Enführung n das quanttatve sset Management 1. Enletung Unter sset Management, zu Deutsch Vermögensverwaltung, versteht man kurz gesagt den strukturerten ufbau und de Verwaltung von Vermögen n der Zet. Wr unterstellen her, dass deser rozess strukturert stattfndet. De Exstenz enes solchen rozesses st grundsätzlch wetgehend unabhängg vom Startvermögen. Im sset Management, der ortfolotheore und m Rsk Management fndet be der etrachtung von rskobehafteten nlagen, we kten und onds ene hohe bstrakton von der enzelnen nlage statt, ndem dese durch de Vertelungen hrer Rendten beschreben werden. Harry Markowtz legte n den 1950er Jahren de Grundlagen für analytsch funderte Dversfkatonsstrategen be rskobehafteten Fnanzanlagen 1. Für den nleger geht es dabe um de Frage, we er enen gegebenen Geldbetrag mt möglchst gerngem Rsko n ene Rehe unterschedlcher nlagegüter nvestert soll, so dass er ene gewünschte Mndestrendte erwarten darf. Zel st also de estmmung enes ortfolos, d.h. der relatven ntele der nlagegüter an der Gesamtnvesttonssumme, das unter den bekannten räferenzen des nlegers optmal st. Markowtz wes darauf hn, dass für enen ratonal handelnden nleger nur effzente ortfolos n Frage kommen, und beschreb, we sch de Menge der effzenten ortfolos unter gewssen nnahmen bestmmen lässt. De (zukünftge) Rendte enes ortfolos wrd dabe als Zufallsvarable betrachtet, deren Standardabwechung 3 als Maβ für das Rsko des ortfolos dent. ls Engangsparameter des Markowtz-Modells denen de Erwartungswerte, Standardabwechungen und Korrelatonen bzw. Kovaranzen der (zukünftgen) Rendten der nlagegüter, de praktsch zumest mt Hlfe hstorscher Daten geschätzt werden. Wenn wr von der Wahl des nlagehorzontes abstraheren, seht sch eder nleger be der uftelung senes Vermögens grundsätzlch dre mtenander verbundenen Fragen gegenüber. 1. In welche ssetklassen soll nvestert werden?. Welche spezellen Vertreter der ssetklassen sollen ausgewählt werden? 3. Wevel soll n de enzelnen ssets nvestert werden? Theoretsch kann en belebger nleger we Se oder der Verfasser deser Zelen zwschen berzehntausenden von verschedenen Geldanlagen wählen. Enge wchtge ssetklassen snd zum espel Festgeld, Tagesgeld, Sparbücher, kten, nlehen, Rohstoffe, Währungen, Immoblen, Kunst, refmarken, Fonds aller Couleur, usw. uf all de genannten nlageklassen ex refmarken exsteren ferner Dervate mt den unterschedlchsten 1 Man vergleche dazu MRKOWITZ (195) und MRKOWITZ (1959). Ene ausführlche Darstellung des Markowtz-Modells fndet man n ELTO, GRUER ET L. (007). En ortfolo X domnert en ortfolo Y, wenn sene erwartete Rendte mndestens so groß st we de von Y und sen Rsko echt klener, oder, wenn sen Rsko höchstens so groß st we das von Y und sene erwartete Rendte echt größer st. En ortfolo, das von kenem anderen ortfolo domnert wrd, nennt man effzent. 3 De Tauglchket der Standardabwechung als Rskomaβ n der ortfolooptmerung wurde velfach krtsert und ene Rehe alternatver Rskomaβe vorgeschlagen, cf. ELTO, GRUER ET L. (007) und nsbesondere COLEM UD MSOUR (005) m Fall von Real Estate nlagen. 1
