Ziel: Rechnerarithmetik implementieren. Überblick. E = x"34"? x"1c" E = A? B. Darstellung binärer Größen. Bitweise logische Operationen

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1 Überblick Ziel: Rechnerrithmetik implementieren Informtion und Informtionsdrstellung Zhlensysteme Rechnerrithmetik Schltwerke itweise logische Opertionen E =??... beliebige logische Verknüpfung E = x"34"? x"c" Opernd Opernd b 5 b 4 b 3 b 2 b b Opernd Opernd e 5 e 4 e 3 e 2 e e Ergebnis E Ergebnis E Informtik II - SS Informtik II - SS Drstellung binärer Größen oolesche lgebr (/2) In digitlen Systemen werden Informtionen in binärer Form drgestellt. inäre Größen können von jedem ustein drgestellt werden, der nur 2 Opertionszustände besitzt. eispiel: Schlter. Zuweisung der Zustände für offen und für geschlossen ermöglicht die Drstellung binärer Werte. Typischerweise werden folgende Spnnungen zugewiesen: inäre : Eine beliebige Spnnung zwischen 2V und 5V inäre : Eine beliebige Spnnung zwischen V und.8v Spnnungen zwischen.8v und 2V werden nicht genutzt und können zu eschädigungen führen. oolesche lgebr: Die ooleschen lgebr (speziell die ussgenlogik) ist ein Formlismus zur eschreibung der Funktion digitler Komponenten. inäre oder oolesche Vrible (V): Vrible, die nur zwei Werte nnehmen können. Diese Werte werden mit L - H, whr - flsch oder - bezeichnet. oolesche Vrible sind logische Vrible. oolesche Opertoren: uf oolesche Vrible können oolesche Opertoren ngewendet werden: NOT, OR, ND,XOR,... Informtik II - SS oolesche usdrücke, oolesche Funktionen: oolesche usdrücke oder oolesche Funktionen ergeben sich durch Verknüpfung von oolesche Vrible mit ooleschen Opertoren. Informtik II - SS

2 oolesche lgebr (2/2) Opertion Definition der ooleschen lgebr Die ooleschen lgebr ist eine lgebrische Struktur. Sie besteht us einer Menge M = {e, e2, }, den Opertoren ψ und φ, xiomen und wichtigen Sätzen. Eine spezielle oolesche lgebr ist die ussgenlogik. Sie wird chrkterisiert durch folgende Eigenschften: M: {,} e: whr n: flsch ψ: zweistellige Opertion φ: zweistellige Opertion Die oolesche lgebr wurde von George oole um 85 entwickelt Clude Shnnon verwendete um 937 die oolesche lgebr ls erster für den Schltungsentwurf Informtik II - SS Eingben x,..,x n Funktion von n Eingngsvriblen: Nur vom gegenwärtigen Wert der Eingänge nhängig, kein "Gedächtnis" y= f(x) = f(x n,...,x 3,,x ), x i {,} Für n Eingngsvriblen gibt es 2 n Wertekombintionen. Die Wertekombintionen heißen uch die elegungen X j der Eingngsvriblen Logische Opertionen können uf zwei, sinngemäß gleiche Wege drgestellt werden: oolescher usdruck: endlich, ber nicht eindeutig Whrheitstbelle: endlich und eindeutig Informtik II - SS 24 Funktion f(x) usgbe y 2. Whrheitstbellen UND-Opertor Drstellung der bhängigkeiten zwischen der Eingbe und usgbe lle möglichen Kombintionen der Eingbe (,) werden mit der korrespondierenden usgbe (X) ngegeben. eispiel: Eingbe? usgbe X X Nme Tbelle Schriftlich UND (ND) b y y = b oder = b oder = * b UND wird verwendet, um its gezielt uf zu setzen. Dzu ht die Mske n llen itpositionen, die übernommen werden sollen, eine und n den Stellen, die rückgesetzt werden sollen, eine. x 4 = x"34" x"c" Opernd Opernd Die usgbe ist nur, wenn beide Eingben sind. Gtter Ergebnis E Informtik II - SS Informtik II - SS

