Zu Kapitel 12: Wettbewerbsgleichgewicht auf einzelnen Märkten

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1 Aufgaben zur Mikroökonomik II Zu Kapitel 12: Wettbewerbsgleichgewicht auf einzelnen Märkten Aufgabe 1 Die Kostenfunktion eines Unternehmens sei gegeben durch c(y) = 15 + y + 0, 1y 2 (a) Berechnen Sie die Angebotsfunktion des Unternehmens. (b) Berechnen Sie die optimale Produktionsmenge und den Gewinn für die Preise p = 4 bzw. p = 8. Aufgabe 2 Berechnen Sie die Angebotsfunktion eines Unternehmens, dessen Produktionsfunktion gegeben ist durch y = 2 (x 1 x 2 ) 1 3 wobei die Faktorpreise mit ω 1 = 2 bzw. ω 2 = 4. Aufgabe 3 Die Kostenfunktionen von drei Unternehmen lauten jeweils: c 1 (y) = y2 200 c 2 (y) = y2 400 c 3 (y) = y2 600 (a) Errechnen Sie, welche Menge y i jedes Unternehmen anbietet beim Marktpreis p = 10 und wie hoch der dabei entstehende Gewinn ist. (b) Berechnen Sie die aggregierte Angebotsfunktion dieser drei Unternehmen am Markt. Die Kostenfunktionen aller Unternehmen auf diesem Markt sei allgemein folgendermaßen darstellbar: C a (y) = a + y2 2 a 1

2 (c) Ermitteln Sie, bei welcher - von a abhängigen - Angebotsmenge y a (a) die Unternehmen jeweils im Durchschnittskostenminimum produzieren. (d) Ermitteln sie die Preisuntergrenze p, unter die der Marktpreis nicht fallen darf, damit die Unternehmen im Optimum nicht mit Verlust produzieren. (e) Zeigen sie allgemein: Wenn eine Kostenfunktion c(y) durch Fixkosten und steigende Grenzkosten charakterisiert ist, dann schneidet die Grenzkostenkurve (MC) die Durchschnittskostenkurve (AC) in deren Minimum. Aufgabe 4 Auf einem Wochenmarkt kommen viele Leute, um an zahlreichen Ständen Äpfel zu kaufen. Angebots- und Nachfragefunktionen sind gegeben durch mit p als Preis pro kg Äpfel. S(p) = p D(p) = p (a) Errechnen Sie Preis und Menge im Marktgleichgewicht. (b) Stellen Sie das Gleichgewicht sowie Konsumenten- und Produzentenrente graphisch dar. (c) Errechnen Sie die sich ergebende Konsumentenrente und die Produzentenrente algebraisch. Kommen alle Käufer in den Genuß einer Konsumentenrente? (d) Wieviel wären die Konsumenten maximal zu zahlen bereit gewesen für die im Gleichgewicht nachgefragte Menge? Aufgabe 5 Die Nachfragefunktion auf einem Markt ist gegeben durch Die Angebotsfunktion lautet: D(p) = 30 2 p S(p) = p (a) Bestimmen Sie die Menge und den Preis des Gutes im Marktgleichgewicht. (b) Wie hoch sind jeweils Produzenten- und Konsumentenrente im Marktgleichgewicht? (c) Der Staat erhebt eine Steuer auf das angebotene Gut in Höhe von t = 3. Ermitteln Sie zunächst Menge und Preis im neuen Marktgleichgewicht. Wie haben sich Produzenten- und Konsumentenrente verändert? Wie hoch ist der entstandene Wohlfahrtsverlust? 2