Laufzeten. Intutv werden Se enge deser nlageklassen mt nedrgem Rsko bewerten, andere mt mttlerem oder hohem Rsko. e kten oder nlehen hängt de Rskoenschätzung bzw. -bewertung u. a. davon ab, aus welchen Ländern, ranchen, ggf. Indzes de ewelgen Wertpapere kommen, welche Laufzet se haben und mt welcher Lqudtät se ausgestattet snd. Grundsätzlch glt stets das fundamentale Gesetz der Kaptalanlage Ohne Rsko ken (erwarteter) Ertrag. Wr werden n desem etrag ncht auf Strategen oder Möglchketen zur Erzehung von rbtragegewnnen engehen 4 sondern uns durch de Erläuterung der Grundzüge der Markowtztheore der quanttatven eschrebung von rskobehafteten Wertpaperen und effzenten Kombnatonen von desen wdmen. Wr werden uns her also nsbesondere der drtten o.g. Frage zuwenden und dese berets vorab mt enem Ja, aber Vorscht! beantworten. cht Gegensatz der hesgen etrachtungen snd demographsch motverte Erörterungen von geplante Spar- und Entsparvorgängen, de zu qualtatven oder grob qualtatve Empfehlungen à la En unger Mensch sollte mehr kten als onds halten und erstere sukzessve m Laufe sener Lebenszet durch letztere substtueren. Ene zunehmende Rskoaverson mag tendenzell mt zunehmendem lter zutreffen Erörterungen von statstsch snnvollen Spar- und Entsparmodellen nnerhalb ener Lebenszet halten wr her John Maynard Keynes berühmtes Wort Langfrstg snd wr alle tot entgegen. In desem etrag wrd mt dem Markowtzmodell de Mutter aller quanttatven Modelle m Fnanzrskomanagement engehend besprochen. Von Investoren werden Rsken her über de Varanz bzw. Standardabwechung der Rendtevertelungen und über räferenzen, de Erwartete Erträge und Rsken abblden, quantfzert. Grundsätzlch präfereren Investoren dabe mehr Erwartete Rendte gegenüber wenger Erwarteter Rendte und wenger Rsko gegenüber mehr Rsko. Das Modell verwendet de Rskotoleranz unabhängg vom lter und st damt vernünftg für rskofreudge(re) sowe rskoscheue(re) alte und unge Menschen. lle folgenden espele benhalten relatve Größen, 10 korrespondert also zu 10 % Ertrag, usw. espel 1 Gegeben seen zwe Investtonsalternatven X und Y mt den möglchen Zuständen S1, S und S3. De p, 1,...,3, stellen de assozerten Entrttswahrschenlchketen der dre Zustände dar. De uszahlungsprofle von X und Y seen S1, 1 5 S, p 0, 5 S3, 3 5 X 0 10 0 Y -10 10 30 Tabelle 1 Wahrschenlchketsvertelungen von sset X und Y nleger werden üblcherwese nlage X der nlage Y vorzehen. ede nlagen haben ene symmetrsche Rendtevertelung mt erwarteter Rendte von 10, Y st edoch durch das größere Rsko (zur erechnung sehe unten) charaktersert. Rsko bedeutet her auch Chance, das heßt, fast alle nleger, de X wählen werden, verzchten auch auf de Möglchket, höhere Gewnne mt Y als be X zu erzelen. 4 Vgl. dazu quas edes brauchbare Textbuch zu Fnancal Rsk Management, z.. Smthson Managng Fnancal Rsk.
. De Entschedungsvarablen des nlegers Wenden wr uns nun enem formalserten Entschedungsproblem für enen belebgen nleger zu Deser verfüge über das udget b, wobe b en großer fxer Geldbetrag st. De nzahl der ssets, de n enem räselektonsprozess ausgewählt wurden, se mt bezechnet, se ene große natürlche Zahl. De rese pro Enhet der ssets werden als bekannt, und, we das udget b als exogen (m Folgenden durch enen Überstrch gekennzechnet) vorausgesetzt. De q 1,...,, snd also de Entschedungsvarablen des, nlegers. Es glt somt de udgetbeschränkung p1 q1 pq... pq b (1) emerkung 1 De nnahme exogener rese st näherungswese für sehr lqude kten und onds erfüllt, se st problematsch, wenn de Umsätze der ssets gerng snd (z.. be Small Caps) bzw. kene echten Marktprese exsteren (man denke an Luxusmmoblen oder Kunst). Wenn das udget sehr vel größer als de rese der ewelgen Enheten der ssets snd, b p, 1,...,, kann de udgetbeschränkung vermöge der Defnton pq x, 1,...,, standardsert werden. 