FACHARBEIT aus der Physik. Untersuchungen zu digitalisierten Signalen und deren Frequenzanalyse

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1 LEIBNIZ-GYMNASIUM Aldorf Kollegsufe Abiurjahrgang 4 FACHARBEI aus der Physik Unersuchungen zu digialisieren Signalen und deren Frequenzanalyse Verfasser: Leisungskurs: Kursleier: Mahias Schneider PhL SD Flinsch Erziele Punke: (einfache Werung)... (Unerschrif des Kursleiers)

2 Inhalsverzeichnis Einleiung...4 heoreischer eil: Mahemaische Grundlagen...5. Definiionen...5. Signalklassifizierung Klassifizierung nach Erscheinungsform Deerminisische Signale Sochasische Signale Klassifizierung nach Wirkung Allgemeines zu Analyse- und ransformaionsverfahren Koninuierliche Fourier-Analyse Fourier-Reihe Vereinfachungen durch Symmerie Komplexe Darsellung Harmonische Analyse Fourier-Inegral Regeln und Eigenschafen der Fourier-ransformaion Diskree Fourier-ransformaion (DF) Mahemaische Berachung Signalabasung und Abasheorem Diskree inverse Fourier-ransformaion (IDF) Fas Fourier-ransformaion (FF)...9

3 3 3 Prakischer eil: Signalanalyse Audiosignalanalyse Idealisiere Schwingungen (ongeneraor) Sinusschwingungen Analyse und Approximaion einer Recheckschwingung Frequenzanalysen bei Musikinsrumenen Prakische Anwendung: Analyse von MFV-Signalen (Mehrfrequenzwahlverfahren) Abschließende Berachung Anhang Mahemaik der Fourier-Reihe Herleiung Komplexe Darsellung Fourier-Inegral Bildschirmfoos des Programms Quellenverzeichnis Abbildungsverzeichnis Anlagen Fernsender F CD-ROM Ausdruck von verwendeen Inernequellen Danksagung Erklärung...4

4 4 Einleiung Die Nachrichen- und Informaionsechnik gelang in der heuigen Gesellschaf zu immer mehr Bedeuung und is daher sändig Neuerungen und Wandlungen ausgesez. Die Enwicklung ha gezeig, dass der rend von der Analog- immer weier hin zur Digialechnik führ. Davon sind sowohl die Informaionsspeicherung als auch die Kommunikaion beroffen, d.h. der Informaionsausausch zwischen Menschen, Menschen und Maschinen und nich zulez auch zwischen Maschinen unereinander. Dabei spielen nachrichenechnische Syseme und Mehoden eine zenrale Rolle, da die Informaionen mi besmöglicher Qualiä, aber meis auch mi den geringsen Kosen gespeicher bzw. vom Sender zum Empfänger überragen werden sollen. Durch die benöige hohe Überragungsbandbreie und Verarbeiungsgeschwindigkei für Audio-, Bild- und Videosignale soßen Mulimedia-Syseme immer wieder an ihre Grenzen in der Echzeibearbeiung dieser Signalaren. Die Nowendigkei einer Daenredukion durch Anwendung von echniken der Bild-, Video-, Sprach- und Audiocodierung ergib sich roz der rasanen Enwicklung neuer echnologien zur digialen Überragung und Aufzeichnung. Es is [...] auch in Zukunf wahrscheinlich, dass das Verkehrsaufkommen schneller wächs als die Überragungskapaziä, und dass darüber hinaus der Einsaz von Daenkompressionsverfahren wirschaflicher is als die Erhöhung der Überragungskapaziä. Dies riff insbesondere auf Kanäle für Mobilüberragung zu, welche exreme Einschränkungen der Überragungskapaziä besizen." (Q, Kap..3, S.3) Diese Facharbei beschäfig sich mi der Analyse und Synhese digialer Audiosignale. Dazu werden zunächs im ersen, heoreischen eil der Arbei die mahemaischen Grundlagen geleg, d.h. Beweise und allgemeine heorien zu den Analyseverfahren berache, durch die eine eilweise enorme Daenredukion erreich werden kann, ohne dabei Informaionen des ursprünglichen Signals zu verlieren. Im zweien eil werden diese gewonnenen Erkennnisse dann auf einerseis idealisiere Signale, aber auch auf akusische Signale aus dem prakischen Leben angewende und somi die heorie an prakischen Beispielen überprüf.

5 5 heoreischer eil: Mahemaische Grundlagen. Definiionen Folgende Definiionen in Anlehnung an Q 6 und Q 7. Die Frequenz f is bei einem periodischen Vorgang, z.b. einer Schwingung, der Quoien aus der Anzahl n der Perioden (vollen Schwingungen) und der dazu erforderlichen Zei : n f = [ f ] = = Hz (..) s Uner der Periodendauer verseh man bei einem periodischen Vorgang die Zei, die für eine volle Periode benöig wird. Sie beschreib also die Zeidauer zwischen zwei aufeinander folgenden gleichen Schwingungszusänden. Es ergib sich folgender Zusammenhang zwischen der Frequenz f und der Schwingungsdauer : Fig. : Funkionsgraph einer periodischen Sinusschwingung f = [ ] = s (..) Die Kreisfrequenz ω is das π -fache der Frequenz f. ω = π f [ ω ] = (..3) s Die Ampliude A is der Maximalwer, den der Berag einer sich periodisch ändernden physikalischen Größe (einer Schwingung) während einer Periode annehmen kann. Die Energie der Schwingung is proporional zum Quadra der Ampliude, die im allgemeinen vom Or und der Zei abhäng: E A (..4) Die Elongaion y is der Berag, um den ein Körper zu einem beracheen Zeipunk aus einer fes definieren, sabilen Ruhelage ausgelenk is. Sie änder sich koninuierlich und is eine Funkion der Zei. y = y() (..5) Uner der Phase verseh man das Argumen der zeilich, bei Wellen auch zeilich und räumlich, periodischen (genauer harmonischen) Funkion. Bei einer sinusförmigen Schwingung x () = A sin( ω+ ϕ) beschreib A die maximale Auslenkung (Ampliude),

6 6 das Argumen der Sinusfunkion ( ω + ϕ) die Phase und ϕ die Phasenkonsane (Nullphase).. Signalklassifizierung Das folgende Kapiel zur Signalklassifizierung wurde in Anlehnung an Q 5 verfass. Signale werden zunächs als Funkionen im Sinne der Mahemaik berache v = f (u) (..) Die in dieser Arbei bearbeieen Signale x sind ausschließlich eindimensionale Funkionen f der Zei: x = f () (..) Es erweis sich als sinnvoll Signale mi ensprechenden Eigenschafen in Klassen einzuordnen, um dann die jeweiligen Klassen mi den gleichen Mehoden beschreiben und verarbeien zu können. Dabei sind viele aus der Mahemaik bekanne Funkionseigenschafen auch in der Signalverarbeiung von großer Bedeuung: Gerade Funkionen (Signale): x( ) = x( ) achsensymmerisch zur Ordinae Ungerade Funkionen (Signale): x( ) = x( ) punksymmerisch Einseiige Funkionen (Signale): x ( ) = für < bzw. x ( ) = für Eine reine Klassifizierung im mahemaischen Sinn is für Signale jedoch nich sinnvoll. Üblicherweise werden signalypische Erscheinungsformen bzw. Wirkungen als klassenspezifische Merkmale herangezogen... Klassifizierung nach Erscheinungsform In der graphischen Darsellung von Signalen können of gewisse Srukuren in der jeweiligen Signalform ausgemach werden (z.b. Wiederholungen, Hüllkurven). Ebenso können sich Ähnlichkeien zu bekannen, elemenaren mahemaischen Funkionen ergeben (z.b. Sinuskurve, Signalklassen exponenielles Abklingen). In Fig. is die Klasseneineilung von Signalen nach unerschiedlichen Erschei- sinusförmig deerminisisch sochasisch periodisch aperiodisch... zusammengesez periodisch fas periodisch ransien Fig. : Klassifizierung von Signalen nach ihrer Erscheinungsform

