Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung B. Schuster/ L. Frerick 9. Februar 200 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 5. Mengen und Zahlen................................ 5.. Mengen................................... 5..2 Rechenregeln für Mengen......................... 5..3 Zahlmengen................................. 5..4 Rechenregeln für reelle Zahlen...................... 5..5 Binomische Formeln............................ 6..6 pq-formel.................................. 6..7 Ungleichungen............................... 7..8 Intervalle.................................. 7..9 Maximum, Supremum, Beschränktheit.................. 7..0 Absolutbetrag............................... 8.2 Vollständige Induktion............................... 8.2. Das Prinzip der vollständigen Induktion................. 8.2.2 Summen- und Produktschreibweise.................... 8.2.3 Gaußsche Summenformel......................... 8.2.4 Potenzsummen............................... 8.2.5 Bernoullische Ungleichung......................... 9.2.6 Binomischer Lehrsatz........................... 9.2.7 Arithmetisches und geometrisches Mittel................. 9.3 Elementare Kombinatorik............................. 9.3. Fakultät und Binomialkoeffizienten.................... 9.3.2 Pascalsches Dreieck............................ 0.3.3 Multinomialkoeffizienten.......................... 0 2 Folgen und Reihen 0 2. Folgen........................................ 0 2.. Definition.................................. 0 2..2 Arithmetische Folgen............................ 0 2..3 Geometrische Folgen............................ 2..4 Gemischte arithmetisch-geometrische Folgen............... 2..5 Konvergenz................................. 2..6 Notwendige Bedingung für Konvergenz..................

2..7 Nullfolgen.................................. 2..8 Bestimmte Divergenz........................... 2..9 Rechenregeln für Grenzwerte....................... 2 2..0 Beispiel: Rationale Ausdrücke in n.................... 2 2.. Monotone Folgen.............................. 3 2..2 Hinreichende Bedingung für Konvergenz................. 3 2..3 Die Eulersche Zahl e............................ 3 2..4 Weitere Besipiele.............................. 3 2.2 Zinsrechnung.................................... 3 2.2. Sparen I: Guthaben............................ 3 2.2.2 Sparen II: Sparrate............................. 4 2.2.3 Renten I: Guthaben............................ 4 2.2.4 Renten II: Rentenhöhe........................... 4 2.2.5 Renten III: Barwert............................ 4 2.2.6 Renten IV: Renten mit jährlicher Erhöhung............... 5 2.2.7 Hypotheken: Laufzeitformel........................ 5 2.3 Reihen........................................ 5 2.3. Definitionen................................. 5 2.3.2 Geometrische Reihe............................ 6 2.3.3 Harmonische Reihe............................. 6 2.3.4 Allgemeine harmonische Reihe...................... 6 2.3.5 Rechenregeln für Reihen.......................... 6 2.3.6 Notwendige Bedingung für Konvergenz.................. 6 2.3.7 Absolute Konvergenz............................ 6 2.3.8 Majorantenkriterium............................ 7 2.3.9 Quotientenkriterium............................ 7 2.3.0 Divergenzkriterien............................. 7 2.3. Die Exponentialreihe............................ 7 2.3.2 Die Sinus- und Cosinusreihe........................ 7 3 Elementare Funktionen 8 3. Funktionen und ihre Graphen (Definitionen)................... 8 3.. Funktionen, Bild und Urbild....................... 8 3..2 Injektivität, Surjektivität, Bijektivität.................. 8 3..3 Monotone Funktionen........................... 8 3..4 Komposition................................ 8 3..5 Umkehrfunktion.............................. 8 3..6 Graph einer Funktion........................... 9 3..7 Nullstellen.................................. 9 3..8 Beschränkte Funktionen.......................... 9 3..9 Gerade und ungerade Funktionen..................... 9 3..0 Summe, Produkt, Quotient von Funktionen............... 9 3.2 Polynome und rationale Funktionen....................... 20 3.2. Polynome.................................. 20 3.2.2 Rationale Funktionen........................... 20 3.2.3 Polynomdivision.............................. 20 3.2.4 Beispiel zur Polynomdivision....................... 2 2

