Mathematik II für Elektrotechik, Medietechik ud Iformatik, SS 9.6.9 Aufgabe : Itegratiosverfahre ( Pukte a 7P., b 8P., c P. ) Bereche Sie folgede Itegrale durch Awedug etsprecheder Itegratiosverfahre ud vereifache Sie das Ergebis. a) π si( ) d b) ( ) d c) d 6 + Hiweis: Überprüfe Sie jeweils, ob der Itegrad für das gesamte Itegratiositervall defiiert ist! Aufgabe : Fläche ud Volumeberechug ( Pukte a P., b 6 P., c 9 P.) Durch folgede Fuktioe ist eie Fläche beschriebe: y =, a) Skizziere Sie die Kurve ud die vo de Kurve eigeschlossee Fläche F. b) Bestimme Sie die eigeschlossee Fläche F. c) Durch Drehug der Fläche F um die -Achse etsteht ei Rotatioskörper. Bereche Sie das Rotatiosvolume! Aufgabe : parametrisierte Kurve ( Pukte a P., b 7P., c 7P., d 6P.) Eie Bezier-Kurve sei durch folgede Pukte defiiert: P=(;)=( ;y ) P=(;)=( ;y ) P=(;) =( ;y ) P=(;) =( ;y ) Die - ud y-koordiate der Bezierkurve sid durch folgede Fuktioe gebe (t sei der Parameter): = f () t = ( + t ( + t ( + t = t( + 6t ( + t y = g( = y ( + yt( + yt ( + yt = 6t( + 6t ( a) Bestimme Sie die - ud y-koordiate für t= ud t=! b) Bestimme Sie die Steigug der Tagete im Pukt (;y)=(f();g()) c) Bestimme Sie die Geradegleichug für diese Tagete! d) Zeige Sie, dass der Pukt P auf dieser Gerade liegt! Aufgabe : Kovergez vo Reihe ( Pukte a-c je P.) a) Überprüfe Sie folgede Reihe auf Kovergez ud bestimme Sie de Grezwert we es sich um eie geometrische Reihe hadelt: a) a) = = b) Überprüfe Sie die harmoische Reihe mit dem Quotietekriterium ud dem = Itegralkriterium auf Kovergez! ( ) c) Für welche -Werte kovergiert die Potezreihe? Viel Erfolg! =
Mathematik II für Elektrotechik, Medietechik ud Iformatik, SS 9.6.9 Aufgabe : Itegratiosverfahre ( Pukte a 7P., b 8P., c P. ) Bereche Sie folgede Itegrale durch Awedug etsprecheder Itegratiosverfahre ud vereifache Sie das Ergebis. π + a) cos( ) d b) ( ) d c) d + + Hiweis: Überprüfe Sie jeweils, ob der Itegrad für das gesamte Itegratiositervall defiiert ist! Aufgabe : Fläche ud Volumeberechug ( Pukte a P., b 6 P., c 9 P.) Durch folgede Fuktioe ist eie Fläche beschriebe: y =, a) Skizziere Sie die Kurve ud die vo de Kurve eigeschlossee Fläche F. b) Bestimme Sie die eigeschlossee Fläche F. c) Durch Drehug der Fläche F um die -Achse etsteht ei Rotatioskörper. Bereche Sie das Rotatiosvolume! Aufgabe : parametrisierte Kurve ( Pukte a P., b 7P., c 7P., d 6P.) Eie Bezier-Kurve sei durch folgede Pukte defiiert: P=(;)=( ;y ) P=(;)=( ;y ) P=(;) =( ;y ) P=(;) =( ;y ) Die - ud y-koordiate der Bezierkurve sid durch folgede Fuktioe gebe (t sei der Parameter): = f t = t + t t + t t + t = t t + 6t t + t () ( = y ( + y t( + y t ( + y t = 6t( + 6t ( y = g a) Bestimme Sie die - ud y-koordiate für t= ud t=! b) Bestimme Sie die Steigug der Tagete im Pukt (;y)=(f();g()) c) Bestimme Sie die Geradegleichug für diese Tagete! d) Zeige Sie, dass der Pukt P auf dieser Gerade liegt! Aufgabe : Kovergez vo Reihe ( Pukte a-c je P.) a) Überprüfe Sie folgede Reihe auf Kovergez ud bestimme Sie de Grezwert we es sich um eie geometrische Reihe hadelt: a) a) = = b) Überprüfe Sie die harmoische Reihe mit dem Quotietekriterium ud dem = Itegralkriterium auf Kovergez! ( + ) c) Für welche -Werte kovergiert die Potezreihe? Viel Erfolg! =
Mathematik II für Elektrotechik, Medietechik ud Iformatik, SS 9.6.9 Folgede Zusammehäge köe bei der Berechug trigoometrischer Fuktioe hilfreich sei: Folgede Gruditegrale köe als bekat vorausgesetzt werde: f () f d + + C + / l + C cos si + C si cos + C e e + C ta + C cos a a + C l a l l + C Alle übrige Itegrale müsse durch Awedug geeigeter Itegratiosregel i diese Gruditegrale überführt werde.
Mathematik II für Elektrotechik, Medietechik ud Iformatik, SS 9.6.9 LÖSUNGEN: Aufgabe : Itegratiosverfahre ( Pukte a 7P., b 8P., c P. ) Lösuge: a) b) π si( ( ) ) d = d = 6 c) I = d = l l + l C 6 + + π a) cos( ) d = b) + ( + ) d = c) I = d = l + l + l + C + 6 6 + Aufgabe : Fläche ud Volumeberechug ( Pukte a P., b 6 P., c 9 P.) Durch folgede Fuktioe ist eie Fläche beschriebe: Variate : Variate : y =, y =, a) b) Schittpukte: etweder aus Skizze ablese, rate oder bereche c) Rotatiosvolume: V = π 9
Mathematik II für Elektrotechik, Medietechik ud Iformatik, SS 9.6.9 a) b) Schittpukte: etweder aus Skizze ablese, rate oder bereche c) Rotatiosvolume: V = π Aufgabe : parametrisierte Kurve ( Pukte a P., b 7P., c 7P., d 6P.) a) t=: P=(;) t=: P=(;) dy 6 b) t = : = = d c) Gerade: y= d) y==*= qed a) wie a dy 6 b) t = : = = d c) y=-+6 d) y=-+6=-*+6= qed Aufgabe : Kovergez vo Reihe ( Pukte a-c je P.) a Variate : a) koverget = ( ) = 8 a) diverget = b) Quotietekriterium: keie Aussage Itegralkriterium: diverget c)qk: koverget für < < a Variate : ( ) a) koverget = = 9 a) diverget b) Quotietekriterium: keie Aussage Itegralkriterium: diverget c) koverget für < <