5. Signalverarbeiung Elemenarsignale Lineare Sysemheorie Fourierransformaion Abasung koninuierlicher Signale Diskree Fourierransformaion Filerenwurf 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 1 5.1 Nachrichen als eil des Lebens Nachrichen und Informaionen werden in Form von Signalen weiergeleie im äglichen Leben werden sämliche naürlichen Informaionskanäle = Sinne (Simulus-Kanäle) benuz: Sich Zeichen, Bilder Gehör Sprache, Musik Geruch Parfüm, Bäcker Berührung Braille-Schrif emperaur?? Hilfsmiel: Briefaube - Nachrich oder räger? 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 2
Signale als Repräsenanen physikalischer Größen Zeikoninuierliche Lufdruckschwankungen: Musik und Sprache One wo hree 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 3 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 4
Abasung koninuierlicher Signale -4-3 -2-2 3 4 5 Koninuierliches Signal s() Abasrae r = 1/ im Absand Funkionswer s(n) Diskrees Signal s(n) = f(n) Beispiele: Bludruckmessung DAX Asronomische Daen 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 5 Bildsequenz Zei- und Orssignal: s(x,y,) 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 6
Fragen der Signalverarbeiung Wie lassen sich Signale und ihre Eigenschafen beschreiben? Wie verhalen sich Signale bei der Überragung? Wie kann man das Überragungssysem beschreiben? Wie kann man die Überragung günsig beeinflussen? Wie können gewünsche Effeke in die Überragung eingearbeie werden? 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 7 Sysembeispiele s() Sprachrak F(s()) g() 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 8
Sysembeispiele s() Sprachrak F(s()) g() 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 9 5.2 Grundlagen der Sysemheorie 5.2.1 Signale Eigenschafen Elemenarsignale ransformaion von Signalen 5.2.2 Lineare zeiinvariane Syseme Sysemanwor Falungsalgebra Sysemeigenschafen Falung mi Elemenarsignalen 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 1
Elemenarsignale Das Sinussignal s() = sin(2πf) f=5hz 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 11 Elemenarsignale Dreieckimpuls s() = { 1- für 1) für 1) f D =5Hz 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 12
Fragen der Signalverarbeiung Wie lassen sich Signale und ihre Eigenschafen beschreiben? Wie verhalen sich Signale bei der Überragung? Wie kann man das Überragungssysem beschreiben? Wie kann man die Überragung günsig beeinflussen? Wie können gewünsche Effeke in die Überragung eingearbeie werden? 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 13 Sysembeispiele R e() 1 e() ={ für < Sprungfunkion 1 für 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 14
Sysembeispiele R rec() 1-1/2 1/2 rec() = { 1 für 1/2 für > 1/2 Recheckimpuls 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 15 Sysembeispiele s() R Sysem C g() s() 1 g() 1 Eingangssignal Ausgangssignal 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 16
Signalransformaion des Einheisprunges s () 1/ g () LI Fläche 1/ * =1 vorher UND nachher! 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 17 Signalannäherung durch Recheckimpulse s() s(n ) s a () s() s a () = s(n )s (- n ) n= - -4-3 -2-2 3 4 5 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 18
Ausgangssignal aus Superposiion von g s() s a () = s(n )s (- n ) n= - g a () = s(n ) g (- n ) g() n= - s() g a () s 1/ () LI g () 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 19 Verbesserung der Annäherung durch kleiner Zeiabsände s () 1/ -> s () s () d() 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 2
Dirac-Dela: Funkion, Disribuion, Funkional Messechnisch wird δ() durch ein sehr kurzes rec-signal realisier << RC da lim (1/ )rec (/ ) ~> formal nich exisier. Aber: δ() exisier sehr wohl als eil eines Inegrales s() = - s(τ) δ(- τ ) dτ - s() = s(τ) δ(τ ) dτ -s () = s(τ) δ (τ ) dτ - 1 =s (τ)δ(τ ) dτ -1 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 21 Dirac-Soß anschaulich s () 1/ s () s () δ() -> : Reduziere zeilichen Einfluß des Eingangssignales! s () δ () LI g() h() -> n= - - s () ->δ () n ->τ ->dτ 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 22
Soßanwor und Falungsinegrale δ () LI h() s() = s(τ)δ(- τ ) dτ - g() = s(τ) h(- τ ) dτ - Definiionsgleichung für das Dirac-Funkional Neue ransformaionsgleichung für LI-Syseme: Falung! h() Die Soßanwor charakerisier das LI-Sysem eindeuig 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 23 Soßanwor im RC-Glied s() R Sysem C g() s() 1 g() 1 Zeikonsane = RC Eingangssignal Ausgangssignal 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 24
Soßanwor im RC-Glied Zeikonsane = RC 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 25 Die Falung R h() s() g() LI C s () g() h() 1/ Soßanwor h() = 1/ ε() exp(-/) Anregung - /2 s() = a rec( ) s() a 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 26
Die Falung g() = - h(τ) 1/ s(τ)h(-τ ) dτ Achung! Inegraionsvariable is τ!!! s(τ) h(-τ) h(-τ) h(τ) 1/ a Falung τ τ τ Inegralauswerung: Muliplikaion ensprich gemeinsamer Fläche s(τ) a τ 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 27 g() = s(τ) h(-τ ) dτ - h() = 1/ ε() exp(-/) Die Falung a < : g() = < : g() = a/ exp[-(-τ)/] d τ = a (1-exp [-/] ) > : g() = = a (exp [ /] -1) exp [-/] Symbolisch kann man das Inegral Falungsproduk schreiben: g() = - g() = s() * h() s(τ) h(-τ ) dτ auch als 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 28