3.3 Exponentialfunktion und Logarithmus...................... 2 3.3. Exponentialfunktion............................ 2 3.3.2 Eigenschaften der Exponentialfunktion.................. 2 3.3.3 Zwei Abschätzungen der Exponentialfunktion.............. 22 3.3.4 Kontinuierliche Verzinsung........................ 22 3.3.5 Logarithmus................................ 22 3.3.6 Eigenschaften des Logarithmus...................... 23 3.3.7 Allgemeine Potenz............................. 23 3.3.8 Eigenschaften der Potenzfunktionen................... 23 3.3.9 Logarithmus zur Basis a.......................... 24 3.4 Winkelfunktionen.................................. 24 3.4. Eigenschaften der Winkelfunktionen................... 24 3.4.2 Geometrische Interpretation........................ 25 3.4.3 Additionstheoreme............................. 26 3.4.4 Tangens und Kotangens.......................... 26 3.4.5 Graph des Tangens............................. 27 3.4.6 Einige Werte trigonometrischer Funktionen............... 27 3.4.7 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.......... 27 4 Stetigkeit 28 4. Funktionsgrenzwerte................................ 28 4.. Definition des Funktionsgrenzwerts.................... 28 4..2 Äquivalente Formulierung durch Folgen................. 28 4..3 Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte.................. 28 4..4 Folgerung: Grenzwerte für Polynome und rationale Funktionen.... 29 4..5 Einseitige Grenzwerte........................... 29 4..6 Bestimmte Divergenz gegen ±..................... 30 4.2 Stetigkeit...................................... 30 4.2. Definition.................................. 30 4.2.2 Rechnen mit stetigen Funktionen..................... 30 4.2.3 Äquivalente Formulierungen der Stetigkeit................ 30 4.2.4 Satz vom Maximum............................ 3 4.2.5 Zwischenwertsatz.............................. 3 4.2.6 Umkehrsatz................................. 3 4.2.7 Beispiele................................... 3 5 Differentialrechnung 32 5. Differenzierbare Funktionen............................ 32 5.. Differenzierbarkeit............................. 32 5..2 Äquivalente Formulierungen........................ 32 5..3 Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit.................. 32 5.2 Ableitungsregeln.................................. 32 5.2. Summenregel................................ 33 5.2.2 Produktregel................................ 33 5.2.3 Quotientenregel............................... 33 5.2.4 Kettenregel................................. 33 5.2.5 Ableitung der Umkehrfunktion...................... 33 3

5.2.6 Ableitungen von Potenz- und Logarithmusfunktionen......... 33 5.2.7 Ableitungen der Winkelfunktionen und ihrer Umkehrfunktionen.... 34 5.3 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen.................... 34 5.3. Satz von Rolle............................... 34 5.3.2 Mittelwertsatz............................... 34 5.3.3 Verallgemeinerter Mittelwertsatz..................... 34 5.3.4 Monotonieverhalten............................ 34 5.4 Kurvendiskussion.................................. 35 5.4. Höhere Ableitungen............................ 35 5.4.2 Lokale Extrema: Definition........................ 35 5.4.3 Lokale Extrema: Notwendige Bedingung................. 35 5.4.4 Lokale Extrema: Hinreichende Bedingungen I (Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung).............................. 35 5.4.5 Lokale Extrema: Hinreichende Bedingungen II (Zweite Ableitung).. 35 5.4.6 Lokale Extrema: Hinreichende Bedingungen III (Höhere Ableitungen) 36 5.4.7 Konvexität und Konkavität: Definition.................. 36 5.4.8 Konvexität und zweite Ableitung..................... 36 5.4.9 Wendepunkte................................ 36 5.4.0 Charakterisierung von Wendepunkten I (Vorzeichenwechsel)...... 36 5.4. Charakterisierung von Wendepunkten II (Dritte Ableitung)...... 36 5.4.2 Charakterisierung von Wendepunkten III (Höhere Ableitungen).... 37 5.4.3 Vollständige Kurvendiskussion...................... 37 5.4.4 Regel von de l Hôpital im Fall 0/0................... 39 5.4.5 Regel von de l Hôpital im Fall /.................. 39 5.5 Logarithmische Ableitung............................. 40 5.6 Elastizität...................................... 40 5.6. Rechenregeln für Elastizität........................ 40 5.6.2 Elastizität von Kompositionen...................... 40 5.6.3 Elastizität der Umkehrfunktion...................... 40 5.6.4 Preiselastizität............................... 4 4

