Kapitel 4 Unendliche Reihen; Potenzreihen. 4.1 Konvergenz von Reihen. Wir betrachten zunächst die (formale) unendliche Summe 4/0/0

63 Kapitel 4 Unendliche Reihen; Potenzreihen Wir betrachten zunächst die (formale unendliche Summe 4/0/0 a i = a 0 + a + a + a 3 + und setzen S n = a 0 + + a n für n 0. Dadurch entsteht eine Folge (S n von endlichen Summen, die wir für die Definition von unendlichen Reihen benutzen. Definition. (Reihe 4/0/ Es sei (a n,,,... eine Folge von reellen Zahlen. Die Folge (S n,,,... mit S n = heißt Folge der Partialsummen von (a n oder a i unendliche Reihe (kurz Reihe. Bez.: (S n = a i = a i 4. Konvergenz von Reihen Definition. (Konvergenz von Reihen 4//0 a i konvergiert (gegen a = Df (S n konvergiert (gegen a. Bez.: lim S n = a = a i. a heißt dann Wert oder Limes der Reihe. Bemerkung. a i ist doppeldeutig, es bezeichnet die Folge der Partialsummen von 4// (a n und den Wert der Reihe, falls sie konvergiert. Dies wird im praktischen Umgang aber nicht zu Verwechslungen führen. Definition. (Divergenz von Reihen 4// ai ist divergent = Df ai ist nicht konvergent. Beispiel. (Geometrische Reihe 4//3 Sei a < und a 0. Dann konvergiert a i gegen Beweis. Für S n = + a + + a n a ; ( a i heißt geometrische Reihe. ist

S n ( a = ( + + a n ( a = + + a n (a + + a n+ Hieraus erhält man = a n+. S n = an+ a. Damit ist der Wert der n-ten Partialsumme berechnet. Wegen lim a n+ = 0 erhält man aus den Eigenschaften konvergenter Folgen (vgl. Beispiel in Kapitel 3, vor dem Satz 3. Also lim S n = lim a n+ n n a a i = a. = a lim ( n an+ = = a. Satz 4. a i konvergiert gegen a gdw für jedes ε > 0 ein n 0 existiert, so daß 4//4 für jedes n n 0 gilt : S n a < ε. Beweis. Trivial; die Behauptung folgt unmittelbar aus der Definition einer Reihe und 4//5 der Konvergenz von Folgen. Satz 4. (Cauchysches Konvergenzkriterium für Reihen 4//6 ai ist konvergent gdw für jedes ε > 0 ein n 0 existiert, so daß für jedes m, n > n 0 gilt : S m S n < ε. Beweis. Der Beweis folgt unmittelbar aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für 4//7 Folgen. Korollar. ai konvergiert gdw für jedes ε > 0 ein n 0 existiert, so daß 4//8 für jedes n n 0 und für jedes k gilt : a n+ + + a n+k < ε. Beweis. Sei m = n + k (in Satz 4.. Dann gilt: 4//9 S m S n = a + + a n + a n+ + + a n+k (a + + a n = a n+ + + a n+k < ε. Hieraus folgt die Behauptung. 64

Korollar. Wenn a i konvergiert, dann ist lim i a i = 0. 4//0 Beweis. Setzt man in dem vorhergehenden Korollar k =, dann ist a n+ < ε für 4// jedes n n 0. Damit gilt a n+ 0, also a i 0. Korollar 3. Ist (a i keine Nullfolge, so ist ai divergent. 4// Beweis. Kontraposition von Korollar! 4//3 Beispiel. ( n ist nicht konvergent, da ( ( n keine Nullfolge ist. 4//4 Definition. (absolute Konvergenz 4//5 ai ist absolut konvergent = Df ai ist konvergent. Satz 4.3 Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent. 4//6 Beweis. Sei ai konvergent und ε > 0. 4//7 Dann existiert nach Korollar ein n 0, so daß für jedes n n 0 und k : a n+ + + a n+k < ε. Also a n+ + + a n+k a n+ + + a n+k < ε. Folglich ist auch a i konvergent. Bemerkung. Wenn a i konvergiert, dann muß a i noch nicht konvergent sein. 4//8 (Der Beweis hierzu erfolgt später. Satz 4.4 Es seien a i, bi konvergent und a, b IR. 4//9 Dann ist (a ai + b b i konvergent und (a a i + b b i = a a i + b b i. Beweis. Sei S n = a i, S n = b i und S n = (a a i + b b i. 4//0 Dann ist S n = a S n + b S n. Aus den Eigenschaften für konvergente Folgen (Satz 3.0 erhält man sofort die Behauptung. 65

Satz 4.5 a i ist konvergent gdw für jedes k gilt : ( k und es ist a i = a i + a i. i=k a i ist konvergent 4// i=k Beweis. Der Beweis ergibt sich sofort aus den Eigenschaften für konvergente Folgen. 4// Man benutzt für n k: S n = a 0 + + a n = a 0 + + a k + a k + + a n. := c := S n Wir wissen schon, daß (S n konvergiert gdw (S n konvergiert und daß lim S n = c + lim S n. Hieraus folgt die Behauptung. Bemerkung. Ein Anfangsstück einer Reihe ist also ohne Belang für das Konvergenz- 4//3 verhalten der Reihe, wohl aber für den Wert der Reihe (falls Konvergenz vorliegt. Definition. (alternierende Reihe 4//4 ai heißt alternierend = Df a i 0 und a i < 0 gdw a i+ > 0 für jedes i (oder aber a i a i+ < 0 für jedes i. Beispiele. 4//5 ( i i + = + 3 4 ±, ( i+ i + = + 3 + 4. Satz 4.6 (Leibniz Kriterium 4//6 Ist ai alternierend und lim a i = 0 und ( a i,,,... monoton fallend, dann ist ai konvergent. Beweis. Es sei o.b.d.a. a 0 > 0 (anderenfalls betrachten wir a 0 + a i und a > 0. 4//7 Weiterhin sei a i = α i (> 0. Dann ist lim α i = 0 und a i = ( i α i. Folglich gilt: S n+k S n = ( n+ α n+ + + ( n+k α n+k = ( n+ (α n+ α n+ + α n+3 α n+4 ± + ( k α n+k 66 i=

= ( n+ α n+ α n+ + α n+3 α n+4 ± + ( k α n+k } {{ } = = α n+ α n+ + α n+3 α n+4 ± + ( k α n+k := ( In Abhängigkeit von k ist die Anzahl der Summanden α i in ( gerade bzw. ungerade. Nach Voraussetzung ist die Folge (α i monoton fallend, also α n+ α n+ 0,.... Ist k gerade, dann kann man die Summanden in ( paarweise zusammenfassen, und es ist ( := (α n+ α n+ + (α n+3 α n+4 + + (α n+k α n+k 0. Ist k ungerade, dann bleibt bei der paarweisen Zusammenfassung α n+k übrig, aber α n+k ist offensichtlich nicht negativ. Folglich ist auch in diesem Fall ( 0. Andererseits ist Insgesamt gilt also ( = α n+ (α n+ α n+3 ( } {{ } 0 0 α n+. 0 ( α n+ und damit S n+k S n = ( α n+. Sei ε > 0. Wegen α n 0 gibt es ein n 0, so daß für jedes n n 0 : S n+k S n α n+ < ε. = (S n = a i ist konvergent. Satz 4.7 Sei Dann gilt : ai ai eine Reihe mit a i 0 für jedes i. 4//8 ist konvergent gdw die Folge der Partialsummen beschränkt ist. Beweis. Es sei S n = a i. Zum Beweis benutzen wir Satz 3.8 (monotone Folgen sind 4//9 konvergent gdw sie beschränkt sind. ( ai ist konvergent = (S n konvergent = (S n beschränkt. ( Wegen a i 0 für jedes i, ist (S n monoton wachsend. Ist außerdem (S n beschränkt, so ist (S n = a i konvergent. Beispiele.. (Anwendung des Leibniz-Kriteriums 4//30/ Behauptung: ( n ( n + n ist konvergent. n n= := a n = 67

