Auffrischungskurs Mathematik. für das Masterstudium Volkswirtschaft. Josef Leydold. Institute for Statistics and Mathematics WU Wien

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1 Auffrischungskurs Mathematik für das Masterstudium Volkswirtschaft Josef Leydold Institute for Statistics and Mathematics WU Wien Wintersemester 07/ Josef Leydold This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Austria License. To view a copy of this license, visit or send a letter to Creative Commons, 7 Second Street, Suite 300, San Francisco, California, 9405, USA. Einleitung Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Einleitung /

2 Vorkenntnisse Mathematische (und statistische) Vorkenntnisse der Studentinnen und Studenten des Masterprogramms Volkswirtschaft variieren sehr stark: Studierende mit Lehrveranstaltungen im Bachelorstudium mit Ausmaß von 5 ECTS Punkten. Studierende, die sich nicht daran erinnern können, ob sie überhaupt einen Mathematikkurs besucht haben oder nicht. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Einleitung / Wissenslücken Folgende Aufgaben bereiten erfahrungsgemäß besondere Probleme: das Zeichnen (oder Skizzieren) von Funktionsgraphen, Äquivalenzumformungen von Gleichungen, das Arbeiten mit Ungleichungen, die korrekte Handhabung von Bruchtermen, das Rechnen mit Exponenten und Logarithmen, das unnötige Ausmultiplizieren von Produkten, das Verwenden der mathematischen Notation. Die präsentierten Lösungen derartiger (Teil-) Aufgaben sind überraschend oft falsch. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Einleitung 3 / Lernziel Diese Lehrveranstaltung soll helfen, etwaige (Vor-) Wissenslücken zu schließen und das Vorwissen im Bereich Mathematik auf einem höheren Niveau anzugleichen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Einleitung 4 /

3 Ablauf der Lehrveranstaltung Wiederholung mathematischer Begriffe und Konzepte durch den Vortragenden. Gemeinsames Lösen von Aufgaben. Für eine positive Benotung ist Anwesenheit und eine aktive Mitarbeit an der Lösung der Aufgaben erforderlich. Kein Test. Der Stoff wird nicht immer linear präsentiert. (Auffrischungskurs) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Einleitung 5 / Die Lösung einer Aufgabe Eine Aufgabe ist erst dann gelöst, wenn die Frage also solche beantwortet ist. Sie sollen damit zeigen, dass Sie in der Lage sind, die richtigen Schlüsse aus Ihren Rechnungen zu ziehen. Fragmente von Rechnungen, die irgendwo beginnen und nirgendwo enden sind keine (Teil-) Lösung einer Aufgabe. (Die Erstellung einer Kolonne von Zahlen ist ja auch keine vollständige Rechnungsprüfung.) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Einleitung 6 / Maxima Computer Algebra System (CAS) Maxima ist ein so genanntes Computer Algebra System (CAS), d.h. man kann damit u.a. algebraische Ausdrücke manipulieren, Gleichungen, die Parameter enthalten, lösen, Funktionsterme symbolisch differenzieren oder integrieren, abstrakte Matrixalgebra betreiben, Graphen von Funktionen in ein oder zwei Variablen darstellen,... Das Programm wxmaxima bietet eine graphische Benutzeroberfläche: Auf der Webseite dieser Lehrveranstaltung finden Sie das Skriptum Introduction to Maxima for Economics. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Einleitung 6 /

4 Inhaltsverzeichnis Einleitung Motivation Computer Algebra System (CAS) Inhaltsverzeichnis Mengen und Abbildungen Mengen Abbildungen Terme Terme Summensymbol Absolutbetrag Potenz und Wurzel Polynome Rationale Terme Exponent und Logarithmus Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Einleitung 7 / Inhaltsverzeichnis / Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Lineare Gleichung Betragsgleichung Gleichungen mit Exponenten und Logarithmus Potenz- und Wurzelgleichungen Algebraische Gleichung Ungleichungen Folgen und Reihen Folgen Grenzwert Arithmetische und geometrische Folge Rentenrechnung Reelle Funktionen Reelle Funktionen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Einleitung 8 / Inhaltsverzeichnis / 3 Der Funktionsgraph Bijektivität Spezielle Funktionen Elementare Funktionen Funktionen in mehreren Variablen Implizite Funktionen Wege Allgemeine reelle Funktionen Grenzwert und Stetigkeit Grenzwert einer Funktion Regel von de l Hospital Stetigkeit Differentialrechnung Differentialquotient Ableitung Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Einleitung 9 /

5 Inhaltsverzeichnis / 4 Differential Elastizität Partielle Ableitung Gradient Totales Differential Jacobische Matrix Monotonie, Konkavität und Extrema Monotonie Krümmung Extrema Integration Stammfunktion Riemann-Integral Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Einleitung 0 / Viel Erfolg! Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Einleitung / Kapitel Mengen und Abbildungen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen / 38

6 Mengen Der Begriff der Menge ist fundamental für die moderne Mathematik. Wir begnügen uns mit einer höchst einfachen Definition. Eine Menge ist eine Sammlung von unterscheidbaren Objekten. Ein Objekt a einer Menge A heißt Element der Menge: a A Mengen werden durch Aufzählung oder Beschreibung ihrer Elemente in geschwungenen Klammern {...} definiert. A = {,, 3, 4, 5, 6} B = {x x ist eine natürliche Zahl und durch teilbar} Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen / 38 Wichtige Mengen Symbol Beschreibung leere Menge (nur in der Schule: {}) N natürliche Zahlen {,, 3,...} Z ganze Zahlen {..., 3,,, 0,,, 3,...} Q rationale Zahlen, Bruchzahlen { k n k, n Z, n = 0} R reelle Zahlen [ a, b ] abgeschlossenes Intervall {x R a x b} ( a, b ) offenes Intervall {x R a < x < b} [ a, b ) halboffenes Intervall {x R a x < b} C komplexe Zahlen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 3 / 38 Venn-Diagramme Beim Arbeiten mit Mengen nimmt man meist an, dass alle betrachteten Mengen Teilmengen einer vorgegebenen Obermenge Ω sind. Mengen können durch so genannte Venn-Diagramme dargestellt werden. Die Obermenge wird durch ein Rechteck, die einzelnen Mengen durch Kreise oder Ovale dargestellt. A Ω Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 4 / 38

