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SCHOOL-SCOUT Grundlagen der Differentialrechnung: Die Ableitungsfunktion Seite 3 von 13 Wollen wir die Steigung eines Punktes auf einer Kurve bestimmen, so können wir dieses Modell nicht einfach übernehmen, da die Steigung (anders als bei einer Geraden) nicht konstant ist und so nur einen durchschnittlichen Wert angeben würde, wenn wir auch hier zwei Punkte auf der Kurve nehmen und den Wert des Differenzenquotienten berechneten: In diesem Fall täten wir so, als ob zwischen den Punkten P = x o ; f x 0, in dem wir die Steigung berechnen wollen, und einem weiteren Punkt Q = x o + h; f x o + h die Steigung konstant wäre, wovon allerdings offensichtlich nicht die Rede sein kann. Die erhaltene mittlere Steigung ist demzufolge ungenau wir erhalten allerdings eine bessere Näherung für die Steigung im Punkt P, wenn wir den Punkt Q näher an P heranrücken. Dies geschieht, wenn wir h verkleinern. Im Extremfall und damit im Fall der höchsten Genauigkeit fällt der Punkt Q auf den Punkt P. Das Problem hierbei ist, dass der Differenzenquotient in diesem Fall unbestimmt ist, da beide Punkte letztlich die gleichen Koordinaten hätten und wir erhalten würden: m = 0 0
SCHOOL-SCOUT Grundlagen der Differentialrechnung: Die Ableitungsfunktion Seite 4 von 13 Aus diesem Grund führt man den oben dargestellten Grenzprozess durch und nennt den Grenzwert die Ableitung der Funktion im Punkt P. Dieser Wert ist die Steigung der Funktion im Punkt P. Wir demonstrieren dies an einem Beispiel: Gegeben sei die Funktion f mit f x = x 2 + 2x. Berechnen Sie die Steigung der Funktion im Punkt P = (1; 3). Der Laufpunkt Q hätte in diesem Fall die Koordinaten Q = 1 + h; 1 + h 2 + 2 1 + h und wir erhielten: f 1 + h 2 + 2 1 + h 3 1 = lim. h 0 h Das erklärte algebraische Ziel, damit wir den Grenzwert bestimmen können, ist das Kürzen des Parameters h aus dem Nenner. Hierzu vereinfachen wir den Zähler durch Ausmultiplizieren: f 1 + 2h + h 2 + 2 + 2h 3 h 2 + 4h h (h + 4) 1 = lim = lim = lim = lim h + 4 = 4. h 0 h h 0 h h 0 h h 0 Die Steigung der Funktion im Punkt P ist demnach 4. Wenn Sie die Steigung in einem Kurvenpunkt wissen möchten, müssten Sie jedes Mal den Wert des Grenzwertes über dem aufgezeigten Weg bestimmen. Zur Arbeitserleichterung gibt es allerdings auch eine allgemeine Formel zur Berechnung der Steigung in einem beliebigen Punkt, der auf einer ganzrationalen Funktion f liegt. Eine Funktion, die zu jedem Punkt auf der Funktion die zugehörige Steigung angibt, nennt man Ableitungsfunktion: Eine ganzrationale Funktion ist aus Potenzfunktionen der Form f x = k x n zusammen gesetzt, für die gilt: f x = k x n f x = k n x n 1 Für unser obiges Beispiel f x = x 2 + 2x folgt hiermit: da x 0 = 1 gilt. f x = 2 x 1 + 2 1 x 0 = 2x + 2, Wollen wir die Steigung im Punkt P = (1; 3) berechnen, so müssen wir einfach den x-wert dieses Punktes in die Ableitungsfunktion einsetzen: m = f 1 = 2 + 2 = 4.
SCHOOL-SCOUT Grundlagen der Differentialrechnung: Die Ableitungsfunktion Seite 5 von 13 Übungen Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Steigung der Funktionen im angegebenen Punkt als Grenzwert des Differenzenquotienten: a) f x = 2x 2 4x P = (2; 0) b) f x = x 3 + 2x P = (0; 0) Aufgabe 2 Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitungsfunktion: a) f x = 2x 3 x 2 + 2010 b) f x = 1 3 x3 5 2 x2 + 7x c) f x = x + 1 x d) f x = 2 x 3 x Aufgabe 3
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