3 Zu Kapitel 13: Monopol Aufgabe 6 Für einen Monopolisten gelte folgende Preis-Absatz-Funktion: Seine Kostenfunktion ist gegeben durch p(y) = y K(y) = y 3 26y y (a) Welchen Preis wird der Monopolist verlangen, wenn er seinen Gewinn maximieren will? Wie hoch ist dann sein Gewinn? (b) Wie hoch ist die ermittelte Konsumentenrente? (c) Bei welchem Preisniveau würde die Summe aus Konsumenten- und Produzentenrente maximiert? Aufgabe 7 Der Filmhändler Leao Igreja besitzt die alleinigen Verleihrechte an y = Filmen aus vergangenen Jahrzehnten. Igreja kann mit der Nachfragefunktion für seine Filme rechnen. p(y) = y (a) Wieviele Filme zu welchem Preis werden verliehen, wenn lediglich fixe Kosten für die sachgemäße Filmlagerung von ,- entstehen? (b) Wie ändert sich die Antwort, wenn zusätzlich zu den angegebenen Fixkosten variable (Verwaltungs-)kosten in Höhe von 200,- pro verliehenem Film entstehen? (c) Wie hoch ist der in (b) entstehenden gesellschaftliche Wohlfahrtsverlust, der durch das Monopolverhalten von Leao Igreja entsteht? Aufgabe 8 Ein Monopolist will sein Produkt auf zwei getrennten Märkten verkaufen. Die Teilmärkte sind durch folgende Nachfragefunktionen charakterisiert: p 1 (x) = x 1 p 2 (x) = x 2 3

4 Die Kostenfunktion des Unternehmens lautet K(x) = x2 Es stellt sich für den Unternehmer die Frage, ob er eine einheitliche Preissetzung auf beiden Märkten vornehmen soll oder ob eine Preisdiskriminierung (dritten Grades) seinen Gewinn erhöhen könnte. Wie hoch ist der Gewinn jeweils? Welche Strategie würden Sie demnach vorschlagen? Aufgabe 9 Die FIFA denkt über die Preisstrategie des Eröffnungsspiels zur WM 2006 im neuen Stadion in München nach. Diskutiert wird, neben den normalen Tickets ebenfalls Karten zum Studententarif zu verkaufen. Die Nachfrage nach normalen Tickets wird angenommen als D N (p) = p während für die Nachfrage nach Studententickets die Funktion D S (p) = p angenommen wird. Das Stadion umfasst Zuschauer. (a) Berechnen Sie zunächst den gewinnmaximierenden (hier gleichbedeutend mit umsatzmaximierenden) Preis, wenn alle Karten zu einem einheitlichen Preis angeboten werden sollen, sowie die verkaufte Menge und den Gesamterlös. (b) Berechnen Sie Preise, verkaufte Mengen und Gesamterlös, wenn auch Karten zum Studententarif angeboten werden sollen. (c) Bei den ersten Berechnungen ist peinlicherweise vergessen worden, dass für Platzreservierungen für Presse, Staatsgäste, Funktionäre, und weitere sich in den Vordergrund drängelnde Prominenz satte Karten bereits vergeben sind. Welche Auswirkungen hat das auf die Zahl der verkauften Karten und den Gesamterlös (weiterhin bei Preisdifferenzierung)? (d) Berechnen Sie die jeweilige Preiselastizität der Nachfrage bei den in (c) berechneten Preisen. Begründen Sie den festzustellenden Unterschied. Aufgabe 10 Die Produktionsfunktion eines Monopolisten sei: Die Nachfragefunktion laute: x = 2 A p(x) = x 4

