mathphys-online LINEARE ALGEBRA

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1 LINEARE ALGEBRA

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel Inhalt Seite 1 Vektoren in der Ebene und im Raum Der Begriff des Vektors 1 1. Beschreibung im Koordinatensystem 1. Rechenoperationen mit Vektoren (Vektoralgebra) 1..1 Vervielfachen von Vektoren 1.. Addition von Vektoren 1.. Subtraktion von Vektoren Das Assoziativgesetz bzgl. der Verknüpfung Addition Das Kommutativgesetz bzgl. der Verknüpfung Addition Das Assoziativgesetz bzgl. der Verknüpfung Multiplikation Das Distributivgesetz Das Distributivgesetz Geometrische Anwendungen mit Vektoren Länge eines Ortsvektors Länge eines Verbindungsvektors Mittelpunkt einer Strecke Schwerpunkt eines Dreiecks 10 Produkte von Vektoren 1.1 Das Skalarprodukt Herleitung.1. Winkel zwischen Vektoren 1.1. Senkrechte Projektion 16. Das Vektorprodukt Flächenberechnung 17.. Koordinatenschreibweise im IR 17.. Koordinatenschreibweise im IR Definition des Vektorproduktes Geometrische Interpretation Eigenschaften des Vektorproduktes 0. Spatprodukt und Spatvolumen 1..1 Das Cavalierische Prinzip 1.. Das schiefe Prisma 1.. Das Spatprodukt..4 Volumenberechnungen 4 Graphiken erstellt mit Mathcad 15 November 01

3 1 Vektoren in der Ebene und im Raum Im Bereich der Naturwissenschaften (Physik, Technologie,...) ist es bei vielen Größen notwendig, die Richtung anzugeben. Beispiele für ungerichtete Größen Masse m Zeit t Temperatur T Energie E Elektrische Spannung U Ladung Q Stromstärke I Beispiele für gerichtete Größen Kraft F Weg x Geschwindigkeit v Beschleunigung a Elektrische Feldstärke E Man unterscheidet gerichtete Größen, die allein durch Maßzahl und Einheit beschrieben werden: Skalare gerichtete Größen, die eine feste Richtung haben: Vektoren Diese Größen können in einem Koordinatensystem veranschaulicht werden. Das Arbeiten im Koordinatensystem ist oft recht unübersichtlich, deshalb wurde der Begriff des Vektors ein wichtiges Werkzeug, um das Rechnen mit Koordinatenwerten zu vereinfachen. 1.1 Der Begriff des Vektors Definition Ein Vektor v ist ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Bezeichnung Bezeichnet man die Menge aller zu einem Pfeil gleich langer und gleich orientierter Pfeile mit v, und ist der Pfeil AB vom Punkt A zum Punkt B ein Element dieser Menge, dann nennt man den Pfeil AB einen Repräsentanten der Menge v. Der Punkt A heißt Anfangspunkt und der Punkt B Spitze des Pfeils AB. Gehören zwei Pfeile AB und CD zu derselben Pfeilmenge v, so schreibt man statt AB v und CD v direkt AB CD. Das heißt, dass die Pfeile AB und CD gleich lang und gleich orientiert sind und sich höchstens durch eine Parallelverschiebung unterscheiden. 1

4 1. Beschreibung im Koordinatensystem Mithilfe eines rechtsorientierten Koordinatensystems wird ein Maßstab in der Geometrie festgelegt. Dabei unterscheidet man im Anschauungsraum Koordinatensysteme im IR mit x 1 - und x -Achse bzw. im IR mit x 1 -, x - und x -Achse. Im IR : Punkt P(p 1/ p ) ; Ortsvektor zum Punkt P: Im IR : Punkt P(p 1/ p / p ) ; Ortsvektor zum Punkt P: p1 OP ; p p1 OP p ; p Bei der Darstellung eines räumlichen Koordinatensystems in der Zeichenebene zeichnet man die positive x 1 -Achse (aus der Zeichenebene heraus orientiert) in einem Winkel von 5 gegenüber der positiven x -Achse und die x -Achse senkrecht zur x -Achse. Die Einheit auf der x 1 -Achse zeichnet man im Vergleich zu der Einheit auf der x - und x -Achse verkürzt (z. B. halber Maßstab). Beispiel Die Punkte A(4 / / 0) und B(4 / / ) sowie die Ortsvektoren 4 4 OA und OB sollen in 0 ein räumliches Koordinatensystem eingetragen werden.