Offenbar ist a n alternierend, a n 0 und a n = monoton fallend, folglich n + ist die betrachtete Reihe konvergent. Sei a = ( n n + = a 0 = > a > 0 (vgl. Beweis zu Satz 4.6; mit dem späteren Korollar zu Satz 7. läßt sich leicht zeigen, daß a = ln.. (Die Glieder einer Reihe dürfen nicht beliebig umsortiert werden. 4//30/ Wir betrachten die Reihe aus Beispiel und nehmen an, daß man die Glieder einer Reihe beliebig umsortieren darf, ohne das Konvergenzverhalten zu verändern. Dann gilt: a = + 3 4 + 5 6 ± = + 3 + 5 + 4 6 (umsortiert = + 3 + 5 + + + 4 4 ± 4 6 = 0 (0 addiert = + + 3 + 4 + 5 + 6 + 4 4 6 6 (umsortiert = + + 3 + 4 + 5 + 6 + 3 4 5 6 = + + 3 ± = 0! (umsortiert und addiert 3 3. n= n ist nicht konvergent. (Harmonische Reihe 4//30/3 Diese Reihe dient gleichzeitig als Beispiel dafür, daß eine konvergente Reihe nicht absolut konvergent sein muß. (vgl. Beispiel. Es sei S n = + + + n. Wir betrachten jetzt die n -te Partialsumme und bilden Dann gilt: S n = + + + n S n+ S n = n + + n + + + n + n (jeder dieser n Summanden ist größer oder gleich n n+ = für beliebiges n. S n = S 0 S 0 + S S + + S n S n + S n n+ 68

= S 0 + S S 0 + S S + + S n S n = + n. Die Teilfolge (S i von (S n ist also unbeschränkt, und somit ist (S n = n nicht konvergent. Da (S n monoton wächst, ist bestimmt divergent gegen +. n 4. Ist a i alternierend und a i 0 aber ( a i nicht monoton fallend, dann muß 4//30/4 ai nicht konvergent sein. {, falls i ungerade und i = n +, n+ Sei a i =, falls i gerade und i = n. n Also a i = 0 + + + 3 3 + 4 Wir betrachten S m+ = a 0 + + a m+. Summiert man in dieser endlichen Summe die a i man Die Summe der a i + + 3 + 4 + + m + m mit geradem Indes ergibt mit ungeradem Index i, so erhält (vgl. Beispiel 3. 0 ( ( = 0 ( + ( + + m = m ( m+ ( = ( m+ (vgl. geometrische Reihe (denn für i = m+ = n ist n = m, Damit erhalten wir insgesamt also S m+ = + + 3 + + m + m = n m. ( + ( ( + ( + + m + m m. m nicht kon- Folglich ist (S n eine unbeschränkte Teilfolge von (S n und somit a i vergent. 69

5. Beispiel dafür, wie der junge Leibniz 67 in Paris er sollte dort seine Rechenkünste unter Beweis 4//30/5 stellen mit falschen Hilfsmitteln den richtigen Wert einer Reihe berechnet hat (vgl. Wußing, H. und Wolfgang Arnold. Biographien bedeutender Mathematiker, Volk und Wissen Volkseigener Verlag Berlin, 975, S.. Gegeben ist die Reihe A = + 3 + 6 + 0 + 5 + + + + n +. Man berechne den Wert der Reihe. Ansatz von Leibniz: Sei B = + + 3 + 4 + (harmonische Reihe; nicht konvergent! und A = + 6 + + 0 +. Dann ist (nach Leibniz: Folglich ist B + A = + 3 + 4 + 5 + ( + 6 + + 0 + = = B. ( + = ( + 3 + 6 = B + A = B und damit A =. + ( 4 + = 3 ( + 5 + 0 + = 4 Erstaunlicherweise stimmt der Wert. Die Methoden sind aber fehlerhaft, da mit divergenten Reihen so umgegangen wurde, als wären sie konvergent. Es soll jetzt noch eine exakte Lösung gegeben werden. Es ist (nach Gauß 777 855 Folglich ist + + n = n(n + = + + n = n(n +. S n = + 3 + 3 4 + + n(n + ( = Es ist n(n + = n n ; + 3 + 3 4 + + n(n + ( S n = + } {{ } 0 also ( = n +. n 3 + 3 n + n 0 0. n + Also + + i =. 70

Definition. (Minorante, Majorante 4//3 Es seien a i, b i Reihen mit nicht-negativen Gliedern. ai heißt Minorante von b i und gleichzeitig heißt b i Majorante von a i = Df a i b i für alle i. Satz 4.8 (Majorantenkriterium 4//3 Es seien a i, b i Reihen mit nicht-negativen Gliedern, und es sei b i eine Majorante von a i. Dann gilt : ( Ist bi konvergent, so ist auch a i konvergent. ( Ist ai divergent, so ist auch b i divergent. Beweis. (. Nach Voraussetzung gilt 0 a i b i für alle i. Folglich ist 4//33 0 S n = a 0 + + a n S n = b 0 + + b n. Da (S n monoton wächst, genügt zu zeigen, daß (S n beschränkt ist. Nach Voraussetzung ist (S n konvergent, also auch beschränkt. Folglich ist auch (S n beschränkt. ( Kontraposition von (. Bemerkung. In Satz 4.8 genügt es vorauszusetzen, daß 0 a i b i für fast alle i 4//34 gilt. Satz 4.9 (Wurzelkriterium 4//35 Es sei (a i eine beliebige Folge. Dann gilt : ( Existiert ein q mit 0 < q <, so daß für jedes i gilt : i a i q, ai dann ist absolut konvergent. i ( Ist a i für alle i, dann ist ai divergent. Beweis. (. Es sei 0 < q < und a i i q = a i q i. 4//36 q i ist eine konvergente Majorante von a i (geometrische Reihe. Folglich ist a i (nach dem Majorantenkriterium konvergent, und damit ist a i absolut konvergent. i (. Sei a i. Dann ist a i und daher (a i keine Nullfolge. Folglich ist ai divergent. 7

Bemerkung. Für die Anwendung des Wurzelkriteriums genügt es, daß a i i q < 4//37 i für fast alle i. (Offenbar folgt aus a i q < sofort lim i a i <. Ist andererseits (a i beschränkt und lim a i i i := c <, so ist a i c + c für := q < fast alle i; folglich ist a i absolut konvergent. Ist also lim i a i <, so ist a i absolut konvergent. Analog erhält man: Wenn a i i > für fast alle i, so ist a i divergent. Achtung: Für die Konvergenz von i a i reicht es noch nicht, daß stets a i < (bzw. lim a i i = ist; z.b. für a i = i ist <, denn i i i < (bzw. lim i =. Aber ist nicht i konvergent. Wenn lim i a i existiert, dann ist offenbar lim i a i = lim a i i, und man rechnet nur mit dem Limes. Satz 4.0 (Quotientenkriterium 4//38 Es sei a i 0 für jedes i. Dann gilt : ( Existiert ein q mit 0 < q <, so daß für jedes i gilt : a i+ a q, i dann ist ai absolut konvergent. ( Ist a i+ a für jedes i, dann ist ai divergent. i Beweis. (. Sei a i+ a q. Dann ist a i+ q a i für alle i, folglich gilt 4//39 i a i q a i q a i q i a 0. Damit ist a 0 q i = a 0 q i ai absolut konvergent. eine konvergente Majorante von a i, folglich ist (. Sei jetzt a i+ a für alle i. Dann ist a i+ a i a 0 und a 0 > 0 i (nach Voraussetzung. Folglich ist (a i keine Nullfolge und damit a i divergent. Bemerkung. Für die Anwendung des Quotientenkriteriums genügt es, daß 4//40 a i+ a q < für fast alle i. i Ähnlich wie beim Wurzelkriterium folgt aus lim a i+ a < die absolute Konvergenz i 7

von a i. Ist andererseits lim a i+ a >, dann ist a i i divergent. Beispiele. 4//4. Sei a n n n, a 0, also a n = ( a n. n n= Hier bietet sich das Wurzelkriterium an. Es ist n a n n = a n n = a q < n n für fast alle n; z.b. q = leistet das Verlangte. Benutzt man für dasselbe Beispiel das Quotientenkriterium, dann wird die Berechnung komplizierter. Es ist (vgl. auch Beispiel 3//35 a n+ = an+ a n ( n n n + n + = a ( n := (. + n + (n+ n+ a n n n Wir wissen schon, daß ( + n ( a n, also ( + n n n, folglich ist n + q < für fast alle n (z.b. für q =.. Wir betrachten die Reihe Hier bietet sich das Quotientenkriterium an, denn a n+ = an+ a n (n+! a n n! für fast alle n und z.b. q =. a n, a 0. 4//4 n! n! (n +! = a n + q < Dasselbe Beispiel wird mit dem Wurzelkriterium komplizierter. Die Beispiele und zeigen, daß die untersuchten Reihen für alle fixierten Elemente a IR konvergieren. 3. Wir betrachten jetzt die Reihe a n und zeigen, daß diese Reihe für gewisse Werte 4//43 n n= a IR konvergiert und für andere Werte divergiert. Es sei zunächst a <, a 0. Wir benutzen das Quotientenkriterium. Für q = a und für fast alle n gilt a n+ n+ a n = a n n n + q <. 73