7 7 nungsformen dargesell. Zunächs wird dabei unerschieden zwischen deerminisischen Signalen mi regelmäßigen Srukuren und sochasischen Signalen, die eher chaoisch" und nach keinen erkennbaren Gesezmäßigkeien verlaufen.... Deerminisische Signale Definiion: Signale mi regelmäßigen Srukuren, bei denen durch die Kennnis der zugrunde liegenden Regel oder auch aus der Vergangenhei" des Signals eine Vorhersage des Weres, der zu jedem beliebigen zukünfigen Zeipunk angenommen wird, möglich is, werden deerminisisch (vorbesimm) genann.... Periodische Signale Wiederhol sich ein Signal x () ses nach jeweils der fesen Zei, so wird es periodisch genann mi der Periodendauer. x() = x( + λ ) mi λ Z (..3) Beispiele: x ( ) = A sin( ω + ϕ) (..4) oder x ( ) = A cos( ω + ϕ) (..5) A Ampliude (reel) ω = π f Kreisfrequenz f = Frequenz ϕ Nullphasenwinkel Sez man ein Signal x () aus n elemenaren periodischen Signalen zusammen, so enseh ein zusammengesezes Signal. Dieses Signal is nur dann ebenfalls periodisch, wenn gil: f k f Z mi k und k ( n ) (..6). Wenn also jede k -e Signalkomponene eine Frequenz f k besiz, die ein ganzzahliges Vielfaches einer gemeinsamen Grundfrequenz f is, so kann von einem zusammengesez periodischen Signal gesprochen werden. In der heorie sind lau der Definiion auch negaive Frequenzen als (negaive) Vielfache der Grundfrequenz zulässig, was in der Praxis und im physikalischen Sinn allerdings nich von Ineresse is.... Aperiodische Signale Füg man mehrere sinusförmige Signale mi Frequenzen, die nich in einem ganzzahligen Verhälnis zur Grundfrequenz f sehen, zu einem Signal zusammen, so wird dieses Signal nur fas periodisch.

8 8 Eine weiere Unergruppe der nich periodischen Signale bilden die einmaligen oder ransienen Signale. Diese Signale reen nur ein einziges Mal auf und wiederholen sich nie. Ferner is ihnen gemeinsam, dass sie aus unendlich vielen Elemenarsignalen beliebiger (komplexer) Ampliuden Χ (ω ) bei jeder möglichen Kreisfrequenz ω zusammengesez zu denken sind. Beispiel: Die Sprungfunkion ε () mi für ε() = (..7) für < sell ein wichiges Beispiel für ein ransienes Signal dar. Impulse, die nach gewisser Zei völlig verschwinden, sind weiere Beispiele für ransiene Signale.... Sochasische Signale Sochasische Signale erscheinen mehr oder weniger mi unregelmäßiger Srukur". Da solche Signale in dieser Arbei aber nur eine sehr unergeordnee Rolle spielen, werden sie hier nur der Vollsändigkei halber am Rande erwähn. Zufallssignale können einerseis Nuzsignale sein, deren Informaion im Signalverlauf enhalen und dem Empfänger noch unbekann is, andererseis kann es sich auch um Sörsignale handeln wie beispielsweise das nichdeerminiere Rauschen eines Widersandes, eines Versärkers oder auch einer Anenne. Die Eigenschafen von Zufallssignalen lassen sich nur durch besimme Mielwere beschreiben. Es bedarf einer gänzlich anderen Berachungsweise als bei deerminisischen Größen. Mehoden der mahemaischen Saisik finden hier Anwendung. An die Selle der Momenanwere reen sogenanne Erwarungswere, die aus saisischen Berachungen, z.b. der Häufigkei oder Wahrscheinlichkei von Ereignissen, ermiel werden können... Klassifizierung nach Wirkung Die Wirkung von Signalen wird häufig an der verfügbaren Leisung oder Energie eines Signals bemessen. Man kennzeichne Signale daher auch ensprechend ihrer Wirkung: Energiesignale: () (..8) E = x d < Die Energie eines Energiesignals is endlich. Dies is z. B. nich der Fall bei Sprungfunkionen, periodischen Signalen oder auch Rauschsignalen. Daher definier man Leisungssignale mi endlicher Leisung:

9 9 Leisungssignale: (..9) P = lim x( ) d < Diese Definiionen spielen eine wichige Rolle für die Exisenz besimmer ransformaionsinegrale, die im weieren Verlauf der Arbei hergeleie werden. In der Praxis is diese Unerscheidung nich sehr wesenlich, da dor Signale unendlicher Energie der endlichen Beobachungsdauer wegen nich vorkommen..3 Allgemeines zu Analyse- und ransformaionsverfahren Um ein digiales Signal analysieren und unersuchen zu können, bedarf es einer ransformaion der im Signal beinhaleen Informaionen, da diese aus der bildlichen Darsellung des Signals über die Zei, besonders bei nich periodischen Verläufen, nur sehr eingeschränk hervorgehen. Es wird also eine ransformaion zur näheren Analyse benöig, die das digiale Signal auf andere Ar und Weise berache und darsell, so dass daraus versändlichere und informaivere Erkennnisse hervorgehen. Im äglichen Leben begegne man immer wieder (meis unbewuss) ransformaionen, auch wenn vielen der mahemaische Begriff der ransformaion nich sehr geläufig is. Denk man einmal zurück an frühere Zeien des aschenrechners, den Rechenschieber, so söß man unweigerlich auf die logarihmische ransformaion. Konvenionelle Analysis Problemsellung Y = X / Z Kompliziere Analysis Aufwendige Division Lösung ransformaions- Analysis ransformaion log ( Y) = log ( X) log ( Z) Vereinfache Analysis abellennachschlag und Subrakion Inverse ransformaion abellennachschlag (Enlogarihmierung) Fig. 3 zeig den allgemeinen Fig. 3: Schemaische Darsellung des Zusammenhangs zwischen Zusammenhang zwischen der konvenionellen und der ransformaionsanalysis der konvenionellen und der ransformaions-analysis. Die Bedeuung von ransformaionen und die dami erzielen Voreile werden an diesem Beispiel sofor deulich:

10 X Ausgangsproblem sei die Berechnung des Quoienen Y =, wobei eine hohe Z Genauigkei geforder werden soll, jedoch kein (aschen-)rechner zur Verfügung seh. Den Weg der konvenionellen Analysis einschlagend, würde man Y durch eine Division erhalen, wie es auf der linken Seie in Fig. 3 dargesell is. Abhängig von Dividend und Divisor kann sich diese herkömmliche Lösungsmehode der Analysis jedoch als sehr aufwendig und zeiraubend erweisen. Ein vereinfacher Lösungsweg kann dagegen uner Zuhilfenahme der ransformaionsanalysis erziel werden. Wie auf der rechen Bildseie gezeig, beseh der erse Schri in der ransformaion der Ausgangsproblemsellung. Die Division wird durch die logarihmische ransformaion zu einer Subrakion. Es wird zur Berechnung nun lediglich eine Logarihmusafel benöig, um die Were von log(x ) und log(z ) zu besimmen, die anschließend voneinander subrahier werden. Zulez muss schließlich noch die inverse ransformaion durchgeführ werden, indem das errechnee Ergebnis mi dem ensprechenden Nachschlagewerk enlogarihmier wird. Mahemaisch berache ha die ursprüngliche Problemsellung durch die durchgeführe ransformaion an Komplexiä abgenommen, da eine Subrakion mi weiaus weniger Aufwand durchgeführ werden kann, als dies bei einer Division der Fall is. (nach Q 3, Kap.., S.3ff).4 Koninuierliche Fourier-Analyse Der französische Mahemaiker und Physiker Jean-Bapise Joseph Baron de Fourier (768-83) gelange in seiner héorie analyique de la chaleur" (8) vom Problem der Wärmeleiung ausgehend zu der nach ihm benannen Fourier-Reihe und dem Fourier-Inegral, die in vielen Bereichen der Physik Anwendung finden wie z.b. in der Opik, in der Quanenphysik, bei der Ausbreiung elekromagneischer Wellen und in der Wahrscheinlichkeisheorie. Ferner sind sie Fig. 4: J. Fourier Grundlage für die Sysemheorie und somi auch für die analoge und (768-83) digiale Signalverarbeiung in der Informaions- und Regelungsechnik. Aus den heorien von Fourier wurden späer andere in der Sysemheorie gebräuchliche ransformaionen abgeleie wie die Laplace-ransformaion, die z-ransformaion, die diskree Fourier-ransformaion (DF) und die Fas Fourier-ransformaion (FF). Wir machen, wenn auch unbemerk, fas äglich von diesen Analyseverfahren Gebrauch. Bei elefonen, CD-Playern, DVDs und auch bei dem wei verbreieen Bild-

11 forma Jpeg werden Verfahren verwende, die auf den von Fourier enwickelen Mehoden basieren. Mi Hilfe der Fourier-Analyseverfahren lassen sich Signale in sinusförmige Komponenen zerlegen, wobei diese zu zerlegenden Ausgangssignale eilweise besimme Bedingungen erfüllen müssen, die sich aus dem Wesen des Analyseverfahrens ergeben..4. Fourier-Reihe Ausführliche Herleiung der Fourier-Reihe siehe Anhang Kap. 5.. S.9. Die heorie der Fourier-Reihe besag, dass jede periodische Funkion f () auf eine Summe gewicheer sinusförmiger Komponenen zurückgeführ werden kann: a f a m b m () = + m= cos( ) + sin( ) ( m ω m ω ) (.4.). Hierin berechnen sich die Koeffizienen der Sinus- und Kosinusglieder wie folg: + am = f()cos( mω ) d für m (.4.) und + bm = f( )sin( mω ) d für m (.4.3). a Die Konsane, auch Gleichaneil genann, berechne sich zu + a = f () d (.4.4). Dabei wird der Aneil b a cos( ω) + b sin( ω) = a + b cos( ω arcan ) (.4.5) a als Grundschwingung oder erse harmonische Schwingung bezeichne. Alle übrigen Schwingungen heißen Oberschwingungen oder auch höhere harmonische Schwingungen..4.. Vereinfachungen durch Symmerie Zur Berechnung der Fourier-Koeffizienen is es zweckmäßig die Funkion f () auf besimme Symmerieeigenschafen hin zu unersuchen, da sich u.u. besimme Kosinusbzw. Sinusglieder von vornherein aus der Fourier-Reihe ausschließen lassen. Die zu diesen Gliedern gehörenden Koeffizienen können also Null gesez werden. Zur Ver-

12 einfachung der Berachung soll nun nich mehr das Inervall [ ; ] +, sondern das Inervall ; berache werden, was durch die Periodiziä der Funkion ) f ( durchaus zulässig is. Gerade Funkionen (vgl. Kap.., S.6) sind symmerisch zur Ordinae, wodurch in der Fourier-Reihe von f () ausschließlich Kosinusglieder aufreen können. Sämliche Koeffizienen b m sind daher Null. Nachweisen läss sich dies bei näherer Berachung der Gleichung (.4.3) zur Berechnung der b m. Die in diesem Fall gerade Funkion f () wird mi der ungeraden Funkion sin( mω ) muliplizier. Das Produk ergib erneu eine ungerade Funkion, während das Inegral einer ungeraden Funkion über ein zur Ordinae symmerisches Inervall Null is (ohne Beweis). Für ungerade Funkionen (vgl. Kap.., S.6) ergib sich analog dazu, dass ihre Fourier- Reihen nur aus Sinusgliedern besehen und daher alle Koeffizienen a m gleich Null sind. Besiz eine Funkion die Eigenschaf der Vollsymmerie, d.h. f ( ) = f ( + ), so kommen in der Fourier-Reihe nur ungeradzahlige Schwingungen vor. Dass die geradzahligen Oberschwingungen nich aufreen können, läss sich wegen sin( kω) sin( kω) sin( kω) f () d = f( + ) d = f() d cos( kω) cos( kω) cos( kω) (.4.6), also a b, leich einsehen. k = k = Ferner ergeben sich für die Fourier-Reihe nur geradzahlige Oberschwingungen, falls f ( ) = f ( + ). Ohne weieres folg dies aus ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) sin (k + ) sin (k + ) f () d = f ( + ) d cos (k + ) cos (k + ) ( k + ω ) ( k + ω ) sin ( ) = f () cos ( ) d (.4.7), so dass sämliche a b sind. k + = k + = Es zeig sich also, dass durch den Ausschluss einzelner Glieder aus der Fourier-Reihe von Funkionen mi besimmen Symmerieeigenschafen der Rechenaufwand zur Berechnung der Fourier-Koeffizienen deulich reduzier werden kann.

13 3.4.. Komplexe Darsellung Uner Verwendung der von Leonhard Euler (77-783) gefundenen Beziehung zwischen den rigonomerischen Funkionen und der Exponenialfunkion läss sich die Fourier-Reihe anselle der Aufeilung in Sinus- und Kosinusglieder auch in komplexer Darsellung angeben. Eulersche Formel: ± ϕ e i = cos ϕ ± i sin ϕ (.4.8) (nach Q 6, S.55) Durch diesen Zusammenhang ergib sich für die Fourier-Reihe: im g () = cm e ω = f() (.4.9) m= Die Koeffizienen errechnen sich dabei zu imω cm = f()cos( mω) d i f()sin( mω) d = f() e d (.4.). Ausführliche Herleiung siehe Anhang Kap. 5.., S Harmonische Analyse Die Aufgabe der Harmonischen Analyse beseh darin, die komplexen Fourier- Koeffizienen + imω cm = f() e d (vgl. (.4.)) einer gegebenen periodischen Zeifunkion f () zu besimmen (Q 8, Kap., S.88). Das Problem bei der bisher beracheen Analysemehode nach Fourier is jedoch, dass die periodische Funkion f () als analyischer Ausdruck bekann sein muss. In der Praxis ergeben sich aber meis experimenell gefundene Kurven und Signale, die als Oszillogramme vorliegen. Dabei is lediglich die graphische Kurve bekann, aber längs kein Ausdruck, der das Signal beschreib. In diesem Falle müssen die Inegrale + + f ( )cos( mω) d bzw. f( )sin( mω) d aus (.4.) zur Besimmung der Koeffizienen numerisch oder graphisch gelös werden. Auf die einzelnen Verfahren zur Ermilung der Inegrale soll hier nich näher eingegangen werden, da dies den Umfang dieser Arbei sprengen würde.

