1. Generator für finite Elemente

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1 Praiu i wisseschafliche Reche, Veriefugshee zu Versuch 7: Die Mehode der Fiie Eleee 1 1. Geeraor für fiie Eleee Für das Praiu i Wisseschafliche Reche wird ei relaiv eifacher Fiie-Eleee- Geeraor verwede, der i Folgede vorgesell wird. Das Iegraiosgebie wird durch desse Rad i For eies Polygos beschriebe. Über dieses Polygo wird ei Gier geleg. Es wird fesgesell, welche Gierpue i Polygo liege. Die Polygopue ud die iere Gierpue bilde die Ece der dreiecige fiie Eleee. Diese Ecpue werde durch eie Delauay-Triagulaio zu Dreiece verbude. Polygo: Die For des Gebies wird durch de Rad i For eies Polygozuges beschriebe Gier: px, i Polygo: pi =, i, Radpue des Gebiees p Gierpue: y, i g g =, g { p} ( { G} x, y, g g g g = g + e + eˆ 1 G ( 1 ˆ ( 1 G, x 1, x, y 1, y x x y y G 1 G 1 ( i:,, = + 1 x y G x G y Die Ecpue des Giers üsse so gewähl werde, dass das gesae Polygo überdec wird. Ipolygo p g, g, für alle, x 1, x G, x P p g, g, für alle, y 1, y G, y P Ob ei Gierpu ierhalb des Polygos lieg oder außerhalb, a durch Berechug der Widugszahl fesgesell werde. Dazu berache wir de Verbidugsveor zwische Gierpu ud Polygopu ud bereche de Wiel dieses Veors ewa zur x-achse. Suier a die Wieldiffereze über das gesae Polygo, is diese Zahl 0 für alle Gierpue außerhalb des Polygos ud π für alle Iepue. (1 ( (3 Tübige, de

2 Verbigugsveor: Wiel zur x-achse: Widugszahl: pi g ( pi g ϕ arccos ˆ i = e x pi g 1 0 für g außerhalb w 1 für g iererhalb P ( = ϕi = π i = 1 I MaLab seh 'Ipolygo' als Fuio zur Verfügug I-Gierpue Vo der Mege der Gierpue werde u außerhalb des Polygos gelegee efer. I-Gierpue: h = g w = 1, < { i i } { H G} Beispiel der Zuordug: = Zuordug: h w ( ( = = = g Polygopue + I-Gierpue pl für alle l p G =, h für alle p < l H l + l p h (4 (5 (6 Delauay-Triagulaio Die Polygopue + I-Gierpue werde abschließed als Ecpue vo Dreiece ierpreier. Das Verfahre is i der ueri verbreie, eie Beschreibug fide a auf Wiipedia. MaLab sell 'Delauay' als Fuio zur Verfügug. Ma erhäl eie Marix 'ri', welche die Triagulaio folgederaße beschreib: ( Triagulaio: l = ri, i: l + Idex des Gierpues G p h l { Dreiec } Idex des Dreiecs 3 Idex des Ecpues i Dreiec (7 Beschreibug des Algorihus zur Triagulaio: hp://de.wiipedia.org/wii/delauay-triagulaio

3 3. Troel i Diricle-Radbediguge Das Proble Gleichugssyse i Zwagsräfe a Rad ud Radbedigug: ˆ Γ= 0 ( Zwag vλuda + ( v ΓdA v G + Z ds = 0, u = 0, auf (8 Ewiclug i Idexege der Radpue: Radiegral: Zusae: u = R = 3 { x } ( ( ϕ ud = ϕ Z ds Z l l l= 3 Dl Kl ( i Zwag i R Lagrage-Mulipliaore, ich wirlich releva λ ϕ ϕ da + ( ϕ ( ϕ da = 0 auf l Z = 0 R ( Jauar 011

