Technische Universität Berlin

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1 echnsche Unverstät Berln Fakultät V Lehrstuhl für Kontnuumsmechank und Materaltheore LKM Wssenschaftlche Arbet zur Erlangung des Grades enes Bachelor-Ingeneurs an der echnschen Unverstät Berln Analyse der temperaturabhänggen Zugprüfung mttels Fnte Elementen Methode Von Cand. B. Sc. Ayman Khodor Matr. -Nr Betreuer Prof. Dr. rer. nat. Wolfgang. H. Müller M. Sc. Emek Abal Berln, 11 November 2011

2 Inhaltverzechns Inhaltverzechns... 2 Abbldungsverzechns... 4 abellenverzechns... 5 Danksagung... 6 Enletung Wärmetransport n enem Festkörper Festkörper Festkörpern mt krstallner Struktur Festkörper mt amorpher Struktur Wärmetransport Wärmeletung Konvekton Wärmestrahlung Verfahren zur emperaturmessung Berührungsbehaftete emperaturmessung hermoelement Berührungsfree emperaturmessung Pyrometer Wärmeletfähgket Statonäre Messmethoden Nchtstatonären Messmethoden Verglech von statonären und nstatonären Messmethoden Angewendete Messverfahren zur Bestmmung der Wärmeletfähgket Berührungsbehaftete Messmethoden Berührungsfree Messmethoden Darstellung des Koordnatensystems

3 3.5.1 Räumlche Darstellung Materelle Darstellung Auftelen der Wärmeletfähgketsmessmethoden nach dem materellen und räumlchen Koordnatensystem Wrkung auf de Messergebnsse De Varatonelle Form und de numersche Berechnung Varatonelle Formulerung Numersche Lösung der Dfferentalglechung Erstellung des FE-Modells Importeren m FEnCS Daten des verwendeten Materals Smulatonsergebnsse Plausbltätsprüfung Zusammenfassung Anhang Edesstattlche Erklärung Quellenverzechns

4 Abbldungsverzechns Abbldung 1: Verglech der Wärmeletfähgket n Abhänggket der emperatur zwschen renen und legerten Metallen [4]... 9 Abbldung 2: Wärmeletfähgket für amorphe und krstallne Körperstruktur be verschedenen emperaturen [1] Abbldung 3: Schema des Seebeck-Effekts Abbldung 4: Grundschaltung von hermoelement [15] Abbldung 5: Funktonsprnzp von Pyrometer [16] Abbldung 6: Aufbau enes Enplattengeräts [10] Abbldung 7: Aufbau enes Zweplattengeräts [10] Abbldung 8: Rohrapparatur [10] Abbldung 9: Messung mthlfe von Hezdrahtverfahren Abbldung 10: Laser-Flash-Methode [12] Abbldung 11: Messung mt enem hermoscan [14] Abbldung 12: Verlauf der emperatur m Bezug zur Fokuslne be hermoscan[14] Abbldung 13: Paramagnetsches Messgerät [5] Abbldung 14: Räumlche Darstellung be der Bestmmung der Wärmeletfähgket Abbldung 15: Materelle Darstellung be der Bestmmung der Wärmeletfähgket Abbldung 16: Wärmeletfähgketsbestmmung für dre Messverfahren n Abhänggket der emperatur [14] Abbldung 17: Aufscht des Epermentaufbaus Abbldung 18: Geometreerstellung n 2D Abbldung 19: Vernetzung der Probe Abbldung 20: emperaturverlauf des Modells be der vorgegebener Belastungstemperatur. 33 Abbldung 21: Schnttanscht des Modells Abbldung 22: emperaturverlauf der Ist-emperatur für = Abbldung 23: Plausbltätstest für = Abbldung 24: Plausbltätstest für unendlch größer als

5 abellenverzechns abelle 1: Verglech zwschen statonären und nstatonären Messmethoden [11] abelle 2: Sorteren der genannten Messmethoden nach dre Kategoren abelle 3: Materaldaten von der Probe [7][6]

6 Danksagung Dese Bachelorarbet wurde m Rahmen menes Ingeneurstudums m Studengang Maschnenbau an der echnschen Unverstät Berln m Zetraum vom bs zum verfasst. Men herzlcher Dank glt Prof. Dr. rer. nat. W. H. Müller und Dpl.-Ing. Holger Worrack für de Möglchket zur Durchführung deser Arbet. Des Weteren bedanke ch mch be M.Sc. Emek Abal für de hervorragende Betreuung und für de ausgezechnete Unterstützung während deser Zet. 6

7 Enletung Im technschen Snne befasst sch de Aufbau- und Verbndungstechnk n der Mkroelektronk mt der stoffschlüssgen Verbndung zwschen mndestens zwe Fügepartnern. Heutzutage snd de Lotverbndungen n der Lestungselektronk engesetzt. Er dent dazu klene Bauelemente we Kondensatoren mt dem Chp zu verbnden. De Anwender heutger Elektronkprodukte, we bespelswese Computer und Handys, verlangen ene komfortablere Herstellung. Das bedeutet klenere und lechtere Bautele mt lestungsstarken Fähgketen. Das erfordert ene höhere thermsche und mechansche Belastbarket des Lotmaterals. Um de Materalverhalten untersuchen zu können, wrd en Eperment durchgeführt, nämlch en Mkrozugtest unter verschedenen emperaturen. Dadurch lässt sch der temperaturabhängge Elastztätsmodul bestmmen. Er bezechnet we vel Wderstand en Materal sener Verformung entgegensetzt. Dazu werden ene Spule zur emperaturerhöhung und en Ventlator zur besseren Wärmekonvekton, zusammen mt der Probe n ene geschlossene Kammer engesetzt. Zur Begnn der estdurchführung entsprcht de Probentemperatur der emperatur der Kammer. Dese st als 299 Kelvn (Raumtemperatur) vorausgesetzt. Mt der Erhöhung der emperatur stegt zuglech de emperatur der Probe, angefangen von der Oberfläche. Das Zel der Arbet st zu defneren, we schnell sch de Probe auf de Kammertemperatur ankommt. De Versuchsdurchführung darf erst ausgeführt werden, wenn man de emperaturvertelung n der Probe nach bestmmter Zet erkannt hat. In Kaptel 1 werden de Krteren behandelt, wonach Festkörpern klassfzert werden. Dese Untertelung beruht auf der nneren Strukturform des Körpers. De verschedenen Wärmetransportmechansmen snd auch n desem Kaptel erklärt. Kaptel 2 behandelt de Arten der emperaturmessungen. In Kaptel 3 snd de Verfahren zur Messung der Wärmeletfähgket enes Systems erklärt, welche de Wärmeübertragung m Festkörper bestmmen. Es gbt zwe Darstellungen des Koordnatensystems. De räumlche oder materelle Beschrebung des Systems und de Untertelung der beschrebenen Messverfahren beendet Kaptel 3 mt ener Dskusson über den möglchen Enfluss auf de Messung. De Wärmeletfähgket st ene temperaturabhängge Funkton, de von der Auswahl der Darstellung unabhängg st. In Kaptel 4 st de Blanz der Energe auf de varatonelle Form gebracht, welche durch numersche Verfahren, Methode der fnten Elementen (FEM) m Ort und Methode der fnten Dfferenzen n der Zet, auf ene appromatve Lösung führt. Zur Programmerung und Berechnung snd FE- 7

