5.1 Affine Räume und affine Abbildungen

402 LinAlg II Version 1.2 21. Juli 2006 c Rudolf Scharlau 5.1 Affine Räume und affine Abbildungen Ein affiner Raum besteht aus zwei Mengen P und G zusammen mit einer Relation der Inzidenz zwischen ihnen. Die Elemente von P heißen Punkte, die von G heißen Geraden. Dabei kann eine Gerade als Punktmenge aufgefaßt werden, dann wird die Inzidenz durch a G, für a P, G G beschrieben. Für (P, G) gelten gewisse Axiome, die wir hier nicht behandeln. Stattdessen legen wir unserer weiteren Darstellung direkt den affinen Raum AG(V ) = AG(V, K) = (P, G) eines K-Vektorraumes K zugrunde. Hier ist P = V, und G besteht aus allen affinen Geraden (eindimensionalen affinen Unterräumen a + Kv, a, v V, v 0). Vor der ersten förmlichen Definition zwei Bezeichnungen. - Für a, b P = V, a b sei ab G die eindeutige Gerade, die a und b enthält. - Für a P = V und G G sei G a G die eindeutige Parallele zu G durch den Punkt a. (Also G a = a + Kv, wenn G = a 0 + Kv.) Definition 5.1.1 Ein Teilraum eines affinen Raumes (P, G) ist eine Teilmenge T P, die folgenden Bedingungen genügt: a) Für a, b T ist ab T b) Für a T, G G, G T ist G a T. Früher haben wir bereits einen affinen Unterraum eines Vektorraumes V eingeführt als eine Teilmenge der Form a 0 + U, wobei U ein Untervektorraum von V ist. Wenn a, b a 0 + U sind, dann ist der Richtungsvektor b a der Geraden ab eine Element von U, woraus sofort folgt, daß jeder affine Unterraum von V auch ein Teilraum von AG(V, K) im Sinne der Definition 5.1.1 ist. Wir kommen unten unter 5.1.7 darauf zurück. Satz 5.1.2 Wenn T eine Menge von Teilräumen eines affinen Raumes ist, dann ist auch ihr Durchschnitt T T T ein Teilraum. Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen. Die Aussage wird als eigenständiger Satz geführt, weil sie die folgende Definition ermöglicht. Definition 5.1.3 Es sei (P, G) ein affiner Raum und A P eine Teilmenge seiner Punktmenge. Der Teilraum A := T T Teilraum A T heißt der von A erzeugte Teilraum oder die affine Hülle von A. Wenn A = P ist, dann heißt A ein affines Erzeugendensystem von P oder von (P, G).

LinAlg II Version 1.2 21. Juli 2006 c Rudolf Scharlau 403 Diese Art der Definition eines Erzeugnisses oder einer Hülle ist immer möglich, wenn ein Mengensystem M (eine Menge von Teilmengen einer festen Menge) gegeben ist, das unter Durchschnitten abgeschlossen ist. Hier besteht M aus allen Teilräumen eines affinen Raumes, genauso gut könnte man alle Untervektorräume eines Vektorraumes nehmen. Mittels der eben eingeführten Hüllenbildung würde man dann den von einer Menge A erzeugten Untervektorraum bekommen, der natürlich mit der früher definierten linearen Hülle Lin A übereinstimmt. Die frühere Definition von Lin A über Linearkombinationen ist konkreter und damit auch anschaulich zugänglich, die jetzige Definition des Erzeugnisses hat den Vorteil großer Allgemeingültigkeit. (Ein anderes Beispiel für ihre Anwendbarkeit sind konvexe Teilmengen in reellen Vektorräumen oder auch Untergruppen einer beliebigen, eventuell nicht kommutativen Gruppe.) Eine konstruktive Beschreibung der affinen Hülle analog zur linearen Hülle in Vektorräumen geben wir unten in Satz 5.1.8. Die formalen Eigenschaften der Hüllenbildung, unabhängig von der speziellen Situtation betrachtet, stellen