4 4 Abbildug auf Süzselle Abbildug auf Süzselle: = T, Dɶ = TDT, Kɶ = TKT 1 Rad ( R Sorier ach Rad- ud ( Rad = = Iere Pue: ( I ɶ ( Rad + 1 Ie ( Süz Zɶ 1 Z ɶ = Z ɶ Ra ( d Rad Cosrai-Marix: = Gleichugssyse ud Lösug ( ( Süz Kɶ Dɶ 0 Gleichugssyse: = λ Zɶ Z ( R ( R ( I ( I ( R erer Teil: ( = λ ( = 0 Zɶ Zɶ 0 0 ( R, R ( R, I Kɶ Kɶ 1 ( R, R ( R, I ( I Oberer Teil: Dɶ Dɶ 0 ( I = λ ( I, R ( I, I K K 0 ( I, R ( I, I D D 0 Z ɶ Z ɶ ( I, I ( I ( I, I ( I Kɶ = λdɶ also: ( R, I ( R, I ( I Z ɶ = ( λdɶ Kɶ (10 (11

5 5 3. Zeiliche Ewiclug der Mebraverschiebug Das Proble ( = ( Wellegleichug: uɺɺ x, y, v u x, y, (1 Welle- Geschwidigei, Elasiziäsodul Asaz: Lösug: ( = ( ( Asaz: u x, y, c u x, y ( λ ( λ ( i u x, y = u x, y, <0, aus FEM-Rechug ( ( = δ ( ud u x, y u x, y da O siehe ue also: = = λ, Gew. DGL.: Afagsverschiebug: uɺɺ cɺɺ u v c u u da cɺɺ = v λ c ( ( ( Lösug: c = a si ω + b cos ω, ω = v λ u0 ( x, y u ( x, y, = 0 = c0, u, Vorgegebe: u da uɺ 0 ( x, y uɺ ( x, y, = 0 = 0 also: c0, = b = u0 uda cɺ 0, = a = 0 Aahe zur Vereifachug ( (13 (14 ( Jauar 011

6 6 Für fiie Eleee: Ewiclug: Überlapp: also: ( ( u = ϕ, u = ( ( i i i i, 0 0, = 3 = 3 b ( ( ( ( u u da = ϕ ϕ da = D = D i i i i,, l l, l= 3 g Dl = δl 6 Massearix = D δ O u0 uda ɶ 0 D = = u u da D ϕ ( (16 Isgesa: i ud (,, = cos ( ω (, u x y b u x y ω = v λ b = D = D 0 0 (17

7 7 4. Freie Schrödiger-Gleichug i FEM Das Proble Asaz: Lösug: Schrödiger-Gleichug: ( x y = c ( u ( x y Asaz: ψ,,, ħ ħ (18 ψ ψ = i ( λ ( ( i u x, y = u x, y aus FEM-Rechug ( ( = δ ( ud u x, y u x, y da O siehe ue ħ ħ ħ also: ψ = cɺ u = λcu, uda i i Gew. DGL.: Lösug: ħ cɺ i ( ħ = λ c c = c0, e c E > 0 ie / ħ ( 0 (19 (0 Sarfeld: Vorgegebe zur Zei =0: ( x y = = ( x y = ( x y Wahrscheilicheisvereilug: ρ,, 0 ρ0, ψ 0, Ipuls: p Eifache Wahl: ψ = ρ e 0 0 ip x / ħ ( Jauar 011

8 8 Für fiie Eleee: Ewiclug: Überlapp: also: u, = 3 ψ = c 0 0, = 3 0, = u u da = D δ ϕ ϕ O ψ 0 uda ɶ 0 D = = u u da D ( siehe FEM-Dyai ( Isgesa: i ud ψ E c / (,, ie ħ x y = c e u ( x, y ħ = λ D 0, D 0 0 0, = = D D (3 Aweduge: Zerfließe eies ruhede Wirugsquaus ( p = 0 Propagaio ( p 0 Propagaio durch (Doppel-Spal