Informatik I Modul 3: Schaltnetze Burkhard Stiller M3 1

Transkript

1 Informtik I Modul 3: Schltnetze 22 Burkhrd Stiller M3

2 Modul 3: Schltnetze Formle Grundlgen logischer Beschreibungen Boolesche Algebr, Schltlgebr Norml- und Minimlformen Relisierung von Schltnetzen uf Schlter- und Gtterebene Entwurf von Schltnetzen Logikminimierung, KV-Digrmme Progrmmierung von Funktionen Lufzeiteffekte bei Schltnetzen 22 Burkhrd Stiller M3 2

3 Schltnetze Schltnetze: Rein kombintorische logische Schltungen Kein Speicherverhlten Logische Funktionen Beispiele: Licht-Aus Wrnung im Krftfhrzeug Motor us und Tür uf und Licht n Alrm 22 Burkhrd Stiller M3 3

4 Formle Grundlgen Zur Untersuchung und Beschreibung der Eigenschften und des Verhltens von logischen Funktionen ist die Boolesche Algebr hervorrgend geeignet. Entwickelt wurde sie von dem Mthemtiker George Boole (85 864) ls Algebr der Logik. 22 Burkhrd Stiller M3 4

5 Boolesche Algebr Definition: Als eine Boolesche Algebr bezeichnet mn eine Menge V = {,b,c,...}, uf der zwei zweistellige Opertionen und derrt erklärt sind, dß durch ihre Anwendung uf Elemente us V wieder Elemente us V entstehen (Abgeschlossenheit). Abgeschlossenheit: Für lle, b V gilt: b V b V Weiterhin müssen die vier Huntingtonschen Axiome gelten. 22 Burkhrd Stiller M3 5

6 Huntingtonsche Axiome H Kommuttivgesetz: b = b b = b H2 Distributivgesetz: ( b c ) = ( b ) ( c ) ( b c ) = ( b ) ( c ) H3 Neutrles Element: Es existieren zwei Elemente e, n V, so dss gilt: e = (e wird Einselement gennnt) n = (n wird Nullelement gennnt) H4 Inverses Element: Für lle V existiert ein Element V, so dss gilt: = n = e 22 Burkhrd Stiller M3 6

7 Schltlgebr Die Schltlgebr ist eine spezielle Boolesche Algebr, die durch die folgende Korrespondenztbelle definiert wird: Boolesche Algebr Zusätzlich lterntive Schreibweise: + b für b bzw. Benennung ODER & b, b für b bzw. Benennung UND 22 Burkhrd Stiller M3 7 V n e Schltlgebr {,}

8 Relisierung von logischen Verknüpfungen () Für die technische Relisierung logischer Verknüpfungen knn mn sich zunächst einfche Schltermodelle für logische Busteine vorstellen. b UND-Verknüpfung: Btterie Lmpe Die Lmpe brennt (Funktionswert ) nur, wenn beide Schlter geschlossen sind ( UND b gleich ), sonst bleibt die Lmpe dunkel (Funktionswert ). 22 Burkhrd Stiller M3 8

9 Relisierung von logischen Verknüpfungen (2) ODER-Verknüpfung: Die Lmpe brennt, wenn einer der beiden Schlter geschlossen ist. Btterie b Lmpe 22 Burkhrd Stiller M3 9

10 Schltlgebr Die Verknüpfungen können leicht in Funktionstbellen drgestellt werden: b b b b b Technische Relisierung mit Schltern b 22 Burkhrd Stiller M3

11 Schltlgebr Huntingtonsche Axiome in der Schltlgebr: H: b = b b = b H2: (b c) = ( b) ( c) (b c) = ( b) ( c) H3: = = H4: = = 22 Burkhrd Stiller M3

12 Schltlgebr Aus den vier Huntingtonschen Axiomen lssen sich weitere Sätze bleiten: Assozitivgesetz: ( b) c = (b c) ( b) c = (b c) Idempotenzgesetz: = = Absorptionsgesetz: ( b) = ( b) = DeMorgn-Gesetz: b = b b = b Auch bennnt ls: NAND NOR 22 Burkhrd Stiller M3 2

13 Boolescher Ausdruck () Ein Boolescher Ausdruck ist eine Zeichenfolge, die us binären Vriblen, den Opertoren und und Klmmern besteht und syntktische Regeln erfüllt, die durch folgendes Syntxdigrmm gegeben sind: binäre Vrible Negtion Boolescher Ausdruck Boolescher Ausdruck Boolescher Ausdruck ( Boolescher Ausdruck ) 22 Burkhrd Stiller M3 3

14 Boolescher Ausdruck (2) Beispiele: syntktisch korrekte Boolesche Ausdrücke: b,, ( b ) c Keine Booleschen Ausdrücke, d syntktisch nicht korrekt:,, ( ) c Für die Konstnten und verwendet mn in der Schltlgebr mnchml uch in Anlehnung n die Aussgenlgebr die Bezeichnung Whrheitswerte: : flsch : whr Ein Boolescher Ausdruck ht in der Regel zunächst keinen Whrheitswert, d er binäre Vriblen enthlten knn. Erst durch Belegung der binären Vriblen mit Whrheitswerten erhält der Boolesche Ausdruck einen Whrheitswert. 22 Burkhrd Stiller M3 4

15 Definitionen Die Belegung einer Menge von binären Vriblen eines Booleschen Ausdrucks mit Whrheitswerten bezeichnet mn ls Interprettion. Die Interprettion eines Booleschen Ausdrucks liefert eine Aussge, die entweder whr oder flsch ist. Verschiedene Interprettionen eines Booleschen Ausdrucks können zu dem selben Whrheitswert führen. Ein Boolescher Ausdruck, bei dem lle möglichen Interprettionen zum Whrheitswert whr führen, heißt Tutologie. Beispiel: ist eine Tutologie (häufig uch ls T mrkiert). 22 Burkhrd Stiller M3 5

16 Boolesche Funktionen Gegeben: Tupel von binären Vriblen (x,x 2,...,x n ) Definition: Eine (n-stellige) Boolesche Funktion ordnet jeder möglichen Whrheitswertbelegung dieser Vriblen genu einen Whrheitswert zu: f : {,} n {,} Wieviele Belegungen gibt es? 2 n Belegungen Wieviele verschiedene n-stellige Funktionen gibt es? 2 (2n ) Funktionen (denn es gibt zu jedem Argument einer Booleschen Funktion zwei verschiedene Funktionswerte) 22 Burkhrd Stiller M3 6

17 Beispiele Negtion: Eine einstellige Boolesche Funktion f : {,} {,} die jedem Opernden us dem Definitionsbereich {,} einen Funktionswert us dem Wertebereich {,} zuordnet. und : Zwei zweistellige Boolesche Funktionen: f : {,} x {,} {,} 22 Burkhrd Stiller M3 7

18 Drstellung boolescher Funktionen. Durch eine Funktionstbelle 2. Durch einen lgebrischen Ausdruck (symbolische Form) 3. Durch einen Grphen Funktionstbelle symbolische Form Grph b f f = b b (z.b. Shnnon-Bum) f 22 Burkhrd Stiller M3 8