8 ncs 1 fre verfügbare Pakete angewendet und der Code zur Arbet angehängt. Wegen der Mangel deser Pakete zur Beschrebung der komplzerten Geometre, st das Model n Abaqus 2 gefertgt. Alle Ergebnsse der Smulaton snd durch ParaVew 3 dargestellt

9 1 Wärmetransport n enem Festkörper 1.1 Festkörper Festkörpern zechnen sch dadurch aus, dass sch Moleküle oder Atome durch anzehende Kräfte ene räumlch feste Lage zuenander haben (unbeweglche Atome)[20]. Festkörpern können nach unterschedlchen Krteren n Klassen engeordnet werden. Her wrd zwschen 2 Klassen der Festkörperstrukturen unterscheden. Ene Klasse st für Festkörper mt krstallner Struktur, welche ene regelmäßge Anordnung (Gtter) aufwest, z.b. Metalle, Legerungen und Keramkmateralen gehören dazu. Ene andere Klasse blden de Festkörper mt amorpher Struktur, welche kene erkennbare Symmetre der Lage zegt, we z.b. be den Kunststoffe und Polymeren Festkörpern mt krstallner Struktur Dese bestzen ene höhere thermsche Letfähgket. Der Wärmetransportmechansmus gescheht durch Elektronen und durch Gtterschwngungen (Phononen). In renen Metallen st der Antel der Wärme durch Elektronentransport überwegend. Deshalb st der Antel durch Phononen mest vernachlässgbar [1]. De Wärmeletfähgket st ene Größe zur Wärmeübertragung be desen Körpern. Be Strukturen, besonders von renen Metallen, legt se n enem hohen Berech zwschen 100 W/(m K) und 8000 W/(m K) we n Abb. 1 zu sehen st. Abbldung 1: Verglech der Wärmeletfähgket n Abhänggket der emperatur zwschen renen und legerten Metallen [4] 9

10 1.1.2 Festkörper mt amorpher Struktur Im Verglech zu krstallner Struktur hat de Amorphe ene schlechte thermsche Letfähgket. De Fortletung der Wärme beruht dabe auf de Molekülbewegung. Selbst be freer Beweglchket n der Schmelze st se dann für ene gute Wärmeletung ncht ausrechend. De Wärmeletfähgket von Kunststoffen legt m Berech von klener Ordnung (zwschen 0.15W/(m K) und 0.3W/(m K))[3]. Für amorphe und krstallne Materalen snd de temperaturabhänggen Wärmeletfähgketen quanttatv n Abb. 2 dargestellt. Abbldung 2: Wärmeletfähgket für amorphe und krstallne Körperstruktur be verschedenen emperaturen [1] 1.2 Wärmetransport Es wrd zwschen dre Arten des Wärmetransports unterscheden: Wärmetransport durch Letung Wärmeletung Wärmetransport durch free oder erzwungene Konvekton Wärmetransport durch Strahlung Wärmestrahlung 10

11 1.2.1 Wärmeletung De Wärmeletung st en Wärmetransportmechansmus und bezechnet de Wärmeletung durch Kontakt. De Wärme wrd dabe von ener Oberfläche höherer emperatur zu ener anderen mt nedrgerer emperatur de Ursache enes emperaturgradentes[19]. Be desem Wärmetransport st zu unterscheden, welche Körpernnenstruktur betrachtet wrd. Her wrd we oben ausgeführt zwschen Letung durch Elektronen und Phononen unterscheden Wärmeletung durch Elektronen De nnere Struktur enes Metalls besteht aus enem festen, angeordneten Gtter postv geladener Baustene und Atomkerne. Dazwschen befnden sch Elektronen, de negatv geladen und fre beweglch snd. Se snd jedoch ncht nur zum ransport enes elektrschen Stroms sondern auch zum ransport vom Wärmestrom geegnet. Im Fall von Wärmestrom dffunderen de Elektronen n Gebete mt nedrgerer emperatur, se brngen ene zusätzlche Energe und erhöhen dort de emperatur[1] Wärmeletung durch Elektronen und Wechselwrkung der Gtterbaustene Im Gegentel zu renen Metallen st de Wärmeletung durch Gtterwellen oder Phononen n Legerungen oder Halbletern ncht zu vernachlässgen. Dabe st der Antel der Wärmeletung, der durch Elektronen übertragen wrd, gegenüber dem Antel der Wärmeletung durch Phononen glech groß sogar klener[1] Konvekton Der Wärmetransport durch Konvekton kann n Fluden beobachtet werden. Se beschrebt den ransport von der Wärmeenerge, de mt der Bewegung des Partkels stattfndet. Dabe unterschedet man zwschen freer und erzwungener Konvekton Free Konvekton Es wrd als Folge von Massendchtegradenten nnerhalb enes Stoffes ene Strömung engestellt. Be allen Materalen hängt de Massendchte von der emperatur ab, wobe se be zunehmender emperatur snkt. Deshalb estert be emperaturgradenten n flüssgen oder gasförmgen Stoffen mmer ene free Konvekton[17], welche abhängg von den ntermolekularen Kräften be festen Stoffen ncht auftrtt. 11