5 1. Rechenoperationen mit Vektoren (Vektoralgebra) 1..1 Vervielfachen von Vektoren Die Skalarmultiplikation v ist die Multiplikation eines Vektors v mit einem Skalar IR. v ABAC In Koordinatenschreibweise: v1 v1 v v v v v AC ist ein Vektor, der die -fache Länge des Vektors AB hat. 0 : AB und AC gleich orientiert 0 : AB und AC entgegengesetzt orientiert 0 : 0 v 0 0v 0v 0 0 Nullvektor 1 0 v Addition von Vektoren Setze an die Spitze von a den Anfang von b. Der Summenvektor a b geht von Anfang a bis Spitze b. Beispiel Gegeben sind die Vektoren a OA und b OB. 1 a) Tragen Sie die Vektoren a und b sowie den Summenvektor u als Ortsvektoren (Beginn im Koordinatenursprung) in das Koordinatensystem ein. b) Berechnen Sie den Summenvektor und vergleichen Sie mit der Graphik. In Koordinatenschreibweise: a1 b1 a1 b1 ab a b a b a b a b 5 uab 1

6 1.. Subtraktion von Vektoren Setze an die Spitze von a den Anfang des Gegenvektors b von b. Der Differenzvektor ab a1b geht von Anfang a bis Spitze b. In Koordinatenschreibweise: a1 b1 a1 b1 a1 b1 ab a b a b a b a b a b a b Beispiel Gegeben sind die Vektoren aoa und bob. 1 a) Tragen Sie die Vektoren a und b sowie den Differenzvektor v als Ortsvektoren (Beginn im Koordinatenursprung) in das Koordinatensystem ein. b) Berechnen Sie den Summenvektor und vergleichen Sie mit der Graphik. 1 v ab Das Assoziativgesetz bzgl. der Verknüpfung Addition (Verbindungsgesetz) Betrachtet man mehrere Vektoren, so ist die Reihenfolge der Summenbildung beliebig. a b c a b c In Koordinatenschreibweise: a1 b1 c1 a1 b1 c1 ab c a b c a b c a b c a b c a1 b1 c1 a b c a bc a b c Beispiel Gegeben sind die Vektoren a OA, b OB 1 und 1 c OC. Zeigen Sie die Gültigkeit des Assoziativgesetzes durch Konstruktion der Vektoren in den jeweiligen Koordinatensystemen. 4

7 1..5 Das Kommutativgesetz bzgl. der Verknüpfung Addition (Vertauschungsgesetz) Betrachtet man mehrere Vektoren, so ist die Reihenfolge der Summenbildung beliebig. ab ba Parallelogrammregel In Koordinatenschreibweise: a b b a a b a b b a ba a b b a Beispiel Gegeben sind die Vektoren 4 a OA und b OB. 4 1 Zeigen Sie die Gültigkeit des Kommutativgesetzes durch Konstruktion der beiden Summenvektoren. 5

8 1..6 Das Assoziativgesetz bzgl. der Verknüpfung Multiplikation mit einem Skalar Wird ein Vektor a mit einem Faktor multipliziert und dieser Vektor mit einem Faktor, so ergibt sich derselbe Vektor, wenn man den Vektor a mit dem Produkt aus beider Faktoren multipliziert. a a mit, IR\{0} In Koordinatenschreibweise: a1 a1 a a a a a a1 a1 a a a a a 1..7 Distributivgesetz 1 (Verteilungsgesetz) Multipliziert man die Summe zweier Vektoren mit einem Skalar ist das identisch mit der Summe der beiden mit dem Skalar multiplizierten Vektoren. Kurz: Ausmultiplizieren oder Ausklammern des Skalars ab ab mit IR In Koordinatenschreibweise: a b a1 b1 a1 b1 a b a b a b a b a1 b1 a1 b1 a b a b a b a b a1 b1 a1 b1 a b a b a b a b ab 1..8 Distributivgesetz Multipliziert man die Summe zweier Skalare mit einem Vektor ist das identisch mit der Summe der beiden mit dem Vektor multiplizierten Skalare. Kurz: Ausmultiplizieren oder Ausklammern des Vektors a aa mit, IR. In Koordinatenschreibweise: a a1 a1 a a a a a1 a1 a1 a1 a a a a a a a a a1 a1 a a aa a a 6