Ist a =, so erhält man für a = die harmonische Reihe (diese ist divergent und für a = eine konvergente alternierende Reihe. Es sei nun a >. Dann ist ( a n keine Nullfolge, und somit a n nicht konvergent. n n 4. Wir betrachten n= n. 4//44 Die Konvergenz dieser Reihe kann man weder mit dem Wurzel- noch mit dem Quotientenkriterium nachweisen (bitte ausprobieren!. Für eine geeignete konvergente Majorante könnte man das Majorantenkriterium heranziehen. Es ist (n + n(n +, und die Reihe ist konvergent. Denn n(n + n(n + = n n + = S k = k n= n(n + = k n= Folglich ist S k, und somit ist Aus n= n= (n +. n= ( n = n + k +. n= n(n + n = + erhält man die Behauptung. (n + n n= eine konvergente Majorante von 5. Wir betrachten jetzt ein Beispiel für eine Reihe, bei der das Quotientenkriterium 4//45 versagt (das Wurzelkriterium ließe sich anwenden. Es sei a n = + + 8 + 4 + 3 + 6 + = ( ( + 0 ( + 3 ( + ( + 5 ( + 4 +. Folglich ist a n = ( ( n+, falls n gerade ist, n, sonst. n+, an+ = ( Dann gilt für alle geraden n : a n = ( Die Reihe ist aber konvergent, denn es ist S k = ( gerade k und damit S k = ( k+. 74 n a und folglich n+ a =. n ( + 0 ( + + k+ ( + k für

Für beliebige k ist (S k monoton wachsend und beschränkt, also auch konvergent. 4. Assoziativität und Kommutativität bei Reihen Definition. Es sei a n eine Reihe. 4// b i entsteht aus a n durch das Setzen von Klammern = Df Es gibt eine streng monoton wachsende Folge (n i,,,... von natürlichen Zahlen, so daß gilt: b 0 = a 0 + + a n0, b = a n0 + + + a n,. b i+ = a ni + + + a ni+,. Bemerkung. In der Ausgangsreihe werden gewisse aufeinanderfolgende Glieder durch Klammern zu- 4// sammengefaßt. Satz 4. In einer konvergenten Reihe können Klammern beliebig gesetzt werden, ohne 4//3 das Konvergenzverhalten und den Wert der Reihe zu verändern. (D.h., für konvergente Reihen gilt das allgemeinste Assoziativgesetz. Beweis. Sei a n konvergent, a n = a, und sei b i durch das Setzen von Klam- 4//4 mern aus m a n entstanden. Weiterhin sei S m = und S m = m a n b i = a 0 + + a n0 + + a nm + + + a nm = S nm. := b 0 b m Offenbar ist (S m = (S nm eine Teilfolge von (S m. Wegen S m a konvergiert auch (S m als Teilfolge von (S m gegen a; also S m a = b i = a. Bemerkung. In einer beliebigen Reihe dürfen Klammern nicht immer gesetzt oder 4//5 weggelassen werden, ohne das Konvergenzverhalten zu verändern. Beispiel. 0 = 0 + 0 + 0 + = ( + ( + ( + ist konvergent. 4//6 75

Weglassen der Klammern in der letzten Reihe liefert + ±, also eine divergente Reihe. Geht man von der divergenten Reihe ( i = + ± aus, dann dürfen hier nicht beliebig Klammern gesetzt werden, denn z.b. ( + ( + macht aus der ursprünglich divergenten Reihe eine konvergente. Wir haben schon gezeigt, daß konvergente Reihen nicht beliebig umgeordnet werden 4//7 dürfen (vgl. Beispiel := 4//30/. Mit Hilfe einer Definition sollen die Reihen hervorgehoben werden, bei denen dies erlaubt ist. Definition. (unbedingte Konvergenz 4//8 Es sei eine Reihe und f : IN IN eine Bijektion (oder auch Permutation von IN. Dann ist an a n a f(n durch Umordnung aus a n entstanden. heißt unbedingt konvergent = Df Jede durch Umordnung aus a n entstandene Reihe ist konvergent. Satz 4. Eine absolut konvergente Reihe konvergiert unbedingt und zwar immer gegen 4//9 denselben Wert. (D.h., für absolut konvergente Reihen gilt das allgemeinste Kommutativgesetz. Beweis. Sei a n absolut konvergent, an = a und f : IN IN eine Permuta- 4//0 tion von IN. Behauptung: a f(n konvergiert gegen a. z.z.: Für ε > 0 gibt es ein n, so daß für jedes n n gilt: a f(0 + + a f(n a < ε. Es sei m m m S m = a n, S m = a f(n und S m = a n. Nach Voraussetzung ist (S m konvergent. Folglich gilt nach dem Cauchy Kriterium: Es existiert ein n 0, so daß für jedes n n 0 und jedes k : a n+ + + a n+k < ε. Da k beliebig ist, erhält man daraus für je endlich viele n,..., n l, die sämtlich größer als n 0 sind: 76

a n + + a nl < ε. Nach Voraussetzung gilt weiterhin: Es existiert ein m 0, so daß für jedes n m 0 : S n a < ε. Sei k 0 = {n 0, m 0 }. Da f eine Permutation von IN ist, kommen 0,,..., k 0 unter den Elementen f(0, f(, f(,... vor. Sei nun n so groß gewählt, daß 0,,..., k 0 schon unter den Elementen f(0,..., f(n vorkommen. g.z.z.: für m n gilt: S m a < ε. S m = a f(0 + + a f(m = a 0 + + a k0 + a f(i + + a f(il ; wobei {f(i,, f(i l } = {f(0,..., f(m} {0,..., k 0 }; insbesondere ist f(i j > k 0 für j =,..., l. Dann ist S m a = a 0 + + a k0 + a f(i + + a f(il a a 0 + + a k0 a + a f(i + + a f(il S k0 a + a f(i + + a f(il < ε. < ε < ε Satz 4.3 (Umordnungssatz von Riemann 4// Ist a n konvergent und nicht absolut konvergent, dann existiert für jedes c IR bzw. für c = ± eine Umordnung b i von a n, so daß b i = c. Beweis. Die Konvergenz von a n bewirkt, daß a n 0. 4// Setzt man { { a + an für a n := n 0, und a an für a n := n 0, 0 für a n < 0, 0 für a n > 0, dann ist offenbar a n = a + n a n und a n = a + n + a n. Da a n nicht absolut konvergiert, sind die beiden Reihen a + n und a n divergent. Wären beide Reihen konvergent, so ist wegen a n = a + n + a n nach Satz 4.4 auch an konvergent.! Wäre eine der beiden Reihen konvergent, etwa a + n und die andere divergent, so erhält man wiederum nach Satz 4.4 aus a n = a + n a n die Konvergenz von a n ; hieraus ergibt sich erneut ein Widerspruch. 77

Da a + n und a n stets nicht negativ sind, divergieren beide Reihen bestimmt gegen +. Dies nutzen wir aus, um die Behauptung des Umordnungssatzes zu beweisen. Es sei zunächst c IR und c 0 (den Fall c < 0 behandelt man analog. Induktiv definiert man Folgen ( S nν, ( S mν, deren Glieder aus je endlich vielen ausgewählten Summanden von a + n bzw. a n bestehen. Wir geben hier nur an, wie man vom nullten zum ersten Folgenglied kommt, der eigentliche Induktionsschritt ist daraus klar ersichtlich.. Es seien n 0, m 0 IN, so daß n 0 S n0 n 0 a + i c < a + i := S n0 und m 0 a i m 0 c > S n0 a i := S m 0.. Für den nächsten Schritt seien n, m IN, so daß S m 0 + S n n i=n 0 + m a i i=m 0 + a + i c < S m 0 + c > S n n i=n 0 + m i=m 0 + a + i := S n und a i := S m. Bei jedem Schritt wird wenigstens ein Glied aus jeder der beiden Reihen a + n a n verbraucht. Wir betrachten jetzt die folgende Umordnung der Ausgangsreihe a n (wobei die aufgrund der Definition von a + i und a i künstlich eingeführten Nullen ersatzlos gestrichen werden können, ohne das Konvergenzverhalten und den Wert der Reihe zu verändern: b i = a + 0 + + a + n 0 a 0 a m 0 + a + n 0 + + a + n a m 0 a m ± und beweisen, daß = c. Aus der Definition von ( S nν, ( S mν Wegen a n 0 ist Ist Sn := b i IN, so daß folgt unmittelbar, daß stets 0 < S nν c < a + n ν und 0 < c S m ν < a m ν. lim ν S nν = c = lim ν S m ν. und eine beliebige Partialsumme von b i, dann gibt es offenbar ein k S m k Sn S nk oder S m k Sn S nk+. Folglich ist n lim Sn = c = b i. 78