3 ODER-Opertor NICHT-Opertor Nme Tbelle Schriftlich Gtter ODER (OR) b y y = b oder = + b OR wird verwendet, um its gezielt uf zu setzen. Dzu ht die Mske n llen itpositionen, die übernommen werden sollen, eine und n den Stellen, die gesetzt werden sollen, eine. x 3C = x"34 x"c" Opernd Opernd Nme Tbelle Schriftlich Gtter NICHT (NOT) y y = NICHT wird uch ls Inverses oder Komplement bezeichnet. x = ~x"34" Opernd Ergebnis E Ergebnis E Informtik II - SS Informtik II - SS Gängige logische Opertionen: XOR Gtter (/2) Nme Tbelle Schriftlich XOR b y y = b oder = b XOR wird verwendet, um its gezielt zu invertieren. Dzu ht die Mske n llen itpositionen, die invertiert werden sollen, eine und n llen sonstigen Stellen eine. x 28 = x"34" x"c" Opernd Elektrische Relisierung mittels Schlter: Relis, Knipser, Röhren, bipolre Trnsistoren, Feldeffekt Trnsistoren (MOS-FET) Funktion ND Knipser L b Relisierung MOS-FET b + Gtter Sprche "C" y = ^ b Opernd Ergebnis E OR b b >= Informtik II - SS Informtik II - SS

4 Gtter (2/2) Funktion Relisierung Gtter NOT NND NOR Knipser Informtik II - SS 24 MOS-FET b + b = ā >= 2.8 Regeln für logische Opertionen oolesche Vriblen, b Elemente us {,} ssozitivgesetz Kommuttivgesetz Distributivgesetz bsorptionsgesetz De Morgn'sches Gesetz Informtik II - SS 24 = = R = = R2 = = R3 = = R4 = R5 (b c) = (b c) = R6 ( b) c = ( b) c = b c b c b = b b = b R7 (b c) = (b c) = R8 ( b) ( c) ( b) ( c) ( b) = ( b) = R9 ( b) = b ( b) = b R 2.9 nwendung der Regeln Impliktionen us dem De Morgn'schen Gesetz Vereinfchung von usdrücken eispiel : Y = C D ( ( ) ) = C D ( ) ) = C D = C D = R4 R... ( b) b ( b) = b ( b) = b >= NOR NND >= ( b) b eispiel 2: Y = ( C ) + ( D E F ) R5: Y = ( C ) + (D E F ) De Morgn: Y = ( C ) (D E F ) Informtik II - SS b lterntive NOR Drstellung Informtik II - SS 24 >= lterntive NND Drstellung b 2.

5 NND-Opertor NOR-Opertor Nme NND Ds NND-Symbol ist bgesehen von dem kleinen Kreis m usgng identisch mit dem ND-Symbol. Der kleine Kreis stellt die Invertierung dr. Nme NOR Ds NOR-Symbol ist bgesehen von dem kleinen Kreis m usgng identisch mit dem OR-Symbol. Der kleine Kreis stellt die Invertierung dr. Tbelle b y Tbelle b y Schriftlich y = b Opernd Schriftlich y = b Opernd Gtter Opernd Gtter Opernd Invertieren Ergebnis E Invertieren Ergebnis E Informtik II - SS Informtik II - SS lterntive Drstellung von Gttern Vollständige Opertorensysteme Für die Gtter UND, ODER, NICHT, NND und NOR gibt es eine lterntive Drstellung Invertiere jeden Eingng und usgng des Stndrdsymbols Ändere ds Opertionssymbol von UND zu ODER, oder von ODER zu UND Die lterntive Drstellung repräsentiert den gleichen physiklischen ustein. eispiele: NOR NND >= >= Ein vollständiges Opertorensystem erlubt die Drstellung ller möglichen Funktionen ei zweistelligen, booleschen Funktionen sind dies 6 Möglichkeiten Die folgenden Systeme sind u.. vollständig: UND, ODER, NICHT UND, NICHT ODER, NICHT NND NOR eispiel für NND: NICHT: UND: ODER ( b ) ( b ) ( ) ( b b ) Informtik II - SS Informtik II - SS