9 1.4 Geometrische Anwendungen mit Vektoren Länge eines Ortsvektors Gesucht: Länge des Vektors p1 OP p. p Nebenrechnung: Projektion des Punktes P in die x 1 -x -Ebene: OQ p p 1 (Pythagoras) Damit gilt: OP OQ p. OP p p p Länge eines Verbindungsvektors Gesucht: Länge des Vektors AB. Geschlossene Vektorkette: OA AB OB 0 Auflösen: AB OB OA In Koordinatenschreibweise: b a b a AB b a b a b a b a AB b a b a b a 1 1 Merkregel: Spitze minus Fuß 7

10 1.4. Mittelpunkt einer Strecke Gegeben sind die Punkte A(a 1/a /a ) und B(b 1/ b / b ). Gesucht ist der Mittelpunkt der Strecke [AB]. Lösung Geschlossene Vektorkette: 1 OA AB OM 0 Auflösen: 1 1 OM OA AB OA OB OA Vereinfachen: OM OA OB OA OB Satz Für den Ortsvektor OM des Mittelpunktes M einer Strecke [AB] mit den zugehörigen Ortsvektoren OA und OB gilt: Beispiel 1 Durch die Punkte A( / 4) und B(4 /1,5) wird eine Strecke [AB] festgelegt. a) Bestimmen Sie die Länge der Strecke [AB]. b) Bestimmen Sie den Ortsvektor OM und die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke [AB]. Lösung a) 4 AB 1, 5 4, 5 AB (,5),0 a1 b1 1 1 OM OA OB a b a b b) 1 4 OM 4 1,5,75 M( /,75) 8

11 Beispiel Durch die Punkte A( / 4 / ) und B(4 /1,5 / ) wird eine Strecke [AB] festgelegt. a) Bestimmen Sie die Länge der Strecke [AB]. b) Bestimmen Sie den Ortsvektor OM und die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke [AB]. Lösung a) 4 AB 1,5 4,5 ; 1 AB (,5) ( 1),5 ; b) 4 1 OM 4 1,5,75 ; M( /,75 /,5);,5 Beispiel Durch die Punkte A(1/ ), B(5 /1) und C(7 / ) sind drei Ecken des Parallelogramms ABCD gegeben. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des vierten Eckpunktes D. b) Tragen Sie die Diagonalen ein und lesen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts ab. c) Zeigen Sie durch allgemeine Rechnung mit Hilfe geschlossener Vektorketten, dass sich die Diagonalen des Parallelogramms halbieren. d) Überprüfen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes S durch Rechnung. Lösung a) OD OA BC D( / 4) b) S(4 /,5) c) Geschlossene Vektorkette BSAB: BM AM AB 0 ; (1) AS AC ABAD ; () Punkt S auf der Diagonalen AC: Punkt S auf der Diagonalen DB: BS BD AD AB () und () einsetzen in (1): ; () ADAB ABAD AB 0 ; AD 1 AB 0 ; Umordnen und Zusammenfassen: Da AB 0 und AD 0 muss gelten: (1) 0 ; () 1 0 ; Aus (1) ; In () einsetzen: ; In (1) einsetzen: 9 1 ;

12 d) Mittelpunkt auf der Diagonalen AC: OM,5 M(4 /,5) Mittelpunkt auf der Diagonalen BD: OM 1 4,5 Satz Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich. Beispiel 4 Durch die Punkte A(1/ / 4), B(5 /1/ ), C(7 / /1) und D( / 4 / ) sind die Ecken des Parallelogramms ABCD gegeben. Bestimmen Sie den Ortsvektor und die Koordinaten des Mittelpunktes durch Rechnung OM OA OC 5, , Schwerpunkt eines Dreiecks Beispiel 5 Durch die Punkte A(1/ ), B(5 /1) und C(4 / 6) ist ein Dreieck gegeben. a) Tragen Sie die drei Seitenhalbieren den (Schwerlinien) ein. b) Bestimmen Sie durch Rechnung mit Hilfe geschlossener Vektorketten, in welchem Verhältnis sich die Schwerlinien teilen. c) Bestimmen Sie den Ortsvektor und die Koordinaten des Schwerpunktes S. 10