5 (a) Leiten Sie die Grenzerlösfunktion des Monopolisten her. (b) Der Monopolist verhält sich auf dem Faktormarkt als Mengenanpasser (also Preisnehmer) und bezahlt für den Faktor A den Preis p A. Berechnen Sie die gewinnmaximale Angebotsmenge sowie die Nachfragefunktion nach dem Produktionsfaktor A jeweils in Abhängigkeit von p A. (c) Welcher Gesamtgewinn (in Abhängigkeit von p A ) ergibt sich? Zu Kapitel 14: Allgemeines Gleichgewicht Aufgabe 11 Anna und Bert trinken Bier (Gut 1) und Wein (Gut 2). Es bezeichnen x 1 A Annas Bierkonsum, x 2 A Annas Weinkonsum, x1 B Berts Bierkonsum und x2 B Berts Weinkonsum. Annas Präferenzen werden durch die Nutzenfunktion u A = min(x 1 A, x2 A ) dargestellt, während Bert die Nutzenfunktion u B = x 1 B + x2 B hat. Insgesamt stehen 12 Liter Bier und 8 Liter Wein zur Verfügung. Welche der folgenden Allokationen ist Pareto-effizient? (a) Bert trinkt 12 Liter Bier und 8 Liter Wein, Anna trinkt weder Bier noch Wein. (b) Anna trinkt 8 Liter Bier und 8 Liter Wein; Bert trinkt weder Bier noch Wein. (c) Jeder der beiden trinkt 6 Liter Bier und 4 Liter Wein. (d) Anna trinkt 8 Liter Bier und 8 Liter Wein; Bert trinkt 4 Liter Bier und 0 Liter Wein. Aufgabe 12 Die beiden Geschwister Armin und Birgit versuchen, sich hinsichtlich der Aufteilung der von ihnen am Ostersonntag im Garten gefundenen Süßigkeiten einig zu werden. Zusammen haben sie 12 Schokoladeneier x S sowie 12 Osterhasen x H gefunden. Die Nutzenfunktionen sind jeweils gegeben durch u A = x S A (x H A ) 2 u B = (x S B) 2 x H B (a) Sind die Verteilungen z 1 : Armin besitzt alles, Birgit nichts oder z 2 : Jeder bekommt jeweils 6 Eier und 6 Hasen pareto-optimal? (b) Angemommen, die Eltern haben - Streitigkeiten vorhersehend - die gefundenen Schätze gemäß z 2 aufgeteilt. Ist es denkbar, daß die beiden durch anschließende Verhandlungen zu dem Zustand z 3 : Armin erhält 5 Schokoladeneier (Birgit 7) und 7 Osterhasen (Birgit 5) gelangen? Ist zur Beurteilung ein interpersoneller Nutzenvergleich notwendig? (c) Ist z 3 ein möglicher Endzustand von Verhandlungen? (d) Leiten Sie die Kontraktkurve her. 5

6 Aufgabe 13 Die Nutzenfunktionenen u A und u B zweier Haushalte seien gegeben durch u A = (x 1 A) 13 (x 2 A) 2 3 bzw. U B = (x 1 B) 23 (x 2 B) 1 3 mit den zwei zur Verfügung stehenden Gütermengen x 1 = x 1 A + x1 B bzw. x2 = x 2 A + x2 B. Stellen Sie die Kontraktkurve x 2 A = f( x 1, x 2, x 1 A ) algebraisch dar und verdeutlichen Sie das Ergebnis graphisch für den Fall x1 = x 2 = 1. Aufgabe 14 Gegeben sind folgende Nutzenfunktionen: u A (x 1 A, x 2 A) = MIN(x 1 A, 2 x 2 A) u B (x 1 B, x 2 B) = MIN(x 1 B, 2 x 2 B) (a) Charakterisieren Sie die Nutzenfunktionen. (b) Zeichnen Sie eine Edgeworthbox, wenn beide Güter x 1 und x 2 in gleicher Höhe x = 1 gegeben sind. Wie sieht die Kontraktkurve aus? (c) Erläutern Sie pareto-verbessernde Tauschmöglichkeiten, wenn die Ausgangsausstattung gegeben ist durch ω 1 A = ω 2 B = 3 4 ω 2 A = ω 1 B = 1 4 Die Nutzenfunktion des zweiten Haushalts ändert sie folgendermaßen: (d) Wie sieht nun die Kontraktkurve aus? u B (x 1 B, x 2 B) = MIN(2 x 1 B, x 2 B) (e) Erläutern Sie auch hier pareto-verbessernde Tauschmöglichkeiten bei der in (c) angegebenen Anfangsausstattung. 6