5 De Unglechung (1) geht etzt n ene b Glechung über und unsere Entschedungsvarablen snd de relatven ntele des Vermögens mt x x... x 1. () 1 emerkung Transaktons- und Montorngkosten werden herbe vernachlässgt bzw. näherungswese den relatven ntelen zugerechnet. Wr wenden uns nun der Ermttlung so genannter effzenter ortfolos zu. En ortfolo st effzent, wenn entweder a) e ener vorgegebenen mnmalen erwarteten Rendte ken anderes ortfolo mt enem gerngeren Rsko exstert oder b) Für en vorgegebenes Maxmalrsko ken ortfolo mt ener höheren erwarteten Rendte exstert. emerkung 3 Das Rsko enes ortfolos kann gut als verallgemenerter res enes Gutes und sene erwartete Rendte als dessen Qualtät nterpretert werden. emerkung 4 lle wesentlchen Egenschaften und Implkatonen des Markowtzmodells können mt Hlfe von nur dre rskobehafteten Wertpaperen dargestellt werden. 5 rese werden m Weteren ncht mehr betrachtet p bezechnet ab her stets ene Wahrschenlchket. Für reale Investtonen muss natürlch weder zurückgerechnet werden, d.h. es müssen be gegebenem udget de Quanttäten der zu kaufenden Enheten ewelgen ssets ermttelt werden. 3
3. Der - und der 3-Wertpapere Fall Wr wenden uns zunächst enem Wertpaperunversum, das exklusv aus den Wertpaperen und besteht, zu. Dabe nehmen wr an, dass wr uns zu egnn des Kalenderahres 009 befnden und unsere enzge Informaton aus den Rendten von und der vergangenen fünf Jahre besteht. Unser Entschedungsproblem besteht darn, en gegebenes udget auf und für en Jahr vernünftg aufzutelen. espel Gegeben seen de Rendten von zwe ktenanlagen und, de n den vergangenen fünf Jahren beobachtet wurden (Dvdenden nklusve). nlage/jahr 004 005 006 007 008 15 5-5 5 10-10 50 10 30 0 50 %,50 %,5 7,5,5 7,5 15 Tabelle Rendten der ssets und In der letzten Zele wurde de Rendten der naven Mschung von und aufgetragen. Es st sofort erschtlch, dass de Rendten deses Mschportfolos glatter verlaufen, dass durch das Mschen also ene Rskoredukton stattgefunden hat. Wenn wr n enem sehr enfachen Zugang davon ausgehen, dass de Wahrschenlchketen aller bsher beobachteten Rendtepaare für 009 glechvertelt st,.e. p(004) = = p(008) = 0,, snd, beträgt de Erwartete Rendte von M 5 1 e ( ) 0, 15 0, 5 0, ( 5) 0, 5 0, 10 10. Dabe bezechnet M de nzahl der Umweltzustände (m espel st M = 5) und e stellt das Eregns Rendte m Zustand, = 1,..,M, dar. nalog ergbt sch für ene erwartete Rendte 0. Das Rsko der nlagen ermtteln wr über de Varanz bzw. deren postve Quadratwurzel, de Standardabwechung M p ( e ( ) ) 1 0, (15 10) 0, (5 10) 0, ( 5 10) 0, (5 10) 0, (10 10) De Standardabwechung der Rendte von beträgt somt 10. Für folgt ene Varanz 400 bzw. 0. 100. emerkung 5 Obwohl de Standardabwechung häufg n rozent angegeben wrd, sollten Se ene Standardabwechung von 0 ncht als doppeltes Rsko von 10 nterpreteren. emerkung 6 Weder noch st besser. hat ene höhere erwartete Rendte de durch en höheres Rsko erkauft wrd. 4
sher wurden und nur solert betrachtet. Kommen wr nun zu Mschportfolos Zunächst glt de udgetbeschränkung x x 1. De erwartete Rendte des ortfolos berechnet sch 6 durch x x x 1 x ) x ( ). ( Das Rsko des Gesamtportfolos berechnet sch durch x x x x cov x (1 x ) x (1 x ) cov. Dabe snd de erwarteten Rendten und Standardabwechungen von und Zahlen oder Inputparameter, her ewels 10 und 0. emerkung 7 Der Erwartungswert und de Varanz ener Summe von gewchteten Zufallsvarablen X und Y mt Konstanten a und b berechnen sch durch und var( ax by) a var( x) b var( Y) abcov( X, Y). E( ax by) ae( X ) be( Y) De Kovaranz der Rendten von und berechnet sch durch M p ( e ( ) )( e ( ) ) 0, (15 10)( 10 0) 0, (5 10)(50 0) 0, ( 5 10)(10 0) 1 0, (5 10)(30 0) 0, (10 10)(0 0) 0. De Kovaranz st en statstsches Maß für den lnearen Zusammenhang zweer zufällger statstscher Merkmale. Ihre