7 Teilmenge Eine Menge A heißt Teilmenge von B, A B, falls jedes Element von A auch Element von B ist, formal: x A x B. A B B Ω Eine Menge A heißt echte Teilmenge von B, A B, falls A B und A = B. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 5 / 38 Aufgabe. Welche der folgenden Mengen ist Teilmenge von A = {x x R und 0 < x < 00}: (a) {x x R und 0 < x 00} (b) {x x R und x = } (c) {x x R und 4π < x < 8} (d) {x x R und 0 < x < 00} Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 6 / 38 Lösung. (a) keine Teilmenge; (b) keine Teilmenge; da Menge = {, }; (c) Teilmenge; (d) keine Teilmenge. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 7 / 38

8 Mengenverknüpfungen Symbol Definition Bezeichnung A B {x x A und x B} Durchschnitt A B {x x A oder x B} Vereinigung A \ B {x x A und x B} Mengendifferenz A Ω \ A Komplement Zwei Mengen A und B heißen disjunkt falls A B =. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 8 / 38 Mengenverknüpfungen A B A B B A B Ω Ω A A \ B B A A Ω Ω Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 9 / 38 Aufgabe. Die Obermenge Ω = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} hat die Teilmengen A = {, 3, 6, 9}, B = {, 4, 6, 0} und C = {3, 6, 7, 9, 0}. Zeichnen Sie das Venn-Diagramm und bilden Sie die Mengen, die durch die folgenden Ausdrücke definiert sind: (a) A C (b) A B (c) A \ C (d) A (e) (A C) B (f) (A B) \ C (g) (A C) B (h) (A \ B) (A \ C) (i) (A B) (A C) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 0 / 38

9 Lösung. (a) {, 3, 6, 7, 9, 0}; (b) {6}; (c) {}; (d) {, 4, 5, 7, 8, 0}; (e) {6, 0}; (f) {, 4, 5, 8}; (g) {, 4}; (h) {5, 8}; (i) {3, 6, 9}. A B C 5 Ω Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen / 38 Aufgabe.3 Zeichnen Sie im zugehörigen Venn-Diagramm die Lösungsmenge von (A B) (A B). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen / 38 Lösung.3 A. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 3 / 38

10 Rechenregeln für Mengenverknüpfungen Regel A A = A A = A Bezeichnung Idempotenz A = A und A = Identität (A B) C = A (B C) und (A B) C = A (B C) Assoziativität A B = B A und A B = B A Kommutativität A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C) Distributivität A A = Ω und A A = und A = A Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 4 / 38 Gesetz von De Morgan (A B) = A B und (A B) = A B A B A B Ω Ω Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 5 / 38 Aufgabe.4 Vereinfachen Sie den folgenden Mengenausdruck: (A B) (A B). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 6 / 38

11 Lösung.4 A. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 7 / 38 Aufgabe.5 Vereinfachen Sie die folgenden Mengenausdrücke: (a) (A B) B (b) (A B) (A B) (c) ((A B) (A B)) A (d) (C B) (C B) (C B) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 8 / 38 Lösung.5 (a) A B; (b) A; (c) ; (d) C. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 9 / 38

12 Cartesisches Produkt Die Menge A B = {(x, y) x A, y B} heißt das Cartesisches Produkt der Mengen A und B. Im allgemeinen gilt: A B = B A. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 0 / 38 Cartesisches Produkt Das Cartesische Produkt aus A = {0, } und B = {, 3, 4} ist A B = {(0, ), (0, 3), (0, 4), (, ), (, 3), (, 4)}. Das Cartesische Produkt aus A = [, 4] und B = [, 3] ist A B = {(x, y) x [, 4] und y [, 3]}. 3 B = [, 3] A B A = [, 4] Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen / 38 Aufgabe.6 Beschreiben Sie das Cartesische Produkt aus (a) A = [0, ] und P = {}. (b) A = [0, ] und Q = {(x, y) : 0 x, y }. (c) A = [0, ] und O = {(x, y) : 0 < x, y < }. (d) A = [0, ] und C = {(x, y) : x + y }. (e) A = [0, ] und R. (f) Q = {(x, y) : 0 x, y } und Q = {(x, y) : 0 x, y }. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen / 38

13 Lösung.6 (a) die Strecke zwischen (0, ) und (, ) im R ; (b) der abgeschlossene Würfel [0, ] 3 im R 3 ; (c) der halboffene Würfel [0, ] (0, ) im R 3 ; (d) Zylinder im R 3 ; (e) unbeschränkter Streifen im R ; (f) der abgeschlossene Würfel [0, ] 4 im R 4. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 3 / 38 Abbildung Eine Abbildung f ist definiert durch (i) eine Definitionsmenge D, (ii) eine Wertemenge W und (iii) eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element von D f genau ein Element von W f zuordnet. f : D f W f, x y = f (x) x heißt unabhängige Variable, y heißt abhängige Variable. y ist das Bild von x, x ist das Urbild von y. f (x) heißt Funktionsterm, x heißt Argument der Abbildung. Andere Bezeichnungen: Funktion, Transformation Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 4 / 38 Aufgabe.7 Wie lauten Definitionsmenge, Wertemenge, Bildmenge, Funktionsterm, abhängige Variable, unabhängige Variable, der Abbildung ϕ : [0, ) R, x y = x α für α > 0? Wie heißt diese Abbildung? Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 5 / 38

14 Lösung.7 Abbildung ϕ: Definitionsmenge = [0, ); Wertemenge = R; Bildmenge = [0, ); Funktionsterm ϕ(x) = x α ; abhängige Variable = x; unabhängige Variable = y. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 6 / 38 Injektiv surjektiv bijektiv Jedes Argument besitzt immer genau ein Bild. Die Anzahl der Urbilder eines Elementes y W kann jedoch beliebig sein. Wir können daher Funktionen nach der Anzahl der Urbilder einteilen. Eine Abbildung f heißt injektiv, wenn jedes Element aus der Wertemenge höchstens ein Urbild besitzt. Sie heißt surjektiv, wenn jedes Element aus der Wertemenge mindestens ein Urbild besitzt. Sie heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Injektive Abbildungen haben die folgende wichtige Eigenschaft: f (x) = f (y) x = y Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 7 / 38 Injektiv surjektiv bijektiv Abbildungen können durch Pfeildiagramme veranschaulicht werden. D f W f D f W f D f W f injektiv surjektiv bijektiv (nicht surjektiv) (nicht injektiv) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 8 / 38

15 Aufgabe.8 Beschreiben die folgenden Diagramme Abbildungen? Wenn ja, ist die jeweilige Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv? D W D W D W D W (a) (b) (c) (d) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 9 / 38 Lösung.8 (a) keine Abbildung; (b) bijektive Abbildung; (c) Abbildung, weder injektiv noch surjektiv; (d) injektive Abbildung, nicht surjektiv. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 30 / 38 Aufgabe.9 Beschreiben die folgenden Strukturen Abbildungen? Wenn ja, ist die jeweilige Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv? (a) f : [0, ) R, x x (b) f : [0, ) R, x x (c) f : [0, ) [0, ), x x (d) f : [0, ) R, x {y R: y = x } (e) f : [0, ) R, x {y R: x = y } (f) f : [0, ) [0, ), x {y R: x = y } Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 3 / 38

