MATHEMATIK K 06.0.206 Aufgabe 2 3 4 5 6 7 8 Punkte (max 8 2 3 5 4 3 3 2 Punkte Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte ( Bestimmen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen: a f(x 2x 3 cos(x + x b g(x 2 3x 3x 2 c h(x (2 sin(x + 3 d j(x 4 x 2 + 2 5 e k(x (4x + 3 2 f p(x tx 2 + t 2 x Berechnen Sie weiter h (0 und j ( 2. (2 Lösen Sie die Gleichung x 2 + 20 x 2. (3 Skizzieren Sie die Schaubilder von f(x (x 2 4 und g(x x 3. Lesen Sie die Schnittpunkte ab und überprüfen Sie das Ergebnis durch Rechnung.
2 06.0.206 (4 Gegeben ist die Funktion f mit f(x 2 x2 (x 3. a Bestimmen Sie Extrem- und Wendepunkte des Graphen K der Funktion f. b Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in P ( f(, sowie den Inhalt der Fläche, die diese Tangente mit den Koordinatenachsen einschließt. (5 Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD mit den Punkten A(, B( 2 7 4,5, C(3 3 2 und D(4 7 3,5 eine Raute ist. Geben Sie den Schnittpunkt S der Diagonalen an und ergänzen Sie das Dreieck ASC zu einem Rechteck. (6 Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2 3 und B(0 7 5, die Gerade h durch den Mittelpunkt M von A und B und durch C(4 2 7. Bestimmen Sie die Gleichungen von g und h. Geben Sie weiter die Gleichung einer Geraden k an, die g schneidet und parallel zu h ist. (7 Alberta und Belinda spielen Tischtennis. Wer zuerst zwei Spiele gewonnen hat, ist die Siegerin des Matches. Alberta gewinnt ein Spiel mit 40% Wahrscheinlichkeit, Unentschieden sind nicht möglich. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt (a Alberta das Match mit 2:0? (b Belinda das Match? (c eine der beiden mit 2:? (8 Gegeben sind die beiden Punkte (0 0 und (3. Geben Sie die Koordinaten der Punkte aller Quadrate an, welche diese beiden Punkte als Eckpunkte besitzen.
MATHEMATIK K 3 Lösungen ( Bestimmen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen: a f(x 2x 3 cos(x + x f (x 6x 2 cos(x 2x 3 sin(x + b g(x 2 3x 3x 2 g (x 2 3x 2 3 2 c h(x (2 sin(x + 3 h (x 6(2 sin(x + 2 cos(x d j(x 4 x 2 + 2 j (x x 4 x 2 e k(x 5 (4x+3 2 k (x 40 (4x+3 3 f p(x tx 2 + t 2 x p (x 2tx + t 2 Weiter ist h (0 6 und j ( 2. Bemerkungen. (a Beim Ableiten von f ist u 2x 3 und v cos x; der Term +x gehört nicht zum Produkt. (b Es ist cos(0, aber cos( π 0. Wer hier x- und y- 2 Koordinaten verwechselt, wird in den nächsten beiden Jahren noch viele Punkte verschenken. (c 4 2 2 4 2 2. (2 Lösen Sie die Gleichung x 2 + 20 x 2. Nenner beseitigen führt auf z 4 z 2 20 0, also (Satz von Vieta (z 2 5(z 2 + 4 0 und damit x,2 ± 5. Ansonsten Substitution x 2 z usw. (3 Skizzieren Sie die Schaubilder von f(x (x 2 4 und g(x x 3. Lesen Sie die Schnittpunkte ab und überprüfen Sie das Ergebnis durch Rechnung. Man liest ab S (0 3 und S 2 ( 4. Bestätigung: f(0 3 g(0 und f( 2 g(. (4 Gegeben ist die Funktion f mit f(x 2 x2 (x 3.
4 06.0.206 a Bestimmen Sie Extrem- und Wendepunkte des Graphen K der Funktion f. b Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in P ( f(, sowie den Inhalt der Fläche, die diese Tangente mit den Koordinatenachsen einschließt. f (x 3 2 x2 3x, f (x 3x 3. Extrempunkte: f (x 0 ergibt x 0 und x 2 2. Wegen f(0 0 und f (0 3 < 0 ist H(0 0 ein Hochpunkt. Wegen f(2 2 und f (2 3 > 0 ist T (2 2 Tiefpunkt. Wendepunkte: f (x 0 liefert x 3 ; f( und f ( 3 0 ergeben W (. Bemerkung: Bei kubischen Funktionen ist der Wendepunkt immer der Mittelpunkt von Hoch- und Tiefpunkt; Kontrollieren! (5 Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD mit den Punkten A(, B( 2 7 4,5, C(3 3 2 und D(4 7 3,5 eine Raute ist. Geben Sie den Schnittpunkt S der Diagonalen an und ergänzen Sie das Dreieck ASB zu einem Rechteck. ( 6 DC, also ist das Viereck ein Parallelo- 5,5 Es ist AB gramm. Weiter ist AD ( 56 2,5 eine Raute. BC. Wegen AB AD ist das Viereck Diagonalenschnittpunkt ist der Mittelpunkt von AC, also S( 7 0,5. Das Rechteck ist ASBE mit OE E( 4 3. OB + MA; man findet (6 Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(2 3 und B(0 7 5, die Gerade h durch den Mittelpunkt M von A und B und durch C(4 2 7. Bestimmen Sie die Gleichungen von g und h. Geben Sie weiter die Gleichung einer Geraden k an, die g schneidet und parallel zu h ist.
g : x OA + tab ( 2 3 + t M( 2+0 +7 3+5 M 4 ; 2 2 2 h : x OM + tmc ( 4 k : x ( 2 3 + t ( 3 MATHEMATIK K 5 ( 2 0 ; 4 2 8. + t (7 Alberta und Belinda spielen Tischtennis. Wer zuerst zwei Spiele gewonnen hat, ist die Siegerin des Matches. Alberta gewinnt ein Spiel mit 40% Wahrscheinlichkeit, Unentschieden sind nicht möglich. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt (a Alberta das Match mit 2:0? (b Belinda das Match? (c eine der beiden mit 2:? (8 Gegeben sind die beiden Punkte (0 0 und (3. Geben Sie die Koordinaten daer Punkte aller Quadrate an, welche diese beiden Punkte als Eckpunkte besitzen. Es gibt drei Lösungen: ( 3 2 8. (a A(0 0, B(3, C(4 2, D( 3; (b A(0 0, B(3, C(2 4, D( 3; (c A(0 0, B( 2, C(3, D(2.