Statik der Baukonstruktionen: Übungsblätter Lösung Trägerrost kb0 Lö ROST A. ) M y [knm] V z [kn] Hilfszustand - -.00.00-8.00 -.00.00 -.00.00 8.00-8.00 8.00.00 T [knm]..00 w [mm] 8.00.00 8.00 8.00 8.00.00 M y v [knm].00 T v [knm].00 A. ) -0.00.0 0.00 M y [knm] 0.00-0.00 V z [kn] 0.00 Hilfszustand.0 -.00-0.00-0.00 T [knm] w [mm] 0. -.0 - M y v [knm] T v [knm] A. ) -.0.00.00 -.0-7.0 -.0 -.00 -.0 -.0 M y [knm] -.00 -.00 -.00 T [knm].00.0.0.00.00.70 V z [kn].00 w [mm]
Statik der Baukonstruktionen: Übungsblätter Lösung Trägerrost kb0 Lö ROST -. -. A.). M y [knm] 7,8. 7.8 7.7. T [knm].. V z [kn] 0. -.9.9 w [mm].0.9.9 Hilfszustand 0.0.00 -.0 -.0.00 M y v [knm],0.0. T v [knm] A. ) M y [knm].7.7.0 0.0. T [knm] 0.00 0.00-0.00-0.00-0.00 V z [kn] -.7 0.00 -. -.7 -. w [mm].9 A. ) 7.0 7.0 7.0 8. 8. 9.8 T [knm] M y [knm] V z [kn] 8. -8. 8. -7.0 -.7.7 8. w [mm]. 0,8
Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - Verschiebungsgrößenverfahren, Teil : einfach geometrisch unbestimmte Systeme A.) 0.0 0..7 7.08 0. A.) -.7.0.8-9.7-7.08 -. -....9 7.0..9 7.79 -..8..7 7.7 -.7 -.7.9.7.7.0.88 -. 0. -.9 -. 7. 7.79 -.9 = ( + + ) EJ=,0 EJ,0,0,0,0,0 0 = M,0 = 0,0,0 =,7 8 ξ =, /EJ = ( + ) EJ=,0 EJ,0,0 LF: 0,0,0 M,0 =+ =, 8 0,0,0 M,0 = =, 8 0 = 0,0 ξ =,0 /EJ LF : 0,0, 0 = M,0 = + 0, =, ξ = 9,77 /EJ ql + ql,0 +,0 St 8(l+ l ) 8 (,0 +,0) Ml L,,0 MSt = = =,8 (l+ l ) (,0 +,0) M = = 0,0 =,7-7. -7.79-7.79 A. ) -.9 -. 0.7 0.7 -.8-0. -0. -.89 0. 0. 0.7.7. -0. -0. Lager () als Festlager: V =7,79 muss nach Tabellenfall N-Verlauf -0. -0. -.9.88 aufgeteilt werden:,0 N = V = 0,9 V =,9,0 +,0,0 N =+ V = 0,7 V =,88,0 +,0 -.9.89 0. 0. 0. = ( + + ) EJ =, EJ,0,,0,0, M,0 = =,0. -.89 0.0 -.89 M,0 =,0,0 =, -0.0 0 =,98 keine ξ = 07 /EJ -0.0!,0,0 0! M = M (d.h. = 0),0 = F,0 F=,7kN
Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - A. ) -..7 -. -. -. -.8. -.0..09. w : Durchbiegung Kragarm und Anteil Knotendrehung () 0,0cos0,,0, w = + +,,/EJ EJ 8EJ =,/ EJ (m) =,(mm).9 8.0 8.7-8.9-8.9. 8.9.0 8.7.0. = ( + ) EJ=,8 EJ,, 0,0, M,0 =+ +,0, =,,0, M,0 = =,8 8 =, ξ =, /EJ A. ) -9. -9. -0.0.08 9.7..88 = ( + ) EJ =, EJ,0,9 8,0,0 M,0 =+ =,7 8,0,0 M,0 = =,00 8 = M + M = 9, 0,0,0 ξ =,8 /EJ -.7 9.9 9.7 7.7..0 -.7-9.7-9.7-90.9 -.9
Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - Verschiebungsgrößenverfahren, Teil : geometrisch einfach unbestimmte Systeme A.).7..9 = ( + + ) EJ=,79 EJ,8,0,0.,0,0 M,0 =+ =,00.,0,0,0,0 M,0 = + 0, =,0.7 8 7. q 8,8 0 = 9,0 ξ =,8 /EJ -0.9 -. 8,8,8,8 EJ w -. -.00 FM = + ( 7, 0,9) =,0 8 -. 9. 0. -7..7 Starreinspannbiegemomente: -,0 bzw. -,0 knm.79.00.7 -.7-7..7 9.7 Ermittlung Auflagerkräfte: -.0 Einspannmomente nicht vergessen!! -7. A.) Gleitlager ergibt wegen sym. Belastung = ( + + ) EJ = 0,7 EJ ident. Ergebnisse! 