Standardserung, der Korrelatonskoeffzent (nach earson) st durch cov [ 1,1 ] defnert. Im espel snd de Rendten also unkorrelert. emerkung 8 In der raxs wrd man zumest erwartete Rendten durch arthmetsche Mttel von Zetrehen und Varanzen und Kovaranzen durch deren emprsche Counterparts schätzen. roblematsch st allerdngs, dass dese Schätzer ncht zetstabl snd. nders ausgedrückt De Szenaren für de Folgeperode ändern sch n der Zet. Im espel berechnet sch das Rsko nun durch x 100 (1 x) 400. Somt hängen Erwartete Rendte und Rsko des Mschportfolos nur noch von ener enzgen unabhänggen oder bestmmenden Größe ab Dem ntel, der n sset nvestert wrd. Wr ermtteln nun das ortfolo mt dem gerngsten Rsko. Des erfolgt über de erste bletung des Rskos d nach dem ntel, der n sset nvestert wrd und anschleßendes ullsetzen 0. Es folgt x 0,8. Das rskomnmale ortfolo besteht also zu 80 % aus sset und zu 0 % aus sset. Es folgt ( MV ) 0,8 10 0,1 1 und ( MV ) 0,64 100 0,04 400 = 8, 944. Wr haben also en ortfolo ermttelt, das ene höhere erwartete Rendte als das Wertpaper mt der gerngeren erwarteten Rendte verfügt und dabe durch en gerngeres Rsko charaktersert st. dx 1 5
bbldung 1 Erwartete Rendten, Standardabwechung und Investtonsantel n sset Damt folgt n enem so genannten m -Dagramm bbldung Erwartete Rendten-Standardabwechungdagramm für sset und Damt folgt, dass der höchste ntel, den en ratonaler Investor noch n nvesteren kann, 80 % beträgt. lle ortfolos auf dem unteren st der Kurve werden domnert, be gegebenem Rsko exstert auf dem oberen st en ortfolo mt höherer erwarteter Rendte. Somt wurde ken bestes ortfolo dentfzert, aber ene gewsse nzahl von ortfolos ausgeschlossen! Welches ortfolo auf dem oberen st tatsächlch gewählt wrd, hängt von der Enstellung des Investors zum Rsko an. llgemen glt für das Mnmum Varanz ortfolo von zwe belebgen rskobehafteten k cov k Wertpaperen, k {1,..., }, k x ( MV ). (3) cov k us deser ezehung kann abgeletet werden, dass ene Rskoredukton be aaren von Wertpaperen umso besser gescheht, e nedrger de Korrelaton st und dass es be k 6
Expected Return Korrelatonen, de den Quotent der Standardabwechungen überstegen, nur über Leerverkäufe möglch st. Wr betrachten nun de beden Extremkorrelatonen und nehmen m Folgenden an, dass de Erwarteten Rendten von und sowe hre Standardabwechungen we bsher erhalten bleben. Für den Fall, dass de Korrelaton nun 1 beträgt, ermttelt sch der ntel n, der m ortfolo mt dem gerngsten Rsko enthalten st durch x ( MV ) / 3. Damt st x ( MV ) 1/3 und de erwartete Rendte beträgt 13 1/3 be Rsko ull! Für den Fall ener perfekten postven Korrelaton, d.h. 1, folgt x ( MV ) und damt x ( MV ) 1. Das rskomnmale ortfolo wrd also durch den Leerverkauf von 100 % des nfangsvermögens und nlage von 00 % n erzelt. Es hat Erwartete Rendte und Rsko ull. Deser Extremfall st natürlch ökonomsch unsnng, nduzert aber ncht, dass Leerverkäufe kenen etrag zur Rskoredukton be vernünftgen erwarteten Rendten lesten können! Wr wenden uns nun enem espel mt dre rskobehafteten Wertpaperen zu. espel 3 Gegeben seen de Wertpapere und we oben, ferner en Wertpaper C mt den angegebenen Rsko- und erwarteten Ertragskennzahlen 10, 10, 0, 0, 0, 0. 5, 15, 30, 0. 5 C uf den ersten lck schent sset sset C zu domneren. Tatsächlch müssen wr de Korrelatonen bzw. Kovaranzen n etracht zehen Mt Hlfe von Formel (3) kann berechnet werden, dass ene echte Rskoredukton zwschen und C ncht möglch st, Rsko nur über Leerverkauf von ca. 7 % von C errecht werden kann. Ferner entstehen durch de negatve Korrelaton zwschen und C m erech hoher erwarteter Rendten nteressante Kombnatonen. C C C 5 0 15 10 5 0 aarwese Kombnatonen von dre ssets 0 10 0 30 40 St. Devaton bbldung 3 Erwartete Rendten-Standardabwechungdagramm für sset und und C 7