19 Boolesche Funktionen Wie kommt mn von der symbolischen Drstellung zur Funktionstbelle? Durch rekursive Auswertung des symbolischen Ausdrucks! Konvention: Negtion vor Konjunktion und Konjunktion vor Disjunktion Durch Klmmern knn eine ndere Reihenfolge der Auswertung festgelegt werden Wieviele zweistellige Funktionen gibt es? Wieviele dreistellige Funktionen gibt es? 22 Burkhrd Stiller M3 9

20 6 mögliche zweistellige boolesche Funktionen x verble Form symbolische Bezeichnung x Drstellung f f konstnt x und x x x Kontrdiktion, Symbol: (unerfüllbr) Konjunktion T f 2 nicht x, ber x x x Inhibition f 3 identisch x x Identität f 4 nicht x, ber x x x Inhibition f 5 identisch x x Identität f 6 x ungleich x x x Antivlenz, XOR f 7 x oder x x x Disjunktion f 8 nicht (x oder x ) x x NOR-Funktion, Peircescher Pfeil f 9 x gleich x x x Äquivlenz f nicht x x Negtion f wenn x, dnn x x x Impliktion f 2 nicht x x Negtion f 3 wenn x, dnn x x x Impliktion f 4 nicht (x und x ) x x NAND-Funktion, Shefferscher Strich f 5 konstnt Tutologie, Symbol: T (llgemeingültig) 22 Burkhrd Stiller M3 2

21 Vollständige Opertorensysteme Definition: Ein System von Opertoren, mit dem lle booleschen Funktionen drgestellt werden können, heißt vollständiges Opertorensystem. Die Opertoren (,, ) bilden ein vollständiges Opertorensystem. Beispiel: b liefert ds gleiche Ergebnis wie ( b ) ( b ). läßt sich durch die Grundopertionen, und ersetzen 22 Burkhrd Stiller M3 2

22 Vollständige Opertorensysteme Opertoren- Drstellung der... system Negtion Konjunktion Disjunktion (,, ) b b (, ) b b (, ) b b ( ) ( b ) ( b ) ( ) ( b b ) ( ) ( ) ( b b ) ( b ) ( b ) (, ) b b ( b ) Hinweis: wird häufig weggelssen, Bsp: b b 22 Burkhrd Stiller M3 22

23 Tutologie () Wnn repräsentieren zwei Ausdrücke A und B dieselbe Boolesche Funktion? Gleichbedeutend: Ist A B eine Tutologie? Gegeben seien zwei Boolesche Funktionen: f (,b) = ( b ) ( b ) f 2 (,b) = ( b ) ( b ) Ist f identisch mit f 2 oder ist ( b ) ( b ) ( b ) ( b ) eine Tutologie? 22 Burkhrd Stiller M3 23

24 Tutologie (2) Beweis mit Hilfe von Funktionstbellen oder mittels Umformungen von Ausdrücken unter Verwendung der lgebrischen Gesetze. Zwei Ausdrücke sind äquivlent, flls die Ergebnisse ihrer Auswertung für lle möglichen Kombintionen von Vriblenbelegungen identisch sind. b ( b ) ( b ) ( b ) ( b ) x y 22 Burkhrd Stiller M3 24

25 Tutologie (3) Mittels lgebrischer Umformung: ( b ) ( b ) = [ ( b ) ] [ ( b ) b ] (Distributivgesetz) (Distributivgesetz) (Inverses Element) (Neutrles Element) (Kommuttivgesetz) = [ ( ) ( b ) ] [ ( b ) ( b b ) ] = [ ( b ) ] [ ( b ) ] = ( b ) ( b ) = ( b ) ( b ) 22 Burkhrd Stiller M3 25

26 Modul 3: Schltnetze Formlen Grundlgen logischer Beschreibungen Boolesche Algebr, Schltlgebr Norml- und Minimlformen Relisierung von Schltnetzen uf Schlter- und Gtterebene Entwurf von Schltnetzen Logikminimierung, KV-Digrmme Progrmmierung von Funktionen Lufzeiteffekte bei Schltnetzen 22 Burkhrd Stiller M3 26

27 Normlformen Eine boolesche Funktion knn durch verschiedene boolesche Ausdrücke beschrieben werden. Eine Stndrddrstellung boolescher Funktionen im vollständigen Opertorensystem (,, ) ist die konjunktive (KNF) und die disjunktive Normlform (DNF). Definition: Ein Literl L i ist entweder eine Vrible x i oder ihre Negtion x i d.h., L i {x i, x i } 22 Burkhrd Stiller M3 27

28 Produktterme Definition: Ein Produktterm K(x,...,x m ) ist die Konjunktion von Literlen L i = L L m i {,...,m} oder die Konstnte "" oder " " Beispiele: b x i x i Jeder Produktterm K(x,...,x m ) = L i knn so drgestellt i {,...,m} werden, dß eine Vrible x in höchstens einem Literl vorkommt. 22 Burkhrd Stiller M3 28

29 Literle und Produktterme Flls L h = x, L j = x, h j (mehrfch bejhtes Auftuchen) L h L j = x m K(x,...,x m ) = L i i= Mehrfches Auftreten von x knn nch Idempotenzgesetz gestrichen werden ( x x = x). Flls L h = x und L j = x (gemischtes bejhtes und negiertes Auftreten) L h L j = K(x,...,x m ) = (Produktterm wird zu ) 22 Burkhrd Stiller M3 29

30 Impliknt und Minterm Definition: Ein Produktterm K(x,...,x n ) heißt Impliknt einer Booleschen Funktion y(x,...,x n ), wenn K y Ds heißt, für jede Belegung B {,} n gilt: Wenn K(B) =, dnn ist uch y(b) = Definition: Ein Impliknt einer Booleschen Funktion y(x,...,x n ) heißt Minterm, wenn ein Literl jeder Vriblen x i der Funktion y im Impliknten genu einml vorkommt. 22 Burkhrd Stiller M3 3

31 Minterme Minterme einer Booleschen Funktion y(x,...,x 4 ): x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 Keine Minterme der Booleschen Funktion y(x,...,x 4 ): x x 2 x x 2 x 3 x 3 x 4 22 Burkhrd Stiller M3 3

32 Disjunktive Normlform Dmit läßt sich die disjunktive Normlform definieren: Definition: Es sei eine Boolesche Funktion y(x,...,x n ) gegeben. Ein Boolescher Ausdruck heißt disjunktive Normlform (DNF) der Funktion y, wenn er us einer disjunktiven Verknüpfung ller Minterme K i besteht: y = K K... K k, k 2 n - Es drf dbei keine zwei Konjunktionen K i, K j mit i j geben, die zueinnder äquivlent sind. 22 Burkhrd Stiller M3 32

33 Disjunktive Normlform Beispiele f (,b,c ) = b c b c b c ist in DNF. f (,b,c ) = b c b c b ( b c b c ) ist nicht in DNF, denn: b enthält nicht lle Vriblen b c und c b sind äquivlent ( b c b c ) ist keine reine Konjunktion 22 Burkhrd Stiller M3 33

