Vorwort Vorwort Da es sich hierbei um eine Lernhilfe von Schülern für Schüler handelt, können, trotz sorgfäliger und häufger Kontrolle, formale und inhaltliche Fehler nicht ausgeschlossen werden. Im Zweifelsfall wende dich bite an deinen Mathelehrer oder siehe im Schulbuch nach.
Inhaltsverzeichnis 1. Proportionalität...2 1.1 Proportionale Zuordnungen...2 1.2 Quotientengleichheit, Proportionalitätsfaktor...3 1.3 Umgekehrte proportionale Zuordnung...4 1.4 Produktgleichheit...5 2. Funktionen...6 2.1 Funktionen als eindeutige Zuordnung...6 2.2 Funktion und Term...6 2.3 Funktion und Graph: Nullstellen und Steigung...7 2.4 Umfang und Flächeninhalt des Kreises...7 3. Lineare Funktionen...8 3.1 Lineare Funktionen...8 3.2 Bestimmung des Funktionsterms...8 3.3 Lineare Funktionen und Gleichungen...9 3.4 Lineare Ungleichungen...10 4. Gleichungen und Gleichungssysteme...11 4.1 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen...11 4.2 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen...12 4.3 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen...12 4.5 Lösen mit dem Additionsverfahren...13 4.6 Lineare Gleichungssysteme in Anwendungssituationen...13 4.7 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen...14 5. Laplace-Wahrscheinlichkeit...15 5.1 Ereignismenge...15 5.2 Ereignisse...15 5.3 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit...16 5.4 Laplace-Experimente...17 6. Gebrochen rationale Funktionen...18 6.1 Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen...18 6.2 Rechnen mit Bruchtermen...19 6.3 Negative Exponenten...19 6.4 Bruchgleichungen...19 7. Ähnlichkeit...20 7.1 Zentrische Streckung...20 7.2 Der Strahlensatz...20 7.3 Ähnliche Figuren...21 7.4 Ähnlichkeitssätze für Dreiecke...22 1
Thema: Proportionalität 1. Proportionalität 1.1 Proportionale Zuordnungen Definition: Bei der proportionalen Zuordnung wird jeder Zahl bzw. Größe genau eine Zahl oder Größe zugeordnet. Der Nenner und Zähler ändern sich im gleichen Verhältnis. Das Wachstum ist hierbei gleichmäßig. Die Zuordnung kann mithilfe einer Wertetabelle und/oder eines Koordinatensystems veranschaulicht werden (Abb. 1). 2 1,5 Euro 2 4 6 Menge 1 2 3 2 1,5 y > x (Abb. 1) Du möchtest in der Stadt eine Bratwurst kaufen. Der Verkäufer verlangen für eine Bratwurst 2 Euro. Berechne mithilfe einer Wertetabelle, wie viel 3 und 8 Bratwürste kosten. Äpfel 1 3 8 Euro 2 6 16 2
Thema: Proportionalität 1.2 Quotientengleichheit, Proportionalitätsfaktor Definition: Nimmt der Quotient stets den selben Wert an, spricht man hierbei von der Quotientengleichheit und bezeichnet diesen Quotient mit q oder auch Proportionalitätsfaktor. Proportionalitätsfaktor oder Quotient q = 2.Größe 1.Größe 4 1,5 m in kg 0,5 2 3 P in Euro 5 20 30 Proportionalitätsfaktor: 4 1,5 5 0,5 =10 bzw. 30 3 =10 y x Eine Nürnberger Bratwurst kostet im Supermarkt 0,20 Euro. Erstelle eine Wertetabelle und gib an, wie viel 10, 16 und 24 Bratwürste kosten. Bestimme, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt. Wenn ja, gib den Proportionalitätsfaktor an. 1,6 1,5 Bratwurst 10 16 24 Preis in Euro 2 3,20 4,80 1,6 1,5 Die Zuordnung ist proportional und der Proportionalitätsfaktor beträgt: 4,80 24 =0,2 3