Es sei jetzt c = (für c = verläuft der Beweis analog. Wegen a n 0 ist a n für fast alle n. Es genügt eine Umordnung b i von anzugeben, die bestimmt gegen divergiert; die fehlenden Summanden a n n=k a 0,..., a k können an den Anfang der Reihe gesetzt werden, ohne das Divergenzverhalten der Reihe zu beeinflussen. (Aus technischen Gründen werden auch hier wieder, wie im vorhergehenden Fall, Nullen eingefügt, die man ersatzlos streichen kann. Es ist a n = a n+k d n. Sei n 0 und n n=k = :=d n die kleinste natürliche Zahl, so daß n 0 U 0 := d + i 3 die kleinste natürliche Zahl, so daß U := n d + i i=n 0 + 3 usw. Solche Zahlen gibt es, da d + i bestimmt gegen divergiert. Wegen d i für alle i ist stets U i d i. Die Umordnung b i := d + o + + d + n 0 d 0 + d + n 0 + + d + n d ± = U 0 d 0 + U d ± leistet das Verlangte. Denn ist S m = b i eine beliebige Partialsumme von b i, dann gibt es offenbar ein maximales k IN, so daß S m = U 0 d 0 + + U k d k oder S m = U 0 d 0 + + U k d k + d+ k+ + + d+ m. Wegen d + i 0 ist S m k +. Hieraus folgt schließlich S m. Satz 4.4 (Multiplikation unendlicher Reihen 4//3 Vorausseztungen : ( Es seien a m, b n absolut konvergent und a m = a, bn = b. m=0 ( f sei eine Bijektion zwischen IN und IN IN. (Die Existenz einer solchen Bijektion weist man mit dem. Cantorschen Diagonalverfahren nach. (3 Für jedes i IN sei f(i = (m i, n i und c i = a mi b ni. 79

Behauptung : ist absolut konvergent, und es ist c i c i = ( ( a m b n = a b. m=0 Beweis. Wir zeigen zunächst, daß c i absolut konvergiert. 4//4 g.z.z.: Die Folge der Partialsummen von c i ist nach oben beschränkt. Nach Voraussetzung existiert für jedes i IN genau ein Paar (m i, n i IN IN, so daß f(i = (m i, n i, also c i = a mi b ni. Wir bilden k k S k := c i = a mi b ni := (. Sei l = max{m 0,..., m k, n 0,..., n k }. Die Summanden aus ( kommen unter den Summanden aus a 0 b 0 + + a i b j + + a l b l vor, wobei i, j l. Dann ist S k = ( a 0 b 0 + + a i b j + + a l b l = ( ( a 0 + + a l b0 + + b l = S l S l. := S l := S l Da a i, b i nach Voraussetzung konvergieren, sind (S n, (S n beschränkt. Folglich ist (S n S n beschränkt und somit ist auch (S k beschränkt. Hieraus ergibt sich die Konvergenz von c i und damit die absolute Konvergenz von c i. Behauptung: ci = a b. Da c i absolut konvergiert, ist jede Umordnung von c i ebenfalls konvergent und zwar gegen den gleichen Wert. Wir betrachten eine spezielle Umordnung und Zusammenfassung bestimmter Summanden: c i = a mi b ni = a 0 b 0 +(a 0 b + a b + a b 0 + + := c 0 := c = c i. (a 0 b i + a b i + + a i b i + a i b i + + a i b 0 + := c i Es seien Sn = c i, S n = a i und S n = 80 b i.

Dann gilt für die oben angegebene Umordnung: Sn = Sn S Wegen Sn a, Sn b gilt Sn = Sn Sn a b, also ci = a b = ( ( am bn. n. Bemerkung. Da bei absolut konvergenten Reihen die Reihenfolge der Glieder keine 4//5 Rolle spielt, kann in der Produktreihe c n = ( ( ai bj eine geeignete Reihenfolge ausgezeichnet werden. Dies führt zum sog. Cauchyprodukt. Definition. (Cauchyprodukt 4//6 c n ist das Cauchyprodukt der Reihen a i und b j j=0 = Df c n = a i b j = a i b n i. i+j=n Es gilt also: 4//7 cn = ( ai ( bj = a 0 b 0 + (a 0 b + a b 0 + (a 0 b + a b + a b 0 + = (a 0 b 3 + a b + a b + a 3 b 0 + ( i+j=n a i b j ( n = a i b n (für j = n i. Beispiel. 4//8 Das Cauchyprodukt von absolut konvergenten Reihen ist wieder absolut konvergent. Es sei a <. Dann ist a i absolut konvergent und a i = a. Folglich ist ( ( c n = a i a j = j=0 = a = a = ( i+j=n a i a j a n ( a 8

Also = a n ( = (n + a n. i+j=n = n+ (n + a n = ( a. Offenbar ist n a n (n + a n. Folglich ist (n + a n eine konvergente Majorante von n a n. Dann ist n a n absolut konvergent, und damit gilt Folglich ist (n + a n a n = n a n. = ( a = a n a n = ( a a = ( a ( a = a ( a. Auf diese Weise erhält man neue Beispiele für absolut konvergente Reihen. Wir befassen uns jetzt noch kurz mit sogenannten Doppelreihen. Dazu sei 4//9 a 00 a 0 a 0... a 0 a a... (a mn = a 0 a a......... eine unendliche Matrix. Eine Matrix dieser Art nennen wir auch Doppelfolge. Die Doppelfolge (a mn konvergiert gegen a, wenn für jedes ε > 0 ein n 0 existiert, so daß für alle m, n n 0 gilt: a mn a < ε. Bez.: lim mn = a m,n Es sei jetzt m S mn := a ij = (a 00 + + a 0n + (a 0 + + a n + + (a m0 + + a mn. j=0 Dann heißt (analog wie bei der Definition von Reihen die Doppelfolge (S mn auch Doppelreihe. Bez.: (S mn := a ij i,j=0 Die Doppelreihe konvergiert gegen a, wenn (S mn gegen a konvergiert. Bez.: lim S mn = a ij = a m,n i,j=0 8

a ij j=0 betrachtet (falls diese Reihen konvergieren; eine Es erhebt sich nun die Frage, ob man den Limes lim S mn (falls er existiert auch so m,n berechnen kann, indem man zunächst die Zeilensummen b i := bildet und anschließend die unendliche Summe der b i entsprechende Frage könnte auch für die Spaltensummen gestellt werden. Unter gewissen Voraussetzungen kann der Limes tatsächlich so bestimmt werden. Aufschluß darüber gibt der folgende Satz. Satz 4.5 (Großer Umordnungssatz 4//0 Es sei a ij eine Doppelreihe, ϕ : IN IN IN eine Bijektion, und für ϕ(ν = (i, j i,j=0 sei b ν := a ij. Weiterhin sei b ν absolut konvergent und b ν = b. Dann gilt : ν=0 ( Jede Zeilenreihe a ij := Z i konvergiert absolut. j=0 ( Jede Spaltenreihe a ij := S j konvergiert absolut. (3 Die Reihen Z i und S j konvergieren absolut, und es ist j=0 ( ( Z i = a ij = a ij = S j = b. j=0 j=0 j=0 Beweis. Sei b ν = β ν. Nach Voraussetzung konvergiert β ν ; es sei β ν = β. 4// Wegen β ν 0 ist die Summe je endlich vieler β ν,..., β νk ν=0 stets β. Damit erhält man (. a ij β für alle n. Folglich ist Z i = a ij j=0 j=0 = β ν absolut konvergent. (. Weiterhin ist m a ij β für alle m. Damit ist auch S j = a ij absolut konvergent. (3. Es ist auch m a ij β für alle m, n. j=0 Nach Behauptung ( existiert n lim a ij := α i. Folglich ist j=0 m m m lim a ij = lim a ij = β. n n j=0 j=0 β 83