wir in der Bemerkung 5.1.5 zusammen. Vorher geben wir noch eine Spezialisierung der Definition an, die dem Umstand Rechnung trägt, daß die Vereinigung von zwei Teilräumen in aller Regel kein Teilraum ist. Definition 5.1.4 Für zwei Teilräume T 1, T 2 P eines affinen Raumes heißt T 1 T 2 := T 1 T 2 der Verbindungsraum von T 1 und T 2. Der Verbindungsraum von T 1 und T 2 ist also der kleinste affine Teilraum, der T 1 und T 2 enthält, völlig analog zur Summe von zwei Untervektorräumen. Bemerkung 5.1.5 b) Der von {a, b} mit a b erzeugte Teilraum ist ab; dieses ist auch der Verbindungsraum von {a} und {b}. c) A P ist ein Teilraum genau dann, wenn A = A ist. d) Die Zuordnung A A ist ein sog. Hüllenoperator, d.h. A A, A B A B, A = A. Wir kommen nun zur affinen Unabhängigkeit von Punkten eines affinen Raumes, die der linearen Unabhängigkeit von Elementen eines Vektorraumes entspricht. Wir hatten die lineare Unabhängigkeit über die Eindeutigkeit der Koeffizienten einer Linearkombination eingeführt. Es zeigte sich dann, daß der Begriff vollständig auf den Begriff der linearen Hülle zurückgeführt werden kann: ein System oder eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig genau dann, wenn keiner von ihnen in der linearen Hülle der übrigen liegt. Im affinen Raum benutzen wir dieses Kriterium als Definition. Definition 5.1.6 Ein System a 0, a 1,...,a k von Punkten eines affinen Raumes (P, G) heißt affin unabhängig, falls für jedes i = 0, 1,..., k gilt a i / {a 0,...,a i 1, a i+1,..., a k }.

404 LinAlg II Version 1.2 21. Juli 2006 c Rudolf Scharlau Entsprechend heißt eine (ggf. unendliche) Teilmenge A affin unabhängig, wenn a / A {a} für jedes a A. Ein affin unabhängiges Erzeugendensystem heißt auch affine Basis von (P, G). Um diese Begriff weiter zu untersuchen, klären wir erst einmal abschließend, wie Teilräume und Erzeugnisse im affinen Raum auf die entsprechenden Objekte im Vektorraum zurückgeführt werden können. Satz 5.1.7 Die von der leeren Menge verschiedenen Teilräume eines affinen Raumes AG(V, K) sind genau die affinen Unteräume a + U, a V, U V ein Untervektorraum. Folgerung: Jedem affinen Teilraum T = a + U kann man eine durch dim T := dim U definierte Dimension zuordnen. Man setzt noch dim = 1. Sprechweise: Der zu einem Teilraum T = a + U gehörige (eindeutig bestimmte) Untervektorraum U = U T heißt auch die Richtung oder der Richtungsraum von T. Nun kommen wir zu der angekündigten konstruktiven Beschreibung der affinen Hülle einer Punktmenge. Satz 5.1.8 Es sei A eine Menge von Punkten eines affinen Raumes AG(V, K). Dann gilt für die affine Hülle Ferner gilt A = { m β i a i m N, a 0,...,a m A, β i K, b i = 1}. i=0 A = a 0 + Lin{a a 0 a A}, wobei a 0 A fest gewählt ist. Der Richtungsraum von A wird also von den Differenzvektoren a a 0, a A erzeugt. Ein Ausdruck β 0 a 0 + β 1 a 1 + + β m a m mit β 0 + β 1 + + β m = 1 heißt auch affine Linearkombination oder kurz Affinkombination der a i Der von einer Menge A (oder einem System von Punkten) erzeugte affine Teilraum ist also die Menge aller Affinkombinationen von Elementen von A, völlig analog zu Untervektorräumen und Linearkombinationen. Mit dem letzten Satz ist es kein Problem mehr, die affine Unabhängigkeit (von Punkten) auf die lineare Unabhängigkeit (von Vektoren) zurückzuführen.