Thema: Proportionalität 1.3 Umgekehrte proportionale Zuordnung Definition: Anders als bei der proportionalen Zuordnung ist das Wachstum gegenläufig. Hierbei wird eine Zahl immer größer und die andere immer kleiner. 2 2 Km/h 100 200 400 Zeit in h 1 0.5 0.25 : 2 : 2 y x Ein LKW benötigt 10 Stunden, um den gesamten Bauschutt einer Baustelle alleine abzutransportieren. Stelle mithilfe einer Wertetabelle dar, wie lange es dauert, wenn 2 bzw. 6 Lkws den Bauschutt abtransportieren. LKW 1 2 6 Zeit in h 10 5 1,6 4
Thema: Proportionalität 1.4 Produktgleichheit Definition: Sind die Produkte der zugeordneten Größen gleich groß, spricht man von der Produktgleichheit. Den Graph einer umgekehrten proportionalen Zuordnung nennt man Hyperbel. Berechne die Kerzenhöhe einer Kerze,die nach 30 min 20 cm groß ist. Wie hoch ist die Kerze nach 2 bzw. 4 Stunden? Und gib die Maximale Brenndauer an. : 4 : 2 Kerzenlänge in cm 20 5 2,5 Dauer in h 0,5 2 4 Produktgleichheit: 20 0,5=10 ; 4 2 Maximale Brenndauer: 5 2=10 ; 5
Thema: Funktionen 2. Funktionen 2.1 Funktionen als eindeutige Zuordnung Eine Funktion ist eine Zuordnung die jedem x-wert, den man in die Funktion einsetzt, genau einen y-wert zuordnet. Man schreibt: x y oder x f (x). f (x) ist der Term der Funktion f. 1. f (x)=x 2. h(x)=2x 3. g(x)=0,5x+2 4. n(x)=0,5x 2 +7x+13 5. d (x)=(x 8) (x+13) 2.2 Funktion und Term Jede Funktion f (x) besitzt einen Definitionsbereich D (oder mit Bezeichnung der Funktion D f ). Ist keine Definitionsmenge angegeben, geht man von der größten möglichen ( D max ) aus. Diese bestimmt die Werte, die für x eingesetzt werden dürfen. Jede Funktion besitzt einen Graphen G. Wenn der Punkt P(x y) auf dem Graphen G f (Graph von f) liegt, schreibt man auch P Element G f. Der Punkt P(x y) erfüllt dann die Gleichung y=f(x). y 1. f (x) = (3x) (x 2) 2. g(x) = (2,5x) (x2 ) (x+4) D = Q \{2} D = Q \{-4} (-4 darf hier nicht in die Funktion eingesetzt werden) 3. A G g für g(4) = (2,5 4) (42 ) (4+4) =20 x Graph G g zu g(x) 6
Thema: Funktionen 2.3 Funktion und Graph: Nullstellen und Steigung Nullstellen sind Stellen im Koordinatensystem, an denen der Graph die x-achse schneidet oder berührt. An diesen Stellen geht die Gleichung f (x)=0 auf. Der Graph einer proportionalen Funktion f ( x) m x weißt eine konstante Steigung auf und verläuft durch den Ursprung und den Punkt P(1 m). Der Faktor m gibt an, wie stark der Graph steigt (m>0) oder fällt (m<0) und wird Steigung genannt. Die Steigung m ist ein Faktor in linearen Funktionen, welcher angibt, wie sehr der Graph dieser Funktion steigt oder fällt. Der Punkt P(1 m) ist immer Element dieses Graphen. y 1. f (x)=3x A(1 3) f(1)= 3 1 =3 2. g( x)= 5x B(1-5) 3. h( x)= 2,5 x C(1-2,5) x Graph G f 2.4 Umfang und Flächeninhalt des Kreises Der Umfang (K) des Kreises ist entweder d π ( Durchmesser π ) oder 2 π r ( 2 Radius π ). π ist die sogenannte Kreiszahl und hat etwa den Wert: 3,14 Hier gilt: K = 2 π r = π d 7