14 4.4. Fourier-Inegral Ausführliche Herleiungen des Fourier-Inegrals siehe Anhang Kap S.33. Bisher wurden lediglich periodische Funkionen berache, die sich ses als Fourier- Reihen darsellen lassen, ungeache wie groß die Periode auch immer sein mag. Bei der Berachung des Grenzfalls ergib sich, dass sich die nun nich mehr zwingend periodische Funkion folgendermaßen darsellen läss: iω iωτ f () = e f ( τ ) e dτ dω π (.4.) Das innere Inegral, das eigenliche Fourier-Inegral f iωτ ( τ ) e dτ = F( iω) (.4.), wird in dieser Beziehung als Bildfunkion oder Spekralfunkion von f () bezeichne. Neben der ausführlichen Darsellung wie in (.4.) sind die folgenden beiden abkürzenden Schreibweisen üblich: f () F( iω ) Fi ( ω ) = ( ) { f } (.4.3) Außerdem is noch die Bezeichnung Fourier-ransformiere für Fi ( ) { f( ) } ω = in der Fachlieraur zu finden. Dami ergib sich im Vergleich zur Fourier-Reihe ein wesenlicher Unerschied: Während periodische Funkionen durch ihr diskrees Linienspekrum vollsändig besimm sind, is beim Fourier-Inegral genauer müsse man hier vom Fourier-Umkehrinegral sprechen - die Funkion f () durch das koninuierliche Spekrum F ( iω) eindeuig fesgeleg, was aus iω f () = F( iω ) e dω π (.4.4) sofor hervorgeh. Das Fourier-Inegral exisier mindesens dann, wenn die Funkion f () absolu inegrierbar is, also wenn die Bedingung f () d < (.4.5)

15 Ähnlichkeissaz (Zeiskalierung) ω f ( a) F( i ) + a a a R Frequenzskalierung b f ( ) Fib ( ω) + b b R Verschiebungssaz (Zeiverschiebung) Modulaionssaz (Frequenzverschiebung) Normierung Konjugier komplexe Zeifunkion i f( ) F( iω ) e ω iω f f e F i i () ( ω ω ) f( ) n F( iω n) n ω f( ωn ) F( i ) ω ω * * f () F ( iω ) n n 5 erfüll is. Es handel sich hierbei um eine hinreichende, aber nich nowendige Bedingung, da es durchaus Signale gib, die der Bedingung aus (.4.5) nich genügen, aber dennoch eine Fourier-ransformiere besizen (vgl. Q 3, Kap..3, S.9ff). Ferner exisieren weiere Bedingungen, die als eindeuiges Krierium für die Exisenz des Fourier- Inegrals herangezogen werden können, aufgrund ihrer Komplexiä aber an dieser Selle nich berache werden..4.3 Regeln und Eigenschafen der Fourier-ransformaion Uner der Annahme, dass F ( iω) die Fourier-ransformiere von f () is, ergeben sich für die Fourier-ransformaion folgende Eigenschafen, die aus den Quellen Q 3, Kap. 3, S.47ff und Q 4, Kap., S.38ff ennommen wurden: Eigenschaf Mahemaische Beschreibung Zusäze Lineariä k f() + k f() kf( iω ) + k F( iω ) Symmerie F () f( iω ) Zusammenhang zwischen den Normierungsgrößen n = ω n Differeniaion im Zeibereich f () iω F( iω )

16 6.5 Diskree Fourier-ransformaion (DF) Die diskree Fourier-ransformaion (DF) soll hier als Spezialfall der koninuierlichen Fourier-ransformaion hergeleie werden. Das Ziel der DF is es, das ransformaionspaar f () F( iω ) derar zu modifizieren, dass eine Auswerung mi einem Digialrechner ermöglich wird. Sie dien demensprechend der näherungsweise numerischen Besimmung des (koninuierlichen) Fourier-Inegrals und is besonders in ihrer recheneffizienen Realisierung als schnelle Fourier-ransformaion (Fas Fourier- ransformaion, vgl. Kap..7, S.9) von fundamenaler Bedeuung für das breie Feld der digialen Signalverarbeiung. (Q 4, Kap. 5.5, S.7).5. Mahemaische Berachung Die Diskree Fourier-ransformaion is definier durch: n F = f ( k) W mi W = e und n =,,,( N ) (.5.) N kn kn iπ kn N D a N N N k= In dieser Beziehung werden nun N Abaswere (Abasperiode ) einer zeikoninuierlichen Funkion f a () mi N Abasweren einer Frequenzfunkion verbunden. Von dieser Berachungsweise aus ergib die DF also einen Spezialfall der koninuierlichen Fourier-ransformaion. In der Praxis is die Ausgangsfunkion f a () meis jedoch nich bekann und die ersen zur Auswerung verfügbaren Messwere sind die diskreen Abaswere f D (k). Man finde Gleichung (.5.) daher of in der Fachlieraur auch in dieser äquivalenen Form: N kn kn iπ kn N D D N N k = F ( n) = f ( k) W mi W = e und n=,,,( N ) (.5.). (Herleiung siehe z.b. in Q 3 Kap. 6., S.6ff).5. Signalabasung und Abasheorem Um ein Signal, das zunächs analog vorlieg, in ein digiales Signal zu überführen, muss es zunächs abgease werden. So werden dem zeilich koninuierlichen Verlauf des analogen Signals leicher zu verarbeiende, zeidiskree Were derar ennommen, dass roz der Reduzierung der Signalinformaion dami möglichs kein Informaionsverlus bezüglich des analogen Ausgangssignals verbunden is. Sowohl der Abasvorgang als auch die Rekonsrukion des analogen Signals aus diskreen Messweren sind von großer heoreischer und prakischer Bedeuung. Ein Analog-Digial-Wandler (AD- Wandler), der diesen Schri bewälig, is heue auf jeder PC-Soundkare zu finden.

17 7 Das Prinzip der Signalabasung und die Randbedingungen, die dabei erfüll sein müssen, sollen nun anschaulich aufgezeig werden. Eine genauere mahemaische Berachung des Vorgangs kann z.b. in Q 4, Kap. 7f, S.69ff oder Q 3 Kap. 4f, S.68ff nachgelesen werden. Fig. 5 zeig das Prinzip der Signalabasung. Ein analoges Signal ha () (Fig. 5a) wird in diskreen Zeiabsänden n abgease und dami in ein diskrees, digiales Signal hˆ a () überführ (Fig. 5c). Es läss sich mahemaisch zeigen (siehe o.g. Quellen), Fig. 5: Abasung eines analogen, bandbegrenzen Signals dass folgende Zusammenhänge gelen:. Sei Ha ( f ) (Fig. 5b) die ransformiere des analogen Signals ha (), so is die ransformiere Hˆ a ( f ) des digialen Signals h ˆ a () die periodische Widerholung des Spekrums Ha ( f ) im Absand f = (Fig. 5d).. Eine idenische Rekonsrukion des analogen Zeisignals is nur dann möglich, wenn sich die wiederholen Spekren nich überlappen. Dami keine Überlappung aufri, muss also das ursprüngliche analoge Zeisignal bandbegrenz sein (Grenzfrequenz f g ) und die Abasung dieses Signals mi < f g (.5.3) erfolgen. Diese Bedingung wird Nyquis-Bedingung genann.

