I. Lösungsformel und Diskriminante quadratischer Gleichungen. Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel. a) x + 5x + 0 b),5x x 0 c) 5x 0x + 0. Bestimme k so, dass die quadratische Gleichung nur eine Lösung besitzt. a) x + kx + 0 b) x + x + k 0 c) kx + 5x 0 d) kx + 6x k 0 e) x + kx k 0 f) x + kx + k + 0 II. Substitution. Bestimme die Lösungen a) x x 9 0 b) d) x c) x 6x 5 x + 0 III. Parabeln und Geraden. An welcher Stelle muss die Tangente an die Parabel y x x + gelegt werden, damit sie durch den Ursprung geht?. Für welchen Werte von a besitzt die Parabel y ax + 8x mit der Normalparabel y x a) zwei Schnittpunkte b) einen gemeinsamen Punkt c) keine gemeinsamen Punkte. Gegeben ist die Parabel p : y x x. Bestimme in den Schnittpunkten der Parabel p mit der x-achse die Gleichungen der Tangenten an p. IV. Lineare Gleichungssysteme. Löse die Gleichungssysteme () x + 6y z () y z a) () x + y + z 0 b) () x + y + z () x + 5y 5z 9 () x y + z
() 5x y + z 9 () 0,5x + z z c) () x + y z 6 d) () x + y z () x + y + zz () 8,8x + 0,7y,6z 7, () x + 5 y z 5 () x 5z e) () f) x y z 5 () x y () 5 x + 5 y + () 9 z z y 9. Bestimme die Lösungen möglichst geschickt. () x + y () x y a) () x + z b) () x + z Schwer! () y + z 5 () y z. Bestimme die Gleichung einer Parabel durch die Punkte a) A, und B C 7 b) A, und B C 5 8. Bestimme die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion f mit den Nullstellen x und x, deren Graph durch den Punkt P 0,5 geht. III. Parabeln und Geraden. An welcher Stelle muss die Tangente an die Parabel y x x + gelegt werden, damit sie durch den Ursprung geht?. Für welchen Werte von a besitzt die Parabel y ax + 8x mit der Normalparabel y x a) zwei Schnittpunkte b) einen gemeinsamen Punkt c) keine gemeinsamen Punkte
. Gegeben ist die Parabel p : y x x. Bestimme in den Schnittpunkten der Parabel p mit der x-achse die Gleichungen der Tangenten an p. V. Potenzen mit rationalen Exponenten. Vereinfache und schreibe als Wurzel 5 a) b) c) d) 7 5 8. Vereinfache den Term und gib das Ergebnis in Wurzelschreiweise an. a) a a b) 8a a b a b b a 5 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Bestimme alle Lösungen der Gleichung a) 0, x b) 0,5 x 6 +,5 c) 0,5 (x ) d) x 5 5 e) x + 5 f) 0,5 x + 5 VI. Steigung und der Tangens eines Winkels. Zeige, dass die Steigung von 5 % im abgebildeten Verkehrsschild nicht richtig dargestellt ist. a) Miss Sie dazu geeignete Strecken in einem Steigungsdreieck. b) Wie viele Meter muss man auf der Straße fahren um einen Höhenunterschied von 00 m zu überwinden.. Von der Plattform eines,8 m hohen Leuchtturmes sieht man mit einem Fernrohr ein vor Anker liegendes Schiff unter einem Tiefenwinkel von,9. Wie weit ist das Schiff horizontal entfernt, wenn sich das Fernrohr,60 m über der Plattform befindet?
. Das regelmäßige Fünfeck hat die Seitenlänge s cm. Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche. Schwer!. Von der 09,9 m langen Hohenzollernbrücke, die genau auf den Kölner Doms zuläuft, visiert man die Spitze des Doms vom Anfang der Brücke unter dem Höhenwinkel 0,96, am Ende der Brücke unter dem Höhenwinkel,5. Das Messinstrument ist,m hoch. a) Fertige eine Skizze an und berechne, wie weit das Ende der Brücke vom Fußpunkt des Doms entfernt ist. b) Berechne die Höhe des Kölner Doms (das dritthöchste Kirchengebäude der Welt)! Schwer! I. Lösungsformel und Diskriminante quadratischer Gleichungen. Bestimme alle Lösungen der Gleichung a) x + 5x + 0 D b ac 5 x b a D x b + D a b),5x x 0 D b ac ( ),5 ( ) 7 x b a D 7,5 9 x + c) 5x 0x + 0 D b ac ( 0) 5 0 x b D 0 0 0 5 5 5 x 5 + 5 a 5 0 5 5. Bestimme k so, dass die quadratische Gleichung nur eine Lösung besitzt. a) x + kx + 0 D k 8 0 k k b) x + x + k 0 D 6 k 0 k c) kx + 5x 0 D 5 + k 0 k 5 d) kx + 6x k 0 D 6 + k > 0 für alle k.