Thema: Lineare Funktionen 3. Lineare Funktionen 3.1 Lineare Funktionen f (x)=m x+t Der Parameter m ist wie gewohnt die Steigung. t gibt an, wo der Graph der Funktion die y-achse schneidet. Man nennt t den y-achsenabschnitt. f (x)=2 x+2 ^ y Graph G f x > 3.2 Bestimmung des Funktionsterms m= (f(x 2 ) f (x 1 )) (x 2 x 1 ) ist eine Formel um die Steigung des Graphen, mithilfe von zwei beliebigen Punkten (P1 und P2) die auf diesem Graphen liegen, zu berechnen. Anschließend kann man durch das Einsetzen eines Punktes in die allgemeine Formel für lineare Funktionen und auflösen nach t, den y-achsenabschnitt berechnen. P1(1 4) P2(2 6) m= (6 4) (2 1) =2 1 =2 f (x)=y y=m x+t 6=2 2+t - 4 2=t f (x)=2 x+2 8
Thema: Lineare Funktionen (Die Grundform jeder Linearen Funktion ist f (x)=m x+t, deswegen wird dieser Ansatz zur Berechnung genommen) ^ y > x Graph G f 3.3 Lineare Funktionen und Gleichungen Graphisch kann man den Schnittpunkt zweier Graphen ablesen. Rechnerisch erhält man ihn, wenn man die Funktionsgleichungen zweier Graphen gleichsetzt und nach x auflöst. Diesen x Wert setzt man dann in eine der Gleichungen ein. Mann erhält dadurch einen Punkt P(x f(x)). Das ist der genaue Schnittpunkt der Graphen. f (x)=9 x 1 g(x)= x+3 f (x)=g(x) 9 x 1= x+3 +x +1 10 x=4 :10 x=0,4 x in g(x): g(0,4)= 0,4+3=2,6 Schnittpunkt: (0,4 2,6) 9
Thema: Lineare Funktionen 3.4 Lineare Ungleichungen Der Unterschied zwischen Gleichungen und Ungleichungen, ist das Zeichen, welches zwischen den beiden Termen steht. Bei Gleichungen ist es das =, während bei Ungleichungen <;> verwendet werden. Man löst Ungleichungen fast wie Gleichungen. Die einzigen Unterschiede sind: 1 Das Ungleichheitszeichen wird bei einer Multiplikation und Division, mit einer negativen Zahl, umgedreht (> wird zu < ; < wird zu >) 2 Das Ergebnis hat mehrere Lösungen ( x>2 alles was größer 2 ist, ist hier eine Lösung) 2,5 x 2> 0,3 x+12 +0,3 x 2,2 x 2>12 +2 2,2 x>14 (-1) 2,2 x< 14 :2,2 x< 6,36 Das Ergebnis ist kleiner als -6,36 Lösung: ] ; -6,36 [ (also alle Werte von bis -6,36) 10
Thema: Gleichungen und Gleichungssysteme 4. Gleichungen und Gleichungssysteme 4.1 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Gleichungen der Form 2 x+3 y =7 heißen lineare Gleichungen mit zwei Variablen. Für solche Gleichungen gilt: 1 Jede Lösung besteht aus einem Zahlenpaar (x y) 2 Die Lösungsmenge enthält unendlich viele Lösungen (nicht immer! siehe Bsp) 3 Die graphische Darstellung der Lösungsmenge ist eine Gerade (siehe G t ) Auf einem Kreuzfahrtschiff, auf dem keine Kinder erlaubt sind, findet man 152 Zimmer. Es gibt x Zimmer für vier Personen und y Zimmer für zwei Personen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Zimmerverteilung gibt es, wenn es Mindestens ein Zimmer jeder Art gibt? Lösung: t=(1 151); (2 150); (3 149); (4 148); ; (151 1) 150 verschiedene Möglichkeiten (siehe Graph G t ) y x 11
