Vektoren Aufgabe Berechnen Sie 2 + 0 Aufgabe 2 Beweisen Sie das ausführlich das Assoziativgesetz der Vektoraddition + R n R n R n Sie dürfen dabei alle Gesetze der reellen Addition + R R R verwenden machen Sie aber deutlich an welcher Stelle Sie diese benutzen Aufgabe Berechnen Sie die skalare Multiplikation 2 Aufgabe 4 Beweisen Sie ausführlich, dass für alle a R und für alle x, y R n gilt a x + y = a x + a y Sie dürfen dabei alle Gesetze der reellen Arithmetik verwenden machen Sie aber deutlich an welcher Stelle Sie diese benutzen Aufgabe 5 Beweisen Sie ausführlich, dass für alle a, b R und für alle x R n gilt a + b x = a x + b x Sie dürfen dabei alle Gesetze der reellen Arithmetik verwenden machen Sie aber deutlich an welcher Stelle Sie diese benutzen Aufgabe 6 Beweisen Sie ausführlich, dass die Relation kollinear transitiv ist Aufgabe 7 Die Relation kollinear ist eine Äquivalenzrelation auf R n \ { 0} Sei x R n \ { 0} ein beliebig aber fest gewählter Vektor und K x die Äquivalenzklasse von x bzgl der Relation kollinear Interpretieren Sie die Elemente von K x als Ortsvektoren in einem n-dimensionalen Koordinatensystem Welche geometrische Form Kreis, Gerade, Fläche, hat die
Punktmenge, die durch diese Ortsvektoren beschrieben wird? Wenn Sie unsicher sind, berechnen Sie zunächst ein paar Elemente der Äquivalenzklasse von x = 2 und zeichnen Sie diese Vektoren in ein zweidimensionales Koordinatensystem ein Aufgabe 8 Berechnen Sie 2 4 Aufgabe 9 Ein etwas anderer grafisch intuitiverer Zugang zur Vektorrechnung, bei dem Sie Ihre Kenntnisse aus dem letzten Semester ausspielen können Zunächst wird definiert, was ein n-dimensionaler Pfeil ist nämlich ein Paar r, s R n R n Intuitiv ist r der Startpunkt, s der Endpunkt des Pfeils Zwei Pfeile r, s und u, v heißen äquivalent, wenn sie sich nur durch eine Verschiebung unterscheiden, dh wenn es ein t R n gibt, so dass u, v = r + t, s + t Die hier verwendete Addition auf R n ist gleich definiert wie unsere Vektor Addition So sind zb die Pfeile 2,,, 9 und, 5, 0, äquivalent Zeigen Sie, dass die so definierte Relation äquivalent eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Pfeile ist Ein Vektor wird nun definiert als Äquivalenzklasse eines Pfeils, oder anders ausgedrückt: Ein Vektor ist eine Menge von Pfeilen mit gleicher Länge und gleicher Richtung Anders herum ist ein Pfeil nichts anderes als ein Repräsentant eines Vektors Wenn man also einen Vektor durch einen Pfeil in einem Koordinatensystem visualisiert, zeichnet man in Wirklichkeit einen Repräsentanten des Vektors Verwendet man einen Vektor als Ortsvektor, wählt man in Wirklichkeit den Repräsentanten des Vektors, dessen erste Komponente 0, 0,, 0 ist, dh den Pfeil, der im Koordinatenursprung beginnt Versuchen Sie das nachzuvollziehen, Sie verstehen dann auch in wiefern man Vektoren verschieben darf bzw ob sie am Koordinatenursprung befestigt sind 2