Weiterhin ist n Z i = a ij = n lim a ij n lim a ij = α i. j=0 j=0 j=0 Also gilt stets m m Z i α i β. Folglich ist Z i absolut konvergent. Analog zeigt man die absolute Konvergenz von S j. Es sei nun ε > 0. Dann existieren nach Voraussetzung bzw. nach den obigen Ausführungen natürliche Zahlen n, n, so daß für alle n n und alle k 0 gilt: b + + b n b < ε und β n + + + β n +k < ε. ( Sei n 0 = max{n, n }. In der Aufzählung ϕ(0, ϕ(,..., ϕ(n 0 kommen nur endlich viele Paare (i, j IN IN vor. Folglich existiert ein m 0, so daß ϕ(0,..., ϕ(n 0 schon in der Menge {(i, j : i m 0, j m 0 } auftreten. Wählt man m, n m 0, dann ist m a ij b = b + + b n0 b + r, j=0 wobei r eine endliche Summe ist, die aus gewissen Gliedern a ij := b ν besteht, deren Indizes ν größer als n 0 sind. Wegen ( folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung r < ε. Also erhält man für alle m, n n 0 : m a ij b b + + b n0 b + r < ε. ( j=0 Für n in ( erhält man m a ij b = m Z i b ε. j=0 (Die Konvergenz der inneren Reihe ist schon nachgewiesen. Für m entsteht Z i b ε = Wegen m j=0 j=0 a ij = m a ij j=0 S j b ε = Z i = b. erhält man aus ( analog S j = b. j=0 84

Korollar. Es sei a ij eine Doppelreihe, ϕ : IN IN IN eine Bijektion, und für 4// i,j=0 ϕ(ν = (i, j sei b ν := a ij. Weiterhin sei jede Zeilenreihe a ij absolut konvergent, j=0 a ij := α i, und die Reihe α i sei ebenfalls konvergent. Dann gilt : j=0 ( b ν ist absolut konvergent. ν=0 ( Mit b := b ν gelten auch die Behauptungen ( (4 aus dem vorhergehenden ν=0 Satz 4.5. Beweis. Es sei b ν eine Partialsumme von b ν. Dann gibt es eine Zahl k, 4//3 ν=0 so daß alle Paare ϕ(0,..., ϕ(n in der Menge {(i, j : i k, j k} vorkommen. Folglich ist k k k k b ν a ij a ij = α i α i. ν=0 j=0 j=0 }{{ } = α i Dann ist die (monoton wachsende Folge der Partialsummen von b ν nach oben beschränkt und folglich absolut konvergent. Damit sind alle Voraussetzungen von Satz 4.5 erfüllt und das Korollar bewiesen. 4.3 Komplexe Zahlen Wir führen jetzt die komplexen Zahlen ein, um sie für die Behandlung von sog. Potenz- 4/3/0 reihen zur Verfügung zu haben. Wir setzen als bekannt voraus, daß IR IR := IR mit den folgenden Operationen bildet: einen zweidimensionalen Vektorraum (a, b+(c, d = Df (a + c, b + d (Addition von Elementen aus IR, 4/3/ c (a, b = Df (ca, cb (Multiplikation mit reellen Zahlen. Zur geometrischen Veranschaulichung der komplexen Zahlen betrachten wir in IR die kanonische Basis {(, 0, (0, } und erhalten so ein rechtwinkliges Koordinatensystem für IR, mit dessen Hilfe sich die Elemente aus IR als Punkte in der Ebene darstellen lassen (Gaußsche Zahlenebene. 85

y b (a, b (0, Abb. 4. Gaußsche Zahlenebene zur Darstellung der komplexen Zahlen 0 (, 0 a x Jedes (a, b IR läßt sich eindeutig als Linearkombination der Basis darstellen. Die folgenden Teilmengen {(x, 0 : x IR} und {(0, y : y IR} bilden wichtige eindimensionale Teilräume, die mit den entsprechenden Koordinatenachsen identifiziert werden können. Wir führen jetzt eine Multiplikation von Paaren in IR ein. 4/3/ Es sei (a, b (c, d = Df (ac bd, ad + bc. Damit erhält man das folgende Resultat. Satz 4.6 Mit den definierten Operationen (Addition und Multiplikation von Paaren bildet 4/3/3 IR einen Körper lc (den Körper der komplexen Zahlen. Beweis. Die Körperaxiome ( (4 (vgl. Eigenschaften reeller Zahlen gelten schon, da IR 4/3/4 als Vektorraum insbesondere eine additive abelsche Gruppe bildet mit 0 = (0, 0 als neutralem Element bez. + und ( a, b als inversem Element von (a, b. Es bleiben noch (5 (0 zu beweisen, d.h., für alle z, z, z 3 IR gilt: (5 z (z z 3 = (z z z 3, (6 z z = z z. (7 Es existiert ein Element IR, so daß z = z für jedes z IR. (8 Für jedes z IR mit z 0, existiert ein u IR, so daß z u =. (9 z (z + z 3 = z z + z z 3, (0 0. Wir werden nicht alle diese Eigenschaften nachweisen. Zu (6. Es sei z = (a, b und z = (a, b = z z = (a, b (a, b = (a a b b, a b + b a und z z = (a, b (a, b = (a a b b, a b + b a 86

= (a a b b, a b + b a = z z = z z. (5 und (9 analog! (7. = (, 0 leistet das Verlangte. (a, b (, 0 = (a b 0, a 0 + b = (a, b. (8. Es sei z = (a, b (0, 0 = a 0 oder b 0, und dies gilt gdw a + b 0. ( Behauptung: u = a a + b, b a + b leistet das Verlangte. Für c := a + b gilt: z u = (a, b (a c, b ( = a c c ( b, ab c c + ba c (0. (, 0 (0, 0 trivial! = ( a + b, 0 = (, 0 =. c Bemerkung. Man kann mit komplexen Zahlen im Prinzip rechnen wie mit reellen 4/3/5 Zahlen, allerdings ist in lc keine Ordnung definiert. Wir haben uns schon überlegt, daß {(, 0, (0, } eine Basis für den Vektorraum IR bildet. Der Teilraum {x (, 0 : x IR} von IR ist offenbar isomorph mit IR (als -dimensionaler Vektorraum über IR. Daher identifizieren wir in Zukunft (, 0 mit. Für (0, schreibt man auch i (nicht zu verwechseln mit natürlichen Zahlen i, so daß durch {, i} eine Basis für IR gegeben ist. Mit dieser Vereinbarung gilt (a, b = a (, 0 + b (0, = a + b i. Für a bzw. für b i schreiben wir kurz a bzw. ib. Damit erhält man eine geeignete Darstellung für komplexe Zahlen: (a, b = a + ib, (0, 0 = 0 + i0 := 0. Bez.: In z = x + iy heißt x Realteil ( := Re(z und y Imaginärteil ( := Im(z von z. Bemerkung. Aus der Definition der Multiplikation für komplexe Zahlen ergibt sich 4/3/6 i i = i = (0, (0, = (, 0 = ( (, 0 =. und weiterhin 87

(a + ib (c + id = (a, b (c, d = (ac bd, ad + bc = ac bd + i(ad + bc. Berechnet man das Produkt (formal wie in einem Körper, so entsteht dasselbe Ergebnis: (a + ib (c + id = a c + a id + ib c + ib id = ac bd + i (ad + bc. i db Definition. (Betrag für komplexe Zahlen 4/3/7 Es sei z = x + iy. z = Df x + y. Bez.: z heißt Betrag von z und z z heißt Abstand zwischen z und z. Satz 4.7 Für komplexe Zahlen z, z, z gilt : 4/3/8 ( z 0, und z = 0 z = 0, ( z = z, (= z z = z z (3 z z = z z, (= z n = z n (4 z z = z z, falls z 0, (5 z + z z + z, (6 z z z z. Beweis. (. Sei z = a + ib. Dann gilt 4/3/9 z = a + b 0; a + b = 0 a = b = 0 z = 0. (. Trivial! (3. Sei z n = a n + ib n, n =,. Dann gilt z z = a a + i b b + ia b + ib a = a a b b + i(a b + b a = = = = (a a b b + (a b + b a a a a a b b + b b + a b + a b b a + b a a (a + b + b (b + a (a + b (a + b 88