Falungsalgebra s () h() g() = s() *h() Beim Dirac-Soß gil: g() = s() * δ() = s() -> δ() is das Eins-Elemen der Falungsalgebra. => Ideal Verzerungsfreies Sysem Kommuaiv-Gesez: s() * h() = h() * s() s () h () h() = s() s() * h() = - - s(τ) h(-τ ) dτ Subs. τ > -ζ =s(-ζ) h(ζ) -d ζ + + =h(ζ) - s(-ζ) d ζ = h() * s() = 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 29 5.3-Fourierransformaion 5.3.1 Herleiung der Fourierransformaion Erregung mi komplexer Schwingung Fourierreihe periodischer Signale Fourierransformaion aperiodischer Signale Darsellung komplexer Signale 5.3.2 Eigenschafen der Fourierransformaion Lineariä, Verschiebung, Ähnlichkeissaz Symmerie, Inegraion, Differeniaion Muliplikaionsheorem Exisenz 5.3.3 Fourierransformaion von Elemenarsignalen 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 3
Fourierreihe Beispiel: periodisches Rechecksignal 1 b ( 2) sr () =.5 1+ rec 2 s() = s ( k) k = r 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 31 Fourierreihe. Approximaion der periodischen Funkion (Mielwer): Mielwer s () Fehlersignal e()=s()- s () Wähle Approximaionsfunkion derar, dass der milere quadraische Fehler e minimier wird s = s() d =.5 = e = e d = 2 () min! 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 32
Fourierreihe 1. Approximaion der periodischen Funkion: s 1 () Fehlersignal e()=s()- s 1 () 2 a = s ()sin( ω d ) 1 = a 1 s () = s + a sinω 1 1 2π mi ω = = 2π f 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 33 Fourierreihe 2. Approximaion der periodischen Funkion: s 3 () Fehlersignal e()=s()- s 3 () 2 a = s ()sin(3 ω d ) 3 = a 3 s () = s ( ) + a sin 3ω = s + a sinω + a sin 3ω 3 1 3 1 3 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 34
Fourierreihe: k=1 a a 1 3 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 35 Fourierreihe: k=3 a 3 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 36
Fourierreihe: k=5 a 5 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 37 Fourierreihe: k=7 a 7 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 38
Fourierreihe: k=9 a 9 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 39 Fourierreihenenwicklung Approximaion der Sinuskomponenen k = ()sin ( 2π ) s () = s + a sin2π kf k k = 1 2 a s kfd = Approximaion miels komplexer Schwingung j2 kf j2π k k () s () = c e π k = 1 kf c = se d = 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 4
Das Gibbs Phänomen Approximaion des idealen Rechecksignals: Annäherung an Original Überschwinger des Resfehlers Das Rechecksignal kann nie exak dargesell werden, da alle approximierenden Sinusfunkionen an den Unseigkeissellen des Rechecks bei =k/2 immer sind. Die Breie des Überschwingers reduzier sich, während die Höhe immer +/- a is. 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 41 Die Fourierransformaion ransformaion vom Zeibereich in den Frequenzbereich j2π f S( f) s( ) e d = = Inverse ransformaion vom Frequenzbereich in den Zeibereich 2 s () S( f) e j π f df = f = 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 42
F Eigenschafen: Ähnlichkeissaz Wie häng ein gedehnes Signal mi seiner F zusammen? s(b) Subsiuiere b = θ Allgemein s(b) 1 b s(b) e j2πf dθ j2 πθf / b s(θ) e dθ = 1 b S( f b ) - - 1 b S( f b ) 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 45 F Eigenschafen: Verschiebungssaz Was passier mi der F, wenn das Originalsignal um verschoben wird? s(- ) s( ) e j 2πf d Subsiuion - = θ s(- ) j 2πf e j 2πf e S( f ) s(θ) e j 2πθf S(f) dθ s () s(- h() = δ(- ) ) s() *δ(- ) S( f ) e j 2πf Lineare Phasenänderung! δ(- ) δ() j 2πf e = e jϕ( f ) j 2πf e = 1 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 46
Symmerie der F Was resulier, wenn man ein Spekrum wieder als Zeisignal inerpreier? Fourier-Inegral S( f ) = s() e j 2πf d Subsiuion -> - Verausche und f Inverses Fourier-Inegral s() = S( f ) s( τ ) = S( f ) s( f ) = S(τ ) e e e j 2πf df j2πfτ j2πfτ df dτ s() S( f ) S() s( f ) 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 47 Muliplikaion, Modulaionsheorem Muliplikaions/Modulaionsheorem s()*h() S(f) H(f) S() H() s(-f) * h(-f) Falung Muliplikaion Muliplikaion Falung Beispiel: Quadraur eines Signals s () g() = s 2 () G(f) = S(f) * S(f) g() = s 2 () 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 5
Eigenschafen 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 51 Eigenschafen 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 52
ransformaion von Elemenarsignalen Recheckimpuls s() = rec() S( f ) = rec() = 1/ 2 1/2 e j 2πf e j 2πf 1 jπf jπf j jπf jπf = ( ) ( ) j2 f e e = 2 f e π π e d d Euler-Formel sin( πf ) S( f) = = si( πf ) πf e e jπf ) = sin(πf ) j2 ( jπf Spalfunkion! rec( / ) si(πf ) 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 53 Die Spalfunkion Recheck/sinc si(πf ) rec( f ) 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 54
Sinc/iefpass Idealer iefpaß: H(f)=rec(f/f g ) H( f ) = rec( f f g ) h p () = 2 f g si(π2 f g ) 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 55 Dreiecksimpuls Dreieck s() =Λ() = rec()* rec() si 2 (πf ) Spal gefale mi Spal si 2 (π) rec( f ) rec( f ) = rec( f ) si (π) 5-Folien Digiale Signalverarbeiung 56
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