einheiten s. S.195.) 5. Dezimale Vielfache und dezimale Teile von Einheiten Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten werden durch Vorsetzen von Vorsilben ("Vorsätze") bezeichnet. Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Vorsatz: Vorsatzzeichen: (das 106fache) M (103 ) k (10 2) h (101) da (das 1O-1fache, der zehnte Teil) d 10-2 c (10-3) m (10-6) fl (10-9) n Z. B. 1 mm (Millimeter) = 10-3 m = 0,001 m, 1 kj (Kilojoule) = 103 J = 1000 J. 1*

15 4 Allgemeines Rechnen Bei sehr kleinen Einheiten wurde früher nur der kleine griechische Buchstabe verwendet. Nach dem Gesetz über die Einheiten im Meßwesen sind die Einheiten mit dem Vorsatz zu versehen, z. B. 1 [Lm (Mikrometer) = 10-6 m (die frühere Bezeichnung 1 [L = 1 Mikron ist nicht mehr statthaft); 1 nm (Nanometer) = 10-9 m (früher 1 m[l = 1 Millimikron) ; 1 [Lg (Mikrogramm) = 10-6 g (früher 1 y = 1 Gamma). 6. Das griechische Alphabet Physikalische Größen werden vielfach durch griechische Buchstaben bezeichnet. Groß- und Kleinbuchstaben dcs griechischen Alphabets und ihre Aussprache: AIX Bß ry ß3 ~j e z~ H"IJ 0-& Alpha. Beta. Gamma, Delta, Epsilon. Zeta. }Jta, Theta, I ~ Kx A'A M[L Nv B~ 00 II1t Iota. Kappa, Lambda. My, Ny, Xi, Omikron, Pi, Pp ~ ~cr T, 1u <l>rp Xx 'F <jj Qeu Rho, Sigma, Tau, Ypsilon, Phi, Chi, Psi, Omega. B. Bruchrechnen 1. Teilbarkeit der Zahlen Jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar. Gerade Zahlen haben als letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8. Durch 3 sind alle Zahlen teilbar, deren Ziffernsumme durch 3 teilbar ist (z. B. 816; Ziffernsumme ist = 15). Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die aus der letzten und vorletzten Stelle gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. Durch 5 sind Zahlen teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist. Durch 6 sind alle Zahlen teilbar, die durch 2 und :{ teilbar sind (gerade Zahlen, deren Ziffernsumme durch 3 teilbar ist). Durch 9 sind jene Zahlen teilbar, deren Ziffernsummo durch 9 teilbar ist. Eine Zahl, die nur durch sich selbst toilbar ist, nennt man Primzahl (z. B. 7 oder 13). 2. Umformen von Brüchen a) Bezeichnung der Brüche. Ein Bruch ist als Divisionsaufgabe zu betrachten, z. B.. ~- = 3 : 8. An Stelle des Divisionszeichen (:) steht der Bruchstrich (-); 3 ist der Zähler des Bruches, 8 sein Nenner.

16 Bruchrechnen 5 Echte Brüche sind kleiner als 1, der Zähler ist kleiner als der Nenner (z. B. {). Unechte Brüche sind größer als 1, der Zähler ist größer als der Nenner (z. B. {). Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch (z. B. 2f). Gle,'chnamige Brüche haben den gleichen Nenner (z. B. : und ~-), beiung(eichnamigenbrüchenistdernennerungleich(z. B. : und!). b) Ein Bruch kann durch die angedeutete Division in einen Dezimalbruch verwandelt werden, z. B. -} = 3: 8 = 0,375. c) Eine Dezimalzahl kann als Bruch geschrieben werden, z. B. 24 0,24 =, -100' d) Umwandeln gemischter Zahlen in unechte Brüche. 4~ = 12 + ~ =} (Über das Addieren von Brüchen s. S. 7.) e) Umwandeln eines unechten Bruches in eine gemischte Zahl. ~51 = 2 ~-, denn 11 : 5 = 2 mit einem verbleibenden Rest von 1; dieser Rest bleibt als Bruch bestehen (2 +! = 2 ~). f) Der Kehrwert (reziproker Wert) einer Zahl wird durch Divisic n von 1 durch die betreffende Zahl erhalten. Der Kehrwert von 4 ist also 1: 4 = i- = 0,25. Der Kehrwert eines Bruches wird durch Vertauschen von Zähler und Nenner erhalten. Der K h 3. 4 e nrert von 4 1st 3' Aufgaben: 1. Verwandle In Dezimalzahlen bzw. Dezimalbrüche: a)4; b) 5; c) 250; d) 220; e) 3' 2. VCI'wandleinBrüche: a) 0,4; b) 3,07; c) 0,03; d) 1, Verwandle in unechte Brüche: a) ::~ ; b) 4! ; c) 51~-; d) 1!-; e) 72~O' 4. Verwandle in gemischte Zahlen: ) 12 b) ~. ) 27 d) }~5. ) 371 a 3 2 ' c -8-' 12 ' e 9'

17 6 Allgemeines Rechnen 5. Bestimme den Kehrwert von a) 8; b) 20; c) 7,5; d) ~-; e).. ~.; f) 2!. 3. Kürzen und Erweitern von Brüchen Ein Bruch bleibt unverändert, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert oder durch dieselbe Zahl dividiert werden. a) Kürzen. Durch Kürzen wird ein Bruch auf seine einfachste Form gebracht, z. B.} = ;-. Zähler und Nenner wurden durch dieselbe Zahl (4) dividiert. Bei Brüchen mit großen, schwer übersehbaren Zahlen wird wiederholt gekürzt, bis ein weiteres Kürzen nicht mehr möglich ist. 5. Beispiel. Der Bruch 1 a:5 6 6 ist durch Kürzen zu vereinfachen. Kürzen durch 4 gibta9399' anschließendes Kürzen durch 3.bt 33 gl 113. b) Gleichnamigmachen (Erweitern). Das Gleichnamigmachen hat den Zweck, verschiedene Brüche auf gleichen Nenner zu bringen. Der kleinste gemeinsame Nenner ist das aus sämtlichen Nennern errechnete kleinste gemeinschaftliche Vielfache, also jene Zahl, die durch alle gegebenen Nenner teilbar ist. 6. Beispiel. Die Brüche! und} sind auf gleichen Nenner zu bringen. Der kleinste gemeinsame Nenner ist 12. Der Nenner des Bruches.! muß mit 3 multipliziert werden, um Zwölf tel zu erhalten. Damit der Bruch unverändert bleibt, muß auch der Zähler mit 3 multipliziert werden.! = ; den Bruch {verwandelt man durch Multiplizieren von Nenner und Zähler mit 2 in Zwölf tel. : =}~. Auf~aben: 6. Kürze: a)~~; b) 1~25; c)~~~; d) ~~, e) }I~. 7. Bringe auf gemeinsamen Nenner: a) 2' 4' 5; b) -8' 12' 32' c) 3' 9'12 ' d)12-' -30' 60