16 Lösung.9 (a) injektiv; (b) keine Abbildung, da 0 nicht definiert; (c) bijektiv; (d) injektiv, äquivalent zu (a); (e) keine Abbildung, da 4 = = ( ) ; (f) bijektiv, da äquivalent zu y = x. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 3 / 38 Aufgabe.0 Sei P k = { k i=0 a ix i : a i R} die Menge aller Polynome in x vom Grad kleiner gleich k. Beschreiben die Strukturen Abbildungen (für n )? Wenn ja, ist die jeweilige Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv? (a) D : P n P n, p(x) dp(x) dx (b) D : P n P n, p(x) dp(x) dx (c) D : P n P n, p(x) dp(x) dx Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 33 / 38 Lösung.0 (a) Abbildung, weder injektiv (5 = 3 = 0) noch surjektiv; (b) surjektiv.keine Abbildung, da 0 nicht definiert; (e) keine Abbildung, da (x n ) = nx n / P n. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 34 / 38

17 Zusammengesetzte Funktion Seien f : D f W f und g : D g W g Funktionen mit W f D g. Dann heißt die Funktion g f : D f W g, x (g f )(x) = g( f (x)) zusammengesetzte Funktion ( g zusammengesetzt f ). D f W f D g W g f g g f Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 35 / 38 Inverse Abbildung Bei einer bijektiven Abbildung f : D f W f können wir jedem y W f sein Urbild x D f zuordnen. Wir erhalten dadurch wieder eine Abbildung f mit der Definitionsmenge W f und der Wertemenge D f : f : W f D f, y x = f (y) Diese Abbildung heißt Umkehrfunktion oder inverse Abbildung. Sie hat die Eigenschaft, dass für alle Elemente x D f und y W f gilt: f ( f (x)) = f (y) = x und f ( f (y)) = f (x) = y Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 36 / 38 Inverse Abbildung f D f W f f W f D f Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 37 / 38

18 Identische Abbildung Die einfachste Funktion ist die Einheitsfunktion (oder identische Abbildung id, die das Argument auf sich selbst abbildet, d.h. id: D W = D, x x Die Einheitsfunktion bei zusammengesetzten Abbildungen die Rolle der Zahl bei der Multiplikation von Zahlen. Insbesondere gilt: f id = f und id f = f f f = id: D f D f und f f = id: W f W f Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Mengen und Abbildungen 38 / 38 Kapitel Terme Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme / 74 Terme Ein mathematischer Ausdruck wie B = R q n q n (q ) oder (x + )(x ) = x heißt eine Gleichung. Die Ausdrücke auf beiden Seiten des = -Zeichens heißen Terme. Sie enthalten Zahlen, Konstante (das sind Symbole, die einen fixen Wert repräsentieren), und Variable (für die ein beliebiger Wert eingesetzt werden kann). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme / 74

19 Wertebereich Beim Rechnen mit Termen muss darauf geachtet werden, für welche Werte der Variablen der Ausdruck definiert ist. x ist nur für x R \ {} definiert. x + nur für x definiert. Die Menge aller erlaubten Variablenwerte heißt der Definitionsbereich des Terms. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 3 / 74 Summensymbol Terme, die viele Summanden enthalten, die gesetzmäßig zusammenhängen, lassen sich durch die Verwendung des Summensymbols vereinfachen: n a i = a + a + + a n i= lies: Summe über a i von i = bis i = n Wir können das Summensymbol auf der linke Seite auch als Abkürzung für die rechte Seite interpretieren. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 4 / 74 Summensymbol Die Summe der ersten 0 natürlichen Zahlen größer ist in verschiedenen Notationen: 0 i= ( + i) = ( + ) + ( + ) + ( + 3) + + ( + 0) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 5 / 74

20 Summensymbol Rechnen Beim Rechnen mit dem Summensymbol gelten die üblichen Regeln der Arithmetik wie Assoziativgesetz und Distributivgesetz. n a i = n a k i= k= n a i + n b i = n (a i + b i ) i= i= i= n c a i = c n b i i= i= Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 6 / 74 Summensymbol Rechnen Vereinfache Lösung: n i= n i= = = = (a i + b i ) (a i + b i ) n i= n i= n i= (a i + b i ) n a n j bk j= k= n a n j bk j= k= n i= a i ( (ai + b i ) a i bi ) a i b i n bi i= Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 7 / 74 Aufgabe. Berechne: (a) (b) (c) 5 a i b 5 i i=0 5 i= n i= (a i a i+ ) (a i a i+ ) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 8 / 74

21 Lösung. (a) b 5 + ab 4 + a b 3 + a 3 b + a 4 b + a 5 ; (b) a a 5 ; (c) a a n. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 9 / 74 Aufgabe. Welche der Lösungen für den Ausdruck ist richtig? 0 i= (a) 5( ) 5(i + 3) (b) 5( ) (c) 5( ) (d) 5( ) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 0 / 74 Lösung. (b) und (d). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme / 74

22 Aufgabe.3 Vereinfache die folgenden Summenausdrücke: (a) (b) (c) n a i + i= n i= n i= n b n j (a k b k ) j= k= (a i b n i+ a n i+ b i ) (x i + y i ) + n j= (x j y j ) (d) n j=0 x j n x i i= Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme / 74 Lösung.3 (a) n i= a ib i ; (b) 0; (c) n i= (x i + y i ); (d) x 0 x n. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 3 / 74 Aufgabe.4 Arithmetisches Mittel (Mittelwert) x = n und Varianz σ = n n x i i= n i= (x i x) dienen als Lage- und Streumaß in der Statistik. Zur Berechnung von σ wird der Verschiebungssatz aus der Statistik verwendet: σ = n n xi x i= Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 4 / 74

23 Aufgabe.4 / Verifiziere: für σ = n (a) n =, (b) n = 3, n i= (c) n beliebig. (x i x) = n n xi x i= Hinweise: Zeige, dass n i= (x i x) ( n i= x i n x ) = 0. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 5 / 74 Lösung.4 (a) ( (x x) + (x x) ) (( x + x ) x ) = x x x + x + x x x + x x x + x = x x + x x x + x + x = (x + x ) x + 4 x = ( x) x + 4 x = 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 6 / 74 Lösung.4 / (c) n i= n = i= (x i x) ( x i n i= n i= x i n x ) x i x + n x = (n x) x + n x = 0 n i= x i + n x Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 7 / 74