Grundlagen. Mengen und Zahlen.. Mengen Seien A, B, C, M, N Mengen. A B = {x x A oder x B} (Vereinigung) (...) A B = {x x A und x B} (Schnitt) (...2) A \ B = {x x A und x B} (Differenz) (...3) A B = {(x, y) x A und y B} (Kreuzprodukt) (...4) P(M) = {N N M} (Potenzmenge) (...5) #M = Anzahl der Elemente der endlichen Menge M (Mächtigkeit) (...6) A B (x A x B) (...7) A = B A B und B A (...8)..2 Rechenregeln für Mengen A B = B A A B = B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (Kommutativität) (..2.) (Assoziativität) (..2.2) (Distributivität) (..2.3) #(A B) = #A + #B #(A B) für endliche Mengen A, B (..2.4)..3 Zahlmengen N 0 = {0,, 2,..., n,...} natürliche Zahlen Z = {..., n,...,, 0,, 2,..., n,...} ganze Zahlen Q = { p } q p Z, q N, q 0 rationale Zahlen R reelle Zahlen..4 Rechenregeln für reelle Zahlen Seien a, b, c, d reelle Zahlen und m, n natürliche Zahlen. Man setzt a 0 = und a n = a } a {{... a}. n Faktoren Für a > 0 und n > 0, ist n a die positive reelle Zahl b, so dass b n = a ist. 5

Es gelten die Regeln des Bruchrechnens und die Potenzgesetze:..5 Binomische Formeln Für beliebige x, y R gilt:..6 pq-formel Die Gleichung x 2 + px + q = 0 hat die Lösungen a b + c ad + bc = (..4.) d bd a b c d = ac (..4.2) bd a b : c d = ad (..4.3) bc a m+n = a m a n (..4.4) a m n = ( a m) n ( = a n ) m (..4.5) (a b) n = a n b n (..4.6) ( ) a n = an b b n (..4.7) n a = a /n (..4.8) a m n = ( a /n) m = n a m = ( n a ) m (..4.9) (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (..5.) (x y) 2 = x 2 2xy + y 2 (..5.2) (x + y)(x y) = x 2 y 2 (..5.3) x = p 2 ± p 2 4q 2 = p 2 ± (p 2) 2 q Äquivalent: die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 hat die Lösungen x = b 2a ± b 2a 2 4ac (p 2 4q in der ersten Form bzw. b 2 4ac in der zweiten heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung.) 6

..7 Ungleichungen Seien a b reelle Zahlen. Dann gilt a + c b + c a c b c a c b c a c b c a 2 0 b a für alle c R (..7.) für alle c R mit c > 0 (..7.2) (..7.3) a > 0 a > 0 (..7.4) 0 < a b 0 < b a (..7.5)..8 Intervalle [a, b] = {x R a x b} [a, b[ = [a, b) = {x R a x < b} ]a, b] = (a, b] = {x R a < x b} ]a, b[ = (a, b) = {x R a < x < b}..9 Maximum, Supremum, Beschränktheit Sei X eine Teilmenge von R. M X heißt das Maximum von X, wenn für jedes x X gilt: x M. Man schreibt dann auch: M = max(x). m X heißt das Minimum von X, wenn für jedes x X gilt: m x. Man schreibt dann auch: m = min(x). Jede endliche Menge besitzt Maximum und Minimum, aber im allgemeinen muss X weder Maximum noch Minimum haben (z.b. X = ]0, [, denn weder 0 noch liegen in X). C R heißt eine obere Schranke von X, wenn für jedes x X gilt: x C. c R heißt eine untere Schranke von X, wenn für jedes x X gilt: c x. X heißt nach oben (bzw. nach unten) beschränkt, wenn X eine obere (bzw. eine untere) Schranke besitzt. X heißt beschränkt, wenn X sowohl nach oben als auch nach unten bschränkt ist. Ist X nach oben beschränkt, so gibt es eine kleinste obere Schranke S von X (d.h. für jede weitere obere Schranke C gilt S C); diese nennt man das Supremum sup(x) von X. Ist X nach unten beschränkt, so gibt es eine größte untere Schranke inf(x) von X, das Infimum von X. 7

