Klasse 9c Mathematik Vorbereitung zur Klassenarbeit Nr. am 1..018 Themen: Quadratische Funktionen und Gleichungen Checkliste Was ich alles können soll Ich kenne die allgemeine Form f(x) = ax²+bx+c und die Scheitelpunktsform f(x) = a(x d)²+e von Quadratischen Funktionen. Ich kann durch Einsetzen von x den zugeordneten Funktionswert ermitteln. So kann ich auch Wertetabellen erstellen. Ich kann zu einer gegebenen Ordinate y den/die zugehörigen Abszissen ( x-werte ) ermitteln, indem ich die quadratische Gleichung f(x) = y löse. Damit kann ich insbesondere Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen. Ich kann bei einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktsform angeben, durch welche Verschiebungen, Streckungen oder Spiegelungen ihr Graph aus der Normalparabel hervorgeht. Umgekehrt kann ich aus Angaben zu diesen Transformationen den Funktionsterm aufstellen. Ich kann Parabeln allgemeiner quadratischer Funktionen mit der Fünf-Punkte-Methode zeichnen (Scheitel und je Punkte im x-abstand 1 bzw. um a bzw. 4a darunter/darüber). Ich kann den Scheitelpunkt (und damit auch den größten bzw. kleinsten Funktionswert) einer quadratischen Funktion berechnen. Dazu kenne ich die Formel d= b / a und e=f(d). Ich kann jeden allgemeinen quadratischen Funktionsterm durch quadratische Ergänzung in Scheitelpunktsform bringen. Ich kann die Scheitelpunktsform durch Ausmultiplizieren mit Hilfe einer Binomischen Formel in die allgemeine Form umwandeln. Ich kann aus Scheitelpunkt und einem weiteren Punkt einer Parabel den Funktionsterm der quadratischen Funktion in Scheitelpunktsform bestimmen. Die Punkte kann ich dazu von der Parabel ablesen. Ich kenne den Begriff Diskriminante einer quadratischen Gleichung und kann damit entscheiden, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung (auch mit Formvariablen) hat. Ich verstehe den Zusammenhang zum Graphen der zugehörigen quadratischen Funktion. Ich kann Schnittpunkte zweier Parabeln oder einer Parabel und einer Gerade als Lösung einer quadratischen Gleichung berechnen. Dazu kann ich ggfs, die Parabel- oder Geradengleichung aus dem Diagramm aufstellen. Ich kann aus Zahlenrätseln und Flächeninhaltsaufgaben quadratische Funktionsterme aufstellen und diese Probleme damit lösen. Ich kann quadratische Funktionen am CAS eingeben, mir damit Wertetabelle erstellen, die Parabel zeichnen lassen (wobei ich einen geeigneten Zeichenbereich einstellen kann) und am Graphen Punkte ablesen, insbesondere den Scheitelpunkt ( Maximum, Minimum ) oder Achsenschnittpunkte. Ich kann Terme ausmultiplizieren und verwende dabei auch die Binomischen Formeln. Damit kann ich quadratische Gleichungen in die allgemeine Form bringen. Ich kann einfache quadratische Gleichungen der Formen ax² = c oder (x d)² = r durch Wurzel ziehen lösen und verstehe, wann und warum sie keine, eine oder zwei Lösungen hat. Ich kenne den Nullproduktsatz und kann ihn anwenden, um Gleichungen in faktorisierter Form (wie (x+5) (7 5x)=0 ) zu lösen. Ich kann einfache quadratische Gleichungen der Form ax² + bx = 0 durch Ausklammern und Verwenden des Nullproduktsatzes lösen. kann ich muss ich üben