Aufgabe 0 Berechnen Sie 2 5 Sind die beiden Vektoren kollinear bzw orthogonal? Aufgabe Zeichnen Sie zwei Vektoren in ein Koordinatensystem ein, die zueinander orthogonal sind Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen Aufgabe 2 Beweisen Sie ausführlich, dass es keine zwei Vektoren gibt, die sowohl kollinear als auch orthogonal sind Mit anderen weniger Worten: kollinear orthogonal = Hinweis Formulieren Sie die Aussagen in der Sprache der Prädikatenlogik und formen Sie sie so lang äquivalent um, bis Sie bei der Aussage x, y R n kollinear x, y orthogonal x, y sind Nutzen Sie dann aus, dass x, y R n \ { 0} kollinear sind genau dann wenn y = a x für ein a R und orthogonal sind genau dann wenn x y = 0 Aufgabe Beweisen Sie ausführlich, dass a R x, y R n a x y = a x y Hinweis: Sie benötigen im Beweis sowohl das Assoziativgesetz als auch das Distributivgesetz auf den reellen Zahlen Aufgabe 4 Beweisen Sie ausführlich, dass wenn x und y orthogonal sind, auch a x und b y orthogonal sind für beliebige a, b R \ {0} Nutzen Sie im Beweis die Eigenschaften des Skalarprodukts Aufgabe 5 Finden Sie zwei kollineare Vektoren x und y so dass die normierten Richtungsvektoren von x und y ungleich sind Aufgabe 6 Beweisen Sie ausführlich: Wenn x, y R n \ { 0} und y = a x für ein a > 0, dann sind die normierten Richtungsvektor von x und y gleich Aufgabe 7 Berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren 2 x = und y = Zeichnen Sie die Vektoren in ein Koordinatensystem ein und prüfen Sie Ihr Ergebnis mit dem Geodreieck
Aufgabe 8 In Bild ist die Orthogonalprojektion eines Vektors y auf einen Vektor x dargestellt Zeigen Sie, dass man den Ergebnisvektor z durch die Formel z = y e x e x berechnen kann, wobei e x der normierte Richtungsvektor von x ist Hinweis: Schauen Sie sich dazu die Konstruktion an, mit der wir in der Vorlesung die Formel x y cosα = x y hergeleitet haben Das meiste davon können Sie übernehmen y x z Abbildung : Orthogonalprojektion von y auf x Aufgabe 9 Beweisen Sie ausführlich, dass der Winkel zwischen zwei kollinearen Vektoren entweder 0 Grad oder 80 Grad beträgt Aufgabe 20 Eine komplexe Zahl kann als zweidimensionaler Vektor z = x + jy z = x y interpretiert werden Multipliziert man eine komplexe Zahl mit e jϕ bedeutet dies geometrisch, dass sich der komplexe Zeiger um Winkel ϕ gegen den Uhrzeigersinn dreht Benutzen Sie Ihre Kenntnisse aus der Vektorrechnung um zu beweisen, dass für alle z C \ {0} und für alle Winkel ϕ zwischen 0 und 80 Grad der Winkel zwischen z und ze jϕ tatsächlich ϕ ist Hinweis: Sie müssen ze jϕ zuerst in kartesische Koordinaten umrechnen Aufgabe 2 Ein komplexer Vektor ist ein Vektor, dessen Komponenten komplexe Zahlen sind Alle Rechenoperationen, die Sie für reelle Vektoren 4
kennen, gelten genau so auch für komplexe Vektoren mit einer Ausnahme: dem Skalarprodukt Eine wichtige Eigenschaft des Skalarprodukts war ja die positive Definitheit, dh und x x 0 für alle x R n x x = 0 genau dann wenn x = 0 Diese Eigenschaft ist so nützlich, dass man sie gerne auf komplexe Vektoren übertragen würde Problematisch dabei ist, dass für zwei komplexe Vektoren das Skalarprodukt in der Regel eine komplexe Zahl liefern würde, und der Vergleich 0 gar nicht definiert wäre Die Lösung besteht darin, das komplexe Skalarprodukt für zwei Vektoren x, y C n wie folgt zu definieren: x y = x y + x 2 y 2 + + x n y n wobei y i die konjugiert komplexe Zahl von y i ist Zeigen Sie, dass das so definierte komplexe Skalarprodukt tatsächlich positiv definit ist Zeigen Sie weiterhin, dass gilt x y = y x Das komplexe Skalarprodukt ist also nicht kommutativ! Aufgabe 22 Seien a, a 2 R m orthogonale und normierte Vektoren, und f R 2 R m durch f x = x a + x 2 a 2 definiert Zeigen Sie, dass dann für alle x R 2 f x = x Sie dürfen alle in der Vorlesung bewiesenen Eigenschaften des Skalarprodukts und der Euklidischen Norm verwenden 5