..0 Absolutbetrag { x = max{x, x} = x falls x 0, x falls x < 0. Dreiecksungleichung: für alle x, y R gilt x + y x + y (..0.) und als Konsequenz daraus x y x y (..0.2).2 Vollständige Induktion.2. Das Prinzip der vollständigen Induktion Sei p N 0 und A eine Aussage über natürliche Zahlen, wobei A(n) die Aussage für ein n N 0 bezeichne. Angenommen es gilt: (i) Die Aussage A(p) ist wahr. (ii) Für jedes n p folgt aus der Aussage A(n) die Aussage A(n + ). Dann ist die Aussage A(n) für alle n p wahr..2.2 Summen- und Produktschreibweise Seien m n natürliche Zahlen und a i, b i R für m i n. n a k = a m + a m+ + + a n (.2.2.) k=m n b k = b m b m+... b n (.2.2.2) k=m (Falls m > n ist, interpretiert man diese Ausdrücke als die leere Summe mit Wert 0 bzw. als das leere Produkt mit Wert.).2.3 Gaußsche Summenformel n n(n + ) k = 2 für jedes n N 0..2.4 Potenzsummen n q k = qn+ q für jede reelle Zahl q und jedes n N 0. = qn+ q 8

.2.5 Bernoullische Ungleichung für alle x R mit x und alle n N 0..2.6 Binomischer Lehrsatz Für beliebige x, y R und n N 0 gilt: mit ( + x) n + nx (x + y) n = ( ) n n (n )... (n k + ) = k 2... k n ( ) n x n k y k k (siehe unten)..2.7 Arithmetisches und geometrisches Mittel Seien x, x 2,..., x n reelle Zahlen. A(x,..., x n ) = G(x,..., x n ) = n x i (arithmetisches Mittel) (.2.7.) n i= n n x i falls alle x i 0 (geometrisches Mittel) (.2.7.2) i= Dann gilt: A(x,..., x n ) G(x,..., x n ) ( AGM-Ungleichung ) (.2.7.3).3 Elementare Kombinatorik.3. Fakultät und Binomialkoeffizienten (i) Fakultäten: n! = n j = 2... (n ) n ( n Fakultät ) (.3..) j= n! gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, n Objekte anzuordnen. (ii) Binomialkoeffizienten: ( ) n k n (n )... (n k + ) n! = = ( n über k ) (.3..2) 2... k k! (n k)! = Anzahl der k elementigen Teilmengen einer n elementigen Menge = Anzahl der Möglichkeiten, k Dinge aus n auszuwählen. 9

.3.2 Pascalsches Dreieck Es gilt ( ) n k ( ) n + k = = ( n ) n k ( ) ( ) n n + k k (.3.2.) (.3.2.2).3.3 Multinomialkoeffizienten Sei n = k + + k l. ( n ) k,..., k l = n! k!... k l! (.3.3.) ist die Anzahl der Möglichkeiten, n Objekte auf l Behälter zu verteilen, so dass der i-te Behälter k i Objekte enthält. 2 Folgen und Reihen 2. Folgen 2.. Definition Eine Folge reeller Zahlen (a n ) n N ist eine Vorschrift, die jeder natürlichen Zahl n eine reelle Zahl a n zuordnet: n a n Eine Folge kann man unter anderem beschreiben durch ein Bildungsgesetz für das n te Folgeglied ( explizite Form ), z.b. a n = n 2 ; eine Rekursion, d.h. eine Vorschrift, wie man das n te Folgeglied a n aus seinen Vorgängern a 0, a,..., a n gewinnt, zusammen mit der Angabe der ersten Folgeglieder ( rekursive Form ), z.b. a 0 =, a =, a n+ = a n + a n. 2..2 Arithmetische Folgen Sei a 0 R und d R. Dann beschreibt die Rekursion a n+ = a n + d (2..2.) eine arithemtische Folge oder arithmetische Progression. Jedes Folgeglied ist das arithemtische Mittel seiner Nachbarn. Die explizite Form ist a n = a 0 + n d (2..2.2) 0