34 Implikt Definition: Es sei D(x,...,x m ) eine Disjunktion von Literlen L i = L L m oder die Konstnte "" oder "" i {,...,m} Der Term D (x,...,x m ) heißt Implikt einer Booleschen Funktion y(x,...,x m ), wenn D y Ds heißt für jede Belegung B {,} n gilt: Wenn D(B) =, dnn ist uch y(b) =. 22 Burkhrd Stiller M3 34

35 Mxterm Definition: Ein Implikt einer Booleschen Funktion y(x,...,x m ) heißt Mxterm, wenn ein Literl jeder Vrible x i der Funktion y im Implikten genu einml vorkommt. Mxterm-Beispiele für die Booleschen Funktion y(x,...,x 3 ): x x 2 x 3 x x 2 x 3 22 Burkhrd Stiller M3 35

36 Konjunktive Normlform Definition: Es sei eine Boolesche Funktion y(x,...,x m ) gegeben. Ein Boolescher Ausdruck heißt konjunktive Normlform (KNF), wenn er us einer konjunktiven Verknüpfung ller Mxterme D i besteht: y = D D... D k, k 2 n - Es drf dbei keine zwei Disjunktionen D i, D j mit i j geben, die zueinnder äquivlent sind. 22 Burkhrd Stiller M3 36

37 Deutung: Disjunktive/Konjunktive Normlform Jeder Minterm einer DNF entspricht einer Zeile in der Funktionstbelle, die den Funktionswert liefert. Jeder Mxterm einer KNF entspricht einer Zeile in der Funktionstbelle, die den Funktionswert liefert. Disjunktive und konjunktive Normlformen sind eindeutige Drstellungen! Bis uf Permuttionen (z.b. bc, cb, bc, bc, cb, cb sind äquivlent) 22 Burkhrd Stiller M3 37

38 DNF und KNF In einer Funktion mit n Vriblen können bis zu 2 n Minterme bzw. Mxterme uftreten. Für n = 3 sind diese: Minterm b c b c b c b c b c b c b c b c Mxterm b c b c b c b c b c b c b c b c 22 Burkhrd Stiller M3 38

39 Beispiel: DNF und KNF Um eine Funktion zu beschreiben, reicht die Angbe ller Minterme (oder ller Mxterme) us. c b y Minterme Mxterme b c b c b c b c b c b c b c b c DNF: y = ( b c ) ( b c ) ( b c ) ( b c ) KNF: y = ( b c ) ( b c ) ( b c ) ( b c ) 22 Burkhrd Stiller M3 39

40 Herkunft der Bezeichnungen Funktionen us genu einem Minterm liefern für genu eine Belegung den Funktionswert, d.h., bgesehen von der trivilen Nullfunktion hben sie eine minimle Anzhl n Einsen. Entsprechend liefern Funktionen us nur einem Mxterm für genu eine Belegung ls Ergebnis, d.h., sie hben bgesehen von der Einsfunktion die mximle Anzhl n Einsen. 22 Burkhrd Stiller M3 4

41 DNF oder KNF us der Funktionstbelle DNF: Aus der Funktionstbelle einer Funktion erhält mn die Minterme, indem mn in llen Zeilen mit dem Funktionswert jeweils lle Eingngsvriblen mit verknüpft und dbei Eingngsvriblen mit dem Wert negiert. Durch die disjunktive Verknüpfung dieser Minterme knn ein Boolescher Funktionsusdruck in DNF hergeleitet werden. KNF: Aus der Funktionstbelle einer Funktion erhält mn die Mxterme, indem mn in llen Zeilen mit dem Funktionswert jeweils lle Eingngsvriblen mit verknüpft und dbei Eingngsvriblen mit dem Wert negiert. Durch die konjunktive Verknüpfung dieser Minterme knn ein Boolescher Funktionsusdruck in KNF hergeleitet werden. 22 Burkhrd Stiller M3 4

42 DNF oder KNF us beliebiger Form Um Funktionen us der DF bzw. KF in die DNF bzw. KNF zu überführen, ist der Shnnonsche Entwicklungsstz behilflich. Entwicklung nch der Vriblen x i : die Vrible wird in der Funktion uf den Wert gesetzt, der entstehende Term konjunktiv mit x i verknüpft, und -verknüpft mit: die Vrible wird in der Funktion uf den Wert gesetzt und der entstehende Term konjunktiv mit x i verknüpft y = f(x,..., x n ) = [ x i f(x,..., x i-,, x i+,..., x n )] [ x i f(x,..., x i-,, x i+,..., x n )] 22 Burkhrd Stiller M3 42

43 Beispiel: y = b c b b c Shnnon-Entwicklung nch und = [ b c b b c ] [ b c b b c ] H4: b = und H3: x = x = [ b c b c ] [ b b c ] Syntktische Anpssung der Terme, Sortierung von b nch nicht- und negierten Literlen und H3: x = x = [ b ( c ) b ( c ) ] [ b ( c ) b ( ) ] Erweiterung von c im letzten Term über H4: c c = = [ b ( c ) b ( c ) ] [ b c b ( c c ) ] Distributivgesetz (Ausmultiplizieren) = b c b c b c b c b c 22 Burkhrd Stiller M3 43

44 Beispiel: Shnnon-Bum b c b b c b c b c b b c b b b b c c c c c c c c c c c Nchdem die Funktion nch llen Vriblen entwickelt wurde, können die Minterme durch Verfolgen der Äste des Bums gefunden werden, die zu einer führen. 22 Burkhrd Stiller M3 44

45 DNF und KNF Wiederholung: Disjunktive und konjunktive Normlformen sind eindeutige Drstellungen! bis uf Permuttionen (z.b. bc, cb, bc, bc, cb, cb sind äquivlent) Beispiel: y = b c DNF: y = b c b c b c b c b c KNF: y = ( b c ) ( b c ) ( b c) 22 Burkhrd Stiller M3 45

46 Minimlformen () Ziele: Möglichst kurze Boolesche Ausdrücke für eine gegebene Boolesche Funktion. Technische Relisierung einer Schltung mit möglichst geringen Kosten. Ähnlich zum Aufbu der disjunktiven und konjunktiven Normlform gibt es eine disjunktive (DMF) und konjunktive (KMF) Minimlform. Es knn mehrere disjunktive und konjunktive Minimlformen für die gleiche Funktion geben. Beispiel: y = b b c c und y = c b c b stellen dieselbe Funktion dr, beides sind disjunktive Minimlformen. 22 Burkhrd Stiller M3 46

47 Minimlformen (2) Ds Auffinden einer Minimlform ist insbesondere für Funktionen mit einer größeren Anzhl von Vriblen keine trivile Aufgbe. Oft können nur suboptimle Lösungen unter Verwendung von Heuristiken gefunden werden. Bei Minimierungsverfhren geht mn in zwei Schritten vor: Es wird eine Menge von Impliknten bzw. Implikte der Funktion y mit einer möglichst geringen Anzhl von Literlen gebildet. Aus dieser Menge wird eine möglichst geringe Anzhl von Impliknten bzw. Implikte herusgesucht, deren Disjunktion bzw. Konjuktion die Funktion y ergeben. 22 Burkhrd Stiller M3 47