Thema: Gleichungen und Gleichungssysteme 4.2 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen Der Umgang mit linearen Ungleichungen mit zwei Variablen ist derselbe wie mit denen, die nur eine Variable haben. Beim Lösen von Ungleichungen mit zwei Variablen, geht man wie bei Linearen Gleichungen mit zwei Variablen vor. 4.3 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Zwei lineare Gleichungen mit zwei gemeinsamen Variablen wie z.b. (1) x+2 y=8 (2) 3 x 4 y=4 bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. Ein Zahlenpaar heißt Lösung dieses linearen Gleichungssystems, falls das Paar jede Gleichung des Systems erfüllt. Der einfachste Weg, um die Lösung eines solchen Gleichungssystems zu erhalten, ist: (1) oder (2) nach x oder y auflösen und die Variable dann in die andere Gleichung einzusetzen: -(1) x+2 y=8 x=8 2 y -(1) in (2) einsetzen ergibt (2) also: 3 (8 2 y) 4 y=4 (durch das Einsetzen fällt eine Variable weg) Die erhaltene Gleichung (2) formt man nach y um: 3 (8 2 y) 4 y=4 24 6 y 4 y=4 24 10 y=4 20=10 y 2=y nun hat man die Lösung für y. Diese wird in (1) oder (2) eingesetzt um die Lösung für x zu erhalten: y in (1): x+2 2=8 x+4=8 x=4 Lösung: (4 2) (für x=4 und y=2 gilt also: (1)=(2)) 12
Thema: Gleichungen und Gleichungssysteme 4.5 Lösen mit dem Additionsverfahren Beim Additionsverfahren werden die beiden Gleichungen so addiert, dass dabei eine Variable wegfällt. Dazu muss häufig zunächst eine Gleichung mit einer geeigneten Zahl multipliziert werden. Die Lösung der durch die Addition entstandenen Gleichung wird in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt und so der Wert der anderen Variablen bestimmt. Das bedeutet: Man addiert das, was links vom =, in der ersten Gleichung ist, mit dem, was links vom =, in der zweiten Gleichung ist. Dasselbe passiert mit den rechten Seiten beider Gleichungen. Dabei fällt eine Variable weg. Nun muss man nur noch umformen und wie bei dem Einsetzungsverfahren, einsetzen. Falls keine Variable wegfällt, muss man vor dem anderen evtl. die Gleichung mit einer Zahl multiplizieren(z.b 1;-1) sodass eine Variable bei der Addition wegfällt. (1) 2 x 4y=8 (2) 8 y 6 x=12 Lösung: 2 x 4 y=8 3 6 x 12 y=24 (1) 3 + (2) 6 x 12 y+8 y 6 x =24+12 4 y=36 (-1) 4 y= 36 :4 y= 9 y in (2): 8 ( 9) 6 x=12 +6 x -12 72 12=6 x 84=6 x :6-14=x Ergebnis: (-14-9) 4.6 Lineare Gleichungssysteme in Anwendungssituationen Erik ist x Jahre alt. Wolfgang ist 56. Erika ist y. Es ist folgendes bekannt: (1) 56=2 x y+40 (2) 2 x y=x (3) x+ y=56 24 Wie alt sind Erik und Erika? 13
Thema: Gleichungen und Gleichungssysteme Lösung: (1) 56=2 x y+40 16=2 x y (2) 2 x y=x x y=0 x=y (3) x+ y=56 24 x+ y=32 (2) in (3): x+x=32 2 x=32 :2 x=16 y=16 4.7 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen Man löst wie ähnlich bei Linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen eine der Gleichungen (in dem Fall die Gleichung (I)) nach einer Variable auf. Diese setzt man in (II) ein. So fällt eine Variable weg. (II) wird nun nach einer der beiden anderen, verbliebenen Variablen aufgelöst. Die so erhaltene Gleichung wird zusammen mit der vorherig bestimmten Variable in (III) eingesetzt. Nun ist uns eine der drei