6 Normlformen (/2) Normlform (2/2) Es gibt keinen eindeutigen booleschen usdruck für eine boolesche Funktion eschränkung uf ein vollständiges Opertorensystem reicht nicht für Eindeutigkeit Die Normlformen dienen dzu, nhnd von Zustndstbellen Schltungen zu entwickeln. Dbei werden logische Funktionen in Schltkreise umgesetzt. Rndbedingungen: die Zhl der Schltkreise sollte möglichst gering sein die einzelnen uelemente sollten möglichst gleich sein Stndrddrstellung im Opertorensystem UND/ODER/NICHT Disjunktive Normlform (DNF) disjunktive Verknüpfung von Konjunktionen Konjunktionen müssen lle Vriblen enthlten (bejht oder negiert) Konjunktionsterme werden Minterme gennnt In der DNF werden lle UND Verknüpfungen (Konjunktionen) disjunktiv verknüpft (ODER- verknüpft), deren usgngsvriblen den Wert nnehmen. meriknischer usdruck: sum of products (SOP) Konjunktive Normlform (KNF) Konjunktive Verknüpfung von Disjunktionen Disjunktionen müssen lle Vriblen enthlten (bejht oder negiert) Disjunktionsterme werden Mxterme gennnt In der KNF werden lle UND Verknüpfungen (Konjunktionen) disjunktiv verknüpft (ODER- verknüpft), deren usgngsvriblen den Wert nnehmen. Informtik II - SS Informtik II - SS Übersetzungsregel für disjunktive Normlform Übersetzungsregel für konjunktive Normlform Mn geht von der Einsstellenmenge us. Mn geht von der Nullstellenmenge us. Für jede elegung ersetzt mn Für jede elegung ersetzt mn die durch eine bejhte Vrible die durch eine bejhte Vrible die durch eine negierte Vrible die durch eine negierte Vrible und bildet eine UND Verknüpfung (Minterm). und bildet eine ODER Verknüpfung (Mxterm). Die Mxterme werden ODER verknüpft Die Mxterme werden UND verknüpft Disjunktive Normlform DNF Konjunktive Normlform KNF Informtik II - SS Informtik II - SS

7 DNF Übersetzung Oktl Index (x4,,,x) f -> y,,, ->,,, -> 2,,, -> 3,,, -> 4,,, -> 5,,, -> 6,,, -> 7,,, ->,,, ->,,, -> 2,,, -> - 3,,, -> - 4,,, -> - 5,,, -> - 6,,, -> - 7,,, -> - Informtik II - SS 24 eispiel: Durch 3 teilbre CD Ziffern Logische für: x4 =, =, =, x = x4 x Logische für: x4 =, =, =, x = x4 x Logische für: x4 =, =, =, x = x4 x E = {3, 6, } y = 3 (,,,) x4 x 6 (,,,) + x4 x (,,,) + x4 x 2.2 Übersetzung DNF Gleichung in Hrdwre Jede Gleichung läßt sich : in Hrdwre umsetzen y = x 4 x 3 x x 4 x 3 x x 4 x 3 x x 4 x 3 x Informtik II - SS 24 > y 2.2 eschreibung von logischen Schltnetze Logische Schltnetze können mit den grundlegenden logischen Verknüpfungen UND, ODER und NICHT beschrieben werden:. x = C 2. x = ( ) C 3. x = ( ) C Die Verwendung nur eines Gttertyps erleichtert die technische Relisierung, weswegen NND oder NOR bsierte Systeme oftmls verwendet werden. Logische Schltnetze können durch die Minimierung der logischen Verknüpfung minimiert werden In vielen Fällen sind einfchere Schltungen schneller Weniger Gtter reduziert die Kosten Es wird weniger Energie benötigt Informtik II - SS Minimierung DNF liefert reltiv ufwendige Lösungen ut uf den Mintermen uf Jedes UND Gtter enthält lle Eingngsvriblen Nicht prktikbel in echten nwendungen Die Suche nch einer einfcheren Lösung ist Ziel der Optimierung (Minimierung). Vorussetzung jeder Optimierung: Kostenfunktion beschreibt Ziel. In unserem Fll: Möglichst wenige, möglichst kleine Gtter Genuer: Die nzhl der Eingänge in lle Gtter soll miniml werden. In einer Gleichung ist dnn die nzhl der Vriblen ller Terme plus die nzhl der Terme (Länge) miniml. Y = (D C ) + (D C ) + (E C) => L = = 2 Wie erzielen wir möglichst kleine Gtter? Wir versuchen, durch nwendung der Rechenregeln, die einzelnen Terme kürzer zu mchen. Informtik II - SS