48 NAND/NOR-Konversion ( )-System (NAND-System) und ( )-System (NOR-System) sind vollständige Opertorensysteme beliebige disjunktive und konjunktive Ausdrücke können mit NAND- und NOR-Verknüpfungen drgestellt werden. Überführungen (vier Fälle):. Fll: Funktion in disjunktiver Form ( )-System 2. Fll: Funktion in disjunktiver Form ( )-System 3. Fll: Funktion in konjunktiver Form ( )-System 4. Fll: Funktion in konjunktiver Form ( )-System Wrum sind diese Überführungen relevnt? Einfche Implementierung in Hrdwre! NANDs/NORs sind sehr einfch in Schltungen relisierbr. 22 Burkhrd Stiller M3 48

49 NAND-Konvertierung (Beispiel:. Fll). Fll: Funktion in disjunktiver Form ( )-System Gegeben sei eine Funktion in disjunktiver Form. Überführung:. Doppelte Negtion 2. Anschließende Anwendung der DeMorgnschen Regeln Dnn erhält mn einen Ausdruck, der nur noch NAND ls Opertor enthält. 22 Burkhrd Stiller M3 49

50 Beispielrechnung y= b c b c b c b c = b c b c b c b c = b c b c b c b c = NAND 4 (NAND 3 (, b, c ), NAND 3 (, b, c), NAND 3 (, b, c ), NAND 3 (, b, c )) Dbei ist NAND k (x,...,x k ) eine k-stellige Funktion, für die gilt: NAND k (x,...,x k ) für x =... = x k = sonst 22 Burkhrd Stiller M3 5

51 NAND 2 -Funktion Drstellung der NAND 2 -Funktion durch den Opertor: Problem: Die Opertoren und sind nicht ssozitiv. ( x x 2 ) x 3 x ( x 2 x 3 ) ( x x 2 ) x 3 x ( x 2 x 3 ) NAND 3 (x, x 2, x 3 ) = x x 2 x 3 = (x x 2 ) x 3 (x x 2 ) x 3 = x x 2 x 3 x ( x 2 x 3 ) = x x 2 x 3 22 Burkhrd Stiller M3 5

52 Wichtige Zusmmenfssung Schltlgebr Boolesche Ausdrücke und Funktionen Vollständiger Opertorensysteme Drstellung Funktionstbelle Symbolische Form Shnnon Bum (Grph) Normlformen Produktterm und Literl Disjunktive Normlform: Impliknt und Minterm Zeile einer Funktionstbelle mit dem Funktionswert Konjunktive Normlform: Implikt und Mxterm Zeile einer Funktionstbelle mit dem Funktionswert Minimlformen Nicht eindeutig, ber kurz in Form notwendiger Min-/Mxterme 22 Burkhrd Stiller M3 52

53 Modul 3: Schltnetze Formle Grundlgen logischer Beschreibungen Boolesche Algebr, Schltlgebr Norml- und Minimlformen Relisierung von Schltnetzen uf Schlter- und Gtterebene Entwurf von Schltnetzen Logikminimierung, KV-Digrmme Progrmmierung von Funktionen Lufzeiteffekte bei Schltnetzen 22 Burkhrd Stiller M3 53

54 Relisierung von Schltnetzen Hierrchie: Register-Trnsfer-Ebene: logische Busteine ls Grundelemente (Grundlge der Progrmmierung) Multiplexer, Schieberegister, Addierer,... Gtterebene: logische Gtter UND, ODER, NAND,... In folgenden Modulen ein wenig diskutiert In M3 soeben theoretisch gezeigt, jetzt in Gtter übersetzt Schlterebene: Trnsistoren ls Schlter Elektrotechnische Grundlgen Lyoutebene: Trnsistortechnologie Elektrotechnische Grundlgen Beispiel in M erwähnt Beispiel in M erwähnt Bottom-up 22 Burkhrd Stiller M3 54

55 Gtterebene Abstrhierung von der internen Relisierung der Verknüpfungsbusteine Beschränkung uf ds logische Verhlten Abbildung logischer Funktionen uf Schltungen ohne tiefergehende elektrotechnische Kenntnisse Verknüpfungsbusteine werden durch Schltsymbole drgestellt 22 Burkhrd Stiller M3 55

56 Schltsymbole (DIN 49 Teil 2, ANSI/IEEE- Stndrd 9-984, IEC-Stndrd & US-Symbole) b & y y b b y b y UND-Verknüpfung ODER-Verknüpfung Negtion b & y b y b y b y NAND-Verknüpfung NOR-Verknüpfung Verknüpfungsbusteine dieser Art werden Gtter gennnt. 22 Burkhrd Stiller M3 56

57 Bedeutung der Zeichen & : ndere Schreibweise für : der Ausgng ist genu dnn, wenn n Eingängen eine liegt : Negtion Weitere Symbole, lte Drstellungen und die Logik hinter den Symbolen finden sich im Web! 22 Burkhrd Stiller M3 57

58 Antivlenz-Gtter Aus einfcheren Gttern lssen sich hierrchisch komplexere Gtter ufbuen, die teilweise eigene Symbole besitzen. b & / b Antivlenz ls Komposition fünf einfcherer Schltglieder. Geeignet zur Überluferkennung (siehe M2) b = / b 22 Burkhrd Stiller M3 58

59 Äquivlenz-Gtter b & & b b = b Äquivlenz ls Komposition fünf einfcherer Schltglieder. 22 Burkhrd Stiller M3 59

60 Modul 3: Schltnetze Formle Grundlgen logischer Beschreibungen Boolesche Algebr, Schltlgebr Norml- und Minimlformen Relisierung von Schltnetzen uf Schlter- und Gtterebene Entwurf von Schltnetzen Logikminimierung, KV-Digrmme Progrmmierung von Funktionen Lufzeiteffekte bei Schltnetzen 22 Burkhrd Stiller M3 6

61 Entwurf von Schltnetzen () Prktischer Entwurf von Schltnetzen muß bechten, dß rele Gtter keine idelen Verknüpfungen sind, sondern z.b. Wärme bgeben, rele Gtter Pltz benötigen (Qudrtmicrometer), rele Gtter Verzögerungszeiten besitzen (Microsekunden),... Teil : Technische Kriterien: Leistungsufnhme, Schltzeit, Pltzbedrf, Mteril, Lebensduer Korrekte Relisierung unter Bechtung des sttischen und dynmischen Verhltens der verwendeten Buelemente (Hsrds und Wettläufe) Berücksichtigung technischer Beschränkungen, z.b. begrenzte Anzhl von Eingängen der Logikelemente, begrenzte Belstbrkeit von Elementusgängen 22 Burkhrd Stiller M3 6