12 Erzwungene Konvekton De erzwungene Konvekton entsteht, wenn de Strömung enes Medums von äußeren Kräften we z.b. von Pumpen engeprägt st[18] Wärmestrahlung De Wärmestrahlung beruht darauf, dass jeder Körper Strahlung emttert und absorbert. Dese Strahlung st n Form elektromagnetscher Strahlung ausgesendet oder absorbert[18]. Wenn en Körper ene höhere emperatur als sene Umgebung bestzt, so emttert er mehr als absorbert. 12

13 2 Verfahren zur emperaturmessung De Messung der emperatur enes zu untersuchenden Systems st de Methode zur Bestmmung sener emperatur. Des kann entweder ene berührungsbehaftete oder berührungsfree Messmethode sen. 2.1 Berührungsbehaftete emperaturmessung Be den berührungsbehafteten emperaturmessungen handelt es sch um en thermsches Glechgewcht zwschen dem Messgerät und dem System. En Bespel dafür st das hermoelement hermoelement Deses Verfahren basert auf temperaturabhänggen Egenschaften von Metallen. Der Effekt des hermoelementes wrd dadurch ausgenutzt, dass n enem geschlossenen Kres, das aus zwe metallschen Letern unterschedlcher Materalen besteht, en elektrscher Strom fleßt. De Stärke der emperaturdfferenz deses Stroms zwschen den beden Verbndungsstellen soll dabe proportonal sen (Seebeck-Effekt, s. Abb. 3)[8]. Abbldung 3: Schema des Seebeck-Effekts Grundschaltung: Zwe Drähte aus unterschedlchen Metallen A und B blden zusammen über hre Verbndungsstelle enen Stromkres. Ene Verbndungsstelle glt als Messstelle und st m Kontakt mt der Probe, während de zwete Verbndung als Verglechsstelle dent. 13

14 Abbldung 4: Grundschaltung von hermoelement [15] De emperaturdfferenz zwschen den beden Stellen führt dazu, dass en Strom n enem geschlossenen Kres fleßt. De maßgeblche Größe be der emperaturmessung st de elektrsche Spannung, de zur emperaturdfferenz zwschen den beden metallschen Letern proportonal st. Zur Messung deser hermospannung wrd en Spannungsmessgerät an de Verglechsstelle angeschlossen. De emperatur an der Messstelle ( n Abb.4) lässt sch dadurch berechnen, wenn de emperatur ( n Abb.4) an der Verglechsstelle sowe der charakterstsche hermospannungskoeffzent für ausgewählte Materalen bekannt snd[8]. Dann glt folgende Glechung für Bestmmung der : 1 1 U [8] (1) Berührungsfree emperaturmessung Des st ene Bestmmung der Oberflächentemperatur enes Körpers. Durch das Messen der Strahlung an der Oberfläche kann durch das Stefan-Boltzmann schen Gesetz de emperatur berechnet werden. Pyrometer hält sch als en gutes Bespel zur Darstellung der berührungsfreen emperaturmessung Pyrometer Pyrometer st en Instrument zur optschen emperaturbestmmung. Des st en hermoelement, wobe an der Messstelle de emperatur ncht durch Kontakt sondern über de Strahlung der Oberfläche erzeugt wrd. Man unterschedet zwschen enem subjektven und objektven Pyrometer. De Bewertung der emperatur be den subjektven Pyrometern erfolgt über 14

15 das menschlche Auge. Während be dem objektven erfolgt de Bewertung über das Verwenden enes Empfängers we z.b. en hermoelement[9]. Abbldung 5: Funktonsprnzp von Pyrometer [16] In Abb.5 st das Prnzp des Pyrometers dargestellt. De Strahlung errecht nach dem Passeren der Objektlnse das hermoelement. Se führt dort zur Bldung ener hermospannung, de als Ausgangssgnal zur Verfügung steht. Das Sgnal kann drekt an enem Messgerät aufgearbetet werden. Durch de Annahme, dass der Messkörper en schwarzer Strahler se, folgt das Stefan-Boltzmann schen-strahlungsgesetz: P A 4 [9] (2) wobe P de Lestung der Strahlung, de Stefan-Boltzmann-Konstante und A de Fläche der Körperoberfläche mt zur gemessenen emperatur bedeuten. 15

16 3 Wärmeletfähgket En Maß für de Größe der Wärmeübertragung m festen Körper st de Wärmeletfähgket. Se hängt davon ab, we schnell de Wärmeenerge zwschen den Partkeln des Stoffes ausgetauscht werden kann[2]. Je nach den spezfschen Egenschaften von Proben und Randbedngungen gbt es n der Regel optmale Messmethoden zur Bestmmung der Wärmeletfähgket. Man unterschedet generell zwschen statonäre und ncht statonäre Messmethode. 3.1 Statonäre Messmethoden Es wrd von ener Sete ener Probe Wärmestrom zugeführt und an enem anderen Ende entzogen. So entsteht en emperaturgefälle n Rchtung des Wärmestromes, dessen Betrag über de emperaturdfferenz zwe defnerten Punkten bestmmt werden kann. De Bestmmung der Wärmeletfähgket erfolgt aus dem Quotent der pro Zet und pro Fläche zugeführten Wärme und dem Betrag des emperaturgradenten:. q (3) A 3.2 Nchtstatonären Messmethoden Es wrd ene Störung des emperaturglechgewchts durch enen enmalgen Impuls oder durch ene perodsche Hezung erzeugt. De Störung bretet sch n der Probe mt ener bestmmten Geschwndgket aus. De Laufzet der Störung und hre Abnahme werden dadurch gemessen, dass an verschedenen Stellen emperaturfühlern angebracht werden[2]. De Behandlung deser Methode erfolgt nun mt Hlfe der folgenden Dfferentalglechung: t 2 2 c [2] (4) 16