LinAlg II Version 1.2 21. Juli 2006 c Rudolf Scharlau 405 Satz 5.1.9 Für eine System a 0,...,a k von k + 1 Punkten eines affinen Raumes AG(V, K) sind äquivalent: (i) Die Punkte a 0,...,a k sind affin unabhängig. (ii) Die k Vektoren a 1 a 0,...,a k a 0 sind linear unabhängig. (iii) Die Dimension des von a 0,...,a k erzeugten Teilraumes ist k. Folgerung. Jede affine Basis eines endlich-dimensionalen affinen Raumes (P, G) hat n + 1 Elemente, wobei n die Dimension des Raumes ist. Im Vektorraum dient eine Basis dazu, Koordinaten einzuführen, d.h. Vektoren durch ein Tupel von Skalaren zu beschreiben. Im affinen Raum ist es analog: Satz und Definition 5.1.10 Es sei a 0,..., a n eine (affine) Basis des affinen Raumes AG(V, K). Dann gibt es zu jedem Punkt p V eindeutig bestimmte Skalare β 0, β 1,..., β n, für die gilt p = β 0 a 0 + β 1 a 1 + + β n a n und β 0 + β 1 + + β n = 1. Die β i heißen die baryzentrischen Koordinaten von p bezüglich der gegebenen Basis. Der Gebrauch des Begriffs baryzentrisch in diesem Zusammenhang erklärt sich z.b. daraus, daß die affine Linearkombination 1 (a + b + c) von drei Punkten, die 3 nicht auf einer Geraden liegen, den Schwerpunkt (Baryzentrum) des Dreiecks mit den Eckpunkten a, b, c liefert. Baryzentrische Koordinaten sind schon auf einer Geraden von Interesse: Definition 5.1.11 Gegeben drei Punkte a 0, a 1, x eines affinen Raumes, die auf einer Geraden liegen, dabei a 0 a 1. Schreibe x = β 0 a 0 + β 1 a 1, β 0 + β 1 = 1. Die Zahl β 1 heißt dann das Teilverhältnis von a 0, a 1, x, Bezeichnung TV(a 0, a 1 ; x). Der Skalar TV(a 0, a 1 ; x) ist also die (zweite) baryzentrische Koordinate von x bezüglich der Basis a 0, a 1 der Geraden a 0 a 1. Man beachte, daß die Definition des Teilverhältnisses von keiner Abstandsmessung Gebrauch macht (aber im euklidischen Vektorraum so interpretiert werden kann). Im zweiten Teil dieses Abschnittes behandeln wir nun die zu affinen Räumen gehörigen strukturerhaltenden Abbildungen.

406 LinAlg II Version 1.2 21. Juli 2006 c Rudolf Scharlau Definition 5.1.12 Gegeben seien zwei affine Räume AG(V, K) und AG(W, K). Eine Abbildung ϕ : V W heißt affin, falls es eine lineare Abbildung L : V W gibt mit ϕ(y) ϕ(x) = L(y x) für alle x, y V. Die offenbar durch ϕ eindeutig festgelegte Abbildung L heißt auch die Ableitung von ϕ, Schreibweise L =: ϕ. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, daß L(v) = ϕ(a + v) ϕ(a) sein muß, für alle v V, wobei a V fest gewählt ist. Wenn man diese Überlegung etwas weiter führt, erhält man Teil a) des nächsten Satzes. Satz 5.1.13 Gegeben seien zwei affine Räume AG(V, K) und AG(W, K). a) Die affinen Abbildungen von V in W sind genau die Abbildungen ϕ w,l : V W, x w + L(x), wobei L L(V, W), w W. b) Die Komposition zweier affiner Abbildungen ist wieder affin. Dabei gilt für die Ableitungen (ϕ ψ) = ϕ ψ. In der Darstellung aus a) gilt ϕ w1,l 1 ϕ w2,l 2 = ϕ w1 +L 1 (w 2 ),L 1 L 