13 Lösung zu b) Geschlossene Vektorkette BCAB: BC AC AB 0 BC AC AB Für die Seitenhalbierenden gilt: 1 1 AMBC AB BC AB ACAB 1 1 AMBC AB AC ; (1) 1 BMAC AB AC ; () Die Seitenhalbierenden schneiden sich: AS SB AB 0 S Ist Teilpunkt von AMBC und BM AC : AM BM AB 0 () BC AC Gleichungen (1) und () in () einsetzen: AB AC AB AC AB 0 Ordnen: 1 AB AC0 Da AB 0 und AC 0 muss gelten: (1) 1 0 ; () 0 ; Aus () ; in (1) 1 ; ; AS AMBC ; SMBC 1 AM 1 1 BC BS BMAC ; SMAC 1 BM 1 1 AC d h. die Schwerlinien teilen sich im Verhältnis :1. CS AS Die Berechnung der Teilverhältnisse und bzw. SMAB SMBC erfolgt analog. 11 CS und SM AB BS SM AC

14 Lösung zu c) Ortsvektor zum Schwerpunkt: 1 1 OS OA AMBC OA OM OA OA OB OC BC Koordinaten des Schwerpunktes: 10 S / Satz Für den Ortsvektor OS des Schwerpunktes S des Dreiecks ABC mit den zugehörigen Ortsvektoren OA, OB und OC gilt: a1 b1 c1 1 1 OS OA OB OC a b c a b c Beispiel 6 Durch die Punkte A(1/ / 5), B(5 /1/ ) und C(4/6/1) ist ein Dreieck gegeben. Bestimmen Sie durch Rechnung den Ortsvektor und die Koordinaten des Schwerpunktes S. Lösung Ortsvektor zum Schwerpunkt: OS OA OB OC Koordinaten des Schwerpunkts: 10 S // 1

15 Produkte von Vektoren.1 Das Skalarprodukt Das Skalarprodukt zweier Vektoren im Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab. Zur Berechnung verwendet man den Kosinussatz (verallgemeinerter Pythagoras für die Seite AB, vgl. Merkhilfe): AB a b a b cos( ) Die Längen (Beträge) der Ortsvektoren a und b und des Verbindungsvektors AB werden aus den Koordinaten berechnet: b a b a b a a a a b b b a b cos( ) Nach dem Ausmultiplizieren fallen die Quadrate auf beiden Seiten weg: a b a b a b a b cos( ) 1 1 Danach wird die Gleichung durch ( ) dividiert: ab ab ab a bcos( ) () 1 1 Abkürzung a b Weil das Symbol an ein Produkt erinnert, definiert man das Skalarprodukt der Vektoren a und b :folgendermaßen: a1 b1 ab a b a1b1 ab ab ( ) a b Da ( ) ( ) gilt auch: a b a b cos( ) ( ). Winkel zwischen Vektoren Gleichung ( ) auflösen: ab a b cos( ) arccos a b a b Achtung: Taschenrechner auf Gradmaß (deg) einstellen. 1

16 Bemerkung Mithilfe dieser Formel können spitze Winkel und stumpfe Winkel berechnet werden. Vorgehensweise: Festlegung des Scheitels des Winkels und derjenigen Vektoren, die vom Scheitel wegzeigen. Beispiel Gegeben ist das Dreieck ABC mit den Ecken A(1/4/1); B(0/5/); C(5/1/); Gesucht: Winkel mit A als Scheitel; Winkel mit B als Scheitel. Ergebnis: 114; 48, Lösung Ortsvektoren: OA 4 ; OB 5 ; OC 1 ; 1 Verbindungsvektoren: AB 1 ; AC ; BA 1 ; BC 4 ; Winkelberechnung: ABAC AB AC cos( ) arccos AB AC AB AC BA BC BA BC cos( ) arccos BA BC BA BC 14

