Karlruher Iniu für Technologie KIT Iniu für Analyi Dr Ioanni Anapoliano Dr Semjon Wugaler WS 25/26 Höhere Mahemaik III für die Fachrichung Elekroechnik und Informaionechnik Löungvorchläge zum 6 Übungbla Aufgabe Wir wiederholen ein paar Deail der Charakeriikberechnung: In der Vorleung haben wir Gleichungen de Typ a, u u = b, u, D, in D R n berache Hier ind a : D J R n und b : D J R gegeben, wobei J ein Inervall in R i Uner dieen Typ fäll auch die Gleichung der Aufgabe 32: Schreib man nämlich u die Koordinaen au zu =, dann können wir D = R,, a, u = und b, u = wählen Die Charakeriiken, die wir k = noier haben, bedeuen dann da folgende: Die Grundcharakeriik k = i ein pezieller Weg im Or-Zei-Raum R, i ein reeller Parameer, von dem man hoff, auf ihm die Löung u der Gleichung zu kennen: Nämlich oll der Wer u k gegeben ein durch den zweien Teil der Charakeriik, alo durch u k = Die Beimmung der Charakeriiken erfolg durch Löen de og charakeriichen Syem k = a k, w = b k, 2 vgl Vorleung, wa wir nun konkre mi der vorgegebenen Gleichung un wollen: Da Differenialgleichungyem 2 laue hier k = w = Die zweie Zeile löen wir ofor zu = con, alo ewa = w Die ere Zeile löen wir dann konequenerweie zu w k = + k Nun können wir noch den Sarpunk k der Charakeriik wählen: Wir un die der Einfachhei halber durch ξ ξ k = mi einem reellen Parameer ξ, weil auf Γ = { : ξ R} die Anfangwere vorgegeben ind Die Anfangbedingung ergib uξ, = w = fξ, alo fξ ξ k = +
Für den Löungkandidaen u erhäl man alo die Informaion u, = fξ, fall = fξ + ξ k = für ein R gil, ander geag, fall = fξ+ξ die zweie Zeile ergib =, wa man in die ere Zeile einez a Wie eben erwähn, i u, = fξ für = fξ + ξ 3 Die Bedingung 3 i für jede fe gewähle und jede fe gewähle R eindeuig nach ξ auflöbar, wa wir jez nachweien Kommenar: Die nachfolgende Rechnung ha eine einfache geomeriche Inerpreaion: Verchiedene Grundcharakeriiken chneiden ich nich! Fall: Sei ξ R Wir nehmen an, da 3 erfüll i Wegen fξ gil fξ für jede Dami folg ξ = fξ, o da fξ = i Inbeondere laue 3 dann = ξ Alo i ξ eindeuig fegeleg Andererei lö die Wahl ξ = naürlich die Gleichung 3 2 Fall: > Fall ξ die Gleichung 3 lö, mu ξ > gelen, denn on wäre ξ und = + ξ Berachen wir 3 al Funkion g : [, [,, ξ = fξ + ξ Dann i g umkehrbar, denn g i wegen g ξ = e ξ + > für alle ξ, ξ2 auf [, reng monoon wachend und e gil g = Dehalb eiier genau ein ξ > o, da 3 gil Kommenar: Die obige Rechnung ha gezeig, da da obige u wohldefinier i Da u aächlich da urprüngliche Problem lö, folg dann au Abchni 44 der Vorleung oder lä ich alernaiv direk nachprüfen: E gil u, = f g, wobei g die Umkehrfunkion vom obigen g i Wende nun den Saz über die Ableiung der Umkehrfunkion au HM II an Man berechne außerdem u, = fξ ξ, indem man hξ = ξ fξ nach ξ differenzier und dann darau die Ableiung der Umkehrfunkion von h, alo die Ableiung von ξ, beimm k b Nehmen wir an, u i eine Löung der Gleichung und i eine Löung von 2 Dann gil nach der Keenregel u k = u k k = u k a k, = 4 Alo i hier u auf Grundcharakeriiken konan Nun nehmen wir zuäzlich an, da f eig differenzierbar i und nich monoon wachend In dieem Fall eiieren alo < mi f > f Die dazugehörigen Grundcharakeriiken k = f + und k = 2 f +