7 Aufgabe 15 Der kleine Peter sammelt am Strand Muscheln und Krebse. Wenn er A 1 Stunden am Strand herumspaziert, findet er x 1 = A 1 Beutel Muscheln. Bei einem Aufwand von A 2 Stunden Suche nach Krebsen kann er x 2 = A2 Krebse sammeln. Ihm stehen in den Urlaubstagen insgesamt A = 32 Stunden zum Suchen zur Verfügung. (a) Berechnen Sie die Transformationskurve algebraisch und stellen Sie sie graphisch dar. (b) Berechnen Sie den Ausdruck für die Grenzrate der Transformation dx 2 dx 1. Welche Werte nimmt sie für x 1 = 0 bzw. x 2 = 0 an? Interpretieren Sie diese Größen. (c) Am Ende des Urlaubs kann Peter seine Vorräte an Muscheln für p 1 = 1 und seine Krebse, die solange qualitätssichernd gelagert wurden, für p 2 = 4 verkaufen. Wie sollte Peter sein Zeitbudget optimal aufteilen und welche Erlöse kann er maximal erzielen? Aufgabe 16 Eine Ökonomie besteht aus zwei Haushalten, die zwei Güter konsumieren und konvexe, monotone Präferenzen haben. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? 2 (a) Wenn die Preise nicht die Gleichgewichtspreise sind, dann ist die Summe der mit den Preisen bewerteten Überschussnachfragefunktionen der beiden Haushalte für jedes Gut positiv. (b) Ausgehend von der Allokation eines Wettbewerbsgleichgewichts kann eine Pareto- Verbesserung möglich sein. (c) Wenn an der Anfangsausstattung die Grenzraten der Substitution der beiden Haushalte übereinstimmen, dann ist die Anfangsausstattung die Allokation eines Wettbewerbsgleichgewichts. Aufgabe 17 Die beiden Güter x 1 und x 2 werden durch den Einsatz der Faktoren A und K hergestellt. Die Produktionsfunktionen sind gegeben durch x i = x i (A i, K i ), und die beiden Produktionsfaktoren stehen zueinander in einem substitutiven Verhältnis. Insgesamt stehen für die Produkton beider Güter Faktormengen von K und Ā zur Verfügung. 7

8 (a) Skizzieren Sie analog zur Edgeworthbox in einer Faktorbox die Kurve effizienter Produktionen und erläutern Sie die Marginalbedingung für eine optimale Faktorallokation. (b) Erörtern Sie nun anhand eines weiteren Diagramms den Zusammenhang zwischen dieser Faktorbox und der Transformationskurve von x 1 und x 2. Erläutern Sie dabei die Bedeutung der Grenzrate der Transformation und ihren Zusammenhang zu den Grenzproduktivitäten der Faktoren. Aufgabe 18 Die Produktionsfunktionen zur Herstellung zweier Güter y 1 und y 2 sind gegeben durch y 1 (x 1 1, x 1 2) = 2(x 1 1) 1 3 (x 1 2) 2 3 und y 2 (x 2 1, x 2 2) = 2(x 2 1) 1 3 (x 2 2) 2 3. Der gesamte Faktorbestand sei fest gegeben durch x 1 und x 2. (a) Wie verläuft die Kontraktkurve? (b) Berechnen Sie die Transformationskurve y 1 (y 2, x 1, x 2 ). (c) Ermitteln Sie Steigung und Achsenabschnitte der Transformationskurve. Zu Kapitel 15: Ersparnis und Investition Aufgabe 19 Ulrich Unbedarft hat für 2 Perioden unterschiedliche Einkünfte zur Verfügung. In Periode 1 verfügt er über ein Einkommen in Höhe von m 1, in Periode 2 eine sichere Rente in Höhe von m 2. Auf dem Kapitalmarkt kann Geld zum Zinssatz r angelegt oder geliehen werden. Ulrichs Nutzenfunktion ist gegeben durch u(c 1, c 2 ) = c 2 1 c 2 (a) Stellen Sie Ulrichs Konsummöglichkeiten in einer geeigneten Graphik dar und stellen Sie die Budgetgleichung auf. (b) Ermitteln Sie das optimale Konsumgüterbündel (c 1, c 2). (c) Wie groß muß m 2 wenigstens sein, damit Ulrich keine Ersparnisse bildet? (d) Der Staat hat große Bedenken hinsichtlich der Mündigkeit seiner Bürger, selbst für ausreichende Alterseinkünfte zu sorgen. Daher führt er zum Zeitpunkt 1 eine Zwangsabgabe in Höhe von Z mit Z < m 1 ein, die - verzinst - in der 2. Periode zurückgezahlt wird. Erläutern Sie anhand einer Graphik, welche Auswirkungen dies auf die Entscheidung von Ulrich haben kann, wenn zudem keine Möglichkeit besteht, sich diese Zwangsabgabe am Kapitalmarkt durch einen Kredit in entsprechender Höhe zurückzuholen. 8