De enzge zusätzlche bstrakton st nun, zu verstehen, dass ede Kombnaton von, C und C wederum mtenander kombnert werden kann. ls snnvollen Fall stelle man sch zum espel de aus und und aus und C bestehenden Mnmum Varanzportfolos vor. So entsteht schleßlch de Menge der errechbaren ortfolos mt der Effzenzlne von der uns aus dargelegten Domnanzüberlegungen nur der obere st nteressert. 4. Der -Wertpaperfall Mt den ezechnungen nzahl der ssets Erwartete Rendte des ortfolos Standardabwechung der ortfolorendte cov, Kovaranz der Rendten von sset und. Korrelatonskoeffzent der Rendten von sset und. x Investtonsantele der ssets 1,..., lautet das ass-optmerungsproblem des nlegers 1 k1 x x k k 1 1 x x x cov Mn (4) k 1 k1 k unter den ebenbedngungen x 1 1 x 1 n müssen noch zwe edngungen gestellt werden 1. Dass es echt größer st als de Rendte der rskofreen nlage und zwetens, dass es mndestens der Rendte des weter unten engeführten globalen Mnmum Varanz ortfolos entsprcht. Realtätsnäher wrd man wetere Restrktonen we z.. - Verbot von Leerverkäufen x 0, 1,..,, und/oder - Enführung von Ober- und Untergrenzen für Investtonsquoten enführen a x b 1,..,. Das roblem lässt sch für überschaubare relatv enfach mt Standardsoftware we zum espel mt dem Excel-Solver lösen, wenn man sch ener Matrx-otaton bedent Zunächst wrd der Input geschätzt ass dafür st edenfalls n der Theore - en vollständges Wahrschenlchketsszenaro, das m llgemenen mt Hlfe von Zetrehen approxmert werden soll. Wr verwenden de folgenden ezechnungen a, 1,.., Investtonsalternatven (ssets) 8
s 1,..., M, Möglche Zustände mt zugewesenen Entrttswahrschenlchketen, 1,..,, 1 M (Rendte-)Eregns von Investtonsalternatve m Zustand e,..., s / p s / p...... s / p 1 1 M M a 1 e 11 e 1 e 1 a e 1 e e M a e 1 e e...... M Tabelle 3 llgemenes Wahrschenlchketsszenaro für ssets be M Umweltzuständen emerkung 9 Wenn man mt Zetrehen arbetet, um statstsche Kennwerte zu berechnen, muss man sch m Klaren sen, dass es rüche geben kann. Man denke z.. an September 11, 001, der ene klare Zäsur für den Gesamtmarkt darstellte. emerkung 10 Im Markowtz-Modell werden de Rendten der ssets als normalvertelt vorausgesetzt. Dese nnahme wdersprcht der emprschen Kaptalmarktforschung, de oft lecht rechtsschefe und sptzgpflge emprsche Vertelungen ermttelte. Grundsätzlch problematsch wrd de nwendung des Modells, wenn Dervate, de durch nchtsymmetrsche uszahlungsprofle charaktersert snd, m ortfolo enthalten snd. De emprschen Vertelungen können mt Hlfe von statstschen npassungstests auf hre Voraussetzung getestet werden. Mt k {1,..., }; k, snd M p e, (5) 1 M 1 p ( e ), cov k M 1 p ( e )( e ). k k Ferner bezechnen Symbole mt Unterstrchen Vektoren, st de ncht-snguläre Varanz- 1 Kovaranz-Matrx und hre Inverse. Das allgemene ortfolooptmerungsproblem n sener enfachsten Form lautet nun Matrx-Form n 11 1... 1 x1 T x x = ( x1,..., x )... mn 1... x (6) unter den ebenbedngungen 9