chneiden ich dann, denn die Schnigleichung k = k f + = f + f f = ha eine Löung > Dami kann eine Löung u von höchen bi zu dem Zeipunk = = f f eiieren, da on ein Widerpruch zur Konanz von u auf Grundcharakeriiken vgl 4 eneh u k = u k = f f = u k = u k Aufgabe 2 Wir bringen die Gleichung in die Form a,, u u = b,, u da i mi = co,, alo gil hier a,, u = und b,, u = Wir beimmen die Charakeriiken k, wobei k k = Da charakeriiche Syem 2 laue hier k 2 k = k k 2 w = cok2 = Wir erhalen k 2 = + c 2 und dami k = co + c 2, worau k = in + c 2 + c folg Außerdem erhalen wir wieder = con =: w in + Für jede Wahl von c, c 2 R 2 c2 + c erhalen wir alo eine Grundcharakeriik ; + c 2 wir bezeichnen diee mi k c,c 2 k Fazi: Für jede Wahl von c, c 2 R 2 c,c 2 und w erhalen wir eine Charakeriik w Wir ellen fe, da k c,c 2 in + c c 2 = = k c, gil, dh k c,c 2 und k c, ind nur Umparameriierungen der gleichen Kurve und e genüg eine davon zu uneruchen Wir wählen daher im folgenden e c 2 = und a k c, chreiben wir k c Wir uneruchen nun Randpunke r =, R und unercheiden dabei drei Fälle: Fall: r =, mi feem, 2π unerer Rand Wir überlegen un, welche Grundcharakeriik durch den Punk, verläuf: Au k c =! folg in + c =, =, alo c = Dh die Grundcharakeriik k verläuf bei = durch Für h > gil inh + k h = h k c h Q, mi anderen Woren: die Grundcharakeriik läuf nach Q hinein 2 Fall: r =, mi feem [, linker Rand Für genügend kleine h > i inh +, 2π, alo Wir überlegen un wieder, welche Grundcharakeriik durch den Punk, verläuf: Au k c =! folg in+c =, =, alo c = in Dh die Grundcharakeriik k in verläuf bei = durch Für h > gil in + h in k in + h = + h Nach dem Mielweraz gib e ξ, + h mi in + h in = h coξ Mi genügend kleinem h > lieg ξ nahe bei e gil aber e ξ > E gil dann alo 3
in + h in > fall P := [, π 2 [ 3 2 π, 5 2 π [ 7 2 π, 9 2π und in + h in < fall N := [ π 2, 3 2 π [ 5 2 π, 7 2 π [ 9 2 π, 2 π Für P und genügend kleinem h > gil alo k in + h Q, mi anderen Woren: die Grundcharakeriik läuf in dieem Fall nach Q hinein Für N und genügend kleinem h > gil analog k in + h / Q, mi anderen Woren: die Grundcharakeriik läuf in dieem Fall au Q herau E gil [, = P N, dh wir haben alle möglichen Fälle uneruch 3 Fall: r = 2π, mi feem [, recher Rand Wir überlegen un wieder, welche Grundcharakeriik durch den Punk 2π, verläuf: Au k c =! 2π folg in + c = 2π, =, alo c = 2π in Dh die Grundcharakeriik 2π k 2π in verläuf bei = durch Für h > gil 2π + in + h in k 2π in + h = + h Wir verwenden die Vorzeichenüberlegungen zu in + h in von oben und erhalen: Für N und genügend kleinem h > gil k in + h Q, mi anderen Woren: die Grundcharakeriik läuf in dieem Fall nach Q hinein Für P und genügend kleinem h > gil k in + h / Q, mi anderen Woren: die Grundcharakeriik läuf in dieem Fall au Q herau Da waren wieder alle möglichen Fälle Zuammenfaung: Für r R rein :=, 2π {} {} P {2π} N läuf die Grundcharakeriik nach Q hinein, für r R \ R rein läuf ie au Q herau Aufgabe 3 Wir bringen die Gleichung in die Form a,, u u = b,, u, alo gil hier u a,, u =, b,, u = u Anfangwere ind vorgegeben auf Γ := {ξ, : ξ R} und e gil dor uξ, = ξ =: fξ Da charakeriiche Syem laue: k = a k2 k, = ak, k 2, = w = b k, = bk, k 2, = Für jede fee ξ ξ = Γ löen wir da charakeriiche Syem mi folgenden Anfangweren k ξ vgl Abchni 44, Skripum: = w fξ, Alo k = ξ, k 2 =, w = fξ, = ξ Somi folg k 2 = und = ξe, wa auf k = k 2 = ξe, alo k = ξ e wegen k = ξ führ Für jede fee ξ ξ = Γ erhalen wie o eine Charakeriik Diee bezeichnen wir mi k, ξ w, ξ E gil alo k, ξ ξ e = und w, ξ = ξe für alle R Zur Veranchaulichung zeichnen wir einige Grundcharakeriiken nämlich für ξ =, ξ = /2, 4