18 8 Wird das analoge Signal unerabgease, also die Nyquis-Bedingung verlez, so kann das ursprüngliche Signal nich mehr rekonsruier werden. Dieser Effek wird als Alias- Effek oder Aliasing bezeichne. Bei der Aufnahme von Audiosignalen (Frequenzbereich: Hz khz) wird daher ypischerweise mi einer Abasfrequenz von 44Hz gearbeie. In Fig. 6 is der Alias-Effek an einem Beispiel anschaulich dargesell: Wenn man das analoge (4-Herz-Sinus-) Signal f ( ) = sin(8 π) über ein Zeiinervall von einer Sekunde in den diskreen Fig. 6: Aliaseffek Zeiabsänden k = k mi k =,, und = s unerabase (Nyquis-Bedingung verlez!), so erhäl man bei der Rekonsrukion das Signal f () = sin(8 π), das an den jeweiligen Abassellen die gleichen Signalwere besiz..6 Diskree inverse Fourier-ransformaion (IDF) Ensprechend dem inversen Fourier-Inegral (vgl. (.4.4)), exisier auch eine inverse diskree Fourier-ransformaion (IDF). Sie laue: kn f D ( k) = FD ( n) WN (.6.) N N n= Den Beweis hierfür liefer die Ideniä, die man beim Einsezen von (.6.) in (.5.) erhäl. Es ergib sich also lezlich das ransformaionspaar: f k F n W F n f k W (.6.) N N kn k n D( ) = D( ) N D( ) = D( ) N N n= k= Dabei sei noch einmal daran erinner, dass dieses ransformaionspaar eine Periodiziä in der Zei- und Frequenzfunkion verlang: F f D D ( n) = F ( n) = f D D ( rn + n) ( kn + n) (nach Q 3, Kap. 6.3, S.f) mi n Z (.6.3) mi k Z

19 9.7 Fas Fourier-ransformaion (FF) Die Fas Fourier-ransformaion (FF) beschreib kein eigenes ransformaionsverfahren, sondern einen schnellen und leisungsfähigen Algorihmus zur Auswerung der diskreen Fourier-ransformaion. Ausgangspunk bilde hierbei (.5.): N kn kn iπ kn N D D N N k = F ( n) = f ( k) W mi W = e und n=,,,( N ) (.7.) Zur Lösung dieser Gleichungen müssen bei N gegebenen Abasweren N Muliplikaionen durchgeführ werden. Dem FF-Algorihmus geling es nun durch geschicke Vereinfachungen in der Berechnungsmehode, die zur Auswerung benöigen Muliplikaionen auf N log ( N) zu reduzieren. Wenn man die Anzahl der durchzuführenden Muliplikaionen als Maß für die benöige Rechenzei und als proporional zu dieser annimm, so wird deulich, dass durch die Verwendung der Fas Fourier-ransformaion eine beachliche Fig. 7: Vergleich der nowendigen Muliplikaionen für die direke Berechnungsmehode und den FF-Algorihmus Rechenzeieinsparung erziel wird. Vor allem bei größeren Mengen an Abaswer- en ergeben sich erhebliche Unerschiede, was aus Fig. 7 deulich hervorgeh. Diese Beschleunigung des Rechenvorgangs erreich der FF-Algorihmus, indem das zu lösende Gleichungssysem aus (.7.) zunächs in Marixform zusammengefass wird und anschließend besimme ransformaionen innerhalb dieser Marix vorgenommen werden, so dass die Anzahl der auszuführenden Rechenoperaionen sark minimier wird. Ferner müssen besimme Berechnungen nur einmal ausgeführ werden und die erlangen Ergebnisse können an verschiedenen Sellen, sogenannen Dualen Knoen, wiederverwende werden (Herleiung und Erklärung der einzelnen Vereinfachungen siehe Q 3 Kap., S.8ff).

20 3 Prakischer eil: Signalanalyse Für die Unersuchungen der Audiosignale wurde ein Mikrofon an einen handelsüblichen Compuer mi Audiokare angeschlossen. Als Aufnahmesofware wurde dabei das von mir in Java enwickele Programm Audio Lab in der Version. verwende, das auf der CD-ROM in der Anlage der Arbei zu finden is. 3. Audiosignalanalyse 3.. Idealisiere Schwingungen (ongeneraor) Der Programmeil WaveGeneraor in Audio Lab dien der Unersuchung der ransformieren von einfachen, idealisieren Signalen wie Sinus-, Kosinus-, Recheck-, Sägezahn- und weieren Schwingungen sowie der Synhese von Signalen aus vorgegebenen Frequenzspekren Sinusschwingungen Wie man in der nebensehenden Abbildung sieh (Fig. ), is die ransformiere einer Sinusschwingung eine scharfe Linie bei der ensprechenden Frequenz im Frequenzbereich. In der unensehenden Abbildung (Fig. 9) is die ransformaion von drei überlageren Sinusschwingungen zu sehen, für die gil: Fig. 9: Frequenzspekrum dreier überlagerer Sinusschwingungen Fig. : Frequenzspekrum einer Sinusschwingung f ( ) = sin( ω) + sin(5 ω) + sin( ω) 4 Die Höhe der einzelnen Linien im Linienspekrum gib die jeweilige Ampliude des ensprechenden Sinusaneils an. Dies resulier zwangsläufig aus der Lineariäseigenschaf des Fourier-Inegrals (vgl. Kap..4.3, S.5).

21 3... Analyse und Approximaion einer Recheckschwingung In der rechen Figur (Fig. ) is die ransformaion einer idealen Recheckfunkion dargesell. Man sieh sehr deulich, dass neben der Grundschwingung f () = sin( ω ) nur die ungeradzahligen Vielfachen (Oberwellen) mi umgekehr proporional abseigender Ampliude aufreen: fk () = sin( kω) mi k = 3,5,7, k Der WaveGeneraor funkionier derar, dass zunächs die ideale Schwingung (weiß) generier und miels der FF ransformier wird (unerer Graph FF ). Fig. : ransformaion einer idealen Recheckfunkion Die ursprüngliche Welle wird dann durch die Rückransformaion des Spekrums angenäher und als roe Kurve im Zeibereich dargesell. Die Genauigkei dieser Annäherung häng naürlich von der (begrenzen) Anzahl der berücksichigen Sinusaneile ( Number of erms ) ab. Dami lassen sich auch die Überschwinger an den Ecken des angenäheren Rechecksignals erklären (roe Kurve im oberen Bild). Umgekehr erkenn man im linken Bild (Fig. ), dass mi nur sieben Sinusschwingungen ein Rechecksignal (weiß) schon sehr gu angenäher werden kann (roe Kurve). Erhöh man die Number of erms, so kommen die roe und weiße Kurve immer mehr zur Deckung. Fig. : Annäherung eines Rechecksignals mi sieben Sinusschwingungen

22 3.. Frequenzanalysen bei Musikinsrumenen Für die Analysen wurde mi dem jeweiligen Insrumen ein klingendes a gespiel und in ein Wave-File abgeleg (siehe beiliegende CD-ROM). Kirchenorgel: Bei einer Kirchenorgel unerscheide man grundsäzlich zwischen geschlossenen und offenen Orgelpfeifen. Je nach Maerial und Bauar der Pfeifen ergeben sich unerschiedliche Klangfarben. Im oberen eil von Fig. ( Wave ) is ein Ausschni aus dem zeikoninuierlichen Signal einer geschlossenen Holzpfeife (on a 88Hz) zu sehen (roe Kurve). Die Signalform gleich nahezu einer Sinuswelle, was auf die geschlossene Bauar der Pfeife zurückzuführen is, in deren Lufsäule sich beim Spielen eine sehende Welle ausbilde. Bei der Berachung des Frequenzspekrums Fig. : Geschlossene Holz-Orgelpfeife (unerer Bildeil) besäig sich diese Beobachung. Im linken Abschni is der Frequenzbereich Hz 5,5kHz dargesell, in dem ein einziger Ausschlag aufri. Bei näherer Berachung dieses Ausschlags (reches eilbild) läss sich eine scharfe Linie bei 86Hz ausmachen. Diese Kirchenorgel is (nach Angaben des Pfarrers) nich nach dem Kammeron a mi 44Hz gesimm, sondern um Hz iefer. Das eingesrichene a ha bei dieser Orgel demnach eine Frequenz von 43Hz bzw. die hier berachee Okave eine Frequenz von 43Hz = 86Hz, was dem experimenell gefundenen Wer wiederum exak ensprich. Fig. 3: Offene Meall-Orgelpfeife