17 3.3 Verglech von statonären und nstatonären Messmethoden En Verglech zwschen statonären und nstatonären Messmethoden st n der abelle 1 zu sehen. abelle 1: Verglech zwschen statonären und nstatonären Messmethoden [11] Instatonäre Messmethoden Statonäre Messmethoden Aufwändge Lösung der Wärmeletungsglechung Instatonärer Wärmestrom kurze Messzeten Inhomogene Proben snd krtsch m Eperment Gernge Probendmenson Kurze Messzeten erfordern höheren Messtechnschen Aufwand Wärmeübergangskoeffzenten unkrtsch Drekte Lösung der Glechung Statonärer Wärmestrom lange Messzeten Probennhomogenttäten wrken sch kaum oder gar ncht aus Große Probendmenson Zetlche Zuordnung der Messwerte unkrtsch Wärmeübergangskoeffzenten krtsch 3.4 Angewendete Messverfahren zur Bestmmung der Wärmeletfähgket. We be der emperaturbestmmung, gbt es berührungsbehaftete sowe berührungslose Messmethoden zur Bestmmung der Wärmeletfähgket Berührungsbehaftete Messmethoden Verschedene Methoden zur Bestmmung der Wärmeletfähgket mt Kontakt we: Guarded-Hot-Plate-Verfahren Rohrapparatur Heßdrahtverfahren, werden erklärt, um ene Unterschedung dazwschen dskuteren zu können. 17

18 Guarded-Hot-Plate-Verfahren(GHP) GHP st en statonäres Messverfahren zur Bestmmung der Wärmeletfähgket. Es wrd n zwe Ausführungen, als En- oder Zweplattengerät, verwendet. Enplattengerät: Es besteht aus ener Hez- und Kühlplatte und enem Probekörper, der zwschen den beden Platten legt. Durch de zugeführte elektrsche Lestung der Hezplatte entsteht en Wärmestrom, der durch de Probe fleßt. Abbldung 6: Aufbau enes Enplattengeräts [10] De n Abb.6 angezegte Messanordnung stellt den Aufbau enes GHP-Enplattengeräts dar. Zu sehen st, dass de obere Ebene der Probe unter der Hez- und Schutzhezplatte legt und de untere Ebene oberhalb der Kühlplatte st. Zwe Dckenmessschrauben dent zur Bestmmung der Dcke der Probe. De hermostate werden angewendet, um de emperatur n den Wasserkresläufen der Kühl- und Schutzhezplatte konstant zu halten und somt ene defnerte emperaturdfferenz über de Probendcke aufzuprägen. De elektrsche Lestung der Hezplatte wrd so geregelt, dass es zwschen Hez- und Schutzhezplatte kene Dfferenz estert. De Abdeckung sorgt für das Vermeden von Wärmeverluste. De Wärmeletfähgket lässt sch be deser Messung nach der folgenden Glechung bestmmen: Qs A. (5) ( 1 2 Wobe der Wärmestrom bezechnet, de emperatur am oberen Punkt der Probe, am unteren Punkt und deren Fläche. Zweplattengerät: Zum Aufbau enes Zweplattengeräts snd zwe Probenkörper glecher Dcke zwschen ener Hezplatte und zwe Kühlplatten anzuordnen. Der zugeführte Wärmestrom lässt sch glech auf beden Probenkörpern auftelen. ) 18

19 Abbldung 7: Aufbau enes Zweplattengeräts [10] Es st n der Abb.7 zu sehen, dass de Messplatte n zwe Berechen getelt st. Das el, das sch m Zentrum befndet, bldet de egentlche Messfläche. Das zwete el st vom nneren Schutzhezrng engenommen, der ebenfalls zur Behezung deser Apparatur dent. Damt es zu enem endmensonalen Wärmetransport durch de Proben kommt, muss de emperaturdfferenz zwschen den beden Berechen Null sen, was auch glech von den äußeren elektrschen Schutzhezrnge zu erzelen st. De beden Kühlplatten snd beweglch. Ihre Beweglchket ermöglcht nach dem Enlegen des Probenkörpers enen guten Kontakt zwschen Hezplatte und Proben sowe Kühlplatten und Proben. Der Umwälzkühler dent dazu, de äußeren Messbedngungen konstant zu halten. De mttlere Wärmeletfähgket lässt sch dann aus der zugeführten elektrschen Lestung der Hezplatte sowe den emperaturgradenten m statonären Zustand n den beden Platten berechnen[10] Rohrapparatur De Rohrapparatur wrd für de statonäre Bestmmung der Wärmeletfähgket enes festen Körpers verwendet. Als Probekörper st dann en Hohlzylnder anzuwenden, n dessen Inneren en Hezstab als Wärmequelle zentrsch angeordnet st. Im Außen st en Kalormetersystem, das aus dre elen besteht, angeordnet(sehe Abb.8). Nach Errechen des statonären Zustandes, werden emperaturen an zwe verschedenen Messraden mt Hlfe von zwe angeschlossenen hermoelementen ermttelt. Es glt dann für de Wärmeletfähgket de folgende Glechung[10]:.. r1 Q ln( ) r2 (6) 2 L( )

20 Wobe und de zwe Raden, wo de emperaturen und gemessen snd. Abbldung 8: Rohrapparatur [10] Heßdrahtverfahren Heßdrahtverfahren st ene nstatonäre Methode zur drekten Bestmmung der Wärmeletfähgket. Dese Bestmmung basert auf der Messung des emperaturansteges ener lnenförmgen Wärmequelle/Heßdraht (J) und bezechnet de Messkreuzverfahren oder auf n enem defnerten Abstand von ener lnenförmgen Wärmequelle/Heßdraht (J) und bezechnet Parallelverfahren[11]. De Abb.9.stellt den Aufbau enes Parallelverfahrens dar. Durch den zetlchen Verlauf des emperaturanstegs zwschen Stelle 1 und Stelle 2 nach dem Enschalten der elektrschen Heßdrahtlestung (J) lässt sch de Wärmeletfähgket des untersuchten Materals bestmmen. 20