2..3 Geometrische Folgen Sei a 0 R und q R. Dann beschreibt die Rekursion a n+ = q a n (2..3.) eine geometrische Folge. Jedes Folgeglied ist das geometrische Mittel seiner Nachbarn. Die explizite Form ist a n = q n a 0 (2..3.2) 2..4 Gemischte arithmetisch-geometrische Folgen Seien a 0, q, d R. Dann beschreibt die Rekursion a n+ = q a n + d (2..4.) eine Folge (a n ) n N0 mit expliziter Darstellung a 0 + nd im Fall q =, a n = q n a 0 + qn q d im Fall q. (2..4.2) 2..5 Konvergenz Die reelle Folge (a n ) n N0 konvergiert gegen a R, geschrieben lim a n = a, n wenn gilt: Für jedes ε > 0 existiert ein N N 0, so dass a n a < ε für alle n N 0 mit n N gilt. In diesem Fall heißt a der Grenzwert der Folge. Eine nicht konvergente Folge nennt man divergent. 2..6 Notwendige Bedingung für Konvergenz Jede konvergente Folge ist beschränkt. 2..7 Nullfolgen Eine gegen 0 konvergente Folge heißt eine Nullfolge. Beispiele (von Nullfolgen): ( ) n n N, ( n )n N, allgemeiner: ( n )n N für p > 0 p (q n ) n N0 ist genau dann eine Nullfolge, wenn q < ist. 2..8 Bestimmte Divergenz. (a n ) n N heißt bestimmt divergent gegen, geschrieben lim a n =, n wenn gilt: zu jedem C R gibt es ein N N, so dass a n > C für alle n N mit n N.

2. (a n ) n N heißt bestimmt divergent gegen, geschrieben lim a n =, n wenn gilt: zu jedem c R gibt es ein N N, so dass a n < c für alle n N mit n N. Beispiel: für q > ist die Folge (q n ) n N0 bestimmt divergent gegen. 2..9 Rechenregeln für Grenzwerte Für konvergente Folgen (a n ) n N, (b n ) n N und α R gilt lim (a n + b n ) = ( lim a ) ( n + lim n n lim (a n b n ) = ( lim a ) ( n lim n n lim (a n b n ) = ( lim a ) ( n lim n n und wenn alle b n 0 sind und lim n b n 0 ist, gilt auch n b n n b n n b n ) ) ) (2..9.) (2..9.2) (2..9.3) lim (α a n) = α lim a n (2..9.4) n n a n lim = n b n lim n a n lim n b n (2..9.5) Gilt zudem a n b n für alle hinreichend großen n, d.h. ab einem gewissen Index N, so gilt lim a n lim b n (2..9.6) n n Insbesondere: haben (a n ) n N und (b n ) n N den gleichen Grenzwert a und ist (c n ) n N eine Folge mit a n c n b n für alle genügend großen n, so konvergiert auch (c n ) n N mit Grenzwert a. 2..0 Beispiel: Rationale Ausdrücke in n Sei (a n ) n N eine Folge der Form a n = p kn k + p k n k + + p n + p 0 q l n l + q l n l + + q n + q 0 mit p j, q j R und p k 0, q l 0. Dann gilt 0 für k < l p k lim a für k = l n = q k n + für k > l und p k /q l > 0 für k > l und p k /q l < 0 (2..0.) 2