9 Aufgabe 20 Unterstellen Sie einen Haushalt mit einer intertemporalen Nutzenfunktion des Typs u(c 1, c 2 ) = c α 1 c β 2 mit 0 < α, β < 1, der seinen Nutzen über zwei Perioden maximiert. Sein Einkommen m 1 = m 2 = m ist in jeder Periode exogen vorgegeben; er hat jedoch die Möglichkeit, sich zum Zinssatz r am Kreditmarkt zu verschulden oder zum gleichen Zins Ersparnisse anzulegen. Das Preisniveau betrage p = 1 (a) Schreiben Sie die Budgetrestriktionen für die einzelnen Periode und für die gesamt Lebenszeit auf. Wie lautet allgemein die Bedingung erster Ordnung für ein Nutzenmaximum (das zeitliche 2. GOSSENsche Gesetz ), und wie lautet sie im Falle der gegebenen Nutzenfunktion? (b) Stellen Sie das Entscheidungsproblem des Haushalts in einem (c1, c2)-diagramm graphisch dar. Wie beeinflussen Einkommens- und Zinssatzänderungen die optimale Entscheidung des Haushaltes? (c) Es gelte α = 2 β. Berechnen Sie das intertemporale Haushaltsgleichgewicht für die Situation r = 0.1 und m = 110. (d) Bei welchem Zinssatz r konsumiert der Haushalt im Falle α = β in jeder Periode genau das Einkommen m? (e) Bei welchem Zinssatz r, allgemein abhängig von α > 0 und β > 0, konsumiert der Haushalt in jeder Periode genau das Einkommen m? Aufgabe 21 Ein Haushalt erziele ein Einkommen von m 1 = 100 in Periode 1 und von m 2 = 60 in Periode 2. Das Preisniveau betrag p = 2. Er konsumiert zu den jeweiligen Zeitpunkten die Gütermengen c 1 und c 2 und kann dabei zum Zinssatz r sowohl Ersparnisse anlegen als auch Kredite aufnehmen. Seine intertemporale Nutzenfunktion ist gegeben durch u(c 1, c 2 ) = ln c 1 + α ln c 2 (a) Bestimmen Sie die optimale Konsumaufteilung für den Fall α = 0, 2 und r = 20%. Ist der Konsument Sparer oder Schuldner? Bei welchem Parameterwert α würde er in beiden Perioden gleich viele Güter konsumieren? (b) Erläutern Sie die sich ergebenden Effekte, die ein Anstieg des Zinssatzes auf das Konsumverhalten hätte. Welche Auswirkungen auf die Höhe des Gegenwartskonsums und des Zukunftskonsums wären zu erwarten? (c) Angenommen, der Haushalt muss auf dem Kreditmarkt für seine Kredite einen Zinssatz r K > r in Kauf nehmen. Stellen Sie die Budgetrestriktion des Haushaltes in diesem Fall in einem geeigneten Diagramm dar. 9