24 Aufgabe.5 Sei µ der wahre Wert eines metrischen Merkmals. Dann heißt MSE = n n i= (x i µ) der mittlere quadratische Fehler (mean square error) der Messung dieses Merkmals. Verifiziere: MSE = σ + ( x µ) i.e., der MSE setzt sich zusammen aus einem zufälligen Fehler (Varianz der Messung), und einem systematischen Messfehlers (Verzerrung, bias). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 8 / 74 Lösung.5 n n i= (x i µ) ( σ + ( x µ) ) = n n i= ((x i x) + ( x µ)) σ ( x µ) = n n i= (x i x) + n n ( x µ) i= n n i= (x i x)( x µ) σ ( x µ) = n n i= (x i x)( x µ) = n ( x µ) n i= (x i x) ( ) = ( x µ) n n i= x i n n x = ( x µ) ( x x) = 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 9 / 74 Absolutbetrag Der Absolutbetrag x einer Zahl gibt den Abstand zum Nullpunkt an: x = { x für x 0, x für x < 0. 5 = 5 und 3 = ( 3) = 3. Es gilt x y = x y Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 0 / 74

25 Potenz Die n-te Potenz von x ist definiert durch Dabei heißt x die Basis, und n der Exponent von x n. x n = x x... x }{{} n Faktoren Für negative Exponenten gilt: x n = x n Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme / 74 Wurzel Eine Zahl y heißt die n-te Wurzel n x von x, falls y n = x. Das Ziehen der n-ten Wurzel stellt somit die umgekehrte Operation des Potenzierens dar. Wir schreiben kurz x für die Quadratwurzel x. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme / 74 Rationale Potenz Rationale Potenzen sind definiert als: x m = m x für m Z und x 0. Wichtig: Bei nicht-ganzzahligen Exponenten muss die Basis größer oder gleich 0 sein. Potenzen lassen sich auch auf irrationale Exponenten erweitern. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 3 / 74

26 Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln x n = x n x 0 = (x = 0) x n+m = x n x m x m = m x (x 0) x n m = xn x m x n m = m x n (x 0) (x y) n = x n y n x n m = m x n (x n ) m = x n m (x 0) Achtung! 0 0 ist nicht definiert! Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 4 / 74 Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln = (5 6 ) 3 = 5 (6 3 ) = = 5 = 5 ( 3 5) 6 = (5 3 ) 6 = 5 ( 3 6) = = 5 = = 5 = = = 65 5 = 5 5 = 5 0 = 5 = 5 5 = 5 5 = Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 5 / 74 Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln (x y)4 x y 3 = x4 y 4 x ( ) y 3 = x 6 y ( x ) 3 (3y) (4 x y) (x 3 y) = 3 x 3 3 y 8 4 x y x 3 y = 9 x6 y 6 x 7 y 3 = 8 x6 7 y 3 = 8 x y 5 = 8 x y 5 ( ) 3 x 3 y = 3 3 x 3 3 y 3 = 7 x y 4 = 7 x y 4 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 6 / 74

27 Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln Achtung! x ist nicht gleich ( x) (x + y) n ist nicht gleich x n + y n x n + y n kann (im Allgemeinen) nicht vereinfacht werden! Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 7 / 74 Aufgabe.6 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: (a) (xy) 3 x 6 y 3 = (b) ( x) 3 = ( ) 6 x 3 = (c) x 6 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 8 / 74 Lösung.6 (a) x 6 y 3 ; (b) x 3 4 ; (c) x. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 9 / 74

28 Monom Ein Monom ist ein Produkt von Konstanten und Variablen mit nichtnegativen ganzzahligen Potenzen. Der Grad eines Monoms ist die Summe der Exponenten im Ausdruck. 6 x ist ein Monom. Grades. 3 x 3 y und x y z sind Monome 4. Grades. x und 3 x y sind keine Monome Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 30 / 74 Polynom Ein Polynom ist die Summe von ein oder mehreren Monomen. Der Grad (oder die Ordnung) eines Polynoms ist der größte Grad unter den einzelnen Monomen. 4 x y 3 x 3 y + 4 x + 7 y ist ein Polynom 5. Grades. Summendarstellung: P(x) = n a i x i = a n x n + a n x n + + a x + a 0 i=0 wobei x die Variable und die a i Konstanten sind. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 3 / 74 Binomischer Lehrsatz (x + y) n = n k=0 ( ) n x n k y k k wobei ( ) n = k n! k! (n k)! der Binomialkoeffizient (lies: n über k ) und n! =... n die Fakultät von n (lies: n-faktorielle ) ist. Per Definition ist 0! =. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 3 / 74

29 Binomialkoeffizient Es gilt: ( ) n = k ( ) n! n k! (n k)! = n k Berechnung: ( ) n n (n )... (n k + ) = k k (k )... Der Binomialkoeffizient ist die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 33 / 74 Binomischer Lehrsatz (x + y) = (x + y) 3 = ( ) x + 0 ( ) 3 x ( ) xy + ( ) 3 x y + = x 3 + 3x y + 3xy + y 3 ( ) y = x + xy + y ( ) 3 xy + ( ) 3 y 3 3 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 34 / 74 Multiplikation Das Produkt zweier Polynome von Grad n und m ergibt ein Polynom vom Grad n + m. ( x + 3 x 5) (x 3 x + ) = = x x 3 + x ( x) + x + 3 x x x ( x) + 3 x + ( 5) x 3 + ( 5) ( x) + ( 5) = x x 4 9 x 3 4 x + 3 x 5 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 35 / 74

30 Dividieren Die Division zweier Polynome geschieht in analoger Weise wie die Division natürlicher Zahlen. ( x 3 + x + 0 x ) : (x ) = x + x + x (x ) x 3 x x + 0 x x (x ) x x x (x ) x Wir erhalten daher x 3 + x = (x ) (x + x + ). Falls der Divisor kein Faktor des Dividenden ist, erhalten wir einen Divisionsrest. 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 36 / 74 Faktorisieren Die Zerlegung eines Polynoms in ein Produkt von Polynomen niedrigerer Ordnung (Faktor) heißt Faktorisierung. x + 4 x y + 8 x y 3 = x (x + y + 4 y 3 ) x y = (x + y) (x y) x = (x + ) (x ) x + x y + y = (x + y) (x + y) = (x + y) x 3 + y 3 = (x + y) (x x y + y ) Einfache Verifikation durch Ausmultiplizieren der rechten Seite. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 37 / 74 Der Ausmultiplizierreflex Achtung! Das Faktorisieren eines Polynoms ist oft sehr schwierig während das Ausmultiplizieren immer rasch und einfach geht. Die Faktoren eines Polynoms enthalten aber mehr Informationen als die ausmultiplizierte Form. (Auf dieses Prinzip bauen kryptographische Methoden mit privatem und öffentlichem Schlüssel auf.) Meiner Erfahrung nach besitzen aber viele Studentinnen und Studenten einen antrainierten Ausmultiplizierreflex: Alles wird zuallererst (und gedankenlos) ausmultipliziert (und dabei oft einfache Probleme in schwierige verwandelt). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 38 / 74