Ich kann eine allgemeine quadratische Gleichung durch quadratische Ergänzung in die Form (x d)² = r umformen und somit lösen. Ich kenne die p-q-formel und verwende sie, um quadratische Gleichungen schnell zu lösen. Ich kenne den Begriff Diskriminante einer quadratischen Gleichung und kann damit entscheiden, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung (auch mit Formvariablen) hat. Ich kann aus Zahlenrätseln und Flächeninhaltsaufgaben quadratische Gleichungen aufstellen und diese Probleme damit lösen. Ich kannquadratische Gleichungen mit das CAS-Rechner lösen. Schau auch in dein Regelheft und auf die beiden Übersichtsblätter zu Quadratischen Gleichungen und zu Quadratischen Funktionen! Hier finde ich Übungsaufgaben Lehrbuch EdM Bist du fit, Seite 88 (Ergebnisse sind auf S. 76-78) EdM Bist du fit, Seite 44 Aufgaben 1. bis. und 8. bis 10. (Ergebnisse sind auf S. 76) In mathe.delta gibt es sehr schöne Doppelseiten mit Übungen und Fragen zum Wiederholen am Ende der jeweiligen Kapitel. Auch hierzu findest du Lösungen am Ende des Buches. Auf den Websites von Thomas Unkelbach http://ne.lo-net.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/qf/qfindex.html und http://ne.lo-net.de/selbstlernmaterial/m/s1al/qg/qgindex.html wird alles noch einmal sehr gut und nach Fragen geordnet erklärt. Hier findet ihr auch sehr viele gelöste Übungsaufgaben. Gebt am einfachsten in einer Suchmaschine Unkelbach quadratische Funktionen bzw. Unkelbach quadratische Gleichungen ein. Ausgeteilte Übungsaufgaben (Lösungen unter www.v-d-heyden.de) Vortest als Generalprobe Wenn du Fragen hast, darfst du mir auch immer eine E-Mail schicken: vh.aesmtk@t-online.de ich helfe gerne!
Mathematik Klasse 9c Übungen zu Arbeit Nr. am 1..018 Teil 1 solltet Ihr komplett ohne CAS schaffen können! Aufgabe 1 Beschreibe, durch welche geometrische Abbildungen (Verschiebungen, Spiegelungen, Streckung oder Stauchung) die Normalparabel y = x² in die angegebene Parabel umgewandelt werden kann. Gib ferner die Koordinaten des Scheitelpunktes an und ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet oder enger oder weiter als die Nordmalparabel ist. a. y = (x+)² 4 b. y = ½(x )² + 1 c. y = x² + 4x + 1 Aufgabe Bringe die quadratischen Funktionen durch quadratische Ergänzung in Scheitelpunktsform. Bestimme jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes und zeichne die Parabel nach dem Fünf-Punkte-Verfahren in ein Koordinatensystem mit 8 x 8 und 8 y 8. a, y = x² x 4,75 b. y = / x² 4x c. y = x² 8x + 5 Aufgabe Gib jeweils die volle Lösungsmenge der folgenden Gleichungen an. a) x 14x 51 0 b) ( x 5)( x ) 10 c) ( x ) ( x ) 0 d) x 10x 0 e) 4x 0x 7 0 f) x ( x 7) x 5 g) (4x 5) 194 40x Aufgabe 4: Bestimme möglichst geschickt alle Lösungen dieser Gleichungen. a) 7x x b) ( 6) x c) x 0x 100 5 14 d) x x 7)( x ) 0 ( Aufgabe 5: Erläutere am Beispiel der Gleichung x 14x 45 0 die Methode der quadratischen Ergänzung zu ihrer Lösung. Teil II mit Unterstützung durch das CAS! Aufgabe 6 Gib zu den Parabeln auf der nächsten Seite jeweils eine Funktionsvorschrift in allgemeiner Form f(x) = ax² + bx + c an. Aufgabe 7 Eine Parabel verläuft durch die Punkte A( 4 0), B( 1 8) und C( 0). Bestimme ihre Funktionsvorschrift in allgemeiner Form f(x) = ax² + bx + c.
zu Aufgabe 6: 7 y 6 c) 5 4 a) 1 x -7-6 -5-4 - - -1 1 4 5 6 7-1 - - b) -4-5 -6-7 Teil III mit vollem Einsatz des CAS! Aufgabe 8 Bei einer Wette in Wetten, dass im Jahr 000 versuchte ein Bogenschütze, 10 Luftballons mit einem einzigen Schuss zum Platzen zu bringen. Der Pfeil sollte dazu eine Kurve mit der Gleichung 9 y 1 x x 400 600 durchfliegen. Der Abschuss erfolgte von der y-achse aus. a) Aus welcher Höhe wurde der Pfeil abgeschossen? b) Am höchsten Punkt der Flugkurve hing ein Ballon. Berechne, wo und wie hoch das war. c) Der Pfeil sollte schließlich das Zentrum der Zielscheibe auf 1,0 Meter Höhe treffen. Wie weit stand der Schütze von der Zielscheibe entfernt?