2. c) Eine affine Abbildung ϕ ist genau dann injektiv bzw. surjektiv, wenn ihre Ableitung ϕ es ist. d) Wenn eine affine Abbildung ϕ bijektiv ist, dann ist auch ϕ 1 affin, und (ϕ 1 ) = (ϕ ) 1. Die Aussage b) überprüft man unmittelbar anhand der Definitionen, ebenso die angegebene Formel. Die Aussage c) beweist man zweckmäßigerweise mittels der Darstellung ϕ w,l aus a); siehe auch unten 5.1.17. Ebenso ist es bei d): man macht für die Inverse von ϕ v,l : V V mit gemäß c) bijektivem L einen Ansatz ϕ v,l ϕ w,k = Id V und löst diesen mit K := L 1, w := L 1 (v). Korollar 5.1.14 Zu zwei gegebenen Punkten a 0 V und b 0 W und einer linearen Abbildung L : V W gibt es genau eine affine Abbildung ϕ : V W mit ϕ(a 0 ) = b 0 und ϕ = L. Beweis: Man nehme ϕ = ϕ w,l mit w = b 0 L(a 0 ). Offenbar ist dieses auch die einzige Möglichkeit, die Bedingungen an ϕ zu erfüllen.

LinAlg II Version 1.2 21. Juli 2006 c Rudolf Scharlau 407 Korollar und Definition 5.1.15 Die Menge aller bijektiven affinen Abbildungen von V auf sich bildet mit der Abbildungsverkettung als Verknüpfung eine Gruppe. Sie heißt die affine Gruppe von V und wird mit AGL(V ) bezeichnet; ihre Elemente heißen Affinitäten. Es gilt also: AGL(V ) := {ϕ v,l v V, L GL(V )}. Korollar 5.1.16 Die Abbildung AGL(V ) GL(V ), ϕ ϕ bzw. ϕ v,l L ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Definition und Satz 5.1.17 Es sei V ein K-Vektorraum, den wir auch als affinen Raum AG(V, K) auffassen. a) Eine Translation von V bzw. AG(V, K) ist eine Abbildung τ = τ v : V V, x v + x, wobei v V ein fester Vektor ist. Es gilt τ v = ϕ v,idv, eine Translation ist also das gleiche wie eine affine Abbildung ϕ mit Ableitung ϕ = Id V. b) Jede Translation ist bijektiv; die Menge aller Translationen von V ist eine Untergruppe von AGL(V ), die Translationsgruppe T(V ) = {τ v v V } von V. c) Die Translationsgruppe von V ist isomorph zur additiven Gruppe von V : kurz (T(V ), ) = (V, +). Ein Isomorphismus ist durch v τ v gegeben. Beweis: Teil a) sieht man sofort. Für b) und c) stellt man als erstes durch unmittelbares Nachprüfen der Definition fest, daß für alle v, w, x V gilt: (τ v τ w )(x) = τ v (τ w (x)) = τ v (w + x) = (v + (w + x) = (v + w) + x = τ v+w (x), also τ v τ w = τ v+w. Zusammen mit τ 0 = Id V beweist das zunächst, daß Translationen bijektiv sind, wobei (τ v ) 1 = τ v wieder eine Translation ist, weiter, daß die Menge aller Translationen eine Untergruppe von AGL(V ) ist, und schließlich auch die in c) behauptete Isomorphie. Der letzte Satz liefert auch einen kurzen und übersichtlichen Beweis dafür, daß eine affine Abbildung ϕ w,l genau dann bijektiv ist, wenn ihre Ableitung L es ist: man hat eine Zerlegung ϕ w,l = τ w L, wobei der eine Faktor τ w bijektiv ist. Ganz allgemein gilt aber für beliebige Abbildungen g : X Y, h : Y Z mit bijektivem h : Y Z, daß f := h g bijektiv ist genau dann, wenn g bijektiv ist. (Für die Implikation beachte g = h 1 f.) Es folgt noch ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz für affine Abbildungen. Hierfür benötigen wir zunächst eine Erweiterung des Konzepts einer Basis eines affinen Raumes (siehe oben Definition 5.1.6). Definition und Bemerkung 5.1.18