31 Der Ausmultiplizierreflex Zügeln Sie Ihren Ausmultiplizierreflex! Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 39 / 74 Linearer Term Ein Polynom ersten Grades wird auch als linearer Term bezeichnet. a + b x + y + a c ist ein linearer Term in x und y, falls wir a, b und c als Konstante auffassen. xy + x + y ist nicht linear, da xy Grad besitzt. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 40 / 74 Linearfaktor Ein Faktor (Polynom). Grades wird als Linearfaktor bezeichnet. Für Polynome in einer Variable mit der Nullstelle x erhalten wir mit (x x ) einen Linearfaktor. Wenn ein Polynom n-ten Grades P(x) = n i=0 a i x i die n reellen Nullstellen x, x,..., x n besitzt, so lässt sich dieses Polynom als Produkt der n Linearfaktoren (x x i ) zerlegen: P(x) = a n n i= (x x i ) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 4 / 74

32 Aufgabe.7 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: (a) (x + h) (x h) = (b) (a + b)c (a + bc) = (c) (A B)(A + AB + B ) = (d) (x + y) 4 (x y) 4 = Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 4 / 74 Lösung.7 (a) 4xh; (b) a(c ); (c) A 3 B 3 ; (d) 8xy(x + y ). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 43 / 74 Aufgabe.8 (a) Geben Sie ein Polynom 4. Grades mit den Nullstellen,, 3 und 4 an. (b) Wie lautet die Menge aller Polynome mit diesen Nullstellen? (c) Kann so ein Polynom noch andere Nullstellen haben? Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 44 / 74

33 Lösung.8 Alle Polynome 4. Grades mit diesen Nullstellen haben die Form c (x + ) (x ) (x 3) (x 4) mit c = 0. Ein Polynom 4. Grades kann nicht mehr als 4 Nullstellen haben. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 45 / 74 Aufgabe.9 Zeigen Sie, dass n k=0 ( ) n = n k Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 46 / 74 Lösung.9 Durch direktes Ausrechnen von n = ( + ) n mittels Binomischen Lehrsatzes. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 47 / 74

34 Bruchterm Ein rationaler Term (Bruchterm) ist ein Ausdruck der Form P(x) Q(x) wobei P(x) und Q(x) Polynome sind und Zähler bzw. Nenner heißen. Der Definitionsbereich eines Bruchterms ist R ohne die Nullstellen des Nenners. Eine alternative Schreibweise ist P(x)/Q(x). x + x 4 x ist ein Bruchterm mit Definitionsbereich R \ { 3 5}. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 48 / 74 Rechenregeln für Brüche und Bruchterme Seien b, c, e = 0. c a c b = a b a b = c a c b a b d c = a d b c a b : e c = a b c e a b e c = a c b e Kürzen Erweitern Multiplizieren Dividieren Doppelbruch Auflösen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 49 / 74 Rechenregeln für Brüche und Bruchterme Seien b, c = 0. a b + d b = a + d b a b + d c = a c + d b b c Addition bei gleichem Nenner Addition Wichtig! Bei der Addition immer zuerst auf gemeinsamen Nenner bringen! Achtung! Der Ausdruck 0 0 ist nicht definiert. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 50 / 74

35 Rechenregeln für Brüche und Bruchterme x x + = (x + )(x ) x + = x 4 x3 + x x y = x ( x + ) x y = x( x + ) y x + x + x x + = (x + ) + (x ) (x )(x + ) = x + x + + x x + (x )(x + ) = x + x Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 5 / 74 Rechenregeln für Brüche und Bruchterme Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass beim Rechnen mit Bruchtermen immer wieder eklatante Rechenfehler passieren! Die folgenden Beispiele für derartige Irrtümer stammen aus der Prüfungspraxis des Autors. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 5 / 74 Rechenregeln für Brüche und Bruchterme Achtung! a + c b + c x a + y b a b + c ist nicht gleich ist nicht gleich ist nicht gleich a b x + y a + b a b + a c x + y + = x y + 3 = 5. x + y = x + y Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 53 / 74

36 Aufgabe.0 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: (a) (b) (c) + x + x = s st t 3 s st t = x + y xy + xz + y(z x) = (d) x+y y x y x + x+y x x y y = Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 54 / 74 Lösung.0 (a) (d) st ; (c) x x ; xyz ; (d) (x +y )(x+y). xy(x y) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 55 / 74 Aufgabe. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: (a) y(xy + x + ) x y x y = (b) x +y x+ xy x+y = (c) a x b x+ a x+ + b x = (d) x y 4xy x 4y + x x + y = Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 56 / 74

37 Lösung. (a) xy; (b) (x +y)(x+y) (x+) xy ; (c) x(a b)+a x(a+b)+b ; (d) x. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 57 / 74 Aufgabe. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: (a) x 4 y 3 x 8 + y 6 = (b) x 4 x 4 = (c) x 7 x 7 = Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 58 / 74 Lösung. (a) x 8 y 6 ; (b) x 4 + ; (c) x 5 4. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 59 / 74

38 Aufgabe.3 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: (a) (b) (c) (d) ( x + y) 3 x 6 3 x + 3 x (xy) 6 3 (xy) 3 9 = x y x y = x = Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 60 / 74 Lösung.3 (a) ( + y x ) 3 ; (b) (c) 3x 3 ; (xy) 6 +3 (d) x + y. ; Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 6 / 74 Exponent und Logarithmus Eine Zahl y heißt Logarithmus von x zur Basis a, falls a y = x. Der Logarithmus ist der Exponent einer Zahl bezüglich einer Basis a. Wir schreiben dafür y = log a (x) x = a y Wichtige Logarithmen: natürlicher Logarithmus ln(x) zur Basis e =, (Eulersche Zahl) dekadischer Logarithmus lg(x) zur Basis 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 6 / 74