21 Abbldung 9: Messung mthlfe von Hezdrahtverfahren Berührungsfree Messmethoden Mehrere Bespele können für de berührungsfree Wärmeletfähgketsmessung angewendet werden, we zum Bespel: Ncht statonäre Laser Flash Methode hermoscan Paramagnetsche Verfahren Ncht statonäre Laser Flash Methode Ene ndrekte berührungslose nstatonäre Bestmmung der Wärmeletfähgket st de Laser Flash Methode. Als Hezquelle dent be desem Verfahren de Strahlung enes Lasers. Dabe legt de untersuchende Probe be enem bestmmten Abstand vor dem Laser und wrd mt enem kurzen Laserpuls erwärmt (sehe Abb.10). Daher entsteht ene Wärmevertelung auf der gesamten Probe, de zum Erwärmen der Probenrücksete führt. Mt Hlfe enes Infrarotdetektors, der gegenüber de Probenrücksete legt, wrd dese Erwärmung aufgezechnet und gemessen. Abbldung 10: Laser-Flash-Methode [12] 21

22 Durch das zetlche Messen und Aufzechnen der entstandenen Erwärmung wrd de emperaturletfähgket bestmmt, de de Messung der spezfschen Wärmekapaztät sowe der Probendchte kombnert. Des führt zur Bestmmung der Wärmeletfähgket[12]. a (7) c P hermoscan hermoscan st ene berührungslose Bestmmung der Wärmeletfähgket. Se beruht auf dem glechen Prnzp der Laser-Flash-Methode. Dafür werden en Laser als Wärmequelle und ene Infrarotkamera zur berührungslosen Aufnahme der emperatur angewendet. Abbldung 11: Messung mt enem hermoscan [14] Funktonsprnzp: Nachdem de Fokuslne der Laserstrahlung über zwe Lnsen enen Spegel trfft, trfft se dann durch Reflekton den Probenkörper. Dadurch wrd de Probe erwärmt. Ene Infrarot Kamera legt gegenüber der Probenrücksete um de Strahlung aufzunehmen und daraus Blder zu erstellen, genannt als hermografe (sehe Abb.11) [13]. 22

23 Abbldung 12: Verlauf der emperatur m Bezug zur Fokuslne be hermoscan[14] De Abb.12 zegt, we sch de emperatur wetgehend der Fokuslne vertelt. Es st zu merken, dass je näher der Abstand zur Fokuslne st, desto größer de emperatur st. De zetlche Veränderung der räumlchen Vertelung der emperatur durch de Wärmestrahlung bezechnet de emperaturletfähgket. Daraus lässt sch de Wärmeletfähgket analog zur ncht statonären Laser Strahl Methode bestmmen Paramagnetsche Verfahren Das paramagnetsche Verfahren stellt ene berührungslose Messung der Wärmeletfähgket enes Feststoffes be nedrgen emperaturen. Im Eperment st de Probe fest mt enem Halter aus Kupfer verbunden. Auf der oberen Fläche des Stabes befndet sch ene schwarze Schcht aus CuO (Kupferod), um de Absorpton des Lchtes zu verbessern. Somt gelangt das Lcht auf de obere Fläche über ene Glasfaser von der Leuchtdode. De Kombnaton von Absorber und Leuchtdode stellt den berührungsfreen Hezer. Weterhn snd für de berührungsfree hermometre zwe 3-Mkrometer dcke Flme aus als paramagnetsche Sensoren auf der Probe angebracht. Um de Änderung der Magnetserung aufzunehmen, befnden sch um de -Sensoren Detektonsspulen, de n enem Hohlzylnder engegossen snd (sehe Abb.13). 23

24 Abbldung 13: Paramagnetsches Messgerät [5] Bestmmung der Wärmeletfähgket: De Messung der Wärmeletfähgket erfolgt aus dem gewonnenen emperaturverlauf und lässt sch für de gemttelte emperatur 1 ( 1 2 ) (8) 2 unter Verwendung folgende Glechung: A Q ( ) (9) L ( ) bestmmen[5]. Wobe und de emperaturen an den Flmen aus, de Fläche der Probe und L der Abstand zwschen den beden Flmen st Darstellung des Koordnatensystems Be den oben genannten Messmethoden st es zu merken, dass es en Untersched gbt, we man das Koordnatensystem der Messung darstellt. Man unterschedet her zwschen zwe angewendeten Darstellungen: Räumlche Darstellung Be der räumlchen Darstellung erfolgt de Messung der Wärmeletfähgket an zwe konstant 24

25 gehaltenen Stellen und Raumpostonen, ohne zu berückschtgen, ob sch de Probe durch das Erwärmen bewegt (ausdehnt). Abbldung 14: Räumlche Darstellung be der Bestmmung der Wärmeletfähgket Der Wärmeletungskoeffzent st de Fähgket, we schnell das Materal de Wärmeenerge übertragen kann und somt st es abhängg von der Anzahl der Moleküle n der Probe. Be der Messung der Wärmeletfähgket n räumlcher Darstellung, wrd de Ausdehnung der Probe ncht berückschtgt. Dadurch sollten sch de Anzahl der Moleküle, de zwschen den beden Messstellen snd, klener sen. Das wrd n Abb.14 dargestellt. Des kann zur Erhöhung der Wärmeletfähgket führen, wel de Wärmeenerge schneller von enem Punkt zu enem anderen übertragen wrd Materelle Darstellung Als Alternatve zur räumlchen Darstellung, wrd de Ausdehnung der Probe berückschtgt, wenn en materelles Koordnatensystem ausgewählt wrd. De Zet zur Übertragung der Wärmeenerge zwschen den beden Stellen soll unter Anwendung der materellen Darstellung ncht geändert werden. Dabe soll kene Änderung der Anzahl der Moleküle betrachtet werden(sehe Abb.15). Dabe st kene Veränderung auf dem Wert der Wärmeletfähgket zu betrachten. 25

26 Abbldung 15: Materelle Darstellung be der Bestmmung der Wärmeletfähgket 3.6 Auftelen der Wärmeletfähgketsmessmethoden nach dem materellen und räumlchen Koordnatensystem De genannten Methoden zur Bestmmung der Wärmeletfähgket lassen sch n abelle 2 n dre Kategoren untertelen. abelle 2: Sorteren der genannten Messmethoden nach dre Kategoren Koordnatensystem Statonär/ Mt/Ohne Berührung Ncht statonär Enplattengerät Materell Statonär mt Zweplattengerät Materell Statonär mt Rohrapparatur Materell Statonär mt Heßdraht- Materell Ncht statonär mt Verfahren Ncht statonäre Räumlch Ncht statonär ohne Laser-Flash- Methode hermoscan Räumlch Ncht statonär ohne Paramagnetsches Verfahren Materell Statonär ohne 26