T x, mn{ rf, GMV } T 1 x 1. nalytsch lässt sch deses Grundproblem mt Hlfe der Lagrange-Methode lösen. 7 Dazu wrd ene Hlfsmatrx engeführt T 1 1 1 T 1 T ( 1) 1 a b T 1 T 1 1 1 1 b c (7) De Elemente a, b und c werden wr m Folgenden noch verwenden. Damt st de Inverse von genau 1 1 ac b c b b a Wr erhalten für den Vektor der effzenten ortfolos mt erwarteter Rendte 1 1 x [ 1] (8) 1 Ferner glt folgender wchtger Zusammenhang zwschen erwarteter Rendte und Varanz von effzenten ortfolos 1 c b ( 1) 1 ( c ) p b a (9) ac b b a 1 ac b Wr wenden uns nun zwe besonderen ortfolos zu, dem Globalen Mnmum Varanz ortfolo (GMV) und dem Tangental-ortfolo (T). Das GMV kann aus (9) hergeletet werden Es gelten b 1 GMV, GMV und x GMV = 1 1 1. (10) c c c 5. Enführung ener rskofreen nlage Das Tangentalportfolo wrd durch de Kombnaton enes effzenten ortfolos mt der rskofreen nlage motvert. raktsch exsteren natürlch für alle nleger Soll- und Habenznsen, nur dass deren Dfferenz für nsttutonelle nleger bedeutend klener als für rvatanleger st. Wenn verenfacht angenommen wrd, dass es nur enen rskofreen Znssatz gbt, dann muss der nsteg des oberen stes der Effzenzlne glech dem nsteg 7 De Lösung deses roblems wrd z.. n Huang/Ltzenberger beschreben. Wr wenden uns her drekt den Ergebnssen zu. 10
der Geraden, de durch ( 0, rf ) und durch (, T T ) geht, dentsch sen. Geraden, de darunter legen, snd ncht effzent, Geraden darüber snd ncht errechbar. llgemen gelten a r b f a r b a r b 1 f f T, 1 1 T b rf c c b a und x T ( 1r f ). (11) ac b b cr f b cr f b cr f De folgende Grafk llustrert des für unseren espelfall mt dre Wertpaperen. µ 30 0 r 10 F 0 T GMV 0 10 0 30 σ bbldung 4 Effzenzlne von sset, und C und Kaptalmarktlne De Herletung deser Grafk erfolgt analog zur Entwcklung des -Dagramms Sowohl de erwartete Rendte als auch de Standardabwechung des ortfolos hängen nun nur noch von ener Varablen, her dem ntel x, der n das rskobehaftete ortfolo nvestert wrd (der Rest 1 x wrd automatsch n de rskofree nlage nvestert) ab. x Rsky x Rsky (1 x) r F (1 x) ( r ) x(1 x)cov F rsky, r F Da de Varanz der rskobehafteten nlage und de Kovaranz zwschen dem rskobehafteten ortfolo und der rskofreen nlage ull snd folgt x Rsky. D.d., sowohl de erwartete Rendte als auch de Standardabwechung des aus der rskobehafteten nlage Rsky und der rskofreen nlage bestehenden Mschportfolos hängen lnear von x ab. Daraus resultert de Gerade m -Dagramm. Effzent snd etzt nur noch Kombnatonen aus der rskofreen nlage und dem Tangentalportfolo! 8 Der ntel der rskofreen nlage nmmt auf der Geraden, der Kaptalmarktlne, nach ordosten ab. Rskoscheue Investoren werden etzt Mschungen aus 8 Wr bemerken noch, dass das Tangentalportfolo m CM zum Marktportfolo wrd, verzchten aber auf de Überführung. Während das Markowtzmodell normatv st, st das CM, das mt systematschen Rsken, durch beta-faktoren quantfzert, operert, postv! 11
der rskofreen nlage und dem Tangentalportfolo wählen, rskofreudgere werden sch zur rskofreen nlage verschulden und exklusv n das Tangentalportfolo nvesteren! Für de Fälle, dass Short Sales verboten werden und/oder wetere ebenbedngungen engeführt werden, gbt es kene explzten Lösungsformeln. Dese robleme müssen numersch gelöst werden (z.. mt dem berets erwähnten MS-Excel Solver). Es empfehlt sch edoch n edem Falle, de Lösung unter zusätzlchen ebenbedngungen mt der Lösung des unrestrngerten roblems zu verglechen, um zu sehen, we vel statstschen Effzenzverlust de zusätzlchen ebenbedngungen kosten. 