= a + b a + b = z z. (4. Es genügt zu zeigen: z = z, denn u z = u z = u z = u z = u z. Wir wissen schon, daß für z = a + ib und c := a + b z = a c + i b c = z = gilt: a c + b c = a + b c = c = a + b = z. (5. Es sei z n = a n + ib n, n =,. Dann ist die linke Seite ls von (5: ls := a + ib + a + ib = a + a + i(b + b = (a + a + (b + b und die rechte Seite rs ist: rs := a + ib + a + ib = Offenbar sind ls, rs 0. Folglich ist a + b + a + b. ls rs ls rs (a + a + (b + b (a + b + a + b a + b + (a + b (a a + b b }{{ a } + b a + b. := ( := ( Ist ( < 0, dann gilt offenbar die letzte Ungleichung und damit ls rs. Es sei jetzt ( 0. dann ist ( ( ( ( (a a + b b (a + b (a + b a a + a a b b + b b a a + a b + b a + b b 0 (a b a b b a + (b a = (a b b a. Damit gilt insgesamt ls rs. (6. Der Beweis hierzu erfolgt durch ähnliche Überlegungen. 89

Bemerkung. Da die komplexen Zahlen einen Körper bilden, kann man mit ihnen 4/3/0 entsprechend der Axiome I ( 0 rechnen (vgl. Kapitel, //. Insbesondere lassen sich in lc analog wie in IR Folgen und Reihen bilden. Alle Definitionen und Sätze für Folgen und Reihen (mit reellen Zahlen, bei denen die Ordnung der Glieder keine Rolle spielt, gelten entsprechend auch für die komplexen Zahlen. Insbesondere hat man: Definition. (Konvergenz 4/3/ Es sei (z n = (a n + ib n,,,... eine Folge von komplexen Zahlen und z = a + ib. (z n konvergiert gegen z = Df Für jedes ε > 0 existiert ein n 0, so daß für jedes n n 0 gilt: z n z < ε. Bez.: lim z n = z (oder z n z. Satz 4.8 (z n = (a n + ib n konvergiert gegen z = a + ib gdw a n a und b n b. 4/3/ (Konvergenz in lc bedeutet also komponentenweise Konvergenz. Beweis. Es ist z n z = a n +ib n (a+ib = a n a+i(b n b a n a + i b n b. 4/3/3 = ( Wenn a n a und b n b, dann gilt: Für jedes ε > 0 existiert ein n 0, so daß für jedes n n 0 : a n a < ε, b n b < ε. Folglich ist ( z n z = z n z < ε, also z n z. (a n a + (b n b < ε (für fast alle n = (a n a + (b n b < ε = (a n a, (b n b < ε = a n a, b n b < ε = a n a, b n b. Bemerkung. Für Reihen mit komplexen Gliedern gelten insbesondere: das Cauchysche Konvergenzkriterium und die daraus resultierenden Korollare; das Wurzel- und Quotientenkriterium; absolute Konvergenz zieht Konvergenz nach sich. Nicht verwendbar (weil die Ordnung benutzt wird sind das Leibnizkriterium und das Majorantenkriterium. (Das Majorantenkriterium läßt sich jedoch in manchen Fällen für die absolute Konvergenz nutzen, indem man z.b. eine konvergente Majorante von z n zu finden versucht. 4/3/4 90

4.4 Potenzreihen Einen wichtigen Spezialfall für Reihen bilden die sog. Potenzreihen. 4/4/0 Definition. (Potenzreihe 4/4/ Es sei (a n eine Folge von (reellen oder komplexen Zahlen und a, x seien ebenfalls reell oder komplex. Dann heißt a n (x a n Potenzreihe in x a mit den Koeffizienten a n. Achtung: Der Bequemlichkeit halber verabreden wir für Potenzreihen (und nur für 4/4/ Potenzreihen, daß stets (x a 0 = ist, auch für x = a. Es erhebt sich die Frage: Für welche (reellen oder komplexen Zahlen x ist die Potenzreihe an (x a n für fixiertes a konvergent? Beispiele.. Es sei a n = n!, a = 0, also a n (x a n = x n n!. 4/4/3/ Diese Reihe konvergiert (nach dem Quotientenkriterium für alle reellen oder komplexen x.. Sei a n = n, a = 0, also a n (x a n = n x n. 4/4/3/ Diese Reihe konvergiert für alle x < und divergiert für alle x > (man kann wieder das Quotientenkriterium benutzen. Der Fall x = muß gesondert untersucht werden. Offenbar ist aber (n x keine Nullfolge, folglich ist die Reihe für x = divergent. 3. Sei a n = n, a = 0, also a n (x a n = n xn. 4/4/3/3 Diese Reihe konvergiert für alle x < und divergiert für alle x >. Für x = erhält man die harmonische Reihe, die bekanntlich nicht konvergiert, und für x = entsteht eine spezielle alternierende Reihe, die (nach dem Leibnizkriterium konvergiert. Für komplexe x mit x = und x ± müßten gesonderte Untersuchungen durchgeführt werden. 4. Sei a n = n n, a = 0, also a n (x a n = n n x n. 4/4/3/4 Diese Reihe konvergiert nur für x = 0. Bemerkung. Die Konvergenzgebiete der untersuchten Potenzreihen sind recht unter- 4/4/4 schiedlich. 9

Die Reihe in dem ersten Beispiel konvergiert für alle Elemente in IR bzw. in lc (je nachdem, ob man nur reelle oder auch komplexe Zahlen zuläßt. In dem zweiten Beispiel konvergiert die Reihe in dem offenen Intervall (, und divergiert außerhalb (im reellen Fall bzw. sie konvergiert in der offenen Kreisscheibe {x lc : x < }, und sie divergiert außerhalb (im komplexen Fall. Das dritte Beispiel zeigt, daß es auf dem Rand des Konvergenzgebietes einer Potenzreihe (d.h. in den Endpunkten des Intervalls bzw. auf der Kreislinie Punkte geben kann, wo die Reihen konvergieren bzw. divergieren. Im vierten Beispiel ist eine Reihe gegeben, deren Konvergenzgebiet auf einen Punkt zusammenschrumpft. In den betrachteten Beispielen, konvergieren die Potenzreihen stets innerhalb eines offenen Intervalls bzw. Kreises und sie divergieren außerhalb; auf dem Rande ist beides möglich. (Kreise bzw. Intervalle dürfen auch ausarten zu ganz IR bzw. lc oder zu einem Punkt. Wir wollen jetzt untersuchen, ob dies für alle Potenzreihen immer der Fall ist. Dazu formulieren wir zunächst eine Definition. Definition. (Konvergenzradius 4/4/5 Es sei ϱ eine nicht-negative reelle Zahl oder ϱ =. ϱ heißt Konvergenzradius von a n (x a n = Df Für jedes x gilt: Wenn x a < ϱ, so ist a n (x a n absolut konvergent, und wenn x a > ϱ, so ist a n (x a n divergent. (Hierbei soll immer gelten: {x : x a < } = IR bzw. = lc und {x : x a > } =. Wir werden nun zeigen, daß Potenzreihen tatsächlich immer innerhalb eines Intervalls 4/4/6 bzw. Kreises konvergieren und außerhalb divergieren (der Radius des Kreises erweist sich als Konvergenzradius. Bemerkung. Im folgenden betrachten wir Potenzreihen in lc. Wegen IR lc gelten die Resultate auch für IR, falls die Koeffizienten a n und a in IR liegen. Satz 4.9 Es seien a n, a lc. 4/4/7 ( Ist an (x a n an einer Stelle x = x 0 konvergent, dann ist an (x a n für alle x lc mit x a < x 0 a absolut konvergent. ( Ist an (x a n an einer Stelle x = x divergent, dann ist an (x a n für alle x lc mit x a > x a divergent. Beweis. (. Ist x 0 = a, dann existiert kein x mit x a < x 0 a. Damit ist 4/4/8 die Behauptung trivialerweise erfüllt. Es sei jetzt x 0 a. Nach Voraussetzung ist die Reihe in x 0 konvergent. Folglich ist 9