Variablen bekannt. Nachdem wir diese kennen, setzen wir sie in eine der anderen beiden Gleichungen (also (I) oder (II)) ein. Wir erhalten ein Gleichungssystem mit 2 Variablen und 3 Gleichungen. Die Vorgehensweise ist nun exakt dieselbe wie bei 3 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen. Löse das Gleichungssystem: (1) 3 y=15 (2) 15 x= 2 y (3) 60 z=x+y Lösung: Hierbei ist eine Variable schon gegeben (y) (1) y=5 (1) in (2): 15 x = 2 5 15 x = 10 x= 25 x=25 (1) und (2) in (3): 60 z=25+5 60 z=30 z=30 z=30 ; x=25 ; y=5 14
Thema: Laplace Wahrscheinlichkeit 5. Laplace - Wahrscheinlichkeit 5.1 Ergebnismenge Definition: Bei einem Zufallsexperiment tritt genau ein Ergebnis von mehreren Möglichkeiten ein. Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiment bezeichnet man als Ergebnismenge. Die Ergebnismenge wird mit Ω gekennzeichnet. Münzwurf: Ω = {K,Z}, K = Kopf, Z = Zahl In einer Schale befinden sich 4 Kugeln. Eine blaue, eine rote, eine gelbe und eine grün. Eine Kugel wird verdeckt gezogen. Gib die Ergebnismenge dieses Zufallsprinzips an. Ω = { blau, rot, gelb, grün} 5.2 Ereignisse Definition: Jede Teilmenge A der Ergebnismenge Ω wird bei einem Zufallsexperiment Ereignis genannt. Die Ergebnismenge Ω ist ebenfalls ein Ereignis und heißt sicheres Ereignis. Würfelwurf: Ergebnismenge Ω = {1,2,3,4,5,6}; Ereignisse: gerade Zahlen A = {2,4,6}; ungerade Zahlen B = {1,3,5}; Zahl größer als 3 C = {4,5,6} Fällt bei einem Durchgang die Augenzahl 6, so treten die Ereignisse A und C ein. Als Zufallsexperiment wird aus einem Kartendeck mit 32 Karten gezogen. Gib verschiedene Ereignisse an. Welches dieser Ereignisse tritt ein, wenn die Karte Herz 8 gezogen wird. Ereignisse: gerade Zahl A = {8,10}; ungerade Zahl B = {7,9}; keine Zahl C = {Bube, Dame, König, Ass}; Zahl 8 D = {8}; Lösung: Wird die Karte Herz 8 gezogen, so treten die Ergebnisse A und D ein. 15
Thema: Laplace Wahrscheinlichkeit 5.3 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Definition: Die absolute Häufigkeit H(A) beschreibt, wie oft ein bestimmtes Ereignis bei mehrfacher Wiederholung eines Zufallsexperiments eintritt. Die relative Häufigkeit h(a) gibt die Größe des Anteils der absoluten Häufigkeit an der Gesamtanzahl der Wiederholungen an. Die relative Häufigkeit ist der Wahrscheinlichkeit bei sehr häufiger Wiederholung H(A) gleich. P(A) = n = Wiederholungen n Münzwurf bei 500 Wiederholungen Ereignis Kopf Zahl absolute Häufigkeit 248 252 Relative Häufigkeit 248 500 252 500 Kopf : h(a) = 248 500 0,5 Zahl: h(a) = 252 500 0,5 Wurf von 40 Würfeln 1 6 3 4 5 3 1 2 1 5 6 3 5 3 6 5 6 1 6 5 6 2 4 3 1 1 2 1 5 2 6 6 4 1 2 3 3 4 1 1 Ereignis 1 2 3 4 5 6 H(A) 10 5 7 4 6 8 h(a) 10 40 5 40 7 40 4 40 6 40 8 40 1: h(a)= 0,25 ; 2: h(a)= 0,125 ; 3: h(a)= 0,175 ; 4: h(a)= 0,1 ; 5: h(a)= 0,15 ; 6: h(a)= 0,2 ; Für große n: P(A) = 1 6 16