8 Minimierungsverfhren Es gibt 3 rten von Minimierungsverfhren lgebrische Verfhren grphische Verfhren (z.. KV-Digrmme) tbellrische/lgorithmische Verfhren (z.. uine/mccluskey- Verfhren) lgebrische Verfhren werden prktisch nicht verwendet Grphische Verfhren sind für bis zu 6 Vriblen hndhbbr Tbellrische Verfhren sind uch für mehr ls 6 Vriblen geeignet lgebrische Minimierung Vereinfchung durch usklmmern und nwendung der Regeln: sp: y = c b c b = c (b b) = c = c In elegungsschreibweise c b y c b -> c b -> Informtik II - SS Wir suchen elegungen, die Informtik II - SS 24 Einsstellen sind und sich nur in einer Komponente unterscheiden (benchbrt sind) 2.25 löcke Minimierung über Nchbrschftsbeziehungen Zwei elegungen, die sich nur in einer Komponente unterscheiden, heißen benchbrt. Die identischen Komponenten heißen "gebundene", die unterschiedlichen "freie" Komponenten. Die freien Komponenten werden durch einen "-" gekennzeichnet. Es entsteht ein (elegungs-) lock. Ein lock mit r freien Komponenten enthält ("überdeckt") 2 r elegungen. eispiel: 4 (,,,) 5 (,,,) Informtik II - SS 24 (,,,-) 2.26 Oktl Index (,,x) f -> y,, ->,, -> 2,, -> 3,, -> 4,, -> 5,, -> 6,, -> 7,, -> enchbrte elegungen: 4:,, 5:,, lock:,, - Informtik II - SS 24 Zugehörige DNF: y = (x 3 x ) (x 3 x ) (x 3 x) Minimierte Gleichung: y = (x 3 ) ( x ) 2.27

