fc HOCHSCHULBÜCHER FÜR MATHEMATIK H E R A U S G E G E B E N VON H.GRELL, K.MARUHN U N D W.RINOW BAND 14 FOURIERREIHEN VON G.P. TOLSTOW MIT 51 A B B I L D U N G E N 1955 VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN
fc Inhaltsübersicht Vorwort V Kapitel I: Trigonometrische Fourierreihen 1. Periodische Funktionen 1 2. Harmonische Funktionen 2 3. Trigonometrische Polynome und Reihen 5 4. Präzisierung der Terminologie. Integrierbarkeit. Funktionenreihen 7 5. Das trigonometrische Fundamentalsystem. Die Orthogonalität der Sinus- und Kosinusfunktionen 10 6. Die Fourierreihe einer Funktiongder Periode In 12 7. Die Fourierreihe einer Funktion, die auf einem Intervall der Länge 2JI vorgegeben ist 15 8. Rechts- und linksseitige Grenzwerte von Funktionen in einem Punkt. Unstetigkeitsstellen erster Art 16 9. Glatte und stückweise glatte Funktionen 17 10. Ein Konvergenzkriterium für Fourierreihen 18 11. Gerade und ungerade Funktionen 19 12. Kosinusreihen und Sinusreihen 21 13. Beispiele für Fourierentwicklungen 23 14. Die komplexe Form einer Fourierreihe 29 15. Funktionen der Periode 21 31 Kapitel II: Orthogonalsysteme 1. Definition. Normierte Systeme 40 2. Fourierreihen bezüglich eines gegebenen Orthogonalsystems 41 3. Beispiele einfachster Orthogonalsysteme 42 4. Quadratisch integrierbare Funktionen. Die Bunjakowskische Ungleichung 49 5. Das mittlere Fehlerquadrat, sein Minimum 51 6. Die Besselsche Ungleichung und Folgerungen daraus 52 7. Vollständige Systeme. Konvergenz im Mittel 53 8. Wichtigste Eigenschaften vollständiger Systeme 55 9. Ein Kriterium für die Vollständigkeit eines Systems 57 10.* Die Analogie mit Vektoren '. 58
VIII Inhaltsübersicht Kapitel III: Die Konvergenz trigonometrischer Fourierreihen 1. Die Besselsehe Ungleichung und Folgerungen aus ihr 62 2. Bestimmung von lim J f(x) cos nxdx und lim j f(x) sin nxdx 63»->oo n->oo 3. Eine Summenformel für Kosinusfunktionen. Dirichletsche Integrale 67 4. Eine Integralformel für die Partialsummen einer Fourierreihe 68 5. Rechtsseitige und linksseitige Ableitungen 69 6. Eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Fourierreihe an einer Stetigkeitsstelle einer Funktion 70 7. Eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Fourierreihe an einer Unstetigkeitsstelle einer Funktion._ 72 8. Verallgemeinerung der in 6 und 7 aufgestellten hinreichenden Bedingungen. 73 9. Die Konvergenz der Fourierreihe einer (stetigen oder unstetigen) stückweise glatten Funktion =. 74 10. Die absolute und gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe einer stetigen und stückweise glatten Funktion der Periode 2 ;t 74 11. Die gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihe einer stetigen Funktion der Periode 2 n, die eine absolut integrierbare Ableitung besitzt 76 12. Verallgemeinerung der Resultate von 11 79 13. Das Lokalisationsprinzip 83 14. Beispiele für die Entwicklung unbeschränkter Funktionen in Fourierreihen 84 15. Bemerkung über Funktionen der Periode 21 88 * Kapitel IV: Trigonometrische Reihen mit monoton abnehmenden Koeffizienten. Bestimmung der Summen einiger Reihen 1. Das Abelsche Lemma 89 2. Eine Formel für eine Summe von Sinusgliedern. Ungleichungen 90 3. Die Konvergenz trigonometrischer Reihen mit monoton abnehmenden Koeffizienten 91 4.* Einige Folgerungen aus den Sätzen von 3 94 5. Anwendung von Funktionen einer-komplexen Veränderlichen zur Bestimmung der Summe einiger trigonometrischer Reihen 96 6. Präzisierung der Resultate aus 5 99 Kapitel V: Die Vollständigkeit des trigonometrischen Systems. Operationen mit Fourierreihen 1. Approximation von Funktionen durch trigonometrische Polynome 107' 2. Die Vollständigkeit des trigonometrischen Systems 109 3. Die Ljapunowsche Formel. Wichtige Folgerungen aus der Vollständigkeit des trigonometrischen Systems 110 4.* Approximation von Funktionen durch Polynome 111 5. Addition und Subtraktion von Fourierreihen. Multiplikation mit einer Zahl... 113 6.* Multiplikation von Fourierreihen 113 7. Integration von Fourierreihen 113 8. Differentiation von Fourierreihen. Stetige Funktionen der Periode 2 n 119 9.* Differentiation von Fourierreihen. Funktionen, die auf [ n, ri\ vorgegeben sind 122