Aufgabe 9 Eine Zahl wird um 10 vermindert und mit dem Doppelten der Zahl multipliziert. Das Ergebnis wird von 60 abgezogen. a. Stelle einen Term zur Berechnung des Ergebnisses auf. b. Für welche Zahl wird das Ergebnis am größten? Aufgabe 10 Bauer M. will eine möglichst große rechteckige Fläche einzäunen. Eine Seite dieser Fläche wird von der Wand seiner Scheune gebildet. Herr M. hat Holz für 4 Meter Zaun gekauft. Welche Abmessungen soll er wählen? Aufgabe 11: Für welche Werte der Formvariablen t hat die Gleichung x tx 0 a) keine Lösung, b) nur eine Lösung, c) zwei Lösungen? Scheune Zaun a b Aufgabe 1: Welche Seitenlängen hat ein Rechteck mit dem Umfang U = 45 cm und dem Flächeninhalt A = 4 dm²? Viel Erfolg!
Mathe Klasse 9 Übungen zur Arbeit Quadratische Funktionen und Gleichungen Lösungen Teil 1 solltet Ihr komplett ohne CAS schaffen können! 1.) Beschreibe, durch welche geometrische Abbildungen (Verschiebungen, Spiegelungen, Streckung oder Stauchung) die Normalparabel y = x² in die angegebene Parabel umgewandelt werden kann. b. y = (x+)² 4 b. y = ½(x )² + 1 c. y = x² + 4x + 1 a. Verschiebung um entgegen der x-achse ( nach links ), Symmetrieachse x = Streckung um den Faktor in y-richtung, dadurch wird sie enger; nach oben geöffnet Verschiebung um 4 entgegen der y-achse ( nach unten ). Scheitel S( 4) b. Verschiebung um in Richtung der x-achse ( nach rechts ), Symmetrieachse x = Stauchung um den Faktor ½ in y-richtung, dadurch wird sie weiter; Spiegelung an der x-achse, dadurch nach unten geöffnet Verschiebung um 1 in Richtung der y-achse ( nach oben ). Scheitel S( 1) c. b/(a) = 4/( ) =. f( ) = ² + 4 + 1 = 5. Symmetrieachse x =, Scheitel S( 5). Scheitelpunktsform wird y = (x )² + 5. Verschiebung um in Richtung der x-achse ( nach rechts ). keine Stauchung oder Streckung, Normalparabel Spiegelung an der x-achse, dadurch nach unten geöffnet Verschiebung um 5 in Richtung der y-achse ( nach oben ).) Bringe die quadratischen Funktionen durch quadratische Ergänzung in Scheitelpunktsform. Bestimme jeweils die Koordinaten des Scheitelpunktes und zeichne die Parabel nach dem Fünf-Punkte-Verfahren in ein Koordinatensystem mit 8 x 8 und 8 y 8. a. y = x² x 4,75 b. y = / x² 4x c. y = x² 8x + 5 a) y = x² x 4,75 = x² x 1,5 + 1,5² 1,5² 4,75 = (x 1,5)²,5 4,75 = (x 1,5)² 7 c) y = x² 8x + 5 = (x² 4x) + 5 = (x² x + ² ²) + 5 = (x² x + ²) ² + 5 = (x ) ² b) y = / x² 4x = / (x² + 6x) = / (x² + x + ² ²) = / (x² + x + ²) + / ² = / (x + )² + 6 Zeichnungen mit Erläuterungen Auf der nächsten Seite! Aufgabe 14x 51 a) x 0 p/ = 7 ; D = 7² + 51 = 100 > 0 IL= { ; 17} b) ( x 5)( x ) 10 <==> x² + x 10 = 10 <==> x(x + ) = 0 IL= { 0 ; } c) ( x ) ( x ) 0 <==> x = 0 oder x + = 0 (Nullproduktsatz!) IL= { ; } d) x 10x 0 p/ = 5 ; D = 5² = 7 < 0 IL= {} 7 x 5x 0 4 e) 4 0x 7 0 IL= {,5 + ;,5 } x p/ =,5 ; D =,5² + 1,75 = 8 > 0 f) x ( x 7) x 5 x 7x x 5 x 10x 5 0 p/ = 5 ; D = 5² 5 = 0 IL= { 5 }