Thema: Laplace Wahrscheinlichkeit 5.4 Laplace Experimente Definition: Laplace Experimente sind Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Typische Experimente hierfür sind: der Wurf eines Würfels, Münzwurf, Glücksrad (wenn alle Sektoren gleich groß sind) und das Ziehen einer Karte. Würfelwurf: Es können die Zahlen 1 bis 6 gewürfelt werden. Die Wahrscheinlichkeit für alle Ergebnisse ist 1 gleich groß. P(A) = 6 Beim Drehen eines Glücksrades mit 6 Feldern, die alle gleich groß sind, ist die Wahrscheinlichkeit für alle Ergebnisse gleich groß. Feld Rot Grün Gelb Blau Orange Lila P(A) 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 17
Thema: Gebrochen rationale Funktionen 6. Gebrochen rationale Funktionen 6.1 Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen Man spricht von einer gebrochen rationalen Funktion, wenn der Term der Funktion ein Bruch ist und dieser ein x im Nenner stehen hat. Die Nullstellen des Nenners sind die Definitionslücken, da man nicht durch 0 teilen darf. Der x-wert, für den der Nenner 0 wird, ist nicht in der Definitionsmenge enthalten (der Graph existiert an dieser Stelle nicht). Die Nullstellen des Graphen (Schnittpunkt des Graphen mit der x-achse) erhält man, indem man den Zähler mit 0 gleichsetzt. Eine Gerade, der sich der Graph annähert, aber niemals berührt, nennt sich Asymptote Gib alle (waagerechte und senkrechte) Asymptoten des Graphen an. f (x)= (3 x) (3 x 2 ) D=R\{-1,7321 ; 1,7321} y x Die senkrechten Asymptoten sind in diesem Fall bei den angegebenen Definitionslücken (+/- 3) Die Werte, denen sich y für betraglich sehr große x-werte (also 9999999999... / -999999999...) annähert, sind die Waagerechten Asymptoten. Senkrechte Asymptote bei x= 3 und x= 3 Waagerechte Asymptote bei y = 0 (sowohl für sehr große als auch kleine Werte) 18
Thema: Gebrochen rationale Funktionen 6.2 Rechnen mit Bruchtermen Beim Rechnen mit Bruchtermen geht man wie beim Rechnen mit Brüchen vor. [( 8x) 12] [24 6x] [( 4x) 6] ( 24x) ( 4x) ( 2x) = = = = = [12 3x] (36x) (6x) (3x) ( 2 3 ) 6.3 Negative Exponenten a n =a a a a a... a (n Faktoren) a 1 =a a 0 =1 a n = 1 a n a p a q =a (p+q) a p a q =a(p q) 6.4 Bruchgleichungen Man multipliziert jede Seite der Gleichung zwei mal. Je einmal mit jedem der beiden Nenner. So erhält man eine Gleichung ohne Brüche. 3 x 14 = 9 (11 x) 14 11x 3 x 11 x=9 14 33 x 2 =126 :33 x 2 =3,81 x=1,9519 19
Thema: Ähnlichkeit 7. Ähnlichkeit 7.1 Zentrische Streckung Definition: Bei der zentrischen Streckung wird eine Abbildung vom Streckzentrum aus einen Streckfaktor m vergrößert oder verkleinert. Ein negativer Streckfaktor verursacht eine Punktspiegelung. Streckfaktor: m = 2 7.2 Der Strahlensatz Bedingung: Gerade g II h Strahlensatz: ZA ZA = ZB ZB ; 20
Thema: Ähnlichkeit Gesucht: ZB 7.3 Ähnliche Figuren Definition: ZA =ZB ZA ZB 15m =ZB 3m 4m 5m =ZB 4m ZB = 20m Zwei Figuren sind ähnlich zueinander, wenn sie durch eine zentrische Streckung so vergrößert oder verkleinert werden können, dass sie deckungsgleich (kongruent) sind. m = 2; 21
Thema: Ähnlichkeit 7.4 Ähnlichkeitssätze für Dreiecke Definition: Dreiecke sind ähnlich, wenn sie: - in zwei Winkel übereinstimmen ( WW - Satz) - im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen ( S:S:S - Satz) WW Satz S:S:S Satz 22