27 3.7 Wrkung auf de Messergebnsse Alle vorgestellten Messmethoden zur Bestmmung der Wärmeletfähgket können zu unterschedlchen Ergebnssen führen, wenn de Auswahl enes Messverfahrens durch den erforderlchen emperatur, Wärmeletfähgketsberech und Zet und Kostenaufwand ncht geprägt st[10]. In Abb.16 snd de Laser-Flash-Methode, das statonäre Plattengerät und das Heßdrahtverfahren für de temperaturabhängge Bestmmung der Wärmeletfähgket dargestellt. Es st gezegt, n welchen emperaturberechen de Messverfahren geegnet snd. Abbldung 16: Wärmeletfähgketsbestmmung für dre Messverfahren n Abhänggket der emperatur [14] De Abwechungen der Messergebnsse kann sch auch auf folgendermaßen zurückführen: Unzugänglchketen be der Versuchsdurchführung Phasenänderung[10]. Be unterschedlch höheren emperaturen können be Legerungsmateralen Phasenänderungen auftreten. Der Fall st für Esenlegerung mt Kohlenstoff, wenn es für unterschedlche emperaturbereche und unterschedlchen Kohlenstoffgehalt Phasen we Perlt, Ferrt, Austent und andere ausscheden. Jede deser ausgeschedenen Phasen bestzt egenen mechanschen und thermschen Egenschaften. 27

28 4 De Varatonelle Form und de numersche Berechnung De Aufhezung der Probe führt zu ener Änderung hrer Wärmeenerge. Dese nnere Energe st ene Erhaltungsgröße und kann durch ene Blanzglechung für den Körper, durch den Wärmefluss über de Oberfläche und durch de volumetrsche Zufuhr als: aufgestellt werden. Durch Ensetzen von t ( u) d ( qn ) ds (10) (kene Laserstrahlung) und aus dem Satz vom Gauß folgt: d dt q ( u) d d (11) Durch de Annahme, dass sch de Partkeln ncht bewegen, folgt: q ( ( u) ) d 0 (12) t Nach dem Fourer Gesetz kommt de emperatur ns Spel. Es glt, dass: st. q (13) Unter der Bedngung, dass kene Funkton der Zet st, und nach Ensetzen von n der Glechung (12), glt de folgende Glechung: 2 u ( ) d 0 (14) t Für en raumfestes Medum mt konstantem Volumen und der Massendchte glt, dass de Änderung der spezfschen nneren Energe glech dem Produkt der spezfschen Wärmekapaztät und der emperaturänderung st. Se kann bem konstanten Volumen oder konstanten Druck gemessen werden. Be den Festkörpern snd bede glech groß, wobe sch de spezfsche Wärmekapaztät nach konstantem Druck enfacher messen lässt. Dann glt es, dass st. u cp (15) Aus der Glechung (15) folgt, dass de spezfsche Wärmekapaztät der spezfschen nneren Energe über de emperaturänderung st, deshalb glt es: Nach Ensetzen von c P glech der Änderung u (16) n der Glechung (14), folgt: 28

29 29 0 ) ( 2 d t c P (17) De Glechung (17) glt als ncht statonäre Wärmeletungsglechung für das gesamte System. Für de Bestmmung ener emperaturvertelung n komplzerteren Geometre mt mehrdmensonaler Wärmeletung werden numersche Lösungsmethoden. Nachfolgend sollen enge wesentlche Grundlagen der numerschen Lösungsverfahren anhand der Methode der Fnten Dfferenzen und Elementen beleuchtet werden. 4.1 Varatonelle Formulerung De partelle Dfferentalglechung (15) soll n der Zet und m Ort dskretzert werden, um ene appromatve Lösung zu berechnen. Durch Anwenden enes Rückwärtsdfferenzenverfahrens für de zetlche Dskretzerung, was als Methode der fnten Dfferenzen bekannt st, folgt: t t t t t t t 0 ) ( ) ( ) ( (18) Danach wrd de Form mt ener estfunkton skalar multplzert: 0 ) ) ( ( 2 0 d t c P. (19) Durch Änderung zu den dskreten Funktonen st de letzte Glechung m Ort dskretzert, de als Methode der fnten Elemente genannt st. Es glt für de Produktregel folgendes: 2 ) (. (20) Daraus folgt:. ) ( 2 (21) Nach Enschalten der partellen Integraton nach Gauß-Ostrogradsky heorem folgt:. ) ( 2 d d d (22) Durch das Umstellen der Glechung (22) wrd de Glechung (23) gewonnen. Dese wrd folgendes ausgedrückt:. 2 d ds n d (23) Auf der Oberfläche glt de folgende Robn-Randbedngung:

30 q n h( ). A (24) Durch Ensetzen deser Bedngungen n de Fourer Glechung folgt: Ensetzen von (23) und (25) n (19) führt zu: 0 cpd c p d t( ( A ) ds h ( ). A (25) h t d 0. (26) Durch Ausklammern von () ergbt sch de folgende Endglechung des betrachten Systems. 0 cpd thds t d cp d th Ads 0. (27) 4.2 Numersche Lösung der Dfferentalglechung De Energeblanzglechung soll durch numersche Verfahren gelöst werden. Dafür sollen de Randbedngungen des Epermentes festgelegt werden. Ventlator, Spule und Probe legen zusammen n ener geschlossenen Kammer. De Probentemperatur hat am Anfang de Außentemperatur (emperatur des Kammers). Zur Aufhezung, werden de Strahlungen aus der Spule mt Hlfe des Ventlators de Probe treffen. Somt wrd se aufgehezt, we n Abb.17 zu sehen st. Abbldung 17: Aufscht des Epermentaufbaus De emperaturbelastung st nach Messung m Eperment we folgt defnert: Außen K 297K 0.2 t. (28) s 30