10 (d) Der Haushalt kann davon ausgehen, dass zum Zeitpunkt 2 das Preisniveau auf p 2 > p angestiegen ist. Stellen Sie nun die intertemporale Budgetrestriktion auf und berechnen Sie die optimale Entscheidung für die in (a) angebenenen Parameter, wenn p 2 = 10 p gilt und der Zinssatz wieder einheitlich mit r = 20% gegeben ist. 9 Zu Kapitel 16: Risiko und Versicherungsmärkte Aufgabe 22 Ein Haushalt hat sich zwischen zwei Alternativen A und B zu entscheiden, wobei er bei der Entscheidung für A mit einer Wahrscheinlichkeit von Π A = 25% einen Einkommenszufluß von 400 Geldeinheiten (GE) und mit 1 Π A = 75% einen Einkommenszufluß von 64 GE erreichen kann. Bei Alternative B erzielt er mit Π B = 25% 256 GE und mit 1 Π B = 75% 100 GE. (a) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Alternativen A und B. (b) Der Haushalt habe die Nutzenfunktion u(c) = c mit c als dem realisierten Einkommenszufluß. Berechnen Sie den Erwartungsnutzen für die beiden Alternativen. Für welche Alternative entscheidet sich der Haushalt? Aufgabe 23 Ein Haushalt habe die Nutzenfunktion u(c) = 5 c Sein Vermögen beträgt 4 Mio. Euro. Welchen Betrag ist der Haushalt höchstens bereit, für den Abschluß einer Vermögensversicherung zu bezahlen, wenn er sein Vermögen mit einer Wahrscheinlichkeit von Π = 10% vollständig verliert und ihm mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% nur 2,56 Mio. Euro verbleiben? Welche Summe muss ein Versicherungsanbieter, der ohne Gewinn arbeitet, wenigstens verlangen, um die zu erwartenden Risiken decken zu können? Wie groß ist also der Spielraum für den Versicherungsbeitrag in diesem Fall? Aufgabe 24 Helmut Hartgeld hat es geschafft - er sitzt bei Günther Jauch auf dem Stuhl und beantwortet Fragen in der Hoffnung, es bis zum Millionär zu schaffen. Bei der viertletzten Frage allerdings verbrät er seinen letzten Joker - er hat nun die Auswahl zwischen 2 Antworten, von denen eine richtig ist. Beantwortet er sie korrekt, gewinnt er Euro, antwortet er nicht, kann er mit Euro nach Hause gehen, beantwortet er die Frage falsch, fällt er auf Euro zurück. (a) Angenommen, Helmuts Nutzenfunktion sei gegeben durch u(c) = c mit c dem 10 Geldbetrag, den er mit nach Hause nehmen kann. Wird er das Risiko eingehen und raten? (b) Zu welchem Ergebnis wäre er gekommen, wenn er den 50/50-Joker nicht mehr gehabt hätte und aus einer von 4 Antworten hätte wählen müssen? 10

11 (c) Vor dem Einsatz des 50/50-Jokers hätte er folgende strategische Überlegung machen können: Er setzt den Joker noch nicht ein, rät mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% richtig und bekommt anschließend die Euro-Frage gestellt, von der er aufgrund seiner Erfahrung als langjähriger Fernsehzuschauer annehmen kann, er wisse ihre Antwort mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Falls nicht, würde er dann seinen gesparten Joker einsetzen können, zwei falsche Antworten streichen und anschliessend zwischen den beiden übrig gebliebenen Antworten raten. Ist diese Strategie der sofortigen Verwendung des 50/50-Jokers vorzuziehen? (d) Wie sähen die Überlegungen in (a)-(c) aus, wenn Helmut völlig risikoneutral wäre? 11