2.. Monotone Folgen Eine Folge (a n ) n N heißt monoton wachsend (bzw. monoton fallend), wenn a n a n+ (bzw. a n a n+ ) für alle n N gilt. 2..2 Hinreichende Bedingung für Konvergenz Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent. Ist (a n ) n N monoton wachsend und durch a beschränkt, so ist lim n a n a (nach einer der Rechenregeln). 2..3 Die Eulersche Zahl e ( e = lim + n (2..3.) n n) 2..4 Weitere Besipiele (siehe auch den Abschnitt über Nullfolgen) 2.2 Zinsrechnung In der Folge bezeichne stets p den Zinssatz in Prozent, lim n lim n n a = für jedes a > 0 (2..4.) n n = (2..4.2) q den Aufzinsungsfaktor (bzw. den Abzinsungsfaktor), bezogen auf eine Zinsperiode, K n das Kapital nach n Zinsperioden, R die (vor oder nachschüssige) Rate einer Zinsperiode, einschließlich anteiliger Zinsen. Dabei heißt vorschüssig, dass die Zahlung der Rate zu Beginn der Periode und nachschüssig, dass die Zahlung am Ende der Periode erfolgt. 2.2. Sparen I: Guthaben. Vorschüssige Verzinsung (Rate R wird zu Beginn der Zinsperiode eingezahlt): rekursiv: K n+ = q(k n + R) (2.2..) explizit: K n = q n K 0 + q(qn ) q R (2.2..2) 2. Nachschüssige Verzinsung (Rate R wird am Ende der Zinsperiode eingezahlt): rekursiv: K n+ = qk n + R (2.2..3) explizit: K n = q n K 0 + qn q R (2.2..4) 3

2.2.2 Sparen II: Sparrate Soll nach n Zinsperioden ein Betrag K angespart worden sein, löst man die Formel K = K n nach R auf, wobei K n einer der Ausdrücke aus dem vorstehenden Unterabschnitt ist, also R = (K q n K 0 ) q q(q n ) im Fall vorschüssiger Verzinsung (2.2.2.) R = (K q n K 0 ) q q n im Fall nachschüssiger Verzinsung (2.2.2.2) 2.2.3 Renten I: Guthaben (Dies ist dasselbe wie Sparen I mit negativer Sparrate). Vorschüssige Rente (Rate R wird zu Beginn der Zinsperiode ausgezahlt): rekursiv: K n+ = q(k n R) (2.2.3.) explizit: K n = q n K 0 q(qn ) q R (2.2.3.2) 2. Nachschüssige Rente (Rate R wird am Ende der Zinsperiode ausgezahlt): 2.2.4 Renten II: Rentenhöhe rekursiv: K n+ = qk n R (2.2.3.3) explizit: K n = q n K 0 qn q R (2.2.3.4) Ein Anfangskapital K 0 soll über n Zinsperioden in festen Raten R jeweils eine pro Zinsperiode ausgezahlt werden. Die Rentenhöhe R ermittelt man, indem man in Gleichung (2.2.3.2) bzw. (2.2.3.4) K n = 0 setzt und nach R auflöst. Man erhält R = qn (q ) q n K 0 im Fall einer vorschüssigen Rente (2.2.4.) R = qn (q ) q n K 0 im Fall einer nachschüssigen Rente (2.2.4.2) 2.2.5 Renten III: Barwert Der Barwert einer Rente ist die Summe, die zu Beginn der Rentenzahlungen vorhanden sein muss, um die Auszahlung einer Rente zu vorgegebenen Konditionen (Laufzeit, Zinssatz und Auszahlungsmodalitäten, d.h. vorschüssig, nachschüssig, über eine Zinsperiode verteilte Auszahlungen usw.) zu ermöglichen. Bei einer Laufzeit von n Zinsperioden und Auszahlung einer festen Rate R erhält man den Barwert K 0 als K 0 = qn q n R im Fall einer vorschüssigen Rente (2.2.5.) (q ) K 0 = qn q n R im Fall einer nachschüssigen Rente (2.2.5.2) (q ) 4