408 LinAlg II Version 1.2 21. Juli 2006 c Rudolf Scharlau a) Eine Basis 2. Art eines affinen Raumes ist ein System (a 0 ; b 1,..., b n ), wobei a 0 ein Punkt und b 1,...,b n eine Basis des Vektorraums V ist. b) Wenn (a 0 ; b 1,...,b n ) eine Basis 2. Art ist, dann ist das System von Punkten (a 0, a 0 + b 1,...,a 0 + b n ) eine affine Basis gemäß 5.1.6, auch Basis 1. Art genannt. Wenn umgekehrt (a 0, a 1,...,a n ) eine Basis 1. Art ist, dann ist (a 0 ; a 0 a 1,..., a 0 a n ) eine Basis 2. Art. c) Wenn (a 0 ; b 1,...,b n ) eine Basis 2. Art ist, dann kann jeder Punkt a eindeutig geschrieben werden als a = a 0 + α 1 b 1 + + α n b n mit α 1,..., α n K. Diese α i heißen die affinen Koordinaten von a bezüglich der Basis. d) In der Situation von c) sind α 0, α 1,...,α n auch die baryzentrischen Koordinaten von a bezüglich der Basis 1. Art (a 0, a 0 +b 1,...,a 0 +b n ) gemäß b), wobei α 0 := 1 n i=1 α i. Nun der angekündigte Existenz- und Eindeutigkeitssatz, der den entsprechenden Satz 2.6.10 von Vektorräumen auf affine Räume überträgt. Satz 5.1.19 Es sei (a 0, a 1,...,a n ) eine Basis 1. Art von AG(V, K) und c 0,..., c n Punkte von AG(W, K). Dann gibt es genau eine affine Abbildung ϕ : V W mit ϕ(a i ) = c i für i = 0, 1,..., n. In baryzentrischen Koordinaten bzgl. (a 0, a 1,...,a n ) gilt ( n ) n ϕ β i a i = β i c i. i=0 Beweis: Nach Bemerkung 5.1.18 ist a 1 a 0,...,a n a 0 eine Vektorraumbasis von V. Auf diese und die Vektoren c 1 c 0,...,c n c 0 wenden wir Satz 2.6.10 an und erhalten so eine eindeutige lineare Abbildung L : V W mit L(a i a 0 ) = c i c 0 für i = 1,..., n. Wir setzen das gesuchte ϕ in der Form ϕ w,l mit diesem L an. Den Vektor w muß man dann so wählen, daß w + L(a 0 ) = ϕ w,l (a 0 ) = c 0 ist, d.h. wir setzen w := c 0 L(a 0 ). Das so definierte ϕ erfüllt alle Bedingungen. Aus der Diskussion geht auch die Eindeutigkeit hervor, beachte dabei die Eindeutigkeit der Ableitung ϕ einer affinen Abbildung. Die angegebene Formel rechnet man für beliebige affine Abbildungen sofort nach, und zwar unabhängig von Hauptteil des Satzes. Sie beweist erneut die Eindeutigkeit von ϕ. Wie bei linearen Abbildungen in Satz 2.6.3 kann man die grundlegenden Eigenschaften von ϕ an den Eigenschaften der Bildpunkte c i ablesen: i=0

LinAlg II Version 1.2 21. Juli 2006 c Rudolf Scharlau 409 Satz 5.1.20 Unter den Voraussetzungen von 5.1.19 gilt: a) ϕ ist injektiv genau dann, wenn c 0, c 1,...,c n affin unabhängig sind. b) ϕ ist surjektiv genau dann, wenn c 0, c 1,..., c n eine affines Erzeugendensystem ist, d.h. {c 0, c 1,...,c n } = W. c) ϕ ist bijektiv genau dann, wenn c 0, c 1,...,c n eine affine Basis (Basis 1. Art) ist.