7, 0, 9,0 X 0,0 7, M,0 =+ = 8,8 7.0 7.0 8.09.7 0,0 9,0 M,0 = = 00,8.7 0.97 0.97 0 = 8,0 Starreinspannbiegemomente: ξ =,0 /EJ -8.0-8.0-8,8 bzw. -00,8 knm -.89 -.89 0,0 7, 7, EJ w FM() () = + ( 8,0) =, wmax = 0,9 8 X 7.0....8-07.97-9.8-7.0 -.9 X.9 -.9 9.9 07.97 -.0 -.7 -.7 -.0 -.0X -.0 Pendelstab : = ( + 7, 0, = 8,0 0 ξ = 9, /EJ M =,0 Kontrolle : + + St + ) EJ = 0,77 EJ 9,0 ql ql 7, 9,0 MSt = = 0,0 (l + l ) ( 7, + 9,0) =,0 größeresm : Einspannung in (),() oder steiferer Diagonalstäbe Pendelstab: -.0 -.0.9 9..9
Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - A. ) LF : q..9 9..9 9. 0.00 0.00-888.0-888.0-888.0-888.0 8.0 7,0 ( ), = ( + ) 0 =,8 0,8,0 0,0,0 0 = M,0 = = 980,0 ξ = 8,9 /0 endg. Biegemomente : ( ), M = 980 + 8,9 = 888,0,0 7,0 M = ( 8,9) = 887,8,8 0,0,0,0 max w () () = ( 888, ), mm 8, 0 + = -9..0.0-0.0 9. -0.0 Knoten () Starreinspannbiegemomente: -980,0 knm -9. -9. -0.0 0.0-9. 9. -0.0-0.0 A. ) LF : ΔT -70.8 9.7 70.80 0.8 70.80 9.7.7.7.7.7-70.8, 0, 0 (,0) 0 = M,0 = = 0,0 0, ξ =, /0 endg. Biegemomente : ( ), M = 0 + (,) = +,7,0 7,0 M = ( (,)) =+,7,8 Knoten () Starreinspannbiegemomente:+0,0 knm max w() () =, 0 (,0),0,0 + (,7 ) = 0, 8, 0 0,8 mm 9. -9. 9. 9. 9. -9. Kontrolle Einspannmoment :,,8 k = = 0,07 7,0,0 M = E, 0, 0 (,0) 0,07,0,0 0, 0,07 (0,07 + ) = 70,8 knm
Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - Cross A.) Steifigkeits - und Verteilungszahlen : k 0, k = = = 0, V = = = 0,8 l,0 k(),08 k 0,8 k = = = 0,8 V = = = 0,7 l 7,0 k(),08 k =,08 Kontrolle V =,000 (ok) () () alternativ (da gleiche Randbedingungen) : abliegende Länge 7,0 V = = = 0,8 Gesamtlänge,0 abliegende Länge,0 V = = = 0,7 Gesamtlänge,0 7. LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : (),0 ql 0,0 7,0 M,0 = = =, 8 8 Δ M = M =, M = 0 (,) 0,8 =,7 M =, (,) 0,7 =,7 ΔM(), () = = =+9, /EJ Σk, 08 EJ () LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : ql 0,0,0 M,0 =+ =+ =+, 8 8 ql 0,0 7,0 M,0 = = =, 8 8 Δ M = M + M = 0,00 (),0,0 M =, ( 0,00) 0,8 = 8,7 M =, ( 0,00) 0,7 = 8,7 ΔM() 0,0 () = = = + 9, /EJ Σk,08 EJ () 0.00 0.00 7. -.7 0. 9.90. 7.7-8.7.9 8.0.8. 9.0 A.) Steifigkeits - und Verteilungszahlen : k 0,8 k = = = 0,8 V = = = 0, l,0 k(),8 k 0,8 k = = = 0,8 V = = = 0,88 l 7,0 k(),8 k =,8 Kontrolle V =,000 (ok) () () LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : ql 0,0 7,0 ql 0,0,0 M,0 = = =, M,0 = = = 0,8 8 8 Δ M() = M,0 =, ql 0,0,0 M,0 =+ =+ =+ 0,8 M = { 0 (,) 0,} = 9,88 Δ M() = M,0 = + 0,8 M = 0 (,) 0, 0, = + 9,9 M = 0 ( + 0,8) 0,88 = 7,7 M =, (,) 0,88 = 9,88 M = { + 0,80 ( + 0,8) 0,} = 7,7 ΔM M (), = 0, 8 ( + 0,8) 0, 0, = + 7, () = = = + 9,9 /EJ Σk(),8 EJ Δ M() + 0,8 () = = = 7,0 /EJ.97 Σk(),8 EJ 0.00.0 9.9 7.. -9.88 9. 9.0 9.07-7..7.97-7.7 9.9.88.
Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : 0.00 0.00 ql 0,0,0 M,0 = = = 0,8 ql 0,0,0 M,0 =+ =+ =+ 0,8 ql 0,0 7,0 M,0 = = =, 8 8 Δ M = M + M = 0, (),0,0 M =, ( 0,) 0,88 = 7, M = + 0,80 ( 0,) 0, = 7, M = 0,8 ( 0,) 0, 0, = 7,7 ΔM() 0, () = = = +,9 /EJ Σk,8 EJ () 7.7 7.0-7.7.9 7. -7. 7.0 9.9 8. A. ) Steifigkeits - und Verteilungszahlen : k 0,7 = = = = = = k 0,7 V 0,0 l, k(),0 k 0, = = = = = = k 0, V 0,7 l 8,0 k(),0 k 0, = = = = = = k 0, V 0,8 l 7, k(),0 k =,0 Kontrolle V =,000 (ok) () () LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : F l 0,0 8,0 8 8 Δ M = M = 0,00 M,0 = = = 0,00 (),0 M = 0 ( 0,00) 0,0 =,00 M = 0,00 ( 0,00) 0,7 =,0 M = 0 ( 0,00) 0,0 = 8,0 M = 0 ( 0,00) 0,0, = + 9,0 ΔM() 0,00 () = = = +, /EJ Σk,0 EJ ().. 0.00 LF : Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : F l 0,0 8,0 8 8 F l 0,0, Δ M = M + M = + 7, M,0 = = = 0,00 M,0 =+ =+ =+, (),0,0 M =, ( + 7,) 0,0 = 9, M = 0,00 ( + 7,) 0,7 =,7 M = 0 ( + 7,) 0,8 =+ 8,7 M = 0 ( + 7,) 0,8 0, =,09 ΔM() 7, () = = =,80 /EJ Σk,0 EJ () 0.00 0.00 0.00 0..70 7.0.70 7.8 7.8 8.9 8.9 0. 0. -.8 -.8-8.9 -.99 -.99-8.9 0.0-9. -9. -.0 -.0 0.0 8..808. 8. -.08.07.07 -.08 9.0 9.0
Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - Symmetrie, Antimetrie, Belastungsumordnung A.) a) symmetrische Gruppe, z.b. VV/ Cross (oder KGV):.8 8.00.8.0.8.8 -. -. b) System mit eingeführter Antimetriebedingung: -.8 -.8.7 0.00 0.00.8-0.00.8.8.80 Reduktion auf -Feldträger z.b. mit VV/Cross, KGV oder Tab. Fall + antimetrische Ergänzung! () (),00,00,0 F=0,0 kn A.) a) symmetrische Gruppe, z.b. VV/ Cross (oder KGV):.80 -. 0. 8.80 -.7 -.7 -.87..00.88 0.00-8.80...00.00.7 -.7 -.7,00.8.8-8.8-8.8-8.8-8.8 -.88-0.00 -.98-.8 -.8-.98 8.7 0.00.88 0.8 0.8. -.9 -. -.9 b) System mit eingeführter Antimetriebedingung: H=8,0 kn w=,0 kn/m () N SYM. A. =0(!) Reduktion auf halbes System (hier statisch bestimmt!) + antimetrische Ergänzung! (),00 8.00 8.00 8.0.00 7..00,00,00.00.00-8.-8. -7. -7. 7. -0. 8. 8..9.9 0. -.87 7.8 7.8.87
Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - A.) a) infolge EA-> können sich () und () NICHT verschieben, daher trägt ()-()-()-() wie ein Durchlaufträger (DLT)! symmetrische Gruppe, z.b. VV/ Cross (oder KGV):.9 7.8 0. 7.8.9 -. -.,0 0.8.8 0.8-7.8-0.00 -.9.9 0.00 7.8 w, M und V des DLT entsprechen w, M und V des Hängewerkes. Die Auflagerkraft B () wird als N ()-() in das Hängewerk eingeleitet: Krafteck Knoten () erforderlich! Beachte Auflagerkräfte Hängwerk ungleich Auflagerkräfte DLT! (zu V des DLT muss noch der Vertikalanteil von N addiert werden, Summe = 0,0!) 