Inhaltsübersicht IX 10.* Differentiation von Fourierreihen. Der Fall einer auf dem Intervall [0, ri] vorgegebenen Funktion 126 11. Verbesserung der Konvergenz Von Fourierreihen 132 12. Zusammenstellung einiger trigonometrischer Entwicklungen 137 13. Approximative Berechnung von Fourierkoeffizienten 139 Kapitel VI: Summierung trigonometrischer Fourierreihen 1. Die Problemstellung 146 2. Das Verfahren der arithmetischen Mittel 146 3. Eine Integralformel für das arithmetische Mittel der Partialsummen einer Fourierreihe 148 4. Summierung von Fourierreihen nach dem Verfahren der arithmetischen Mittel 149 5. Das Abelsche Potenzreihenverfahren 153 6. Der Poissonsche Kern 153 7. Anwendung des Abelschen Verfahrens auf die Summierung von Fourierreihen.. 154 Kapitel VII: Trigonometrische Doppelreihen. Das Fouriersche Integral 1. Orthogonalsysteme im Falle zweier Veränderlicher. Fourierreihen. 162 2. Das trigonometrische Fundamentalsystem für den Fall zweier Veränderlicher. Trigonometrische Fourier-Doppelreihen 163 3. Eine Integralformel für die Partialsummen einer trigonometrischen Fourier- Doppelreihe. Ein Konvergenzkriterium 166 4. Fouriersche Doppelreihen für Funktionen mit Verschiedenen Perioden bezüglich x und y 168 5. Das Fouriersche Integral als Grenzfall der Fourierreihe 169 6. Über ulieigentliche Integrale, die von einem Parameter abhängen 171 7. Zwei Hilfssätze 173 8. Beweis der Fourierschen Integralformel, 176 9. Verschiedene Formen der Fourierschen Integralformel 177 10.* Die Fouriertransformation 179 Kapitel VIII: Besselsche Funktionen 1. Die Euler-Besselsche Gleichung 183 2. Besselsche Funktionen erster Art mit nichtnegativem Index 183 3. Über die Gammafunktion 187 4. Besselsche Funktionen erster Art mit negativem Index 188 5. Das allgemeine Integral der Euler-Besselschen Gleichung 189 6. Besselsche Funktionen zweiter Art 189 7. Beziehungen zwischen Besselschen Funktionen mit verschiedenen Indizes 190 2w 4-1 8. Besselsche Funktionen erster Art mit einem Index der Gestalt p = - (n ganz) 192 9. Asymptotische Formeln für Besselsche Funktionen 193 10. Die Nullstellen der Besselschen und anderer mit ihnen zusammenhängender Funktionen 198 11. Die Euler-Besselsche Gleichung mit einem Parameter 200 12. Die Orthogonalität der Funktionen J v (A x) 200
X Inhaltsübersicht 1 a 13. Berechnung des Integrals/* J P (A x)dx 203 o 14.* Eine Absehätzung des Integrals f xjp (Xx)Ax 204 o Kapitel IX: Fourierreihen nach Besselschen Funktionen 1. Fourier-Besselsche Beihen 206 2. Konvergenzkriterien für Fourier-Besselsche Reihen 207 3.* Die Besselsche Ungleichung und einige Folgerungen aus ihr 208 4.* Über die Ordnung der Koeffizienten, welche die gleichmäßige Konvergenz einer Fourier-Besselschen Reihe gewährleistet 210 5.* Die Ordnung der Fourier-Besselschen Koeffizienten zweimal differenzierbarer Funktionen 213 6. Die Ordnung der Fourier-Besselschen Koeffizienten einer mehrmals differenzierbaren Funktion 216 7.* Über die gliedweise Differentiation Fourier-Besselscher Reihen 219 8. Fourier-Besselsche Reihen vom zweiten Typus 222 9.* Ausdehnung der Resultate von 3 bis 7 auf Fourier-Besselsche Reihen vom zweiten Typus 224 10. Die Entwicklung von Funktionen, die auf einem Intervall [0, t] vorgegeben sind, in Fourier-Besselsche Reihen 226 Kapitel X: Die Methode der Eigenfunktionen bei der Lösung einiger Aufgaben der mathematischen Physik 1. Das Wesen der Methode 229 2. Die übliche Form der Randwertaufgabe 233 3. Über die Existenz von Eigenwerten 234 4. Eigenfunktionen und ihre Orthogonalität 234 5. Über das Vorzeichen der Eigenwerte 236 6. Fourierreihen nach Eigenfunktionen 237 7. Führt die Methode der Eigenfunktionen immer auf eine Lösung der Aufgabe?.. 240 8. Die verallgemeinerte Lösung ' 243 9. Die inhomogene Aufgabe 246 10. Schlußbemerkung 248 Kapitel XI: Anwendungen 1. Die Gleichung der schwingenden Saite 250 2. Freie Schwingungen einer Saite 251 3. Erzwungene Schwingungen einer Saite 254 4. Die Gleichung von Längsschwingungen eines Stabes 256 5. Freie Stabschwingungen 258 6. Erzwungene Stabschwingungen \ 260 7. Schwingungen einer rechteckigen Membran 262 8. Radiale Schwingungen einer kreisförmigen Membran 267 9. Schwingungen einer kreisförmigen Membran (allgemeiner Fall) 270
Inhaltsübersicht XI 10. Die Gleichung der Wärmeleitung in einem Stabe 275 11. Die Wärmeleitung in einem Stabe, dessen Enden auf der Temperatur Null gehalten werden 276 12. Die Wärmeleitung in einem Stabe, dessen Enden auf konstanter Temperatur gehalten werden 278 13. Die Wärmeleitung in einem Stabe, dessen Enden sich auf vorgegebenen veränderlichen Temperaturen befinden 279 14. Die Wärmeleitung in einem Stabe, art dessen Enden ein freier Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet 280 15. Die Wärmeleitung in einem unendlichen Stab 284 16. Die Wärmeleitung in einem Kreiszylinder; der Fall einer isolierteii Oberfläche.. 288 17. Die Wärmeleitung in einem Kreiszylinder; der Fall des Wärmeaustausches mit dem umgebenden Medium durch die Oberfläche hindurch 290 18. Die Wärmeleitung in einem Kreiszylinder; der Fall konstanter Temperatur 291 Literaturhinweise der Herausgeber 295 Sachregister 299