e) x + kx k 0 D k + k 0 k (k + ) 0 k k 0 f) x + kx + k + 0 D k (k + ) 0 k (k + ) k + k k + k k II. Substitution. Bestimme die Lösungen a) x x 9 0 mit der Substitution u x b) d) x mit der Substitution x x x 0 u x c) 6x 5 x + 0 mit der Substitution u x III. Parabeln und Geraden. An welcher Stelle muss die Tangente an die Parabel y x x + gelegt werden, damit sie durch den Ursprung geht? Ansatz: Schnittbedingung: a x m x x + ( m) x 0 Bedingung für einen gemeinsamen Punkt: D ( m) ( m) 6 0 ( m) 6 m m m m 6 Die Stellen, wo die Tangenten die Parabel berühren sinddann gegeben durch x b a x b a
. Für welchen Werte von a besitzt die Parabel y ax + 8x mit der Normalparabel y x a) zwei Schnittpunkte b) einen gemeinsamen Punkt c) keine gemeinsamen Punkte Schnittbedingung: ax + 8x x ax + 8x x 0 (a ) x + 8x 0 Diskriminante: D 8 (a ) 6 8a + 8 8a a) 8a > 0 8a > a < 7 b) 8a 0 8a a 7 c) 8a < 0 8a < a > 7
. Gegeben ist die Parabel. p : y x x Bestimme in den Schnittpunkten der Parabel p mit der x-achse die Gleichungen der Tangenten an p. Nullstellen von p: x x 0 x (x ) 0 x 0 x Ansatz für die Tangente im Punkt 0 0 : y mx Schnittpunktsbedingung: y mx Schnittbedingung: x x mx x x mx 0 x + ( m) x 0 Bedingung für einen gemeinsamen Punkt: D ( m ) 0 ( m ) 0 m 0 m Gleichung der Tangente in 0 0 : y x Ansatz für die Tangent in in 0 : y mx + t A eingesetzt: 0 m + t t m und damit y mx m Schnittbedingung: x x mx m x + ( m ) x + m 0 Bedingung für einen gemeinsamen Punkt: ( m ) m m + 6m + 9 m m 6m + 9 (m ) 0 m Gleichung der Tangente in 0 : y x 9
IV. Lineare Gleichungssysteme. Löse die Gleichungssysteme () x + 6y z a) () x + y + z 0 Es ist x und y 0,5 sowie z. () x + 5y 5z 9 Hinweis: Addiere das Zweifache der Gleichung () zu () und das Fünffache von () zu (). () y z b) () x + y + z Es ist x 0 und y 5 sowie z 7 () x y + z Hinweis: Subtrahiert am vom Zweifachen der Gleichung () die Gleichung () erhält man y direkt. () 5x y + z 9 c) () x + y z 6 Es ist x und y sowie z () x + y + z Hinweis:
Addiere das Vierfache der Gleichung () zu () und subtrahiere ihr Dreifaches von. () 0,5x + z z d) () x + y z () 8,8x + 0,7y,6z 7, Da hab ich mich vertippt! Wenn man das System trotzdem lösen möchte, empfiehlt es sich die Gleichung () zuerst mit 0 zu multplizieren. () x + 5 y z e) () x y z () 5 x + 5 y 9 z 5 5 () 5x + y 0z () x 6y z () 90x + 5y z 50 90 77 Es ist x und y 0 sowie z 9. Hinweis: Man sollte jede Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner multiplizieren. () x 5z 9 f) () x y Es ist x. 9 und y sowie z () z y Hinweis: Beachte Gleichung und Subtahiere () von ().. Bestimme die Lösungen möglichst geschickt. () x + y a) () x + z Es ist x 0,5 und y,5 sowie z,5. () y + z 5 Hinweis: Wenn man die drei Gleichungen addiert,erhält man