62 Entwurf von Schltnetzen (2) Teil 2: Ökonomische Kriterien Geringe Kosten für den Entwurf (Entwurfsufwnd), z.b. Lohnkosten, Kosten für Rechnerbenutzung zur Entwurfsunterstützung Geringe Kosten für die Relisierung (Relisierungsufwnd), z.b. Kosten für die eingesetzten Buelemente (bei der Herstellung integrierter Schltkreise wird die Relisierung uf einer möglichst kleinen Chipfläche gefordert) Geringe Kosten für Inbetriebnhme, lufenden Betrieb, z.b. Test, Wrtung 22 Burkhrd Stiller M3 62

63 Entwurf von Schltnetzen (3) Grenzen zwischen technischen und ökonomischen Kriterien sind teilweise fließend. Einzelne Kriterien stehen uch im Widerspruch zueinnder. z.b. Erhöhung der Zuverlässigkeit Erhöhung der Kosten geringere Relisierungskosten höhere Entwurfskosten Aufgbe des Entwerfers besteht drin, für eine bestimmte Problemstellung den günstigsten Kompromiss zu finden. Ziel des Entwurfs: Unter Einhltung bestimmter technischer Kriterien vor llem einen günstigen Kompromiss bezüglich der ökonomischen Kriterien nzustreben, um so zu einem Minimum n Gesmtkosten zu gelngen. 22 Burkhrd Stiller M3 63

64 Minimierungsverfhren Grundlge: Relisierung der Schltnetze in zweistufiger Form Drstellungsform, deren Relisierung die geringsten Kosten verurscht, bezeichnet mn ls Minimlform Der Vorgng der Erzeugung einer Minimlform wird ls Minimierung bezeichnet. Es gibt drei Arten von Minimierungsverfhren: Algebrische Verfhren Grphische Verfhren Tbellrische Verfhren Algebrische und grphische Verfhren eignen sich nur für Funktionen mit bis zu 5/6 Vriblen, dnch werden sie zu unübersichtlich. Dnch wendet mn tbellrische Verfhren n. 22 Burkhrd Stiller M3 64

65 Prktische Einordnung Aufgbenstellung Primterme Auswhl Vriblennzhl 6 KV-Digrmm KV-Digrmm Überdeckungstbelle Geg. DF(KF) Ges. DMF(KMF) [Disj./Konj. Minimlform] Geg. DF(KF) Ges. KMF(DMF) [Disj./Konj. Form] Consensus Quine-McCluskey Nelson Überdeckungstbelle Überdeckungstbelle Für erweiterte/leistungsfähigere Verfhren wird uf die Litertur verwiesen! 22 Burkhrd Stiller M3 65

66 Grphische Verfhren Ds KV-Digrmm (nch Krnugh und Veith) Auch oft nur Krnugh mp, Krnugh-Digrmm Ausgngspunkt ist ein Rechteck, dessen rechte Hälfte der Vriblen und dessen linke Hälfte zugeordnet wird: KV-Digrmm für eine Vrible 22 Burkhrd Stiller M3 66

67 KV-Digrmm () Die Zhl in den Feldern gibt den Index der Vriblenbelegung n: Index des Minterms, der dort den Wert nnimmt. Durch Eintrgen der Whrheitswerte oder in die Felder des KV-Digrmms wird eine Boolesche Funktion chrkterisiert. Ds KV-Digrmm ist eine weitere Drstellungsform Boolescher Funktionen (Alterntive zur Funktionstbelle). y: y = z: z = 22 Burkhrd Stiller M3 67

68 KV-Digrmme (2) KV-Digrmme für mehrere Vrible erhält mn durch Spiegelung (für jede neue Vrible verdoppelt sich die Anzhl der möglichen Belegungen) 2 3 b b b c d b c 5 4 b c 22 Burkhrd Stiller M3 68

69 KV-Digrmme (3) Jedes Feld ht eine eindeutige Vriblenzuordnung, die n den Rändern bgelesen werden knn: Feld ht die Zuordnung: b c d. Der Index in den Feldern gibt den Index der zum Feld gehörenden Vriblenbelegung n (Vriblen in umgekehrter lphbetischer Reihenfolge ngetrgen). Feld = 2 = d c b d b c c b 22 Burkhrd Stiller M3 69

70 KV-Digrmme Erstellung () Funktion sei in Tbellenform gegeben: Jede Zeile der Funktionstbelle entspricht einem Feld im KV-Digrmm. Für jede Zeile der Funktionstbelle sucht mn ds zugehörige Feld im KV- Digrmm und trägt den Funktionswert ein. Trick, um ds Auffinden der Felder im KV-Digrmm zu erleichtern: Mn schreibt die Eingngsvriblen in umgekehrter lphbetischer Reihenfolge in die Tbelle. Dnn knn ds KV-Digrmm gemäß der Indizierung seiner Felder mit den Werten usgefüllt werden, welche die Tbelle beim Durchlufen von oben nch unten liefert. 22 Burkhrd Stiller M3 7

71 KV-Digrmme Erstellung (2) Beispiel: y = b b c b c Funktionstbelle: Index c b y Dmit ergibt sich ds folgende KV-Digrmm: c 4 6 b 22 Burkhrd Stiller M3 7

72 Eigenschften der KV-Digrmme () Wesentliche Eigenschft: Symmetrisch zu einer Achse liegende Minterme unterscheiden sich lediglich in einer Vriblen. Beispiel: Minterm = c b Minterm = c b 5 4 oder Minterm = c b Minterm 4 = c b c 6 b oder Minterm = c b Minterm 3 = c b 22 Burkhrd Stiller M3 72

73 Eigenschften der KV-Digrmme (2) Nch den Regeln der Booleschen Algebr lssen sich Terme, die sich nur in einer Vriblen unterscheiden, zusmmenfssen: Beispiel: b c b c = b ( c c ) = b Es entsteht ein Term ohne diese Vrible. Symmetrisch zu den Achsen des KV-Digrmms liegende Minterme lssen sich zu einem einfcheren Term zusmmenfssen c 4 6 b 22 Burkhrd Stiller M3 73

74 Definition: Primimpliknt Ein Impliknt p ist Primimpliknt, flls es keinen Impliknten q p gibt, der von p impliziert wird q: q p (p q) d.h., p ist von größtmöglicher Ordnung (p umfsst einen mximl großen Einsblock). Es gilt: Jede Funktion ist ls Disjunktion ihrer Primimpliknten drstellbr. 22 Burkhrd Stiller M3 74

75 Heruslesen der Primimpliknten Heruslesen der Primimpliknten us dem KV-Digrmm: Mn versucht, möglichst große Blöcke von Einsen im Digrmm zu finden, wobei jeder Einsblock 2 k Felder umfssen muß. Beispiel: f= b c c b c 22 Burkhrd Stiller M3 75

76 Beispiel c 5 7 c b b Vier Minterme: ( b c, b c, b c, b c) Drei Primimpliknten: Impliknten erster Ordnung ( b, c, b c) Aber: ( b, b c) genügen eigentlich! f = b c b c b c b c = b c b c = b b c 22 Burkhrd Stiller M3 76