ξ =, ξ = /2 und ξ = in den Argumenraum: Da i naürlich jeweil der an der eren Winkelhalbierenden gepiegele Funkiongraph der Funkion ξ e Wir beobachen dabei und rechnen leich nach, da gil: Jede Grundcharakeriik geh durch Nämlich jeweil bei = : k, ξ = Durch mi verläuf keine Grundcharakeriik Durch alle übrigen Punke, alo alle Punke mi geh genau eine Grundcharakeriik Da zeigen wir o: Sei, mi gegeben Wir uchen ξ ξ = o, da e ein gib mi k, ξ = Da i gleichbedeuend mi { k, ξ = ξ e { = = k 2, ξ bzw = = ξ = e Da bedeue: Die Grundcharakeriik k, e den Punk, und zwar bei = und nur diee verläuf durch Einen Kandidaen für den Wer der Löung an der Selle, mi erhalen wir jez durch Auweren von w, e bei = : u, = u k, e = w, e = e e = Durch Einezen prüf man leich nach, da u, = aächlich die parielle Differenialgleichung am Anfangbedingung bi zum Zeipunk = lö genauer: auf R, Über den Zeipunk = hinau lä ich die Löung nich forezen Aufgabe 4 Für =, 2, 3 R 3 \ { } eze u = = 2 + 2 2 + 2 3 /2 Offenbar i u auf R 3 \ { } zweimal eig differenzierbar Für jede =, 2, 3 R 3 \ { } gil 2 2 + 2 2 + 2 3 3/2 2 u = 2 2 + 2 2 + 2 3 3/2 2 2 = 2 2 + 2 2 + 2 2 3 3/2 2 3 + 2 2 + 2 = 2 3 3/2 3 3 5
Anwenden der eindimenionalen Produk- und Keenregel ergib omi u = u = 3 = = 3 3 k 3 4 k= Fazi: u i harmonich k= k k 3 = 3 + k 3 4 k k= k = 3 3 + 3 k= 2 k 5 = 3 3 + 3 5 k= 2 k }{{} = 2 Alernaiv: Au der HM II wien wir, wie der Laplaceoperaor auf eine radialymmeriche Funkion wirk I f :, R durch f := definier, o lä ich = u = = f für alle R3 \ { } chreiben Inbeondere i f auf, zweimal eig differenzierbar mi f = 2 und f = 2 3 Mi dem Reula 6 au Kapiel 292 HM II folg u = f + 3 f = 2 3 + 2 2 = für alle R3 \ { } Aufgabe 5 a E ei u eine harmoniche Funkion Wir uchen eine holomorphe Funkion f mi Re f = u Dabei ezen wir v = Im f, o da f = u + iv gil Lau Saz in 3 KAI i f holomorph genau dann, wenn u und v C -Funkionen ind und die Cauchy-Riemannchen Differenialgleichungen gelen, alo u = y v, y u = v Die harmoniche Funkion u i per definiionem eine C 2 -Funkion Sei, y Ω fe gewähl Wegen der Bedingung y v = u ezen wir v, y := y y u, ỹ dỹ + c, wobei die reche Seie eine Sammfunkion in y bei fegehalenem ein oll So eine Sammfunkion eiier immer, zuminde lokal! Au dem Haupaz der Differenial- und Inegralrechnung folg, da v eine C -Funkion i Wir prüfen nun, da auch die zweie Cauchy-Riemannche Differenialgleichung v = y u erfüll i Nach einem Saz in 4 gil y y v, y = u, 2 ỹ dỹ + c = yu, 2 ỹ dỹ + c = [ y u, ỹ ] ỹ=y ỹ=y + c y y = y u, y + y u, y + c = y u, y, wobei die zweie Gleichung au der Taache folg, da u harmonich i Dabei haben wir c := y u, y d gewähl, dami c = y u, y gil Nach beagem Reula au 3 KAI i f = u + iv eine holomorphe Funkion b Für, y, haben wir u y, y = 2y und dami v 2 +y 2 2, y = u y, y = 2y nach den Cauchy-Riemannchen Differenialgleichungen E folg 2y y v, y = 2 + y 2 d = 2 2 + y 2 + cy mi einer gewien Funkion c Au der Bedingung v y = u chließen wir v y, y = 2 + y 2 + 2y 2 2 + y 2 2 + c y! = u, y = y2 2 6 2 + y 2 2 c y = 2 +y 2 2
Wir wählen cy = jede andere Konane häe e auch gean und erhalen für, y f + iy = u, y + iv, y = 2 + y 2 + i y 2 + y 2 = iy 2 + y 2 = iy iy + iy = + iy Inbeondere i u al Realeil der holomorphen Funkion f nach Beipiel 2 in 5 harmonich c Annahme: E gib eine auf C \ {} holomorphe Funkion f o, da u = Re f gil Dann folg au den Cauchy-Riemannchen Differenialgleichungen für z = + iy mi, y R f z = u, y + iv, y = u, y iu y, y Für u, y = ln 2 + y 2,, y,, erhäl man und analog Einezen in ergib u, y = 2 + y 2 2 2 + y 2 = 2 2 + y 2 u y, y = y 2 + y 2 f z = f + iy = iy 2 + y 2 = + iy = z Die i unmöglich, weil z /z auf C\{} keine Sammfunkion beiz Dehalb i die anfängliche Annahme falch und e eiier keine auf C \ {} holomorphe Funkion f mi u = Re f [Wäre f auf C \ {} holomorph mi f z = /z für alle z, dann würde für die durch γ = e i gegebene Kurve γ : [, 2π] C gelen = f f = γ f z dz = γ z dz = 2πi Widerpruch!] wwwmahkiedu/iana/lehre/hm3eec25w/