x + y + z 9 x + y + z,5 () x y b) () x + z Es ist x und y 0 sowie z. () y z Hinweis: Wenn man die drei Gleichungen addiert, erält man x x. Bestimme die Gleichung einer Parabel durch die Punkte a) A, und B C 7 b) A, und B C 5 8 a) Ansatz: y ax + bx + c Einsetzen der Punkte: () a b + c () 9a b + c () 9a + 7b + c ergibt y 0,x +,5x + 9, a) Ansatz: y ax + bx + c Einsetzen der Punkte: () 9 b + c () a + b + c ergibt y x x + () 5a + 5b + c 8. Bestimme die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion f mit den Nullstellen x und x, deren Graph durch den Punkt P 0,5 geht. Ansatz: y ax + bx + c Einsetzen der Punkte:
() 9 b + c 0 () a + b + c 0 ergibt y 0,5x 0,5x + 0,75 () a + b + c 0,5 V. Potenzen mit rationalen Exponenten. Vereinfache und schreibe als Wurzel a) b) 5 5 5 5 5 c) 6 6 6 6 08 d) 7 8 7 8 8 8 8. Vereinfache den Term und gib das Ergebnis in Wurzelschreiweise an. 8 a) a a 8a a a 8a 8 a a a 9 7 a a a a 7 a a b) a b a b b a 5 a b a b b a 5 b 9 a b a a b ------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Bestimme alle Lösungen der Gleichung a) x + 5x + 0 D b ac 5 x b a D x b + D a b),5x x 0 D b ac ( ),5 ( ) 7
x b D a 7,5 9 x + c) 5x 0x + 0 D b ac ( 0) 5 0 x b D 0 0 0 5 5 5 x 5 + 5 a 5 0 5 5a. Bestimme alle Lösungen der Gleichung a) 0, x x 60 x 60 0 b) 0,5 x 6 +,5 0,5 x 6 0,5x 6 8 0,5x 6 x 6 6 6 x x 6 x x x x c) 0,5 (x ) 0,5 (x ) 6 (x ) x x + d) x 5 5 x 5 7 + 5 x5 x5 x 5 5 e) x + 5 x x x 8 f) 0,5 x + 5 0,5 x x x x 6 x 8 da x positiv sein muss! VI. Steigung und der Tangens eines Winkels
. Zeige, dass die Steigung von 5 % im abgebildeten Verkehrsschild nicht richtig dargestellt ist. a) Miss Sie dazu geeignete Strecken in einem Steigungsdreieck. b) Wie viele Meter muss man auf der Straße fahren um einen Höhenunterschied von 00 m zu überwinden. a) Ausmessen eines Steigungsdreiecks! b) x 00 m und damit s 00 m + 00m 70000 m s 00 7 m. Von der Plattform eines,8 m hohen Leuchtturmes sieht man mit einem Fernrohr ein vor Anker liegendes Schiff unter einem Tiefenwinkel von,9. Wie weit ist das Schiff horizontal entfernt, wenn sich das Fernrohr,60 m über der Plattform befindet? tanα h + i d tanα h + i d h + i,8 m +,6 m d 0,9 m d tanα tan,9. Das regelmäßige Fünfeck hat die Seitenlänge s cm. Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche. Die schráffierten Dreiecke sind ähnlich und der eingezeichnete Winkel misst 7. Es lassen sich h, s und h' berechnen. Der Est ist dann einfach!. Von der 09,9 m langen Hohenzollernbrücke, die genau auf den Kölner Doms zuläuft, visiert man die Spitze des Doms vom Anfang der Brücke unter dem Höhenwinkel 0,96, am Ende der Brücke unter dem Höhenwinkel,5. Das Messinstrument ist,m hoch.
a) Fertige eine Skizze an und berechne, wie weit das Ende der Brücke vom Fußpunkt des Doms entfernt ist. b) Berechne die Höhe des Kölner Doms (das dritthöchste Kirchengebäude der Welt)! Gegeben: b 09,9 m und α 0,96 sowie β,5 a) tanα h b + x h (b + x) tanα tanβ h x h x tanβ Gleichgesetzt: x tanβ (b + x) tanα x tanβ b tanα + x tanα x tanβ x tanα b tanα x x tanβ tanα b tanα x b tanα tanβ tanα 09,9 m tan0,96 tan,5 tan0,96 97,7 m b) tanβ h x h x tanβ h 97,7 m tan,5 56,6 m Der Turm ist 56,6 m +, m 57, m hoch.