2.2.6 Renten IV: Renten mit jährlicher Erhöhung Sei R die nachschüssige, d.h. als Zahlung zum Jahresende berechnete Jahresrente des ersten Rentenjahres. Sei ferner p der Jahreszins und s der feste Satz der jährlichen Erhöhung, mit zugehörigen Aufzinsungsfaktoren q = + p 00 und r = + s 00. Für den Kontostand K n nach n Jahren hat man dann rekursiv: K n+ = qk n r n R (2.2.6.) explizit: K n = q n K 0 qn r n R q r falls r q (2.2.6.2) [ = q n K 0 nq n R falls r = q] (2.2.6.3) (Statt eines Jahres kann man auch eine andere Zinsperiode betrachten, aber die Zahl n sollte sich stets auf die Zinsperioden beziehen.) Ist man statt am Kontostand an Rentenhöhe oder Barwert interessiert, löst man so wie früher nach den entsprechenden Variablen auf. 2.2.7 Hypotheken: Laufzeitformel Wir nehmen an, die Hypothek mit Anfangsschuld K 0 werde in festen monatlichen Raten R zurückgezahlt, mit Zahlung von Zinsen und Raten jeweils zum Monatsende. Sei a die Anfangstilgung (in Prozent), p der Jahreszins (in Prozent); dann ist die Monatsrate R = p + a 2 00 K 0 und die Laufzeit der Hypothek n = ln( (q ) K ) 0 R ln(q) = ln( a+p) a ln(q) Monate. (Statt Monaten kann man natürlich auch Zinsperioden anderer Länge betrachten.) 2.3 Reihen 2.3. Definitionen Sei (a n ) n N0 eine reelle Folge. Dann heißt die Folge (s n ) n N0 mit s n = n eine (unendliche) Reihe. Das n-te Folgeglied nennt man die n-te Partialsumme. Man schreibt auch a k für diese Reihe. Statt mit k = 0 kann die Summation auch mit jeder anderen natürlichen Zahl beginnen. Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Ist L der Grenzwert, schreibt man in diesem Fall auch a k a k = L. 5

2.3.2 Geometrische Reihe Für eine reelle Zahl q heißt die Reihe geometrische Reihe. Die Reihe konvergiert genau dann, wenn q < ist. In diesem Fall ist 2.3.3 Harmonische Reihe q k q k = q. Die Reihe heißt harmonische Reihe. Sie ist divergent. k= k 2.3.4 Allgemeine harmonische Reihe Für p R nennt man die Reihe auch eine allgemeine harmonische Reihe; sie konvergiert für p >, divergiert für p. 2.3.5 Rechenregeln für Reihen k= Seien a k und b k konvergente Reihen mit Grenzwerten A bzw. B, und es sei α R. Dann konvergieren auch die Reihen (a k + b k ) und (αa k ) mit Grenzwerten k p (a k + b k ) = A + B und (αa k ) = α A. (2.3.5.) 2.3.6 Notwendige Bedingung für Konvergenz Ist a k konvergent, so muss (a k ) k N0 eine Nullfolge sein. 2.3.7 Absolute Konvergenz Eine Reihe a k nennt man absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge a k konvergiert. Absolut konvergente Reihen sind (im gewöhnlichen Sinne) konvergent. 6

2.3.8 Majorantenkriterium Sei c k eine konvergente Reihe mit lauter nichtnegativen Gliedern und (a n ) n N0 mit a n c n für alle n N 0. Dann konvergiert die Reihe a k absolut. eine Folge 2.3.9 Quotientenkriterium Sei a k eine Reihe. Es gebe eine reelle Zahl q mit 0 < q < und eine natürliche Zahl N, so dass für alle natürlichen Zahlen k N gilt: a k 0 Dann konvergiert die Reihe a k absolut. 2.3.0 Divergenzkriterien Sei a k eine Reihe. Sei und a k+ a k q. c k eine divergente Reihe mit lauter nichtnegativen Gliedern und a k c k für fast alle k. Dann divergiert auch die Reihe a k. (Minorantenkriterium) Sei a k 0 für fast alle k. Ist a k+ a k 2.3. Die Exponentialreihe für fast alle k, so ist die Reihe divergent. Die Reihe xk k! konvergiert für alle x R. Sie heißt Exponentialreihe und man setzt Es gilt für alle x R. exp(x) = exp(x) = 2.3.2 Die Sinus- und Cosinusreihe x k k!. x k k! = lim ( x) n + = e x n n Die Reihen ( ) k (2k)! x2k und ( ) k (2k+)! x2k+ konvergieren für alle x R. Man setzt ( ) k cos(x) = (2k)! x2k und sin(x) = ( ) k (2k + )! x2k+. 7