17 Konkrete Werte: arccos arccos arccos0,561,5 9 arccos arccos arccos0,71 44,5 4 Bezeichnungen Orthogonale Vektoren: a b (a;b) 90 a b 0 Parallele Vektoren: a b (a;b) 0 a b a b Antiparallele Vektoren: a b (a;b) 180 a b a b Beispiele 1 0 a b1 1 ; 1 6 a b 4 ; 1 6 a b 4 ; 15

18 . Senkrechte Projektion a Einheitsvektor: a a a a a ba Im Dreieck: cos( ) ba b cos( ) b Trick: Multiplizieren mit a 1: ba a b cos( ) a b Skalarprodukt b a b a Projektion des Vektors b auf den Vektor a : a Umformungen: a a a b b b a a a a a Projektion des Vektors b auf den Vektor a : a b a b b Umformungen: b b a b a a b b b b b Beispiel 0 1 Gegeben sind die Vektoren a 4 und b 1. 1 Bestimmen Sie die Projektionen b a und a b. Lösung ba Projektion Vektor b auf a : ab Projektion Vektor a aufb : 16

19 . Das Vektorprodukt..1. Flächenberechnung Gegeben sind zwei Vektoren a und b, die ein Parallelogramm aufspannen. Gesucht ist die Fläche des Parallelogramms. Lösung: Es gilt: h sin( ) b h b sin( ) A a h a b sin( ) (*) P Trigonometrische Umformung: sin( ) cos( ) 1 sin( ) 1cos( ) einsetzen in (*) AP a b 1 cos( ) a b 1 cos( ) a b a b cos( ) Trick: a a a 1 a a cos(0 ) a a und ebenso: wird eingesetzt: A a ab ba b P (**) b b b.. Koordinatenschreibweise im IR a1 a1 aa a1 a ; a a a b 1 1 ab a1b1 a b ; a b b1 b1 bb b1 b ; b b eingesetzt in (**): A (a a ) (b b ) (a b a b ) P A a b a b a b a b a b a a b b a b P Die Quadrate a b unter der Wurzel heben sich auf. i i A a b a b a a b b (a b a b ) P Mit der Determinantenschreibweise: A a b a b P a a b 1 1 b

20 .. Koordinatenschreibweise im IR a1 a1 aa a a a1 a a ; a a a1 b1 ab a b a1b1 a b a b ; a b b1 b1 bb b b b1 b b ; b b eingesetzt in (**): A (a a a ) (b b b ) (a b a b a b ) P Die Quadrate a b unter der Wurzel heben sich auf: i i A (a b a b a b a b a b a b... P a a b b a a b b a a b b ) zusammengefasst: A ( a b a b ) (a b a b ) (a b a b ) P Umordnen: A (a b a b ) ( a b a b ) (a b a b ) (***) P Definition des Vektorprodukts Definition eines Vektors d : d1 a b a b d d a b a b 1 1 d a1 b a b 1 Mit (***) gilt: A d d d P 1 Eigenschaften des Vektors d : (1) d a () d b () d A P 18

21 Beweis Von (1) mit Hilfe des Skalarproduktes: d a d a 0 d b d b 0 a b a b b1 db a b a b b 1 1 a1 b a b 1 b a b b a b b a b b a b b a b b a b b 0 Ebenso d a Von () d1 a b a b d d a b a b 1 1 d a1 b a b 1 d (a b a b ) (a b a b ) (a b a b ) Mit (***) und (**) folgt: d A a b sin (a;b) P q. e. d..5 Geometrische Interpretation Der Vektor d steht senkrecht auf dem durch die Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramm. Die Länge des Vektors d entspricht der Maßzahl des Flächeninhalts des Parallelogramms. Definition Vektorprodukt: a1 b1 a b a b ab a b a b a b 1 1 a b a1 b a b 1 (vgl. Merkhilfe) 19