39 Exponent und Logarithmus log 0 (00) =, da 0 = 00 ( log ) = 3, da 0 3 = 000 log (8) = 3, da 3 = 8 log (6) = 8, da 8 = 8/ = 4 = 6 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 63 / 74 Rechnen mit Exponenten und Logarithmus Umrechnungsformel: a x = e x ln(a) log a (x) = ln(x) ln(a) log (3) = ln(3) ln() = 4, 884 = 6, , Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 64 / 74 Rechnen mit Exponenten und Logarithmus Achtung: Oft schreibt man nur log(x) ohne Angabe der Basis. In diesem Fall ist (sollte) die verwendete Basis aus dem Zusammenhang oder einer Konvention ersichtlich (sein). Im mathematischen Bereich: natürlicher Logarithmus Finanzmathematik, Programme wie R, Mathematica, Maxima,... Im technischen Bereich: dekadischer Logarithmus Wirtschaftswissenschaften, Taschenrechner, Excel,... Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 65 / 74

40 Rechenregeln für Exponenten und Logarithmus a x+y = a x a y a x y = ax a y log a (x y) = log a (x) + log a (y) log a ( x y ) = log a (x) log a (y) (a x ) y = a x y log a (x β ) = β log a (x) (a b) x = a x b x a log a (x) = x log a (a x ) = x a 0 = log a () = 0 log a (x) ist (innerhalb der reellen Zahlen) nur für x > 0 definiert! Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 66 / 74 Aufgabe.4 Berechnen Sie ohne Taschenrechner: (a) log () = (b) log (4) = (c) log (6) = (d) log (0) = (e) log () = (f) log ( 4) = (g) log ( ) = (h) log ( ) = (i) log ( 4) = Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 67 / 74 Lösung.4 (a) ; (b) ; (c) 4; (d) nicht definiert; (e) 0; (f) ; (g) ; (h) ; (i) nicht reell. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 68 / 74

41 Aufgabe.5 Berechnen Sie ohne Taschenrechner: (a) log 0 (300) = (b) log 0 (3 0 ) = Verwenden Sie log 0 (3) = 0, 477. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 69 / 74 Lösung.5 (a), 477; (b) 4, 77. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 70 / 74 Aufgabe.6 Berechnen (vereinfachen) Sie ohne Taschenrechner: (a) 0,0 log 0 (00) = (b) log 5 ( 5) = (c) 0 3 log 0 (3) = (d) log 0 (00) log 7 (49) = (e) log 8 ( 5) = (f) log 3 (8) = Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 7 / 74

42 Lösung.6 (a) 0 000; (b) 4; (c) 7; (d) log 0 () 4 ; (e) 3; (f) 4. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 7 / 74 Aufgabe.7 Schreiben Sie in der Form y = A e cx (i.e., bestimmen Sie A und c): (a) y = 0 x (b) y = 4 x+ (c) y = 3 x 5 x (d) y =,08 x x (e) y = 0,9, x 0 (f) y = q x/ Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 73 / 74 Lösung.7 (a) y = 0 ex ln 0 : (b) y = 6 e x ln 4 ; (c) y = e x(ln 3+ln 5) ; (d) y = e x ln,08 ; (e) y = 0,9 e x 0 ln, ; (f) y = q e x ln. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 Terme 74 / 74

43 Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen / 58 Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme. linke Seite = rechte Seite Grundmenge: Menge aller Zahlen, die wir als Lösung der Gleichung zulassen. (Im folgenden: R oder [0, )) Definitionsbereich: Durchschnitt aller Definitionsmengen der Terme der Gleichung. Lösungsmenge: Menge aller Zahlen aus dem Definitionsbereich, die diese Gleichung erfüllen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen / 58 Äquivalenzumformung Zum Lösen einer Gleichung versuchen wir die gesuchte Größe durch Äquivalenzumformung auf einer Seite der Gleichung zu isolieren. Addieren oder Subtrahieren einer Zahl oder eines beliebigen Term auf beiden Seiten der Gleichung Multiplizieren beider Seiten mit einer Zahl oder Term ungleich Null. Dividieren beider Seiten durch eine Zahl oder Term ungleich Null. Logarithmieren oder Exponenzieren beider Seiten. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 3 / 58

44 Fehlerquellen Achtung! Beim Logarithmieren muss darauf geachtet werden, dass beide Seiten größer Null sind. Achtung! Ein Term, der die gesuchte Variable enthält, kann auch Null werden. Beim Multiplizieren erhält man möglicherweise eine zusätzliche falsche Lösung. Beim Dividieren verliert man möglicherweise eine Lösung. Achtung! Beim Kürzen eines Bruchterms muss darauf geachtet werden, dass die Nullstellen des Nenners nicht zum Definitionsbereich des Bruchterms gehören. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 4 / 58 Multiplizieren Durch Multiplizieren von x + x x = mit (x ) erhalten wir x + x = x mit der Lösungsmenge L = {, }. x = ist aber nicht im Definitionsbereich von x + x und daher x keine Lösung der (ursprünglichen) Gleichung. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 5 / 58 Dividieren Wenn wir die Gleichung (x )(x ) = 0 (Lösungsmenge L = {, }) durch (x ) dividieren erhalten wir die Gleichung x = 0 (Lösungsmenge L = {}) Die Lösung x = geht durch das Dividieren verloren. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 6 / 58

45 Dividieren Achtung Beim Dividieren ist eine Fallunterscheidung durchzuführen:. Fall: Die Division ist erlaubt (der Divisor ist ungleich Null).. Fall: Die Division ist nicht erlaubt (der Divisor ist gleich Null). Lösung von (x )(x ) = 0: Fall x = 0: Wir erhalten durch Dividieren die Lösung x =. Fall x = 0: Daraus folgt die Lösung x =. Wir werden später noch eine bessere Methode für diese Gleichung kennen lernen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 7 / 58 Dividieren { x y x = 0 x + y = Erste Gleichung: Addition und Division ergibt x y = x y = x x = Und daher x = ±. Vermeintliche Lösungsmenge L = {(, ), (, )}. Aber: Division ist nur erlaubt, falls x = 0 ist. x = 0 erfüllt aber ebenfalls die erste Gleichung. Tatsächliche Lösungsmenge L = {(, ), (, ), (0, ), (0, )}. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 8 / 58 Faktorisieren Es ist oft besser einen Term zu Faktorisieren anstatt zu Dividieren. { x y x = 0 x + y = Erste Gleichung x (y ) = 0 impliziert x = 0 oder y = 0 (oder beides). Fall x = 0: y = ± Fall y = 0: y = und x = ±. Lösungsmenge L = {(, ), (, ), (0, ), (0, )}. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 9 / 58

46 Verifizieren Wenn eine (angebliche) Lösung einer Gleichung vorliegt, ist es meist einfach diese durch Einsetzen zu verifizieren ( Probe ). Wenn Sie unsicher sind, machen Sie die Probe. Hinweis: Falls Sie in einer Aufgabe eine angegebene Lösung verifizieren sollen, machen sie einfach die Probe. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 0 / 58 Aufgabe 3. Wie müssen die Konstanten a, b und c gewählt werden, damit die folgenden Gleichungen für alle x erfüllt sind: (a) (b) x + x x = a + bx + cx + x x x + x x + x + 3 a(x b) = x + 3 x + c Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen / 58 Lösung 3. (a) a =, b = 0, c = ; (b) a = 3, b =, c = 3. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen / 58