23 3 Bei der Analyse des eingesrichenen a aus einer offenen Meallpfeife ergib sich ein völlig anderes Frequenzspekrum, wie es in Fig. 3 dargesell is (unerer eil). Auch erkenn man im Ausschni des Zeisignals (roe Kurve) keinerlei Ähnlichkeien mi einer Sinusschwingung. Das Frequenzspekrum beseh hier auch nich mehr aus einer diskreen Linie, sondern aus einer Vielzahl unerschiedlich hoher Spekrallinien. Bei genauerer Ausmessung sell man fes, dass diese diskreen Linien immer im gleichen Absand aufreen, nämlich bei fk = ( k+ ) 43Hz k, wobei f = 43Hz die niedrigse aufreende Frequenz is (der iefer gesimme Kammeron a ). Dieser Zusammenhang läss sich bis in hohe Frequenzbereiche mi großer Genauigkei verfolgen. Bei der offenen Meallpfeife schwingen also nich nur die Grundfrequenz f (des gespielen ones), sondern auch noch die ganzzahligen Vielfachen und dami die Okaven k -er Ordnung, wodurch sich auch die verändere Klangfarbe im Vergleich zur o- ben unersuchen, geschlossenen Holzpfeife erklären läss. Elekronische Heimorgel: Für die folgenden Versuche mi der Heimorgel wurde ein reiner Flöenklang (Flue 8 ) verwende. Die roe Kurve in Fig. 4 zeig die Schwingung eines A-Dur-Dreiklangs. Dieser Dreiklang beseh aus drei önen: dem Grundon a (44 Hz), einer großen erz ( cis ) und einer Quine ( e ) über dem Grundon. Der Gesamklang sez sich also aus drei überlageren Sinusschwingungen zusammen und ergib daher im Frequenzbereich drei diskree Linien an besimmen Frequenzsellen. Zunächs Fig. 4: Elekronische Heimorgel, A-Dur-Dreiklang wird angenommen, dass sich die beiden oberen öne aus der Nauronreihe ableien lassen. Zur Berechnung der (erwareen) Frequenzen der großen erz und der Quine kann dabei die Inervall-Verhälnis-abelle aus Q 8 Kap..3, S.7 herangezogen werden. Aus der Grundfrequenz ( 44Hz ) ergib sich gemäß der ensprechenden Verhälnisse für die große erz die Frequenz 5 44 Hz = 55 Hz und für die Quine demensprechend 3 44Hz = 66Hz. 4 Vergleich man diese erwareen Frequenzwere mi den experimenell gefundenen, so sell man fes, dass die Quine mi dem errechneen Wer übereinsimm, die große erz jedoch um immerhin 6Hz abweich. Die Erklärung für diesen Fehler liefer die

24 4 Funkionsweise des Signalgeneraors elekronischer Orgeln. So wie die meisen Musikinsrumenen sind auch elekronische Orgeln emperier gesimm. Die oben verwendee abelle der Inervallverhälnisse kann daher in diesem Fall nich herangezogen werden, da bei elekronischen Orgeln alle öne von einem einzelnen Haupongeneraor abgeleie werden. Das Okavinervall wird in gleiche Halboninervalle geeil; is x das Inervall für einen solchen Halbon, so is x =. Daher is die Frequenz jedes Halbons das fache [...] der Frequenz des vorhergehenden ones. (Q 8 Kap..3.4, S.7) Diese emperiere Simmung führ zu folgender Vorschrif: fk ( ) = 44Hz k, wobei k die Anzahl der Halbonschrie zwischen dem ensprechenden on und dem Kammeron a angib. In unserem Fall ergib sich also: ( ) ( ) 4 7 cis : 44Hz 554,36 Hz e : 44Hz 659, 6Hz Dieses Ergebnis simm nun mi den experimenell gefundenen Weren überein. In der nebensehenden Abbildung (Fig. 5) wurde der gerade analysiere A-Dur-Dreiklang gebrochen aufgenommen und analysier, d.h. die einzelnen öne des Dreiklangs ( a, cis, e ) wurden nacheinander, Fig. 5: Elekronische Heimorgel, A-Dur-Dreiklang gebrochen mi kurzen Zwischenpausen abgespiel. Das Ergebnis im Frequenzbereich bleib besehen und is idenisch zu dem oben erhalenen. Dies zeig sehr deulich, dass die Zeiskalierung des aufgenommenen Audiosignals bei der Frequenzanalyse verloren geh. Mi einem Frequenzspekrum lassen sich lediglich die im ursprünglichen Signal enhalenen Frequenzen ermieln. Aussagen über das zeiliche Aufreen einzelner Komponenen sind jedoch nich mehr möglich, wie hier gezeig. Bei der Unersuchung von weieren Insrumenen ergab sich folgendes: Das Frequenzspekrum des Kammerons a ha auch bei der Klarinee, wie in Fig. 6 abgebilde, mehrere Oberöne, wobei hier auffäll, dass sich die Vereilung der Spekrallinien über einen immer breier werdenden Frequenzbereich ersreck. Dies is dadurch zu erklären, dass es nich möglich is einen on mi exaker Frequenz zu spielen, da sich der on durch den Anpressdruck der Lippen verändern läss und dieser

25 5 Fig. 6: Klarinee Anpressdruck über die Aufnahmedauer (wenige Sekunde) nich konsan gehalen werden kann. Die mischwingenden Oberöne sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz, wodurch die Frequenzbereiche in den Oberönen immer breier werden. Dies gil ensprechend auch für die übrigen Blasinsrumene (Querflöe, Saxophon, Posaune, ec.). Fig. 7: Querflöe Bei der Querflöe erkenn man nur noch zwei mischwingende Oberöne (vgl. Fig. 7). Bei der Blockflöe gleich das Zeisignal nahezu einer reinen Sinusschwingung (roe Kurve im linken Bild), wodurch sich im Frequenzspekrum ein scharfer Ausschlag bei der Frequenz des gespielen ons ( a, 88Hz) ergib. An der Frequenzselle des ersen Oberons (76Hz ) beräg das Fig. 8: Blockflöe, enorsaxophon, Posaune

26 6 relaive Maximum nur noch 5% des absoluen Maximums bei 88Hz. Die reslichen Oberwellen sind daher vernachlässigbar. Ganz im Gegensaz dazu seh das Spekrum beim enorsaxophon oder auch der Posaune (mileres bzw. reches eilbild). Neben der Grundfrequenz von Hz schwingen mehrere Oberöne mi, deren Frequenzen aber ses ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz is. Insgesam läss sich also fessellen, dass Oberwellen vor allem dann aufreen, wenn bei der onerzeugung mechanische Schwingungen beeilig sind (Holzbla der Klarinee und des Saxophons, Lippenschwingung bei der Posaune). Bei der Block- und Querflöe werden die Oberwellen dagegen sehr schnell gedämpf, da hier die Schwingungen durch einen Lufsrom hervorgerufen werden, der über eine sarre Lippe (Labium) bzw. eine Kane geleie wird Prakische Anwendung: Analyse von MFV-Signalen (Mehrfrequenzwahlverfahren) Das Mehrfrequenzwahlverfahren (MFV; engl.: Dual one Muliplexed Frequency (DMF)) is ein Wahlverfahren für das elefonnez, bei dem die auf dem elefon gewählen Ziffern oder Seuerzeichen durch verschiedene öne zur Vermilung überragen werden. Dabei is jedem Zeichen (und dami jeder ase auf dem elefon) genau ein on zugewiesen, der sich aus je zwei Frequenzen zusammensez. Die Zuordnung zwischen Ziffer/Zeichen und den beiden ensprechenden Frequenzen is in Fig. 9 dargesell (fe geschriebenen Were). Das MFV-Verfahren ersez das frühere [Hz] () (338) (479) (653) Impulswahlverfahren (IWV), bei dem die A einzelnen Ziffern durch ein Klackern (7) 77 überragen wurden. Diese MFV-öne B (769) lassen sich auch für die Fernabfrage C (85) von Anrufbeanworern oder die 94 * # D Seuerung von elefoncompuern in (95) Call-Cenern oder bei Informaionsdiensen (Q 3) Fig. 9: MFV-abelle nuzen. Ein solches Gerä zur Fernabfrage von Anrufbeanworern lieg, modifizier um einen Adaper zum direken Anschluss an den Compuer, dieser Facharbei im Anhang bei ( Fernsender F- ). Zur Ausmessung der ach Frequenzen des ongeneraors reich es, ein Signal mi den vier Zeichen einer Diagonalen aus der abelle in Fig. 9 auszumessen, also z.b. ein MFV-Signal, besehend aus den Zeichen '', '5', '9', ' D '.