22 Merkregel zur Berechnung a b a b a b a b a1 b1 a b a b a1 b 1 a1 b 1 ab a b a b1 a1 b a b a b a b a1 b a b 1 a1 b1 a1 b1 a b a b..6 Eigenschafen des Vektorproduktes: (1) (ab) a (ab) a 0 (ab) b (ab) b 0 () A P (a b) a b sin (a; b) () Die Vektoren a, b und (a b) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. (4) Die Vektoren b, a und (b a) bilden in dieser Reihenfolge ein Linkssystem. Beispiel 5 Gegeben sind die Vektoren a und b a) Berechnen Sie die Fläche des Parallelogramms, das die Vektoren aufspannen. b) Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks, das die Vektoren aufspannen. Lösung AP ( 7) 7 ( 7) AD 4 7 ( 7) 7 ( 7) 0

23 . Spatprodukt und Spatvolumen..1 Das Cavalierische Prinzip Cavalieri (italienischer Mathematiker , Schüler Galileis) Zwei Körper, die in jeder Höhe flächengleiche Querschnitte besitzen, haben gleiches Volumen. Portrait mit freundlicher Genehmigung von: Anwendung auf das schiefe Prisma Ein Prisma ist ein Körper mit einem Vieleck als Grundfläche. Volumen des geraden Quaders: Grundfläche Höhe Schert man den Quader parallel zur Grundfläche (Spat), dann bleiben Grundfläche A und Höhe h gleich und nach Cavalieri auch das Volumen. Grundfläche: A a b Volumen des Spats (Parallelepipeds): V Ah h c cos V A c cos a b c cos Skalarprodukt der Vektoren a b und c Der Name des Körpers kommt von der Form eines Minerals, dem Kalkspat. 1

24 V a b c Ergebnis: Für das Volumen eines Spats gilt: Spat.. Das Spatprodukt Definition Für die drei Vektoren a, b und c mit a, b, c IR ist das Spatprodukt (gemischtesprodukt aus Vektor- und Skalarprodukt) (ab) c eine reelle Zahl mit folgenden Eigenschaften: (a b) c 0 cos0 (a b, c) 90 a, b, c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Vertauschbarkeit der Vektoren: (a b) c = (b c) a = (c a) b In Koordinaten: a a b b c1 a1 b 1 a b a1 b1 a1 b 1 1 a b a b a b a b c (a b) c c c c c a1 b1 a b c1a b c1a b c a1b c a b1 c a1b c a b1 Das ist die Entwicklung nach der. Spalte einer Determinante.

25 Definition Eine Determinante ist eine spezielle Funktion, die einer quadratischen Matrix ein Skalar (skalare Maßzahl) zuordnet. a1 b1 c1 Zum Beispiel kann die Determinante D einer x-matrix M a b c über das Spatprodukt dreier Vektoren a ; b und c berechnet a b c werden. a b c D det a, b, c a b c a b c (1) a b c Weitere Berechnungsmöglichkeiten für Determinanten: () Regel nach Sarrus (gilt nur für dreireihige Determinanten) a b c a b c a b D a b c a b c a b Hauptdiagonale Nebendiagonale a b c a b c a b D a c b a c b a c b a c b 1b 1c 1a b 1 c 1 a 1 Da später beliebige (n n) -Determinanten vorkommen können, ein allgemeines Berechnungsschema: () Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte: (Hier nach der 1. Spalte) a b c b c b c b c a b c ( 1) a ( 1) a ( 1) a b c b c b c a b c a c a c a c a c a c a c 1b 1b b1 b 1 b1 b 1 Spezialfall: Höhe h0 Das Spat entartet zu einem ebenen Viereck. Satz Vektoren a, b, c liegen in einer Ebene a, b, c det a, b, c 0 komplanar

26 ..4 Volumenberechnungen Ein Würfel (vierseitiges Prisma) kann in drei Pyramiden gleicher Grundfläche und Höhe zerlegt werden: Das dreiseitige Prisma entsteht aus der Halbierung des vierseitigen Prismas. Mit Anwendung des Cavalierischen Prinzips folgen die Volumenberechungen: Spat Dreiseitiges Prisma V (ab) c Spat 1 V Prisma (ab) c Vierseitige Pyramide Dreiseitige Pyramide 1 V Pyramide _ 4 (ab) c Pyramide _ 1 V (ab) c 6 4