g) (4x 5) 194 40x 16x Wurzel ziehen, Lösungen IL= { 1 / 4 ; 1 / 4 } 40x 5 194 40x 16x 169 x 169 16 Aufgabe 4: a) 7x x 7x x 0 x(7x ) 0 x 0 7x 0 0 x 7 b) ( x 6) x 6 x 6 x 6 x 6. x. c) x 0x 100 5 ( x 10) 5 10 5 x 10 5 x 15 x 5 x. 14 14 d) x 7)( x ) 0 x 0 x 7 0 x 14 0 x 0 x 7 x. x ( Aufgabe 5: Bringe zunächst die Gleichung auf Normalform (das ist hier nicht mehr nötig). Bringe dann das konstante Glied auf die rechte Seite und zerlege das lineare in x (p/), so dass man erkennen kann, welche quadratische Ergänzung notwendig ist: x 14x 45 0 x x 7 45. Nun addiere auf beiden Seiten 7², so dass links die. Binomische Formel angewendet werden kann: x x 7 7 45 7 ( x 7) 4. Nun liegt eine einfache quadratische Gleichung vor, die durch Wurzelziehen gelöst werden kann: x 7 4 x 7 4 x 7 9 x 7 5. Zeichnung zu Aufgabe : S( 6) P ( 4 5,) P 1 ( 5,) P 4 (0 5) P (4 5) P 4 ( 5,) P 4 ( 1,) P (1 1) P 1 ( 1) S( ) S(1,5 7) - mit Schablone zeichnen!
Teil II mit Unterstützung durch das CAS! 6.) Gib jeweils eine Funktionsvorschrift in allgemeiner Form f(x) = ax² + bx + c der Funktionen an, die die dargestellten Graphen haben. c) c) y = a (x+4) 6. P( ) einsetzen (oder (0 6) mit demselben Ergebnis) = a ( +4) 6 <==> = 4a 6 <==> a = ¾. y = ¾ (x+4) 6 = ¾x² + 6x + 6. 7 6 5 4 y a) a) y = 1 (x 4) + 0 = x² 8x + 16 1 x -7-6 -5-4 - - -1 1 4 5 6 7-1 - b) y = a x +. von S aus 1 rechts, runter ==> a = y = x +. - -4-5 -6-7 7.) Eine Parabel verläuft durch die Punkte A( 4 0), B( 1 8) und C( 0). Bestimme ihre Funktionsvorschrift in allgemeiner Form f(x) = ax² + bx + c. 1. Weg: Da 4 und die Nullstellen der quadratischen Funktion sind, lautet die Funktionsgleichung f(x) = a (x+4)(x ). Einsetzen der Koordinaten des dritten Punktes führt auf 8 = a ( ) <==> a = 8 / 9. f(x) = 8 / 9 (x+4)(x ) = 8 / 9 (x² +4x x 8) = 8 / 9 x² + 16 / 9 x² 64 / 9.. Weg: Da bei 4 und die gleichen y-werte vorliegen (hier sogar Achsenschnittpunkte), ist x = 1 die Symmetrieachse. Daher ist ( 1 8) der Scheitelpunkt, so dass der Ansatz f(x) = a (x+1)² 8 in Scheitelpunktsform erfolgreich ist. Einsetzen der Koordinaten von ( 0) führt auf 0 = a ² 8 <==> a = 8 / 9. f(x) = 8 / 9 (x+1)² 8 = 8 / 9 (x² +x + 1) 8 = 8 / 9 x² + 16 / 9 x² 64 / 9.