6. We wet kann das statstsche Rsko reduzert werden? Grundsätzlch gbt es en Referenz-ortfolo, für das Se kaum rechnen brauchen, das aber stets ener Überlegung wert sen sollte Es handelt sch um das nav dversfzerte ortfolo. av dversfzert bedeutetet zum espel, dass Se, wenn Se n enem räselektonsprozess 10 ssets dentfzert haben, n edes deser ssets genau en Zehntel hres Vermögens nvesteren. n deser Stratege wrd sofort deutlch, we bedeutend der räselektonsprozess für hren nlageerfolg st. Im Verglech zur Stratege der naven Dversfzerung kann glechzetg de Komplextät des Markowtzmodells dargestellt werden. ehmen Se an, dass Se 100 ssets n enen ersten Schrtt ausgewählt haben. Dann benötgen Se 100 Schätzwerte für de erwarteten Rendten, 100 Schätzwerte für de Varanzen und 4.950 Schätzwerte für de Korrelatonen bzw. Kovaranzen. ( 1) llgemen glt De nzahl der Schätzwerte ermttelt sch aus. Für = 10.000 brauchen Se berets mehr als 5 Mllonen Inputs! In der raxs kommt der Löwenantel der Schätzfehler aus den erwarteten Rendten, gefolgt von den Varanzen und schleßlch mt enem sehr gerngen ntel am Gesamtfehler, den Varanzen. Stellen wr uns nun en nav dversfzertes ortfolo mt ssets vor. Das heßt n edes sset wrd genau 1/ nvestert,.e. x 1/, 1,..,. Es bezechne nun * de * durchschnttlche Varanz der ssets und cov deren durchschnttlche Kovaranz. Dann glt 1 1 x x 1 x 1 1 * * x x cov cov 1 1 * cov (1) Das bedeutet, dass das Rsko des nav dversfzerten ortfolos gegen de durchschnttlche Kovaranz konvergert! De Enzelrsken bestzen nur untergeordnete edeutung für das Gesamtrsko des ortfolos! De folgende Erkenntns lautet, dass es, von Extremfällen abgesehen, en systematsches Rsko gbt, das ncht wegdversfzert werden kann. σ chtsystematsches oder frmenspezfsches Rsko 1
30 0 10 0 0 10 0 30 cov * Systematsches oder Marktrsko bbldung 5 Grenzen der Dversfzerung für ssets 7. espel mt dre Wertpaperen Kehren wr zu unserem espel mt dre Wertpaperen, und C zurück. a) Unser Input st 10 0 und 15 100 0 150 0 400 150 150 300 900 b) Wr erhalten als Inverse der Varanz-Kovaranzmatrx de 0,015-0,005 0,00333 Matrx 1-0,005 0,00375 0,001666 0,00333 0,001666 0,00 De Hlfsmatrx berechnet sch durch 10 1 0 1 0,015 15-0,005 1 0,00333-0,005 0,00375 0,001666 0,00333 10 0,001666 0 0,00 15 1,5 1 0,18333 1 0,18333 0,0163888 c) Das Globale Mnmum Varanz ortfolo lautet 0,18333 1 GMV 1,53, GMV 8,89. 0,016388 c x GMV = 0,015 1-0,005 0,016388 0,00333 und - 0,005 0,00375 0,001666 0,00333 1 0,75 0,0016661 0,31. 0,00 1 0,044 13
Damt snd nur ortfolos mt ener Erwarteten Rendte von mndestens 1,53 effzent! d) Tangentalportfolo hat de Koordnaten 15,805, 9, 996. T T 8. Das Markowtz-Modell zusammengefasst und krtsch beleuchtet Zu den wesentlchen nnahmen des Markowtz-Modells zur ortfolooptmerung gehört, dass de nlagen belebg telbar snd, dass der Kauf ener nlage deren Glechgewchtspres ncht beenflusst, und dass de Rendten der nlagealternatven normalvertelt snd. De erste nnahme bedeutet praktsch, dass der zu nvesterende Geldbetrag vel größer als der res ener enzelnen Enhet edes nlagegutes st. De zwete nnahme glt als erfüllt, wenn kontnuerlch große Mengen der ewelgen nlagegüter gehandelt werden. Das darf zum espel be lue Chp kten unterstellt werden. us der drtten (eher technschen) nnahme folgt, dass de Rendtevertelung der nlagegüter und aus hnen gebldeter Mschportfolos vollständg durch de genannten Engangsparameter bestmmt snd. Unter den nnahmen des Markowtz-Modells lassen sch de effzenten ortfolos mathematsch hnrechend enfach bestmmen. De Rsko-Erwartete-Rendte-Kombnatonen der effzenten ortfolos blden dabe de sogenannte Effzenzlne 9. Zu beachten st dabe, dass de Effzenzlne natürlch davon abhängt, ob man Leerverkäufe (Short Sales) zulässt oder ncht und ob man de ufnahme zusätzlcher Lqudtät zulässt oder ncht. Es muss weterhn darauf hngewesen werden, dass darüber hnausgehende (n der raxs durchaus auftretende) Forderungen de mathematsche ehandlung des ortfolooptmerungsproblems erheblch erschweren