27 7 Fig. : Analyse des MF-Signals '', '5', '9', ' D ' Die Auswerungsergebnisse mi dem Programm AudioLab, das auf der beiliegenden CD-ROM zu finden is, sind in Fig. dargesell. Im oberen eil der Figur is das in vier eilsignale gegliedere Zeisignal zu sehen. Im Frequenzspekrum ergeben sich (wie zu erwaren) ach diskree Linien. Bei genauerer Unersuchung kann man jeder dieser Linien eine definiere Frequenz zuweisen (unerer eil in Fig. ). Diese Frequenzwere sind in kursiver Schrif in die abelle aus Fig. 9 eingeragenen. Zwar weichen sie eilweise sehr sark von den definieren Normweren ab, liegen aber dennoch im maximal zulässigen Frequenz- oleranzbereich von, 5% (Q 3). Beim (An-)Drücken der asen des ongeneraors ri das sogenanne Prellen der asen auf, was in Form eines Krachens zu hören is, was die im oberen Bild aufreenden Frequenzen im Bereich von 5Hz erklär. Bei der genauen Analyse von MFV-Signalen beseh zunächs das Problem, dass das komplee Zeisignal in kleinere Einzelsignale zerleg werden muss, die jeweils nur noch aus einer gewählen Ziffer bzw. einem gewählen Zeichen besehen, da bei der ransformaion die Zeiskalierung (wie bereis erläuer) verloren geh. Würde man diese Zerlegung nich durchführen, so wäre es absolu unmöglich Aussagen über die Zeichenreihenfolge und die Zeichenhäufigkei zu machen. Ers wenn das komplee Signal in zerleger Form vorlieg (vgl. Fig. oberer eil) und diese Signalsücke einzeln analysier und ausgewere sind, kann auf die gewähle Zeichen-/Ziffernfolge geschlossen werden. Auf der beiliegenden CD-ROM finden sich zu jeder Ziffer und jedem Zeichen jeweils eine gesondere Wave-Daei mi dem ensprechend (generieren) MFV-Signal. Naürlich können mi Hilfe des ongeneraors und dem Programm AudioLab auch eigene MFV-Signale aufgenommen und analysier werden.

28 8 4 Abschließende Berachung Abschließend möche ich kurz auf weiere Aspeke der hier in den Grundzügen dargesellen Fourier-ransformaion eingehen, die sehr ineressan gewesen wären, den Umfang dieser Arbei aber maßlos überziehen würden. Die Fourier-ransformaion, die hier auf eindimensionale (Audio-)Signale angewende wurde, läss sich auch auf den zweidimensionalen Raum ausdehnen, was allerdings mi einem erheblich größeren Rechenaufwand und weiaus kompliziereren Verfahren verbunden is. Zudem finde die Fourier-ransformaion, oder die auf ihr basierenden Abwandlungen, Anwendung in den unerschiedlichsen Bereichen wie in der Regelungs- und Überragungsechnik, der Elekrodynamik, der Opik und Akusik, der Quanen-, Geo- und Asrophysik sowie in der Signal- und Bildverarbeiung, dem Filerdesign und Schalkreisenwurf. Auch wäre es sehr ineressan gewesen, neben normalen önen auch komplexere Signale wie beispielsweise Sprache aufzunehmen und zu unersuchen. Die Spracherkennung basier im Wesenlichen auch auf der Anwendung der Fourier-ransformaion, jedoch is die Auswerung weiaus schwieriger und komplexer und daher mi einem e- normen heoreischen wie prakischen Aufwand verbunden. Da das hema dieser Arbei im schulischen (Physik-)Unerrich nur ganz am Rande behandel wird, haben die meisen Formeln zunächs abschreckend und wie eine Ansammlung von ungeordneen Hieroglyphen auf mich gewirk. Insgesam ha sich die Bearbeiung und inensive Beschäfigung mi den heorien zu digialen Signalen und Analyseverfahren aber als sehr ineressan und lohnenswer erwiesen. Auch die Auseinandersezung mi der Programmiersprache Java und der dami verbundenen objekorienieren Programmierung ha mir neben viel zerknüllem Papier auch sehr viel Spaß bereie.

29 9 5 Anhang 5. Mahemaik der Fourier-Reihe Zunächs sollen nur nichsinusförmige, periodische Vorgänge berache und diese auf sinusförmige Komponenen zurückgeführ werden. 5.. Herleiung (nach Q, Kap., S.9ff) Gegeben sei eine Funkion f (x), die im Inervall [ a ; b] durch eine Funkion g (x) approximier werden soll. n gx ( ) g( x) g( x) g( x) g ( x) = α + α + + αn n = αm m m= (5..) Dabei werden die Funkionen g m (x) gewähl und die ensprechenden Koeffizienen α m berechne. Die Approximaion von f (x) durch g (x) soll hier ensprechend der Mehode des kleinsen Fehlerquadraes erfolgen. b a [ ( ) ( )] min F = f x g x dx= F (5..) Die Koeffizienen α der Funkion g m (x) müssen nun so besimm werden, dass die m Forderung in (5..) erfüll is, also F F F =, =,, = (5..3). α α α n Die parielle Ableiung von (5..) nach α liefer mi (5..) b F g( x) = = = α α [ f( x) g( x) ] dx [ f( x) g( x)] g( x) dx (5..4). a b a Wenn wir nun g (x) durch die endliche Reihe von (5..) ersezen, so ergib sich b a f( x) g ( x) dx= g( x) g ( x) dx a b b b b = α g ( x) g ( x) dx+ α g ( x) g ( x) dx+ + α g ( x) g ( x) dx n n a a a (5..5).

30 3 F Ensprechend folg wegen = α (vgl. (5..3)) b b b b f ( xg ) ( xdx ) = α g( xg ) ( xdx ) + α g( xg ) ( xdx ) + + α g( xg ) ( xdx ) (5..6). n n a a a a Auf diese Weise ergeben sich n Gleichungen, deren leze wegen F α n = (vgl. (5..3)) b b b b f ( xg ) ( xdx ) = α g( xg ) ( xdx ) + α g( xg ) ( xdx ) + + α g( xg ) ( xdx ) (5..7) n n n n n n a a a a laue. Der Rechenaufwand zur Besimmung der α m läss sich nun erheblich einschränken, wenn die g m (x) sogenanne Orhogonalfunkionen sind, die folgende Eigenschaf besizen: b für m k gm( x) gk( x) dx= hmδmk mi δmk = (5..8) für m = k a Werden nun die g m (x) als Orhogonalfunkionen vorausgesez, so folg aus den Gleichungen (5..5) bis (5..7) für den Koeffizienen von g m (x) α = m b a f ( xg ) ( xdx ) b a m g ( x) dx m (5..9). Es soll nun die Approximaion von periodischen Funkionen f ( ) = f ( + ) (5..) behandel werden. In dieser Beziehung wird > die primiive Periode genann (vgl. Kap..). Is f () in einem Inervall der Länge bekann, so is f () für alle gegeben. Die Funkion f () soll nun durch die endliche Reihe a π g = + a mω + b mω ω = n n ( ) mcos( ) msin( ) mi m= m= (5..) angenäher werden. Diese Reihe erfüll einerseis die Gleichung (5..), andererseis kann bei der Berechnung der a m und b m von den Orhogonaliäseigenschafen der Sinus- und Kosinusfunkionen Gebrauch gemach werden.