0. 0.00 0.00 -.8 -. -.8 -. 7.8 7.8 0.8 -..8 -. 0.8.9-7.8 0.00-0.00 7.8 -.8 -.8 -.9 7.8 7.8.... b) System mit eingeführter Antimetriebedingung:,0 Reduktion auf halbes System (hier statisch bestimmt!) nach Berücksichtigung N Sym. A. =0 (d.h. N =0) + antimetrische Ergänzung! () H=8,0 kn () () Krafteck (): N = - 0,0 kn,00,00 8.00. 8.00 8.00. 8.00 8.00 8.00-0.00 0.00 -.8 0.00.8-0.00 - - -.8-0.00 0.00 0.00.8 A. ) a) Belastungsumordnung in sym. Belastung: symmetrische Gruppe, z.b. VV/ Cross (oder KGV): 0...88.88-8.7-8.7 0. 0.0.88 0.0
Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - b) antimetrische Belastung mit eingeführter Antimetriebedingung: Reduktion auf -Feldträger z.b. mit VV/Cross, KGV oder Tab. Fall + antimetrische Ergänzung! -.8. -.8 -. 0. -..8 -.9 -. c) Addition:..0 0..9. -.0.. 7. -.7 7.. 0.00 0.00 0.00.7 0.79 -.0 8.09 -.9.98.08. 7.7.98 0.0.7.7 A. ) stielsym. System wird zu auflagersym. System, da ()-() keine Biegung bekommt! () =0! hier z. B. Reduktion auf halbes System q=,0 kn/m,0 () () 0. () 0.7 0.7 -.78 -.78.7 -.7.7 -.78 -.78-0.7.,00-8.9 8.9 0.7 -...97. -0.7 -. -0.7 -.97-0.7 -. -0.7 0.7 -. -.97 -. A. ) auflagersym. System wird zu feldsym. System, da Pendelstab ()-() wegen N Stiel =0 vollkommen wirkungslos ist! w=,0 kn/m () N SYM. A. =0(!) () N SYM. A. =0(!) w=,0 kn/m () Reduktion auf halbes System (hier statisch bestimmt!) nach Berücksichtigung der Antimetriebed.+ antimetrische Ergänzung! () () (),00,00....00.08..08 -...00.08.00 -. -.08 -.08 -.08.08.08 -.08..08 -.08
Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - Cross A.) Cross Verteilungszahlen: gemäß Ü Cross A..00 0.7 Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : EJ EJ 0,0 M = ψ = ( ) =+ 0,00 EJ l,00,00,0,0 Δ M = M = + 0,00 EJ (),0 M = + 0, EJ ( + 0,00 EJ) 0,8 = 0,000 EJ =,00 M =+ 0 ( + 0,00 EJ) 0,7 = 0,000 EJ=,00 Δ M() + 0,00 EJ () = = = 0,007 (rad) Σk,08 EJ () 0.00.9.7 -.0 Starreinspannmomente und endg. Biegemomente : EJ EJ 0,0 M = ψ = ( ) =+ 0,00 EJ l,00,00,0,0 Δ M = M = + 0,00 EJ (),0 M = + 0, EJ ( + 0,00 EJ) 0, = 0,000 EJ = 8,7 M =+ 0 ( + 0,00 EJ) 0,88 = 0,0008 EJ= 8,7 Δ M() + 0,00 EJ () = = = 0,009 (rad) Σk,8 EJ ().9 0.00.9. -8.7 A.) LF ).7 S H tan α= ; H = tan α 0,0=, 0 m 0,0 0,0 0,0 cos α= ; S = =,7 0 m S cosα, 0 ψ = =, 0,0 Biegemomente : EJ 0 M = ψ = (, 0 ) =+,0 knm l,0 N V aus M: V = V = M /l =,kn V Krafteck() : N = V tanα = 8,; N = = 0, kn cosα -. -0. 8. V N 8....0 -. 8. -0. LF ) 8. 0.0 0,0 ψ = = +,0 0 (rad),0 Biegemomente : EJ 0 M = ψ = ( +,0 0 ) = 8,7 knm l,0 V = V =,9 kn; N =, kn; N =+ 7,8kN..9.9. -8.8
Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - LF ). S S S H = tan α 0,0=, 0 m L = sin α 0,0= 8,0 0 m S = H sinα =,07 0 m S = cos α 0,0=,0 0 m H, 0 (rad) der Knoten () wandert um H nach rechts (d.h. um H zur Stabachse ()-()) oder um L in Richtung der Stabachse ()-() und anschließend um S zur Stabachse ()-()! Knoten () analog um S ψ = = l Biegemomente : EJ 0 M = ψ =, 0 =,0 knm l,0 V aus M: V = V = M /l = +,kn V Krafteck() : N = V tanα= 8,; N = =+ 0, kn cosα 8... -.0 8..7 LF ) Δl 0,0 H= = =,7 0 m cos α cosα S =Δl tanα=, 0 m 7.8 7.8 0. -. ψ = = l H,7 0 (rad) Biegemomente : EJ 0 M = ψ =,7 0 =,knm l,0 V aus M: V = V = M /l = + 7,8kN V Krafteck() : N = V tanα= 0,; N = =+,0 kn cosα 0. äquivalente Temperatur Δ= l 0,0 =α T l T T SCH 0,0 0,0 = = =,7 K l, 0,0 SCH αt usatzfrage: kein Gelenk in (), LF der Williotplan bleibt identisch, es entstehen nun aber zunächst die Stabendmomente im 0 ustand; dann Cross oder VV rechnen (hier nur Endergebnis). 7.0 endg. Biegelinie: die Knotenverschiebung () ist identisch zum 0 - ustand, der Knoten verdreht sich nun jedoch! 8.9 9.9 9.9 0.0 8.9.. -7.0 0,0 ψ = = +,0 0 (rad),0 Stabendmomente im"0" us tand : Biegemomente im 0 -ustand EJ 0 M = M = ψ = ( +,0 0 ) = 7,0 knm l,0,0,0 -.8
Statik der Baukonstruktionen: Lösung Verschiebungsgrößenverfahren kb07 Lö VV - A. ) a) Infolge der sym. Belastung trägt das System sym. und somit quasi unverschieblich! Die Riegelmitte kann sich aus Symmetriegründen nur vertikal verschieben Verschiebungsmöglichkeit: V T SCH Δ=α l T l =, 00,0 = 0 m Δ l/ = 0 m Δl/ Δl/ S= =, 0 m; V = =,00 0 m sinα tanα S, 0 ψ = = =,0 0 (rad) l, Biegemomente : EJ 0 M = ψ = (,0 0 ) =+ 8,kNm l,. T+00.00 T+00.00.77 8. 8..77 8. 8. b) Williotplan für den 0 -ustand wie bei a), dann VV oder Cross (hier nur Endergebnis) Stabendmomente im "0" us tand : EJ 0 M = ψ = (,0 0 ) =+, knm l, -. -. -. -.. 0. 0..98 0. 0..98 A. ) w () in Richtung Stab ()-() zerlegen, dann N berechnen, dann Krafteck Knoten () Δ l = w sin0 = 0,00 m Δl N = EA = 7,80kN l o.0 8.90-80.0 0.00.0.9 Grenzwerte: EA= : wie.0.0 -..8 7.7 Grenzwerte: EA=0: wie - das vorliegende System mit EA liegt somit näher bei EA-> 78.