9 ildung größerer löcke Oktl Index (,,x) f -> y,, ->,, -> 2,, -> 3,, -> 4,, -> 5,, -> 6,, -> 7,, -> enchbrte elegungen: 4:,, 5:,, lock:,, -,, -,, - 6:,, lock:, -, - 7:,, lock:,, - Informtik II - SS 24 Zugehörige DNF: y = (x 3 x ) (x 3 x ) (x 3 x ) (x 3 x ) Minimierte Gleichung: y = x lockbildung bei komplizierteren Funktionen Oktl Index (x4,,,x) f -> y Mögliche löcke:,,, ->,,, -> /2: - 2,,, -> 2/6: - 3,,, -> 2/2: - 4,,, -> 5/7: - 5,,, -> 5/5: - 6,,, -> 6/7: - 5/7/5/7: -- 7,,, -> 6/6: - 6/7/6/7: --,,, -> 7/7: - 2/2/6/6: --,,, -> /5: - 2,,, -> 2/6: - 3,,, -> 5/7: - 4,,, -> 6/7: - 5,,, -> 6,,, -> 7,,, -> Minimierte Gleichung: y = x 4 x 3 x x 4 x x 3 x x Informtik II - SS Zusmmenfssung lockbildung Krnugh-Veitch-Digrmme Die ildung von löcken knn zur Minimierung herngezogen werden. etrchtet werden nur die Einsstellen enchbrte elegungen werden zu löcken zusmmengefsst. enchbrte löcke können zu größeren löcken zusmmengefsst werden es gelten dieselben Regeln. löcke bestehen immer us 2 r elegungen (r = nzhl der Striche) Ein lock, der sich nicht mehr vergrößern lässt, heißt "Primblock" Gesucht ist die minimle nzhl von möglichst großen löcken, die lle Einsstellen überdeckt. Übergng zur disjunktiven Form Für löcke gelten dieselben Übersetzungsregeln, ber freie Komponenten ("Striche") werden ignoriert. Ein us einem Primblock entstehender Term heißt "Primimpliknt" KV-Digrmme bieten einen grphischen Weg zur Minimierung Es können minimle konjunktive oder disjunktive Formen gebildet werden Informtik II - SS Informtik II - SS

10 Minimierung per KV-Digrmm Erstellung durch wechselweise horizontles und vertikles Spiegeln x KV-Digrmm: Koordintendrstellung der Funktionstbelle Jede Zelle entspricht einer elegung KV-Digrmm x 5 4 x5 x x x x x4 x x5 x x x4 x6 Informtik II - SS Informtik II - SS Minimierung per KV-Digrmm Interprettion eines KV-Digrmms Eintrgung in ds KV-Digrmm Oktl Index (,,x) f -> y,, ->,, -> 2,, -> 3,, -> 4,, -> 5,, -> 6,, -> 7,, -> x x x x x x x x Drstellung der DNF einer Schltfunktion x x x x x x x x x Informtik II - SS Informtik II - SS

11 lockbildung im KV-Digrmm Fll D C Z Informtik II - SS DNF: Z = C D C D C D C D Minterme: : : 3: - (löcke) 2: 3: - : - Minimierte Gleichung: Z = C D C D CD C Primblöcke: Minimierte Gleichung mit Primtermen: Z = C D C D 2.36 eispiel für lockbildung in KV-Digrmmen x Informtik II - SS 24 x Vorläufige löcke. Es entfällt je. x Endgültiger lock. Es entfällt. Knn ein vorläufiger lock nicht mehr durch einen weiteren, symmetrisch gelegenen gleich großen lock vergrößert werden, so erhält mn den mximl großen lock: Primblock Der zugehörige Term heißt Primterm. Jede vollständige locküberdeckung ist eine gültige Drstellung einer Funktion. Vollständig: Jede Einsstelle wird von einem lock überdeckt lockbildung bei unvollständig definierten Schltfunktionen Minimierung per KV-Digrmm Freistellen (do not cre Stellen) können oder sein. Festlegung derrt, dss mximl große löcke entstehen. x x - = - - = = x - = - - = = Minimierungsverfhren. Spezifiktion der Funktion durch Terme 2. Eintrgung in ds KV-Digrmm 3. estimmen der Primblöcke Sukzessive ildung von löcken mit 2, dnn 4, dnn 8 elegungen, usw. Verfolgung ller möglichen Kombintionen Wenn lockbildung bbricht, sind lle Primblöcke gefunden. 4. uswhl der kleinsten nzhl Primblöcke, die zur vollständigen Überdeckung nötig sind Identifiktion der Kerne: Mrkierung ller Primblöcke, welche lleine eine Funktionsstelle überdecken. Flls diese bereits lle Stellen überdecken, ist minimle Lösung erreicht. Reichen diese nicht zur Überdeckung ller Stellen us, müssen weitere Primblöcke hinzugenommen werden. 5. ildung eines kürzesten usdrucks (DMF: disjunktive Minimlform) Informtik II - SS Informtik II - SS