können. Dazu zählen zum espel Unter- und Obergrenzen für de nlageantele oder Schranken für de nzahl der m ortfolo vertretenen nlagealternatven. atürlch müssen quanttatve Dversfkatonsstrategen n der raxs mt edacht engesetzt werden. Im Markowtzmodell werden zur Ermttlung ener optmalen Lösung enes ortfolos für ene Menge von rskobehafteten Wertpaperen en Vektor von erwarteten Rendten der Länge, ene Varanz-Kovaranz-Matrx der Rendtevertelungen vom Format x, de eretschaft zur Vollnvestton und ene erwartete Mnmalrendte des Investors benötgt. Dabe wrd für dese Mnmalrendte (de betragsmäβg mndestens der erwarteten Rendte des Globalen-Mnmum-Varanz-ortfolos entsprcht) für ene Investtonsperode das ortfolo mt dem gerngsten Rsko, gemessen als Varanz, ermttelt. Der obere rm der Effzenzlne m -Dagramm gbt dabe alle Kombnatonen (.e. ortfolos) von Standardabwechungen der ortfologesamtrendte und erwarteter Rendte des ortfolos an, für de be gegebener erwarteter Rendte ken ortfolo mt enem gerngeren Rsko exstert, an. De Effzenzlne st unter der Voraussetzung ener belebgen Telbarket der Wertpapere stetg. Des entsprcht praktsch der Tatsache, dass de Lösung fast stetg st, solange der nlagebetrag den res ener enzelnen Enhet ener nlage sehr stark überstegt (Des st be kten- und ondportfolos der Fall). 9 Man betrachte dazu auch de bbldungen 1, und 3. 14
Da sch de Erwartungen an de Rendten der Wertpapere n der Zet ändern, snd weder der Vektor der erwarteten Rendten noch de Varanz-Kovaranz-Matrx zetstabl. Effzenz st somt ken stabler Zustand. Ene allgemen verbesserte Erwartung n de Rendten bzw. des Rendte-Rskoaustauschverhältnsses der Elemente des nlageunversums resultert c.p. n ener Verschebung der Effzenzlne nach lnks oben, ene Verschlechterung c.p. nach rechts unten. 10 De folgende bbldung llustrert des ehmen wr an, zum Zetpunkt t = 0 wurde en ortfolo konstruert, dessen erwartete Rendte 6,5 be korresponderender Standardabwechung von 4,7 betrug (blaues Kreuz n der Graphk). Deses ortfolo lag auf der Effzenzlne n t = 0! De Wahrnehmung der Markstuaton für de Folgeperode hat sch nun n t = 1 verbessert Des korrespondert zu ener Verschebung der Effzenzlne (schwarze Lne n t = 1) nach rechts oben. Damt st das durch das blaue Kreuz symbolserte ortfolo, das das gewählte ortfolo auf der Effzenzlne von t = 0 charaktersert, ncht mehr effzent. bbldung Verschebung der Effzenzlne nach rechts oben. De Frage für den Investor st nun, nwewet de Effzenzstruktur senes ortfolos verbessert werden kann. Grundsätzlch kann de Effzenzstruktur durch Umschchten und/oder durch den Zufluss von neuen fnanzellen Mtteln errecht werden. Je konsequenter dabe de uswahl nedrg korrelerter roekte zum ewels exsterenden Restportfolo n der Zet vorgenommen wrd, umso mehr Kombnatonen sollten ceters parbus domnert werden. Da de Input-arameter des Modells zum Tel mt deutlcher Vorscht zu betrachten snd (s.o.), snd anschleβende Senstvtätsbetrachtungen unabdngbar! Des glt umso mehr, e höher de Erwartete Rendte des ortfolos st. Grundsätzlch glt, dass der nwender n der ähe des GMVs zumest sehr brauchbare Ergebnsse erhält. 10 So verschob sch z.. mt dem latzen der Mllenumsblase und den uswrkungen des 11. September 001 an den Kaptalmärkten de Effzenzlne des DX30 von 000 bs Frühahr 003 (n deser Zet verlor der deutsche Letndex ca. 70 % an Wert) dramatsch nach rechts unten, um dann bs Sommer 007 weder nach lnks oben zurückzuwandern und mt egnn der Fnanzkrse weder nach rechts unter zurück zu wandern. 15
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