49 9. Der Kreis 9.1 Die Koordinaten- und Parameterform der Kreisgleichung Def. Unter dem Kreis k mit Mittelpunkt M(u,v) und Radius R versteht man die Menge aller Punkte P(x,y) die von M den Abstand R haben, für die also gilt: uuur uuur MP = R MP = R oder in Koordinaten : k: ( x u) + ( y v) = R Koordinatengleichung eines Kreises (1) M(u,v) Kreismittelpunkt, R Radius, P(x,y) Kugelpunkt Spezialfall: M(0/0) x + y = R B: (Skizze) Gleichung des Kreises mit Zentrum M(3,1) durch den Punkt P(6,3). 3 MP = R = MP = 13 k: (x 3) + (y - 1) = 13 Durch Ausmultiplizieren von Gleichung (1) erhält man eine Gleichung der Form x + y + ax + by + c () Umgekehrt kann jede Gleichung der Form () durch quadratische Ergänzung auf die Form (1) gebracht werden und stellt somit eine Kugel dar (allenfalls mit Radius 0 oder imaginärem Radius). B: Die Gleichung x + y - 14x + 6y + kann durch quadratische Ergänzung auf die Form gebracht werden: ( x 7) + ( y + 3) = 36 Die Gleichung stellt also einen Kreis mit Mittelpunkt M(7,-3) und Radius R = 6 dar. Kreis 09.11.013/ul
50 allg. gilt der folgende Satz: Die Gleichung x + y + ax + by + c stellt genau dann einen Kreis dar, wenn gilt: a +b - 4c > 0. Führt man als Parameter den Zentriwinkel t ein, so erhält man die sogenannte Parametergleichung des Kreises: x u = R cost y v = R sin t (3) Parametergleichung des Kreises Eliminiert man den Parameter t, indem man die Quadrate der beiden Gleichungen addiert, so erhält man wieder die Koordinatengleichung (1) des Kreises. 9.. Kreistangente 1. Tangente in einem vorgegebenen Punkt P1(x1,y1) uuuur MP 1 ist ein Normalenvektor der Tangente t, d.h. uuur uuuur PP 1 steht auf MP1 senkrecht. Im Spezialfall M(0,0) gilt also: uuur uuur x x1 x1 PP1 OP1 = = ( x x1 ) x1 + ( y y1 ) y1 y y1 y1 x x + y y = x + y = R 1 1 1 1 vereinfacht t: x1x + y1 y = R (5) Der Spezialfall zeigt, wie die Tangentengleichung formal aus der Kreisgleichung erhalten werden kann: x + y = R xx + yy = R xx1 + yy1 = R Dieser formale Vorgang heisst Polarisieren. Es kann gezeigt werden, dass dieser auch bei beliebigem Mittelpunkt und auch für Kegelschnitte gilt: Kreis 09.11.013/ul
51. Kreistangente mit vorgegebener Richtung An den Kreis k mit Mittelpunkt M(,5) und Radius r = 4 sind die Tangenten zu legen, welche zur Geraden g: 4x 3y + 1 parallel sind. Ansatz für die gesuchten Tangenten. t: 4 x 3y + c c ist so zu bestimmen, dass der Punkt M von t den Abstand 4 hat: 4x 3y + c = 4 Lösungen: c1 = 7, c = -13 5 Lösungsvariante: Diskriminantenmethode 3.. Tangente von einem Punkt A an einen Kreis k Diese Aufgabe kann mit den folgenden Verfahren bestimmt werden: a) Diskriminantenmehtode b) Hesse sche Normalform (HNF) c) Polarenmethode Spezialfall A(0,0) a) Lösung des Tangentenproblems mit der Diskriminantenmethode: Das Problem eine Gerade mit einem Kreis k zu schneiden führt auf eine quadratische Gleichung mit der Diskriminante D. 3 Fälle: a) D > 0 g ist Sekante b) D g ist Tangente c) D < 0 g meidet k Lege vom Nullpunkt aus die Tangenten an den Kreis x + y - 10x + 16. Ansatz für t: y = mx eingesetzt in die Kreisgleichung x + y - 10x + 16 führt auf x (m + 1) - 10x + 16 (4) t ist genau dann Tangente, wenn die Diskriminante von (4) verschwindet. D = 36-64m und daraus m = ± 3 4 Beachte: Diese Methode ist in vielen Fällen sehr rechenaufwändig. Kreis 09.11.013/ul
5 b) Lösung mit der HNF im Spezialfall A(0,0): Bringe die Gleichung y = mx auf die Hessesche Normalform (HNF): mx y m + 1 Die Steigung m ist so zu wählen, dass der Kreismittelpunkt M(5,0) von den Tangenten den Abstand R = 3 hat: 5m 5m = ± 3 = 9 oder m + 1 m + 1 3 = + und erneut: m = ± 5m 9m 9 4 Kreis 09.11.013/ul
53 Lösung des Problems für eine beliebige Lage von A: Lege vom Punkt P(-4,3) die Tangenten an den Kreis k: x + y - x + 4y - 5 Lösung mit der Hesse schen Normalform: Mit quadratischer Ergänzung ergibt sich für k der Mittelpunkt M(1,-) und der Radius R = 10 Ansatz für t: y = mx + q Da P(-4,3) die Tangentengleichung folgt: q = 3 + 4m. mx y + 4m + 3 HNF von t: m + 1 Die gesuchten Kreistangenten haben von P(-4,3) den Abstand R m + + 4m + 3 m + 1 = 10 bzw. ( m m ) 1 5 3 + 10 + 3 mit den Lösungen m 1 = 3 und m = 3 Lösung der Aufgabe nach der Polarentheorie Setzt man in der Tangentengleichung statt eines Kreispunktes einen Punkt A ausserhalb des Kreises ein, so stellt die Gleichung wieder eine Gerade p dar. Es seien B1 und B die Berührungspunkte der Tangenten mit dem Kreis. Es kann gezeigt werden, dass p die Verbindungsgerade der Punkte Berührungspunkte B1 und B ist. Die Aufgabe ist damit darauf zurückgeführt, die Polare mit dem Kreis k zu schneiden. Kreisgleichung x + y x + 4y 5 polarisieren x x1 + y y1 ( x + x) + (y + y) 5 Koordinaten von A(-4,3) einsetzen: x ( 4) + y 3 ( x 4) + (y + 3) 5 vereinfachen y = x 1 Gleichung der Polaren mit dem Kreis schneiden x = 4 Berührungspunkte B1(,1), B(-,-3) Kreis 09.11.013/ul