47 Lineare Gleichung Lineare Gleichungen enthalten nur lineare Terme und sind (fast) immer lösbar. Aus der Barwertformel für eine nachschüssige Rente B n = R q n q n (q ) soll die Rente R ausgedrückt werden. Da R nur in. Potenz vorkommt, müssen wir eine lineare Gleichung lösen. Durch Division durch die Konstante qn ( = q n 0) erhalten wir als (q ) Lösung: R = B n qn (q ) q n Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 3 / 58 Betragsgleichung Eine Gleichung mit Absolutbetrag können wir als eine Abkürzung für zwei Gleichungen sehen: x = x = oder x = Lösung von x 3 = x +. Alle Lösungen von jeder der beiden Gleichungen: (x 3) = (x + ) x = 4 (x 3) = (x + ) x = 3 (Die Gleichungen (x 3) = (x + ) und (x 3) = (x + ) sind äquivalent.) Die Lösungsmenge lautet daher L = { 3, 4}. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 4 / 58 Aufgabe 3. Lösen Sie die folgenden Gleichungen: (a) x(x ) = (b) x + = x (c) x x + = Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 5 / 58

48 Lösung 3. (a) {,, + }; (b) {, 0, }; (c) {3} ( nicht im Definitionsbereich). Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 6 / 58 Gleichungen mit Exponenten Wenn die gesuchte Variable im Exponenten lassen sich (manchmal) durch Logarithmieren lösen: Der Term mit der Variable wird auf einer Seite der Gleichung isoliert. Er darf dabei keine Addition enthalten. Durch Logarithmieren beider Seiten erhalten wir dann die gesuchte Lösung. Lösung der Gleichung x = 3. Durch Logarithmieren beider Seiten erhalten wir x = 3 ln( x ) = ln(3) x ln() = ln(3) x = ln(3) ln() = 5 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 7 / 58 Gleichungen mit Exponenten Aus der Formel für die Kreditrate X = K q n q q n soll die Dauer n eines Kredits bei vorgegebener Kredithöhe K, Kreditrate X und Aufzinsungsfaktor q berechnet werden. X = K q n q q n (q n ) X (q n ) = K q n (q ) K q n (q ) q n (X K(q )) X = 0 + X q n (X K(q )) = X : (X K(q )) q n X = ln X K(q ) n ln(q) = ln(x) ln(x K(q )) : ln(q) n = ln(x) ln(x K(q )) ln(q) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 8 / 58

49 Gleichungen mit Logarithmen Gleichungen mit Logarithmen lassen sich (manchmal) durch Exponenzieren beider Seiten lösen. Die Lösung von ln(x + ) = 0 erhalten wir durch Exponenzieren beider Seiten der Gleichung. ln(x + ) = 0 e ln(x+) = e 0 x + = x = 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 9 / 58 Aufgabe 3.3 Lösen Sie die folgenden Gleichungen: (a) x = 3 x (b) 3 x = 4 x (c) x 5 x = 0 x+ (d) 0 x = 0, 3x (e) x+ = 0, x 0 4 (f) (3 x ) = 4 5 3x Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 0 / 58 Lösung 3.3 (a) x = ln 3 ln 3 ln,70; (b) x = ln 9 ln 6,6; ln 00 (c) x = ln 5,86; ln 50 (d) x = 4 ln 0 0,45; ln +4 ln 0 (e) x = ln 0,4 0,808; ln 4 (f) x = ln 9 ln 5 0,57. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen / 58

50 Aufgabe 3.4 Lösen Sie die Gleichung ( ln (x x 7 ) ( x ) ) = 0 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen / 58 Lösung 3.4 x = 0, x = ,304, x 3 = ,383. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 3 / 58 Potenzgleichung Gleichungen, die nur eine ganzzahlige Potenz der gesuchten Variable enthalten, lassen sich durch Wurzelziehen lösen. Achtung Achten Sie bitte darauf, dass im Falle einer geraden Potenz die Gleichung (in R) nicht immer lösbar, oder die Lösung nicht immer eindeutig ist. Im Falle einer ungeraden Potenz ist die Gleichung (in R) immer eindeutig lösbar. Die Lösungsmenge von x = 4 lautet L = {, }. Die Gleichung x = 4 hat keine (reelle) Lösung. Die Lösungsmenge von x 3 = 8 ist L = { }. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 4 / 58

51 Wurzelgleichungen Wurzelgleichungen lassen sich lösen, indem wir beide Seiten quadrieren oder potenzieren. Die Lösung von 3 x = erhalten wir durch Potenzieren: 3 x = x = 3 x = 9 Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 5 / 58 Quadratwurzel Bei Wurzelgleichungen mit geraden Radices (z.b. Quadratwurzel) stellt das Potenzieren keine Äquivalenzumformung dar. Aus der Nicht-Gleichung 3 = 3 wird durch Quadrieren die Gleichung ( 3) = 3. Wir könnten (wie beim Multiplizieren mit einem Term) eine zusätzliche Lösung erzeugen. Der Definitionsbereich der Gleichung ist meist nur mehr eine kleine Teilmenge der reellen Zahlen: Der Radikand unter der Wurzel darf nicht negativ sein darf. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 6 / 58 Quadratwurzel Achtung! Wir müssen bei Wurzelgleichungen daher immer eine Probe durchführen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 7 / 58

52 Quadratwurzel Wir wollen die Gleichung x = x 4 lösen. Die Definitionsmenge ist D = {x x 4}. Durch Quadrieren erhalten wir: x = x 4 x = x 4 + (x 4) x + 3 : = x 4 = x 4 x = 5 Die Probe ergibt aber 5 = 5 4 = 0, eine falsche Aussage. Die Lösungsmenge ist daher L =. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 8 / 58 Aufgabe 3.5 Lösen Sie die folgenden Gleichungen: (a) x + 3 = x + (b) x = x + Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 9 / 58 Lösung 3.5 (a), ( erfüllt nicht die Wurzelgleichung); (b) 3. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 30 / 58