12 Minimierung per KV-Digrmm (/3) Minimierungsverfhren eispiel ereits erledigt:. Spezifiktion der Funktion durch Terme 2. Eintrgung in ds KV-Digrmm Ergebnis: Informtik II - SS 24 - x - x4 2.4 Minimierung per KV-Digrmm (2/3) eispiel 3. estimmen der Primblöcke Sukzessive ildung von löcken mit 2, dnn 4, dnn 8 elegungen, usw. Verfolgung ller möglichen Kombintionen Wenn lockbildung bbricht, sind lle Primblöcke gefunden. w4 x w2 Primimpliknten: w5 - Gru gekennzeichnete löcke: Primblöcke Informtik II - SS 24 - x4 w3 w => w = w2 = x4 x w3 = x4 x w4 = x w5 = x4 2.4 Minimierung per KV-Digrmm eispiel (3/3) x Minimierung mittels KV-Digrmm 4. uswhl der kleinsten nzhl Primblöcke, die zur vollständigen Überdeckung nötig sind Identifiktion der Kerne: Mrkierung ller Primblöcke, welche lleine eine Funktionsstelle überdecken. Flls diese bereits lle Stellen überdecken, ist minimle Lösung erreicht. Reichen diese nicht zur Überdeckung ller Stellen us, müssen weitere Primblöcke hinzugenommen werden. 5. ildung eines kürzesten usdrucks (DMF: disjunktive Minimlform) Informtik II - SS x - x4 x Oktl Index (,,x) f -> y,, ->,, -> 2,, -> 3,, -> 4,, -> 5,, -> 6,, -> 7,, -> löcke: - Kern-löcke: - - Informtik II - SS 24 x Minimierte Gleichung: y = x 2.43

13 Minimierung in der konjunktiven Form > > > z.. y= ( b c) ( b c) Informtik II - SS 24 y 2.44 eispiel Durch 3 teilbre CD Ziffern ei CD kodierten Ziffern können nur Werte von bis 9 vorkommen: Ds Verhlten der Schltung bei Eingngswerten > 9 ( 8 ) ist gleichgültig. R = { 2,3,4,5,6,7} E = { 3,6,} N = {,,2,4,5,7,} Informtik II - SS 24 Oktl Index (x4,,,x) f ->,,, ->,,, -> 2,,, -> 3,,, -> 4,,, -> 5,,, -> 6,,, -> 7,,, ->,,, ->,,, -> 2,,, -> - 3,,, -> - 4,,, -> - 5,,, -> - 6,,, -> - 7,,, -> - y 2.45 Ermittlung der Mxterme Oktl Index (x4,,,x) f -> y,,, ->,,, -> 2,,, -> 3,,, -> 4,,, -> 5,,, -> 6,,, -> 7,,, ->,,, ->,,, -> 2,,, -> - 3,,, -> - 4,,, -> - 5,,, -> - 6,,, -> - 7,,, -> - Informtik II - SS 24 Logische für: x4 x = Logische für: x4 x = 2.46 KNF für eispiel N = {,,2,4,5,7,} y = (,,,) (x4 x) (,,,) (x4 x) 2 (,,,) (x4 x) 4 (,,,) (x4 x) 5 (,,,) (x4 x) 7 (,,,) (x4 x) (,,,) (x4 x) Informtik II - SS

14 Minimierung mit KV-Digrmm Kombintorische Schltelemente (Schltnetze) x x4 Spezielle Verknüpfungselemente Multiplexer Demultiplexer Dekoder Vergleicher ddierer rithmetisch-logische Einheit (LU) y= ( x4) (x ) ( x) Informtik II - SS Informtik II - SS Multiplexer (/2) 2: Mux S S y S S S i.. Selektionseingänge y S S 4: Mux S,S y,,, C, D (S S ) (S S ) (S S C) (S S D) Informtik II - SS 24 C D y C D E F G H S2 S S 8: Mux y S2,S,S y,,,,,, C,, D,, E,, F,, G,, H 2.5 C D E F G H S2 S S Multiplexer (2/2) 8: Mux y S2,S,S y,,,,,, C,, D,, E,, F,, G,, H Informtik II - SS