( an (x 0 a n eine Nullfolge, und somit ist a n (x 0 a n für fast alle n. Sei x jetzt beliebig aber fixiert mit der Eigenschaft x a < x 0 a. Dann gilt 0 x a x 0 a := q <. Hieraus konstruieren wir eine konvergente Majorante für a n (x a n. Es ist a n (x a n = a (x an n (x 0 a (x n 0 a n = a n (x 0 a n (x a n (x 0 a n q n und 0 q <. = q n q n ist als geometrische Reihe für q < konvergent, folglich ist q n eine konvergente Majorante von a n (x a n. Daher ist a n (x a n für x. absolut konvergent (. Sei x a > x a und a n (x a n divergent. Wäre a n (x a n konvergent, dann wäre a n (x a n nach ( absolut konvergent.! y 4/4/9 a r 0 x Abb. 4. In dem Kreis {x : x a < r 0 } ist a n (x a n absolut konvergent, und für alle x mit der Eigenschaft x a > r r ist a n (x a n divergent. x 0 x Satz 4.0 Jede Potenzreihe besitzt einen Konvergenzradius ϱ, der auch 0 oder 4/4/0 sein kann. Beweis. Sei an (x a n eine beliebige Potenzreihe. 4/4/ 93

. Fall: Die Reihe konvergiert nur für x = a. Dann ist ϱ = 0.. Fall: Die Reihe konvergiert für alle x lc. Dann konvergiert die Reihe absolut für alle x (nach Satz 4.9. Folglich ist ϱ =. 3. Fall: an (x a n konvergiert für ein x 0 a und divergiert für ein x (vgl. Abb. 4.. Es sei M = {r IR : es gibt ein x lc, so daß x a = r und a n (x a n konvergiert }. Dann ist M, denn 0 M. Es sei r = x a. Nach Voraussetzung ist a n (x a n divergent. Folglich gilt (nach Satz 4.9(: Wenn r > r, so ist r M. Dann ist M nach oben beschränkt (z.b. durch r, besitzt also ein Supremum; es sei ϱ := sup M. Behauptung: ϱ ist der Konvergenzradius von a n (x a n. z.z.:. Wenn x a < ϱ, so ist a n (x a n absolut konvergent.. Wenn x a > ϱ, so ist a n (x a n divergent. Zu. Sei x a < ϱ. Dann existiert (nach Definition des Supremums ein r IR, so daß x a < r ϱ und r M. Nach Definition von M existiert ein x lc, so daß x a = r und an (x a n konvergiert. Wegen x a < r = x a ist dann (nach Satz 4.9( an (x a n absolut konvergent. Zu. Sei x a > ϱ. Wäre a n (x a n r > ϱ, folglich wäre ϱ nicht sup M.! konvergent, so wäre r = x a M und Bemerkung. Die offene Kreisscheibe in lc mit dem Mittelpunkt a und dem Radius 4/4/ ϱ (bzw. das offene Intervall in IR mit dem Mittelpunkt a und der Länge ϱ heißt Konvergenzgebiet oder Konvergenzkreis (bzw. Konvergenzintervall und a heißt Mittelpunkt der Potenzreihe a n (x a n. Innerhalb dieser offenen Kreisscheibe (bzw. des offenen Intervalls konvergiert die Potenzreihe absolut, außerhalb divergiert sie; auf dem Rande kann sowohl Konvergenz als auch Divergenz vorliegen (man betrachte das Beispiel x n für x = ±. n Satz 4. Es sei an (x a n eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ϱ, 4/4/3 und es sei l = lim a n n. Dann gilt : ( Wenn 0 < l <, so ϱ = l. ( Wenn l = 0, so ϱ =. (3 Wenn l =, so ϱ = 0. Beweis. Übungsaufgabe! 4/4/4 94

Bemerkung. Da einer der drei Fälle immer auftritt, kann man auf diese Weise den 4/4/5 Konvergenzradius bestimmen. Zur Übung untersuche man noch einmal die letzten Beispiele. 4. Existieren lim a n n bzw. lim a n+ a n oder haben sie den uneigentlichen Grenzwert, dann ist l = lim a n n bzw. l = lim a n+ a n (in Satz 4.. Dies kann bei der Bestimmung des Konvergenzradius genutzt werden. 4.5 Rechnen mit Potenzreihen Satz 4. (Summe von Potenzreihen 4/5/0 Es seien a n (x a n und b n (x a n Potenzreihen mit den Konvergenzradien ϱ bzw. ϱ und α, β seien reelle oder komplexe Zahlen. Dann gilt : ( Die Potenzreihe (α a n + β b n (x a n hat einen Konvergenzradius ϱ min{ϱ, ϱ }. ( Für x a < min{ϱ, ϱ } ist (α an + β b n (x a n = α a n (x a n + β b n (x a n. Beweis. Der Beweis erfolgt sehr leicht mit Hilfe der Sätze über Folgen (von Partialsum- 4/5/ men und über Reihen. Satz 4.3 (Produkt von Potenzreihen 4/5/ Es seien a n (x a n und b n (x a n Potenzreihen mit den Konvergenzradien ϱ bzw. ϱ, und es sei c n = ( n a i b j = a ν b n ν. Dann gilt : i+j=n ν=0 ( Die Potenzreihe c n (x a n hat einen Konvergenzradius ϱ min{ϱ, ϱ }. ( Für x a < min{ϱ, ϱ } ist ( ( a n (x a n b n (x a n = c n (x a n. Beweis. Für x a < min{ϱ, ϱ } konvergieren beide Potenzreihen absolut; folglich 4/5/3 läßt sich ihr Cauchyprodukt bilden (vgl. Satz 4.4, das auch wenigstens dort absolut konvergiert. Also ϱ min{ϱ, ϱ } und ( ( a n (x a n ( b n (x a n n = a ν (x a ν b n ν (x a n ν ν=0 ( n = a ν b n ν (x a n = (x a n a ν b n ν = c n (x a n. ν=0 ν=0 } {{ } = c n 95

Für x a < min{ϱ, ϱ } konvergiert c n (x a n absolut (vgl. Satz 4.4. Satz 4.4 (Umordnen von Potenzreihen 4/5/4 Voraussetzungen : ( Es sei an (x a n eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ϱ > 0. ( Weiterhin sei b a, b a < ϱ und ϱ b a = ϱ (> 0. Behauptung : Es gibt eine Potenzreihe b n (x b n mit einem Konvergenzradius ϱ, so daß für jedes x mit x b < ϱ gilt : m a n (x a n = b n (x b n, wobei b n = a m( (b a m n. m=n n (Bez.: b n (x b n entsteht aus a n (x a n durch Umordnung nach Potenzen von (x b. Beweis. Zum Beweis benutzen wir das Korollar zum Großen Umordnungssatz. 4/5/5 Für alle x mit x a < ϱ gilt stets a n (x a n = a n ( (x b + (b a n n = a n( (x b m (b a n m m=0 m := a nm = a nm = a nm. m=0 m=0 Folglich ist a nm = a nm = a n m=0 m=0 m=0 ( n x b m b a n m m = a n ( x b + b a n := αn. (wegen ( n m = 0 für m > n Da Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzgebietes absolut konvergieren und nach Voraussetzung stets x b + b a < ϱ ist, konvergiert α n absolut. Damit sind die Voraussetzungen für das Korollar erfüllt. Folglich gilt: ( a n (x a n n = a n (x b + (b a = = = n a n( (x b m (b a n m m=0 m n a n( (x b m (b a n m m=0 m n a n( (x b m (b a n m (nach dem Korollar m m=0 96

( n = a n( (b a n m (x b m m=0 m ( n = a n( (b a n m (x b m ; ( ( n m=0 n=m m m = 0 für n < m = c n = c n (x b n. y ρ a b Abb. 4.3 Umordnung einer Potenzreihe ρ an (x a n nach Potenzen von (x b. Die Ausgangsreihe konvergiert innerhalb des größeren Kreises. Zumindest in dem kleineren Kreis {x : x a < ρ } ist die umgeordnete Reihe b n (x b n absolut konvergent. x Satz 4.5 (Identitätssatz für Potenzreihen 4/5/6 Voraussetzungen : ( Es seien a n (x a n und b n (x a n Potenzreihen mit den Konvergenzradien ϱ bzw. ϱ und ϱ, ϱ > 0. ( (x ν sei eine Folge mit x ν a, lim x ν = a und x ν a < ϱ, ϱ. (3 Für jedes ν IN gilt : a n (x ν a n = b n (x ν a n. Behauptung : Für jedes n ist a n = b n. (D.h., stimmen zwei Potenzreihen in unendlich vielen Punkten x ν überein und ist der Mittelpunkt a der Potenzreihen wenigstens ein Häufungspunkt dieser Menge, dann stimmen die Reihen schon koeffizientenweise überein, sie sind also identisch. Beweis. 4/5/7/ Zum Beweis des Satzes benötigen wir zunächst einen Hilfssatz. Lemma. Es sei cn (x a n eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ϱ > 0, 4/5/7/ 97