77 Heruslesen einer Funktion Auffrischung: Definition: Es sei D(x,...,x m ) eine Disjunktion von Literlen L i = L L m oder die Konstnte oder Der Term D (x,...,x m ) heißt Implikt einer Booleschen Funktion y(x,...,x m ) [f Funktion von x i ], wenn D y [y Produktterm us Literlen dieser x i ] Ds heißt für jede Belegung B {,} n gilt: Wenn D(B) =, dnn ist uch y(b) =. yist Impliknt von y, wenn y die Funktion y impliziert, d.h. wenn die Menge ller Einsstellen von y in der Menge ller Einsstellen von y enthlten ist. 22 Burkhrd Stiller M3 77

78 Beispiel () Beispiel: f = Minterme (,2,4,5,6,7) f : c 4 6 b c 6 b c 4 6 b c 4 6 b g = b c g = b c g = ist Impliknt ist Impliknt ist Impliknt 22 Burkhrd Stiller M3 78

79 Beispiel (2) Beispiel: f = Minterme (,2,4,5,6,7) f : b c c 4 6 b c 4 6 b c 4 6 b g = b ist KEIN Impliknt g = c g = c ist Impliknt ist KEIN Impliknt (Impl.) 22 Burkhrd Stiller M3 79

80 Implementtion von Funktionen Implementtion regelmäßig wiederkehrender Funktionen. Zwei Vrinten werden diskutiert: Über Multiplexer/Demultiplexer Speicher Ein Multiplexer (Abkürzung: MUX) ist ein Bustein mit mehreren Eingängen und einem Ausgng, wobei über n Steuerleitungen einer der 2 n Eingänge uf den Ausgng geschltet wird. Multiplexer werden nch ihrer Größe ls 2 n : - Multiplexer (lterntiv ls -us-2 n - Multiplexer) klssifiziert. 22 Burkhrd Stiller M3 8

81 -us-4-multiplexer Schltbild und logisches Verhlten: s s e e e 2 e 3 MUX G s s e e e 2 e 3 s s e e e 2 e 3 22 Burkhrd Stiller M3 8

82 Logische Funktionen mit Multiplexern Ein Multiplexer knn nicht nur zur Steuerung von Dtenflüssen sondern uch zur Relisierung logischer Funktionen verwendet werden. Mn knn mit einem 2 n : - Multiplexer eine logische Funktion mit n+ Vriblen implementieren. Hierzu wird die sog. Implementierungstbelle verwendet. 22 Burkhrd Stiller M3 82

83 Implementierungstbelle Die Tbelle besteht us: 2 n Splten für die möglichen Belegungen der n Steuereingänge 2 Zeilen für die negierte und nicht negierte (n+)-te Vrible In die Tbelle werden die Funktionswerte in Abhängigkeit von den Vriblen eingetrgen. Anschließend betrchtet mn jede Splte für sich und ordnet ihr eine einstellige Funktion g {,,, } zu, mit der dnn der Eingng belegt wird, der zu der entsprechenden Steuervriblenkombintion gehört. 22 Burkhrd Stiller M3 83

84 Beispiel Relisierung einer Funktion mit Multiplexer: f = c b c b c Implementierungstbelle bei Whl von b und c ls Steuereingänge: c b = = f= b c } Relisierung G MUX f 22 Burkhrd Stiller M3 84

85 Demultiplexer/Dekoder () Der zum Multiplexer korrespondierende Bustein, der einen Eingng bhängig von n Steuerleitungen uf einen von 2 n Ausgängen schltet, heißt Demultiplexer. Beispiel: s s e } G DX s s e e e e 2 3 Schltbild und logisches Verhlten eines -uf-4-demultiplexers 22 Burkhrd Stiller M3 85

86 Demultiplexer/Dekoder (2) Mn bechte: der Demultiplexer ht einen Enble-Eingng e sowie n Eingänge s i für eine Dulzhl, die n den 2 n Ausgängen j dekodiert bereitgestellt wird. Enble-Eingng e =, dnn liegen lle Ausgänge uf nsonsten wird eine 2-bit-Zhl dekodiert, z.b. wird bei Anlegen der Zhl 2 (s =, s = ) der Ausgng 2 = und lle nderen Ausgänge bleiben. Der Demultiplexer wird deshlb uch Dekoder gennnt. (Speich.) 22 Burkhrd Stiller M3 86

87 Relisierung mittels Speicherbusteinen Bei den bisher behndelten Busteinen (Gtter, Multiplexer, Dekoder) wr die Funktion fest vorgegeben. festverdrhtete Logik Höherintegrierte Verknüpfungsbusteine müssen die Flexibilität bieten, n viele verschiedene Anwendungen npßbr zu sein. Diese Anpssung wird ls Personlisierung oder ls Progrmmierung bezeichnet. mikroprogrmmierte Logik (siehe M6 für entsprechende CPUs) 22 Burkhrd Stiller M3 87

88 Schemtischer Aufbu eines Speicherbusteins Speichernordnung, in der beliebige Funktionstbellen bgelegt werden. n Eingngsvriblen n- DX G n 2-2 n Minterme/ Adressen 2 n 2 n 2 n.... m- m Ausgngsvriblen 22 Burkhrd Stiller M3 88

89 Orgnistion von Speicherbusteinen 22 Burkhrd Stiller M3 89

90 Erläuterung zum Speicherbustein Durch ds Anlegen von Eingngssignlen wird eine Speicherzelle usgewählt (dressiert) und der dort gespeicherte Funktionswert n den Ausgängen zur Verfügung gestellt. Die Leitungen, die den Dekoder verlssen, entsprechen lso den Mintermen von n Eingngsvriblen, lso den Zeilen der Funktionstbelle. Ds Speichern einer für eine bestimmte Ausgngsvrible i bedeutet, dß dieser Minterm in die ODER-Verknüpfung m i- ten Ausgng einbezogen wird, eine heißt, dß der Minterm nicht benutzt wird. 22 Burkhrd Stiller M3 9

91 Speichertypen () Je nch Personlisierung des Speicherbusteins unterscheidet mn verschiedene Speichertypen. ROM (Red Only Memory): Speicherbusteine, uf die nur lesend zugegriffen werden knn. Progrmmierung beim Hersteller (mskenprogrmmierbre ROMs), wird während der gnzen Lebenszeit des Busteins beibehlten. 22 Burkhrd Stiller M3 9

92 Speichertypen (2) PROM (Progrmmble Red Only Memory): Progrmmierbre ROMs, die erst vom Benutzer progrmmiert werden. Progrmmierung: Durchbrennen von mikroskopisch kleinen Verbindungen (engl.: fusible link) Auf den Bustein ufgebrchte Ldungen, die über Jhre hinweg durch physiklische Prozesse festgehlten werden (engl.: stored chrge). 22 Burkhrd Stiller M3 92