15 Dekoder/Demultiplexer 2 bit Dekoder, y4,y3,y2,y,,,,,,,,,,,,,,,, y y2 y3 y4 Informtik II - SS 24 C C,, 3 bit Dekoder y y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y8,y7,y6,y5,y4,y3,y2,y,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 2.52 Vergleicher > = < 4 bit Identität 4 bit Größe = > = < Informtik II - SS 24, = = 3,3, 2,2,,,,, >,=,< >,=,< > ,, < ,, = > ,, = < ,, = = > ,, = = < ,, = = = > - - -,, = = = < - - -,, = = = = - -,, = = = =,, = = = =,, 2.53 ddierer (/4) ddierer (2/4) i i Hlbddierer c i- H Vollddierer H c s c s H, s, c,,,,,,,, Informtik II - SS 24 c s i c i Mehrstelliger ddierer 2 2 s H c s V c s2 V c 2.54 Einstelliger ddierer für ddition zweier inärzhlen und, Ergebnis Summe S und Übertrg (Crry) C C Mehrstellige dditionsufgbe Informtik II - SS 24 S eispiel: (5) (7).. <- Übertrg (Crry) = llgemein:. Summnd Summnd Übertrg C 5 C 4 C 3 C 2 C Summe S 5 S 4 S 3 S 2 S S S i = ( i + i ) + C i (+ = ddition) C i+ = C i i v C i i v i i S C 2.55

16 ddierer (3/4) Serienddierer : ökonomisch, ber lngsm 2 2 H V V s c s c2 s2 c3 eschleunigung mittels Prllelisierung durch Crry-Vorusberechnung: crry look-hed G = generte crry (erzeuge Übertrg C n+ = ( n n ) (C n ( n n )) G n C n+ = G n C n P n P n C = propgte crry (leite Übertrg weiter) C 2 = G C P C 3 = G 2 C 2 = G 2 (G C P ) = G 2 G C P C 4 = G 3 G 2 G C P C 5 = G 4 G 3 P 4 G 2 P 4 G C P P 4 ddierer (4/4) 4 bit Prllelddierer mit crry look-hed (prlleler Übertrg) C 2 = G C P C 3 = G 2 C 2 = G 2 (G C P ) = G 2 G C P C 4 = G 3 G 2 G C P C 5 = G 4 G 3 P 4 G 2 P 4 G C P P 4 C n+ = ( n n ) (C n ( n n )) G n P n C Σ4 C5 Z4 Z3 Z2 Z Informtik II - SS Informtik II - SS ddierer-subtrhierer rithmetisch-logische Einheit (LU) (/2) uswhl Komplement = = = = = = = = S4 S4 S3 S2 S S3 S2 S Z C C- C- C-2 C+ C-- C+- C--2 C+ funktionle Kern eines Digitlrechners führt rithmetische und logische Opertionen us Eingbe: Dten und Steuersignle usgbe: Ergebnis und Sttussignle Meist nur für Festkommzhlen (Gleitkomm wird oft von einem speziellen rithmetik-coprozessor usgeführt oder in Festkommzhlen unterteilt) C+- C5 Σ4 C C-- C--2 C++ Z4 Z3 Z2 Z C+-- C+-- C---2 Informtik II - SS Informtik II - SS

17 rithmetisch-logische Einheit (LU) (2/2) Register X Register Y Multiplexerschltnetz s s2 zero sign overflow c out rithmetisch-logisches Schltnetz Schiebeschltnetz c in s3 s4 s5 s6 s7 Register Z Informtik II - SS