31 4.2.1 Erstellung des FE-Modells De zu untersuchende Geometre wrd n Abaqus generert. Das erfolgt, nachdem be Abaqus en 3D neues Modell erstellt wrd. Danach wrd ene 2D-Skzze mt den genauen Bemaßungen für das Modell erstellt (sehe Abb.18). Abbldung 18: Geometreerstellung n 2D Zum Schluss wrd es nach Festlegung der efe n 3D etrudert. Das Netz soll ene tetraedrsche Form haben. Um de Vernetzung zu erstellen, muss ene Sekton defnert werden. Dabe wrd das Materal zugewesen (sehe Abb.19). Abbldung 19: Vernetzung der Probe Importeren m FEnCS Aus dem generertem Modell vom Abaqus wrd ene Xml-Date erstellt. Dese werden n 31

32 Python mportert, welche von Dolfn Paketen gelesen werden können. Der Pythoncode wrd mt FEnCS programmert (Code m Anhang). De Vsualserung der Ergebnsse erfolgt über ParaVew. 4.3 Daten des verwendeten Materals Der Werkstoff des verwendeten Materals besteht aus Sn91Zn9. Se snd zuerst m Code defnert. In der abelle 13 snd de Werte der Materaldaten mt hren Namen, Abkürzung und Enheten angegeben. abelle 3: Materaldaten von der Probe [7][6] Kenndaten von Sn91Zn9 Wert Enhet Dchte 7200E-9 [kg/mm^3] Spezfsche Wärmekapaztät E-6 [Mkrojoule/kg K] Wärmeübergangskoeffzent 20E-3 [Mkrowatt/mm K] Wärmeletfähgket 91.5E-3 [Mkrowatt/mm k] 4.4 Smulatonsergebnsse In desem Abschntt werden de Smulatonsergebnsse zu der vorhandenen Soll-emperatur von dem CAD-Modell präsentert. Der Schwerpunkt der Arbet st de Bestmmung der Ist- emperatur von der Probe. 32

33 Abbldung 20: emperaturverlauf des Modells be der vorgegebener Belastungstemperatur Abbldung 21: Schnttanscht des Modells De Smulatonsergebnsse aus Abb.20 und Abb.21 zegen, dass de berechnete Ist- emperatur, bezogen auf der berets vorhandenen Soll-emperatur, ungefähr be deser legt. Aufgrund der Wärmeübertragung n ener ruhenden Luft wrd de Wärmeübergangszahl zwschen der Oberfläche und der Umgebung so ausgewählt, dass se m Berech der Wärmeletfähgket legt jedoch klener st. In der Schnttanscht st de emperaturergebnsse deutlch zu sehen, dass es be deser dünnen klenen Probengeometre mt deren Materalegenschaften und den vorhandenen Randbedngungen fast kenen Untersched nach 0.1 Sekunden der emperatur entsteht. 33

34 4.4.1 Plausbltätsprüfung Um zu überprüfen, ob de Ergebnsse der Energeblanzglechung rchtg rausgekommen snd, wrd ene Änderung an den Vorgaben der Glechungsrandbedngungen erfordert. Dese Vorgaben sollen da geändert werden, wo de Ergebnsse deser Änderung m Voraus bekannt snd. Deses wrd Plausbltätstest genannt Plausbltätstest 1 De Wärmeletfähgket bezechnet de Wärmeübertragung n enem Körper. Durch das Vareren deses Wertes ändert sch de Übertragung der Wärme n der Probe. Ist dese Größe mt Null engesetzt, so sollte nnerhalb der Probe kene Erhöhung der Ist-emperatur erfolgen. Es wrd nur ene Änderung der Oberflächentemperatur betrachtet. Abbldung 22: emperaturverlauf der Ist-emperatur für =0 De Smulatonsergebnsse aus der Abb.22 zegen, dass de berechnete Ist-emperatur, bezogen auf de vorhandene Soll-emperatur und Wärmeletfähgket, zu kener Erhöhung der Ist- emperatur nnerhalb der Probe sondern nur der Oberfläche führen. De Ungenaugketen, de besonders am Rand n dem Schntt zu sehen snd, lassen sch darauf zurückführen, dass FE- Programme be ener gegebenen Vernetzung de emperatur enes Elementes rausgeben und de emperatur zwschen den Knoten der Elemente appromeren. 34

35 Plausbltätstest 2 Der Wärmeübergangskoeffzent taucht n der Robn-Randbedngung auf. Dese Größe hängt von dem Umgebungsmedum ab. Wenn Null annähert, soll de Probe kene emperaturerhöhung zur Folge haben. Das wrd aber ncht so betrachtet, wenn dese Größe unendlch größer als de Wärmeletfähgket des Probenmaterals ausgewählt st. Dabe soll sch de Soll-emperatur (Außentemperatur) mt der Ist-emperatur (Probentemperatur) überenstmmen. Abbldung 23: Plausbltätstest für =0 Abbldung 24: Plausbltätstest für unendlch größer als 35

36 De Smulatonsergebnsse n Abb.23 und Abb.24 snd Plausbel. De erwarteten Ist- emperaturen stmmen n den beden betrachteten Fällen mt der verwendeten Robn- Randbedngung überen. 36