93 Speichertypen (3) EPROM (Ersble Progrmmble Red Only Memory): Ein benutzerprogrmmierbrer Speicherbustein, durch UV- Licht wieder löschbr und dnn neu progrmmierbr. Qurzfenster uf der Busteinoberfläche. Es gibt uch Speicherbusteine, die elektrisch (durch ds Anlegen höherer Spnnungen) gelöscht werden können EEPROM: Electriclly Ersble PROM EAROM: Electriclly Alternble ROM. Anwendung z.b. Speicher bei Digitlkmers (Compct Flsh, Memory Stick) 22 Burkhrd Stiller M3 93

94 Speichertypen (4) RAM (Rndom Access Memory): Speicher, uf die während des Normlbetriebs lesend und schreibend zugegriffen werden knn. Ein RAM-Bustein verliert seine Progrmmierung, wenn er von der Spnnungsversorgung bgetrennt wird. Mn unterscheidet : Dynmische RAM-Busteine (DRAM) Sttische RAM-Busteine (SRAM). 22 Burkhrd Stiller M3 94

95 Dynmische RAM-Busteine (DRAM) Ein Kondenstor dient ls Ldungsspeicher, und ein Trnsistor wird zum Ankoppeln n diesen Ldungsspeicher benötigt. Der Speicherinhlt muß in regelmäßigen Zeitbständen ufgefrischt" werden (memory refresh). 22 Burkhrd Stiller M3 95

96 Sttische RAM-Busteine (SRAM) Als Speicherzelle wird ein Flipflop verwendet (Erklärung folgt in Modul 4). Die Speicherzelle hält ihre Progrmmierung uch ohne Regenertion. Die Zugriffszeit bei einem sttischen RAM ist wesentlich kürzer ls bei einem dynmischen RAM. Eine sttische Speicherzelle benötigt etw 6 bis 8 Trnsistoren, eine dynmische dgegen deutlich weniger (z.b. ein Trnsistor). 22 Burkhrd Stiller M3 96

97 Memresistor 22 Burkhrd Stiller M3 97

98 Gegenüberstellung von RAMs und ROMs Unterschiede zwischen RAMs und ROMs betreffen vor llem: Lese-/Schreib-Möglichkeiten (RW; red-write) Zugriffszeiten (ZZ; für R/W) Speicherpermnenz ohne Spnnungsversorgung (SP) Relisierbre Speichergröße (SG) 22 Burkhrd Stiller M3 98

99 PLA (Progrmmble Logic Arry) Bisher wurde die gesmte Funktionstbelle in einem Speicherbusteinen bgespeichert und die Funktion durch ihre DNF (Disjunktive Normlform) relisiert. Verwendet mn stttdessen die DMF (Disjunktive Minimlform), lssen sich Funktionen oft sehr viel kompkter drstellen. PLA (Progrmmble Logic Arry): Im Unterschied zum ROM werden bei PLA eingngsseitig nicht Minterme, sondern Primimpliknten der Minimlüberdeckung erzeugt. Dzu wird der Dekoder durch eine UND-Mtrix ersetzt. 22 Burkhrd Stiller M3 99

100 FPLA und PAL PLAs werden ähnlich wie ROMs bereits bei der Herstellung personlisiert. Ein vom Benutzer zu progrmmierendes PLA mit fest vorgegebener Anzhl von Eingngsvriblen n, Produkttermen k und Ausgngsvriblen m wird FPLA (field progrmmble logic rry) gennnt. Alterntiv dzu werden PAL-Busteine (progrmmble rry logic) ngeboten, bei denen die UND- bzw. ODER-Mtrix bereits in der Herstellung personlisiert wurde. 22 Burkhrd Stiller M3

101 Beispiel: PAL-Relisierung Die (schon minimierten) Funktionen f = b c und f 2 = c c b c sollen mit einem PAL relisiert werden: b c & c c b b c f f 2 22 Burkhrd Stiller M3

102 Modul 3: Schltnetze Formle Grundlgen logischer Beschreibungen Boolesche Algebr, Schltlgebr Norml- und Minimlformen Relisierung von Schltnetzen uf Schlter- und Gtterebene Entwurf von Schltnetzen Logikminimierung, KV-Digrmme Progrmmierung von Funktionen Lufzeiteffekte bei Schltnetzen 22 Burkhrd Stiller M3 2

103 Lufzeiteffekte Auf der Gtterebene wurden die Gtter bisher ls idele logische Verknüpfungen betrchtet. In der Relität werden Gtter jedoch z.b. mittels Trnsistoren, Widerstände, Kpzitäten relisiert (Lyoutebene). Der zeitliche Signl-Verluf eines relen Gtters weicht vom Verluf der idelen booleschen Größen b. 22 Burkhrd Stiller M3 3

104 Reler und ideler Signlverluf (Inverter) U x(t) x(t) U y(t) y(t) x(t) U x(t) Zeit t Eingngsspnnung Ausgngsspnnung y(t) U (t) y Zeit t 22 Burkhrd Stiller M3 4

105 Relistischere Beschreibung von Gttern Um die Effekte uf der Gtterebene nnähernd zu beschreiben, gibt es eine Reihe verschieden komplexer Modelle. Einfches Modell: Totzeitmodell Es werden lediglich die durch Gtter und Leitungen entstehenden Totzeiten berücksichtigt. Ein reles Verküpfungsglied (Gtter) wird modelliert durch: Ein ideles Verknüpfungsglied ohne Verzögerungsnteil und Ein Totzeitglied ls reines Verzögerungsglied (steht für die Schltzeit des Gtters und ggf. für Leitungsverzögerungen). Ds zeitliche Verhlten einer binären Größe hinter einem Totzeitglied ist dsselbe wie dsjenige vor dem Totzeitglied, ber um die Zeit τ versetzt: τ (t) b(t) = (t- τ) 22 Burkhrd Stiller M3 5

106 Beispiel: Totzeitmodell eines Inverters Mit Hilfe dieses einfchen Modells lssen sich Lufzeiteffekte bereits sehr gut modellieren (uch wenn dieses Modell noch sehr idelisierend ist!). x(t) x τ y y(t) τ τ 22 Burkhrd Stiller M3 6

107 Beispiel: Inverternwendung Gegeben: e = e e = Beide Gtter hben eine Verzögerungszeit von ns. 22 Burkhrd Stiller M3 7

108 Zeit-Digrmm e τ τ e t/ns 22 Burkhrd Stiller M3 8

109 Verhlten eines Schltnetzes bei Änderung der Eingbebelegung () Ideles Schltnetz: Ds Ausgngssignl ändert sich nicht, wenn lte und neue Belegung denselben logischen Verknüpfungswert liefern. Ds Ausgngssignl ändert sich genu einml, wenn lte und neue Belegung verschiedene logische Verknüpfungswerte liefern. 22 Burkhrd Stiller M3 9

110 Verhlten eines Schltnetzes bei Änderung der Eingbebelegung (2) Reles Schltnetz: Die Änderung läuft uf verschieden lngen Wegen mit verschiedenen Verzögerungen durch ds Schltnetz. Mehrfche Änderungen des Ausgngssignls sind möglich, bis sich der stbile Endwert einstellt Hsrdfehler 22 Burkhrd Stiller M3