53 Quadratische Gleichung Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a x + b x + c = 0 Lösungen: x, = b ± b 4ac a bzw. in Standardform x + p x + q = 0 Lösungen: x, = p ± ( p ) q Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 3 / 58 Nullstellen von Polynomen Quadratische Gleichungen sind ein Spezialfall von algebraischen Gleichungen n-ter Ordnung P n (x) = 0 wobei P n (x) ein Polynom vom Grad n ist. Für die Lösungen von Gleichungen 3. Grades (kubische Gleichungen) und 4. Grades gibt es allgemeine Verfahren, die aber sehr aufwendig sind. Für Polynome ab dem 5. Grad kann man beweisen, dass keine derartigen Verfahren existieren. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 3 / 58 Nullstellen von Polynomen Polynomgleichungen lassen sich schrittweise durch Abspalten von Linearfaktoren (durch Division, oder mittels Horner-Schema) lösen:. Wir suchen eine Nullstelle x von P n (x) (z.b. durch gezieltes Ausprobieren (Satz von Vieta), oder mit dem Newton-Verfahren). Mit (x x ) erhalten wir einen Linearfaktor von P n (X). 3. P n (x) : (x x ) ergibt ein Polynom P n (x) von Grad n. 4. Falls n = erhalten wir eine quadratische Gleichung. Andernfalls gehe zu Schritt. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 33 / 58

54 Nullstellen von Polynomen Wir suchen die Lösungen von x 3 6x + x 6 = 0. Durch Ausprobieren erhalten wir die Lösung x =. Wir dividieren nun durch den Linearfaktor (x ) und erhalten: (x 3 6x + x 6) : (x ) = x 5x + 6 Die quadratische Gleichung x 5x + 6 = 0 hat die Lösungen x =, x 3 = 3. Die Lösungsmenge lautet daher L = {,, 3}. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 34 / 58 Nullstellen eines Produkts Ein Produkt zweier (oder mehrerer) Terme f (x) g(x) wird genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor gleich Null ist, also f (x) = 0 oder g(x) = 0 (oder beides). Die Gleichung x (x ) e x = 0 ist genau dann erfüllt, wenn x = 0 ( x = 0) oder x = 0 ( x = ) oder e x = 0 (keine Lösung). Die Lösungsmenge dieser Gleichung lautet daher L = {0, }. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 35 / 58 Nullstellen eines Produkts Achtung Wenn ein Polynom bereits als Produkt zweier oder mehrerer Faktoren vorliegt, dann sollte man der Versuchung widerstehen, dieses Produkt auszumultiplizieren. Die Nullstellen von (x ) (x + ) (x 3) = 0 sind offensichtlich, jene von x 3 x 5x + 6 = 0 hingegen nicht. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 36 / 58

55 Aufgabe 3.6 Berechnen Sie die Nullstellen und zerlegen Sie in Linearfaktoren: (a) f (x) = x + 4x + 3 (b) f (x) = 3x 9x + (c) f (x) = x 3 x (d) f (x) = x 3 x + x (e) f (x) = (x )(x ) Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 37 / 58 Lösung 3.6 (a) (x( + )(x + 3); ) ( ) (b) 3 x x (c) x(x + )(x ); (d) x(x + ) ; (e) (x + )(x ) 3. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 38 / 58 Aufgabe 3.7 Lösen Sie nach y und nach x auf: (a) xy + x y = 0 (b) 3xy + x 4y = (c) x y + x + y = 0 (d) x y + xy x y = 0 (e) x + y + xy = 4 (f) 9x + y + 6xy = 5 (g) 4x + 9y = 36 (h) 4x 9y = 36 (i) x + y = Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 39 / 58

56 Lösung 3.7 Die meisten Lösungen erhalten wir durch Einsetzen in die Formel für quadratische Gleichungen oder durch Umformen (Faktorisieren) der Gleichungen (in eckigen Klammern [... ]). (a) x = y y+, y = x x, [x(y + ) = y bzw. y(x ) = x]; (b) x = 4y+ 3y+, y = x 3x 4, [x(3y + ) = + 4y bzw. y(3x 4) = x]; (c) x = y und x = y, bzw. y = x + und y = x, [(x y + )(x + y) = 0]; (d) x = y und x = y, bzw. y = x und y = x, [(x + y) (xy ) = 0]; (e) x = y und x = y, bzw. y = x und y = x, [(x + y) = 4]; (f) x = 3 y und x = 3 y 5 3, bzw. y = 5 3x und y = 5 3x, [(3x + y) = 5]; Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 40 / 58 Lösung 3.7 / (g) x = ± 3 4 y, y = ± 3 9 x ; (h) x = ± y, y = ± 3 x 9; (i) x = y y +, y = x x +. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 4 / 58 Aufgabe 3.8 Lösen Sie nach y und nach x auf: (a) xy + yx = 6 (b) xy + (x )y x = 0 (c) (d) (e) (f) x x+y = y x y y y+x = y x y+x y = y+x y+ yx y+x = y (g) (y + x) = +x + 4x (h) y 3xy + (x + x ) = 0 (i) y x+y = x x+y Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 4 / 58

57 Lösung 3.8 Die meisten Lösungen erhalten wir durch Umformen der Gleichungen und Einsetzen in die Formel für quadratische Gleichungen In eckigen Klammern [... ] stehen Ausdrücke, die durch Umformungen (Faktorisieren) erhalten werden können. (a) x = y ± y y4 + 4 y, y = x ± x x4 + 4 x; (b) x = y und x = y, bzw. y = x und y = x, [(x + y) (xy ) = 0]; (c) x = ( ± )y, y = ± x, [x xy y = 0]; (d) x R \ { y, ± y} beliebig falls y = und x = 0 sonst, y R \ { x, x } beliebig falls x = 0 und y = sonst, [x ( + y) = 0]; (e) x = +3y y y, y = (3 x) ± (x 3) + 4(x + ), [y 3 y + x y x = 0]; (f) x = y y, y = ± +4x x, [x(y ) = y bzw. xy y x = 0]; Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 43 / 58 Lösung 3.8 / ( ) (g) x = 8 (y + 4) ± 64 (y + 4) 4 y + y, y = x ± 4x + x+, [4x y + 4xy + xy + y = 0]; (h) x = y + und x = y, bzw. y = x und y = y +, [(x y ) (x y + ) = 0]; (i) x = y und x = y, bzw. y = 3+ 7 x und y = 3 7 x, [x + 3xy y = 0]. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 44 / 58 Ungleichungen Eine Ungleichung erhalten wir durch Vergleichen zweier Terme mit einem der Ungleichheitszeichen, <, > oder. linke Seite rechte Seite Die Lösungsmenge einer Ungleichung ist die Menge aller Zahlen aus dem Definitionsbereich die die Ungleichung erfüllen. Sie besteht im Gegensatz zu Gleichungen meist aus einem Intervall oder der Vereinigung von Intervallen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 07/8 3 Gleichungen und Ungleichungen 45 / 58