37 5 Zusammenfassung De vorlegende Arbet befasst sch prmär mt der Bestmmung der zetlchen emperaturvertelung n ener Materalprobe Sn91Zn9 aufgrund ener äußeren emperaturbelastung. Zur Erhöhung der Probentemperatur wurden ene Spule und en Ventlator, de zu ener besseren Wärmekonvekton führen, zusammen n ener geschlossenen Kammer engesetzt. Dabe ändert sch de nnere Probenenerge. De Wärmeletungsglechung wurde durch das Aufstellen der Energeglechung des gesamten Systems hergeletet. De varatonelle Formulerung deser Glechung erfolgte mttels der numerschen Verfahren, de mt der Methode der fnten Elemente (FEM) m Ort und der Methode der fnten Dfferenz n der Zet zusammengefasst snd. De aus der varatonellen Formulerung resulterende Dfferentalglechung wurde als en Code m Python geschreben. De dazugehörge Probengeometre und hre Vernetzung wurden n Abaqus erstellt und als Xml-Date n Python mportert. Der Code wurde n FEnCS programmert und de Vsualserung der Ergebnsse n ParaVew dargestellt. De Smulatonsergebnsse der emperaturvertelung zegten, dass es be deser angewandten dünnen Probengeometre mt deren Materalegenschaften und vorhandenen Randbedngungen fast ken Untersched nach 0.1 Sekunde der emperatur entsteht. Um de Funktonsgenaugket des Codes nachzuprüfen, wurden Dre Plausbltätstests realsert. Der erste est wurde so durchgeführt, dass de Wärmeletfähgket ungefähr Null engesetzt wurde. De resulterten Ergebnsse stmmen sehr gut mt den zu erwarteten Ergebnssen überen, da es nnerhalb der Probe kene emperaturänderung zu sehen st. Im zweten und drtten est wurde der Wärmeübergangskoeffzent enmal ungefähr Null und en anderes Mal unendlch größer als de Wärmeletfähgket ausgewählt. De bestmmte Ergebnsse haben her weder de theoretsch erwarteten Ergebnsse bestätgt. Im Fall des zweten ests sollte de Außentemperatur kenen Enfluss auf de nnere Probentemperatur haben.. De Oberflächentemperatur der Probe übernmmt dabe de Außentemperatur. Im Gegentel zum zweten est, wurde m Verlauf des drtten ests de gesamte Außentemperatur von der Probe übernommen. Als Fazt kann man ausschleßen, dass nfolge ener Überprüfung des Codes nach Plausbltät de Smulatonsergebnsse als genaue Ergebnsse bezechnet werden können. Das Probenmateral aus Sn91Zn9 stellt sch aufgrund sener großen Wärmeletfähgket als enen guten Wärmeleter dar. Neben der guten Wärmeletung st dese Probe auch sehr dünn und klen. Anhand der Smulaton konnte se sehr schnell de Außentemperatur übernehmen. Zwschen Soll- und Ist-emperatur entsteht en sehr klener Untersched, der zu vernachlässgen st. 37

38 Anhang from dolfn mport * from abaqus2ml mport * #from numpy mport array rho=7200.0e-9 # Dchte der Materalen [kg/mm^3] c= e-6 # spezfsche Wärmekapaztät [Mkrojoule/kgK] kappa=91.5e-3 # Wärmeletfähgket [Mkrowatt/mmK] h=20e-3 # Wärmübergangskoeffzent [Mkrowatt/mmK] a=epresson(" *tme") # Umgebungstemperatur [K] # Create mesh and defne functon space #convert('job-1.np', 'out.ml') mesh = Mesh('out.ml') mesh.order() S= FunctonSpace(mesh, "Lagrange", 1) # tme ntalzng t=0.0 t_end=350.0 dt=0.5 # Defne ntal condton, nterpolate on the whole doman ntal = Epresson("300.0") 0=nterpolate(ntal, S) #Defne varatonal problem = ralfuncton(s) d=estfuncton(s) Form = rho*c**d*d - \ rho*c*0*d*d + \ dt*h**d*ds - \ dt*h*a*d*ds + \ kappa*dt*.d()*d.d()*d 38

39 left=lhs(form) rght=rhs(form) A = assemble(left) # non-changng by steppng b = None # dynamcally assembled acc. to tme = Functon(S) fle=fle("temp-dffuson.pvd") # tme loop whle t <= t_end: t += dt a.tme = t prnt "me ",t b=assemble(rght, tensor=b) solve(a,.vector(),b, 'lu') fle << (,t) 0.assgn() 39

40 Edesstattlche Erklärung De selbständge und egenhändge Anfertgung verschere ch an Edes statt. Berln, den Ayman Khodor 40

41 Quellenverzechns [1] Bergmann, Schaefer, Mechank Akustk Wärme. Walter de Gruyter, Berln, New York, 12.Auflage, [2] G. Faschng, Werkstoffe Für De Elektrotechnk: Mkrophysk, Struktur, Egenschaften. Sprnger Wen New York, 3.Auflage, S [3] O. Krüger, Werkstoffkunde. Sprnger-Verlag Berln Hedelberg, [4] R. Gross, A. Mar, Festkörperphysk. Walther Meßner Insttut. Rudolf Gross-Garchng, [5] D. S. Rothfuß, Wärmeletfähgket von metallschen Gläser be sehr tefen emperaturen, Ruprecht-Karls-Unverstät Hedelberg, Dplomarbet, S [6] DR. JUNGER, Dchte. (letzter Zugrff ) [7] Engneerng oolbo, hermal Conductvty of some common Materals and Gases, (letzter Zugrff ) [8] W. Ntsche und A. Brunn, Strömungsmesstechnk. Sprnger-Verlag Berln Hedelberg, S [9] S. Hesse, G. Schnell, Sensoren für de Prozess- und Fabrkautomaton, Funkton - Ausführung Anwendung, Veweg+eubner-Verlag, S [10] R. Wulf, Wärmeletfähgket von htzebeständgen und feuerfesten Dämmstoffen Untersuchen zu Ursachen für unterschedlche Messergebnsse be Verwendung verschedener Messverfahren, echnsche Unverstät Bergakademe Freberg, Dplomarbet, S [11]F. Kohlrausch: Praktsche Physk, B.G. eubner Stuttgart,24.Auflage,1996. S [12] Bayersches Zentrum für angewandte Energeforschung, Laserflash-Verfahren. ZAE Bayern, [13] Bayersches Zentrum für angewandte Energeforschung E.V., hermoscan, ZAE Bayern, (letzter Zugrff ) [14] Bayersches Zentrum für angewandte Energeforschung E.V., Nanotechnologe n der Energeforschung, (letzter Zugrff ) [15] CHEMGAROO, Kontaktthermometre; hermoelemente, ge/vsc/de/ch/11/cmt/sensoren/temp_mess/thermoelement.vscml.html. (letzter Zugrff ) 41

42 [16] Unverstät Stuttgart, Pyrometre, Insttut für Raumfahrtsysteme, Kaptel 6. [17] VDI-Wärmeatlas; H. Klan, Wärmeübergang durch free Konvekton n geschlossenen Fludschchten. Sprnger-Verlag Berln Hedelberg, [18] E. Herng, R. Martn und M. Stohrer, aschenbuch der Mathematk und Physk, Sprnger-Verlag Berln Hedelberg [19] VDI-Wärmeatlas; H. Martn, Enführung n de Lehre von der Wärmeübertragung, Sprnger-Verlag Berln Hedelberg, [20] Eberhard Karls Unverstät übngen, Bndungskräfte und Krstallstrukturen, Kaptel 2. 42

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