31 3 Es gil in Anlehnung an (5..8) + + für m k sin( mω)sin( kω) d = cos( mω)cos( kω) d = δmk = für m, k > für m= k (5..). Es folg demnach in Analogie zu (5..9) und uner Verwendung der Ergebnisse aus (5..) + f()cos( mω ) d + = = ()cos( ) für cos ( mω ) d am f mω d m + (5..3) und + f()sin( mω ) d + = = ( )sin( ) für sin ( mω ) d bm f mω d m + (5..4). a Die Konsane, auch Gleichaneil genann, berechne sich zu a + = = + f() d d + f () d (5..5). Es sind nun also alle Koeffizienen in (5..) besimm. Wächs nun die Gliederzahl der endlichen Reihe beliebig an, so führ dies auf die Fourier-Reihe a g a m b m () = + cos( ) + sin( ) m= ( m ω m ω ) (5..6). Dabei wird der Aneil a a + b sin( ω + arcan ) b acos( ω) + bsin( ω) = b a + b cos( ω arcan ) a (5..7)

32 3 als Grundschwingung oder erse harmonische Schwingung bezeichne. Alle übrigen Schwingungen heißen Oberschwingungen oder auch höhere harmonische Schwingungen. 5.. Komplexe Darsellung Eulersche Formel: ± ϕ e i = cos ϕ ± i sin ϕ (5..8) (nach Q 6, S.55) Aus (5..8) folg: cos ϕ = ± ϕ e i i sin ϕ Durch Addiion der beiden enhalenen eilgleichungen ergib sich e cosϕ = iϕ i sinϕ + e iϕ Analog dazu erhäl man: e sinϕ = iϕ e iϕ + i sinϕ e = iϕ + e iϕ Mi diesen Beziehungen folg aus (5..6) und der Subsiuion ϕ = mω imω imω imω imω imω imω imω imω a e + e e e a e + e e e g () = + am + bm = + am bm m= i m= a a ib a + ib () = + + (5..9). m m imω m m imω g e e m= Diese Summe läss sich vereinfachen, wenn am ibm am + ibm a = cm und = c m für m und = c = c (5..). Mi den Definiionen aus (5..) ergib sich schließlich für (5..9) im g () = ce ω m = f() (5..). m= Die Koeffizienen errechnen sich uner Verwendung von (5..3) und (5..4) zu am ibm imω cm = = f()cos( mω) d i f()sin( mω) d f() e d = Für negaives m ergib sich demensprechend (5..). + imω cm = f() e d (5..3).

33 Fourier-Inegral Ausgangspunk für die weieren Berachungen bilde die Fourier-Reihe nach (5..) mi den Koeffizienen imωτ cm = f ( τ ) e dτ (vgl. (5..)). Durch Einsezen in die Fourier-Reihe ergib sich imωτ imω imω ( τ) f ( ) = f ( τ ) e dτ e = f ( τ ) e dτ (5..4). m= m= π Mi λ = m ω = m lauen die Glieder der Reihe iλ ( τ ) f ( τ ) e dτ (5..5). Dieses Inegral is nun, sofern man und als Konsanen berache, eine Funkion von λ und wird mi φ (λ) bezeichne. Dabei nimm λ die Were π π π, ±, ±, ± 3, an. In der graphischen Darsellung der diskrewerigen Funkion φ (λ) ensprich nun die Summe der einzelnen Funkionswere φ λ ) dem Summenausdruck aus (5..4). Dabei haben diese Funkionswere jeweils den Absand voneinander. Das Produk dieser Summe mi dem Absand liefer den π π Wer π f ( ). Wird nun der Grenzübergang durchgeführ, so änder sich zunächs φ (λ). Dabei wird angenommen, dass für das Inegral i ( ) ( ) f ( ) e λ τ φ λ τ dτ = < (5..6) gil. Beim Grenzübergang müssen nun immer mehr aufeinander folgende Funkionswere φ (λ) summier und anschließend mi dem infiniesimalen Absand mulipli- π zier werden, um den Wer π f ( ) zu berechnen. Als Ergebnis ergib sich ( k

34 34 iλ( τ) φ λ λ λ τ τ π (5..7). f () = ( ) d = d f ( ) e d π Die Funkion f () muss nun keine periodische Funkion mehr sein. Eigenlich müsse nun noch bewiesen werden, dass die Inegralransformaion nach (5..7) eine idenische Abbildung beschreib, d.h. f () wird nach zweifacher Inegraion wieder in f () abgebilde. Auf diesen Beweis soll hier aber verziche werden. In der Fachlieraur wird anselle von λ die geläufigere Größe ω verwende. Daher geh (5..7) nun über in iω iωτ f () = e f ( τ ) e dτ dω π (5..8). 5. Bildschirmfoos des Programms Eine genaue Programmdokumenaion mi näheren Erläuerungen zur Bedienung und Funkionsweise is auf der beiliegenden CD-ROM zu finden. Mi dem WaveGeneraor kann man einfache Wellen generieren, abspielen, modifizieren und analysieren. Ferner is die Rückransformaion der Welle aus einem (vom Benuzer) vorgegebenen Spekrum realisier.

35 35 Mi dem AudioAnalyser können Audio-Daeien aufgenommen, abgespiel, geladen, gespeicher und dargesell werden ( Playback, oben). Im Abschni Analysis (unen) kann das Frequenzspekrum des geladenen bzw. aufgenommenen Audiosignals unersuch und ausgewere werden. Zusäzlich lassen sich MFV-Signale decodieren und anzeigen ( DMF-Analysis ).

36 Quellenverzeichnis Q Waler Ameling Grundlagen der Elekroechnik II Düsseldorf 974 Berelsmann GmbH Q Waler Ameling Laplace-ransformaion Düsseldorf 975 Berelsmann GmbH Q 3 E. Oran Brigham FF: schnelle Fourier-ransformaion (Übersezung von Seyed Ali Azizi) Oldenbourg 98 Oldenbourg Verlag Q 4 Norber Fliege Sysemheorie Sugar 99 eubner Q 5 Chrisoph Friederich Facharbei aus der Physik: Fourieranalyse und -synhese hp://uploader.wuerzburg.de/gymfkg/schule/fachber/physik/facharb/friedr/friedr.hml aufgerufen am.9.3 Q 6 Waler Geller Handbuch der Mahemaik Leipzig o.j. Buch und Zei Verlagsgesellschaf mbh Köln Q 7 Gisela Jordan-Engeln und F. Reuer Numerische Mahemaik für Ingenieure Mannheim 978 Bibliographisches Insiu AG Q 8 Dieer Lange Mehoden der Signal- und Sysemanalyse Braunschweig 985 Vieweg Q 9 Chrisoph Lauer Akusische Signalanalyse/Synhese und Daenkompression mi Waveles, im Vergleich zur Klassischen Fourierransformaion. hp:// aufgerufen am (verwendeer Auszug vgl. Kap. 5.6) Q Burkhard Lenze Einführung in die Fourier-Analysis Berlin 997 Logos