und sei (x ν eine Folge mit x ν a, x ν a < ϱ und lim x ν = a. Dann ist lim c n (x ν a n = c 0. ν Beweis. Nach Voraussetzung ist x ν a < ϱ. Wegen x ν a existiert ein n 0, 4/5/7/3 so daß für alle ν n 0 gilt: x ν a < ϱ < ϱ. Da Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzkreises absolut konvergieren, ist c ( ϱ n n konvergent. Damit ist offenbar auch c ( ϱ n n konvergent. n= Sei c ( ϱ n n < c. n= Für ε > 0 existiert ein m 0, so daß für alle ν m 0 gilt: x ν a < ε c. Ist k 0 = max{m 0, n 0 } und ν k 0, dann ist c n (x ν a n c 0 = c n (x ν a n n= c n (x ν a n = n= Also x ν a c n x ν a n x ν a c n (ϱ n n= < ϱ n= < c lim c n (x ν a n = c 0. ν < c x ν a < ε. < ε c Wir setzen nun den Beweis von Satz 4.5 fort. 4/5/7/4 Es sei c n = a n b n. g.z.z.: c n = 0 für jedes n. Für alle x ν mit x ν a < ϱ, ϱ gilt nach Voraussetzung: 0 = a n (x ν a n b n (x ν a n = (a n b n (x ν a n = c n (x ν a n. Wir zeigen jetzt induktiv, daß c n = 0 für alle n.. n = 0. Es ist 0 = c n (x ν a n = 0 = ν lim c n (x ν a n = c 0.. Es gelte schon c 0 = = c k = 0. 3. Behauptung: c k+ = 0. 98

Es ist 0 = c n (x ν a n = c n (x ν a n n=k+ = c n+k+ (x ν a n+k+ = (x ν a k+ c n+k+ (x ν a n. Aus x ν a 0 folgt 0 = c n+k+ (x ν a n. Analog wie für n = 0 gilt hier auch c 0+k+ = c k+ = 0. Bemerkung. Als Folgerung erhält man sofort: Stimmen zwei Potenzreihen in einem 4/5/8 kleinen Intervall überein, dann sind sie schon identisch. Es sei hier ein Ausblick auf eine spätere wichtige Anwendung des Lemmas gegeben. Mit Potenzreihen lassen sich auf einfache Weise Funktionen definieren: f(x := a n (x a n, wobei f(x dann im Konvergenzgebiet der Potenzreihe definiert ist. Es gilt offenbar f(a = a 0, und aus dem Lemma erhält man: Wenn x ν a, so f(x ν f(a. Hieraus folgt, daß die Funktion wenigstens an der Stelle x = a stetig ist (dieser Begriff ist natürlich noch zu definieren. Aus der Stetigkeit an einer Stelle folgt bei einigen wichtigen Funktionen schon die Stetigkeit im gesamten Definitionsbereich (z.b. für die Sinusfunktion und die Exponentialfunktion, mit deren Hilfe sich weitere elementare Funktionen definieren lassen. In den späteren Kapiteln werden wir uns noch ausführlicher mit weiteren Eigenschaften von Funktionenfolgen und -reihen befassen, insbesondere werden wir Untersuchungen zur Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der Grenzfunktion bei gleichmäßiger konvergenz vornehmen. 99

Übungsaufgaben. Man beweise: Für alle ( reellen Zahlen a, b und alle natürlichen Zahlen n gilt: 4/6/ n (a + b n = a i b n i. i. Man berechne 3. Zeigen Sie: 4. Man berechne i= ( n i ( n i und ( i( n i. 4/6/ = n. 4/6/3 i(i +. 4/6/4 [Hinweis: i(i+ = i i+ ; (wichtige Zerlegung; bitte einprägen!] 5. Ermitteln Sie die n te Partialsumme und den Grenzwert der Reihe 4/6/5 i(i + (i +. i= [Hinweis: Man ermittle zunächst Zahlen a, b, c, so daß gilt: i(i+(i+ = a i + b i+ + c i+.] 6. Es sei (a n eine beschränkte Folge reeller Zahlen. 4/6/6 Beweisen Sie, daß a n n konvergiert. 7. Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten folgender Reihen: 4/6/7 (a (c n n! n n, (b n= n (n + 3 n, (d n= a n n(n + mit a >, n k a n mit k IN und 0 < a <. 8. Zeigen Sie, daß 4/6/8 (a (b (c n= n= (n + (n + 3 =, n 3 n = 3 4 ; Hinweis: S n = 3 4 n+3 4 3 n. n n = 3; Hinweis: S n = 3 n+3 n. 00

9. Es sei a n > 0 für jedes n 0, und es sei (a n konvergent gegen a oder 4/6/9 bestimmt divergent gegen. ( x n Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten von für x IR {a}. a n 0. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz: 4/6/0 (a (b (c n= n= n= 6n, (8n + 9, n(n +, (d (e ( ( n n + n, n= ( n für s lq. n= n s. Für welche reellen Zahlen x sind die folgenden Reihen konvergent: 4/6/ x n (a n= ( + x( + x ( + x n ; x, ( n+ (b 3 ; x 0, x (c n= n= x n!. ( n. Unter Benutzung von = ln ist nachzuweisen, daß für folgende 4/6/ n= n Reihen, die aus der oben angegebenen Reihe durch Umordnung ihrer Glieder entstehen, gilt: (a + 3 + 5 + 7 4 + 9 + 6 +... = 3 ln. (b 4 + 3 6 8 + 5... = ln. 3. Eine Schnecke wird auf ein km langes Gummiband gesetzt; sie soll das Band 4/6/3 von Anfang bis Ende durchlaufen. Sie legt pro Sekunde cm zurück. Nach jeder Sekunde wird jedoch das Gummiband (in seiner gesamten Länge um km ausgedehnt (die Ausdehnung soll gleichmäßig über das ganze Band erfolgen. Frage: Wird die Schnecke jemals das Ende des Gummibandes erreichen (falls sie genügend viel Zeit zur Verfügung hat? 4. Berechnen Sie für die komplexen Zahlen z = 3 + 4i, z = i: 4/6/4 (a z z, (b (d z 3, (e z, (c z, z z, (f z. 0

a 5. (a Es sei R n := a i und i+ i=n+ a i Beweisen Sie, daß R n < a n+ q (b Unter Benutzung von e x x i = i! genau, d.h., 0. R n = i i! < 0 4 i=n+ q < für i > n. 4/6/5 ist. (x IR berechne man e 0. auf 4 Stellen 6. Es sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Zeigen Sie: 4/6/6 ( a + b z a + b. 7. Wo liegen die Zahlen z in der Gaußschen Zahlenebene mit: 4/6/7 (a z + 3, (b Re(z, z (c =, (d Re(z = a, (a reell. z 8. Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen: 4/6/8 (a z n n, (b z n n, (c ( n z n. n 9. Es sei P = c n die Cauchysche Produktreihe von (n + a n mit a <. (n + (n + (a Man zeige: c n = a n. (b Welchen Grenzwert hat P? a n und 4/6/9 0. Man beweise für alle x, y IR : e x e y = e x+y. 4/6/0 (ix n. Zerlegen Sie exp(ix := n! in Real- und Imaginärteil (i =. 4/6/. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und formulieren Sie das 4/6/ jeweils benutzte Konvergenzkriterium: (a (b n= n= n n n!, n + n, (c (d n= n= n + n 3 + 3, ( n n + 3. 0

3. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und formulieren Sie das 4/6/3 jeweils benutzte Konvergenzkriterium: n + 3 (a, n (b (c n= n= n (n + 3 n, ( ( n n 4. (a Berechnen Sie n +. n= n(n +. 4/6/4 (b Bestimmen Sie das Konvergenzverhalten von 5. Untersuchen Sie die folgenden Reihen (a a n = (n + n n n+, (b a n = ( n, a IR, a > 0, a n + b ( (c a n = a + n n, a IR. n= Formulieren Sie das jeweils benutzte Konvergenzkriterium. n (n +. a n auf Konvergenz: 4/6/5 n= 6. Bestimmen Sie den Konvergenzradius für die folgenden Potenzreihen: 4/6/6 n n (a n! xn ; x IR, (b (c n= n= n= nn x n ; n xn ; x IR, x IR. Geben Sie bei (c das genaue Konvergenzgebiet der Reihe an. 03