Teil III mit vollem Einsatz des CAS! 8.) Bei einer Wette in Wetten, dass im Jahr 000 versuchte ein Bogenschütze, 10 Luftballons mit einem einzigen Schuss zum Platzen zu bringen. Der Pfeil sollte dazu eine Kurve mit der Gleichung 9 y 1 x x 400 600 durchfliegen. Der Abschuss erfolgte von der y-achse aus. a) Aus welcher Höhe wurde der Pfeil abgeschossen? x = 0 einsetzen: f(0) = / = 1,5. Der Pfeil wurde aus 1,50 m Höhe abgeschossen. b) Am höchsten Punkt der Flugkurve hing ein Ballon. Berechne, wo und wie hoch das war. Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes (mit Formel oder durch Ablesen aus dem Graphen): S(58,9). Der höchste Punkt befand sich 58 Meter vom Abschusspunkt entfernt in einer Höhe von,90 Meter. c) Der Pfeil sollte schließlich das Zentrum der Zielscheibe auf 1,0 Meter Höhe treffen. Wie weit stand der Schütze von der Zielscheibe entfernt? y = 1, einsetzen und die Gleichung mit dem solve-befehl des CAS oder von Hand lösen: 1 9 1, x x <==> x = 4 oder x = 10. Negatives Ergebnis nicht sinnvoll. Also stand der 400 600 Schütze 10 Meter von der Zielscheibe entfernt. 9.) Eine Zahl wird um 10 vermindert und mit dem Doppelten der Zahl multipliziert. Das Ergebnis wird von 60 abgezogen. c. Stelle einen Term zur Berechnung des Ergebnisses auf. d. Für welche Zahl wird das Ergebnis am größten? a. x : gedachte Zahl. y : Ergebnis y = 60 (x 10) (x) = x² + 0x + 60 b. b/a = 0/( ( )) = 5 60 (5 10) 10 = 110. Das Ergebnis wird für x = 5 am kleinsten und beträgt dann 110. 10.) Bauer M. will eine möglichst große rechteckige Fläche einzäunen. Eine Seite dieser Fläche wird von der Wand seiner Scheune gebildet. Herr M. hat Holz für 4 Meter Zaun gekauft. Welche Abmessungen soll er wählen? Länge des Zauns in Metern a + b + a = a + b = 4. Nach b aufgelöst b = 4 a. Flächeninhalt in m² : A(a) = a b = a (4 a) = a² +4a. Gesucht ist das Maximum dieser Funktion, also der Scheitelpunkt der Parabel y = x² + 4x Scheune Zaun b x S = 4/( ( )) = 6 = a. b = 4 6 = 1 a b = 6 1 = 7. a Für a = 6 m und b = 1 m wird die Fläche mit 7 m² am größten. Also sollte er diese Abmessungen wählen.
Aufgabe 11: Die Diskriminante ist D ( t ). b) D = 0 gilt für t = 8 oder für t = 8. Für diese beiden Werte gibt es genau eine Lösung. a) D < 0 gilt für 8< t < 8. Für die Paramterwerte zwischen 8und 8 ist die Gleichung also unerfüllbar. c) D > 0 gilt für t < 8 oder für t > 8. Wenn also der Betrag des Parameterwertes über 8 liegt, gibt es Lösungen. Aufgabe 1: x,y : Seitenlängen in cm ; U = (x+y) = 45, A = xy = 400 (vereinheitlichen!). 45 45 x( x) 400 x x 400 0 x 4,5 x 80. Die gesuchten Seitenlängen betragen 4,5 cm und 80 cm.
Hier noch ein Übungsblatt zur Fünf-Punkte-Methode 4. 5. 6. 1. f(x) = ½ (x )² S( ) P 1 (,5) P (1,5) P (4 1) P 4 (0 1). f(x) = (x+1)² +7 S( 1 7) P 1 (0 4) P ( 4) P (1 5) P 4 ( 5). f(x) = 1,(x 4)² S(4 ) P 1 (5 1,8) P ( 1,8) P (6 1,8) P 4 ( 1,8) 4. f(x) = (x+)² +4 S( 4) P 1 ( ) P ( 4 ) P ( 1 0) P 4 ( 5 0) 5. f(x) = ¼ (x+)² +5 S( 5) P 1 ( 1 4,75) P ( 4,75) P (0 4) P 4 ( 4 4) P 5 ( 0) P 6 ( 6 0) sinnvoll, da sehr weit und mit 5 Punkten daher nur sehr kleiner Ausschnitt erreicht wird! 6. f(x) = 4(x+5)² S( 5 0) P 1 ( 4 4) P ( 6 4) P ( 16) P 4 ( 7 16)