111 Beispiel Funktion: = e e 2 e e 3 e τ x & τ x 2 e 2 & 3 τ x 3 τ e 3 e e 3 e 2 22 Burkhrd Stiller M3

112 Eingbewechsel Es sollen die folgenden Eingbewechsel betrchtet werden: ) Die Eingänge e 2 und e 3 seien konstnt, der Eingng e wechsle von uf b) Die Eingänge e 2 und e 3 seien konstnt, der Eingng e wechsle von uf 22 Burkhrd Stiller M3 2

113 Funktion: = e e 2 e e 3 Funktionswerte bei den Übergängen: (e 3,e 2,e ) = (,,) = (e 3,e 2,e ) = (,,) = korrektes Verhlten bei den Übergängen. e e 3 e 2 Bei beiden Übergängen drf sich der Wert von nicht ändern. Er muß konstnt bleiben. Genu dieses Verhlten knn jedoch nicht grntiert werden! 22 Burkhrd Stiller M3 3

114 Ds Verhlten nhnd des Totzeitmodells e τ x & τ x2 e e 2 t e 2 e 3 e 3 & 3τ x 3 τ τ x 3 τ x 2 τ x 3 τ τ Hsrdfehler 22 Burkhrd Stiller M3 4

115 Ds Verhlten nhnd des Totzeitmodells t e τ x & τ x2 e e 2 e 2 e 3 e 3 & 3τ x 3 τ τ x τ x 2 3 τ x 3 kein Hsrdfehler 22 Burkhrd Stiller M3 5

116 Ergebnis Beim Wechsel e von uf liefert ds Ausgngssignl nicht ständig den korrekten Funktionswert Hsrdfehler Beim Wechsel e von uf ist ds Ausgngssignl hingegen korrekt 22 Burkhrd Stiller M3 6

117 Begriffe: Eingbewechsel, Übergng Definition: Ein Eingbewechsel ist die Änderung einer oder mehrerer Eingngsvriblen zu einem bestimmten Zeitpunkt. Flls sich mehrere Eingngsvriblen ändern sollen, so müssen sie dies gleichzeitig tun. Definition: Ein Übergng ist der Vorgng im Schltnetz, der vom Eingbewechsel usgelöst wird. Er beginnt mit dem Eingbewechsel und endet mit dem Eintreten des neuen Ruhezustndes. 22 Burkhrd Stiller M3 7

118 Begriffe: Hsrdfehler - Hsrd Definition: Ein Hsrdfehler ist eine mehrmlige Änderung der Ausgngsvriblen während eines Übergngs. Definition: Ein Hsrd ist die durch ds Schltnetz gegebene logischstrukturelle Vorbedingung für einen Hsrdfehler, ohne Berücksichtigung der konkreten Verzögerungswerte. 22 Burkhrd Stiller M3 8

119 Hsrdbehftete Übergänge () Jeder Hsrd ist eine Eigenschft eines bestimmten Übergnges im Schltnetz. Zur Betrchtung, ob ein bestimmter Übergng hsrdbehftet ist oder nicht, interessiert nur: Die logische Funktion, die durch ds Schltnetz relisiert wird. Die Struktur des Schltnetzes, d.h. die Anzhl, die Verknüpfungsfunktionen und die genue Anordnung der Gtter zur Relisierung der Funktion, nicht jedoch die ttsächlichen Verzögerungswerte der verwendeten Gtter. 22 Burkhrd Stiller M3 9

120 Hsrdbehftete Übergänge (2) Tritt in einem konkreten Schltnetz bei einem bestimmten Übergng ein Hsrdfehler uf, so ist dieser Übergng hsrdbehftet, lso: Hsrdfehler Hsrd Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Ist ein Übergng hsrdbehftet, so folgt hierus nicht notwendigerweise ds Eintreten eines Hsrdfehlers. Hsrd ungünstige Verzögerungswerte Hsrdfehler 22 Burkhrd Stiller M3 2

121 Beispiel e e 2 e 3 t e e 2 e 3 t τ x τ x 2 3 τ x 3 τ τ Hsrdfehler x x 2 x 3 kein Hsrdfehler Der Übergng (e 3,e 2,e ) : (,,) (,,) ist hsrdbehftet, d es die Möglichkeit zu einem Hsrdfehler gibt. τ τ 3τ 22 Burkhrd Stiller M3 2

122 Funktionshsrd Definition: Ein Funktionshsrd ist ein Hsrd, dessen Ursche in der zu relisierenden Funktion liegt. Er tritt in jedem möglichen Schltnetz für diese Funktion uf. Er knn nicht behoben werden. Für ein konkretes Schltnetz mit Funktionshsrd knn zwr der Funktionshsrdfehler durch günstige Whl der Verzögerungswerte behoben werden, nicht jedoch der Hsrd selbst. 22 Burkhrd Stiller M3 22

123 Strukturhsrd Definition: Ein Strukturhsrd ist ein Hsrd, dessen Ursche in der Struktur des relisierten Schltnetzes liegt. Ein Strukturhsrd knn deshlb immer durch Änderung der Schltnetzstruktur bei gleicher Schltnetzfunktion behoben werden. Es ist grundsätzlich möglich, ein nderes Schltnetz zu entwerfen, welches dieselbe Funktion relisiert und den Strukturhsrd beseitigt. 22 Burkhrd Stiller M3 23

124 Sttischer -Hsrd Anlog zu den Übergängen werden die Hsrds ls sttisch bzw. dynmisch bezeichnet, je nchdem, bei welcher Art von Übergng sie uftreten. Ein Hsrd in einem sttischen -Übergng heißt sttischer - Hsrd. Beispiele für sttische -Hsrdfehler: 22 Burkhrd Stiller M3 24

125 Sttischer -Hsrd Ein Hsrd in einem sttischen -Übergng heißt sttischer - Hsrd. Beispiele für sttische -Hsrdfehler: Der Übergng (,,) (,,) im Beispiel enthält lso einen sttischen -Hsrd. 22 Burkhrd Stiller M3 25

126 Dynmischer -Hsrd Ein Hsrd in einem dynmischen -Übergng heißt dynmischer -Hsrd. Beispiele für dynmische -Hsrdfehler: 22 Burkhrd Stiller M3 26

127 Dynmischer -Hsrd Ein Hsrd in einem dynmischen -Übergng heißt dynmischer -Hsrd. Beispiele für dynmische -Hsrdfehler: 22 Burkhrd Stiller M3 27

128 Klssifizierung von Hsrds Übergng Sttisch Dynmisch 22 Burkhrd Stiller M3 28

129 Übergngsbeispiele e e 3 e 2 Sttischer -Übergng: Übergng (e 3,e 2,e ): (,,) (,,) Dynmischer -Übergng: Übergng (e 3,e 2,e ): (,,) (,,) Dynmischer -Übergng Übergng in umgekehrter Richtung: (,,) (,,) 22 Burkhrd Stiller M3 29