3 Elementare Funktionen 3. Funktionen und ihre Graphen (Definitionen) 3.. Funktionen, Bild und Urbild Seien D und W Teilmengen von R. Eine Funktion f : D W ist eine Vorschrift, die jedem x D einen Wert f(x) W zuordnet. D nennt man den Definitionsbereich, W den Wertebereich der Funktion. Für eine Teilmenge A D heißt die Menge f(a) := {f(x) x A} das Bild von A, und für eine Teilmenge B W heißt die Menge f (B) := {x D f(x) B} das Urbild der Menge B. Man nennt auch f(d) das Bild der Funktion f. 3..2 Injektivität, Surjektivität, Bijektivität Eine Funktion f : D W heißt injektiv, wenn aus f(x) = f(x ) schon x = x folgt, surjektiv, wenn f(d) = W ist, bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, 3..3 Monotone Funktionen Eine Funktion f : D W heißt monoton wachsend (beziehungsweise streng monoton wachsend, monoton fallend, streng monoton fallend), wenn aus x < x stets f(x) f(x ) (beziehungsweise f(x) < f(x ), f(x) f(x ), f(x) > f(x )) folgt. Eine streng monotone Funktion ist injektiv (aber die Umkehrung ist im allgemeinen falsch). 3..4 Komposition Seien D, D und W, W Teilmengen von R mit W D. Die Verkettung oder Komposition von f : D W und g : D W ist die Funktion g f : D W mit (g f)(x) = g ( f(x) ). 3..5 Umkehrfunktion Sei f : D W eine bijektive Funktion. Die Umkehrfunktion von f ist die Funktion f : W D, die einem Punkt y = f(x) W sein eindeutig bestimmtes Urbild x D zuordnet. 8

3..6 Graph einer Funktion Der Graph einer reellen Funktion f : D W ist die Teilmenge Γ f := { ( x, f(x) ) R R x D} R R. Da jeder Punkt nur einen Bildpunkt hat, schneidet jede vertikale Gerade den Graphen in höchstens einem Punkt. f ist genau dann injektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen in höchstens einem Punkt schneidet. Den Graphen der Umkehrfunktion einer Funktion erhält man durch eine Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden (der Geraden y = x). 3..7 Nullstellen Die Punkte des Definitionsbereichs, an denen die Funktion den Wert Null hat, nennt man die Nullstellen der Funktion. Sie entsprechen den Stellen, an denen der Graph der Funktion die x-achse schneidet. 3..8 Beschränkte Funktionen Eine reelle Funktion f : D W heißt beschränkt, wenn es Konstanten C, C 2 R gibt, so dass für jedes x D gilt: C f(x) C 2. Äquivalente Formulierungungen sind: es gibt ein C R mit f(x) C für alle x D, das Bild f(d) ist eine beschränkte Teilmenge von R. 3..9 Gerade und ungerade Funktionen Sei D R eine Teilmenge, so dass mit x auch x in D liegt. Eine Funktion f : D R heißt gerade, wenn f( x) = f(x) für alle x D gilt, ungerade, wenn f( x) = f(x) für alle x D gilt. Der Graph einer geraden Funktion ist spiegelsymmetrisch bezüglich der y-achse; der Graph einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 3..0 Summe, Produkt, Quotient von Funktionen Es seien f, g : D R reelle Funktionen. Die Funktion f +g : D R mit (f +g)(x) := f(x)+g(x) heißt die Summe von f und g. Die Funktion f g : D R mit (f g)(x) := f(x) g(x) heißt das Produkt von f und g. Es sei D = {x D g(x) 0}. Die Funktion f g : D R mit ( f ) g (x) := f(x) g(x) heißt der Quotient von f und g. 9

3.2 Polynome und rationale Funktionen 3.2. Polynome Polynomfunktionen sind Funktionen der Form p(x) = n a k x k = a 0 + a x + a 2 x 2 + + a n x n mit a k R und a n 0. Der höchste auftretende Exponent (hier n) heißt der Grad des Polynoms, man bezeichnet ihn mit deg ( p(x) ). Ist a eine Nullstelle des Polynoms p(x) vom Grad n, so gibt es ein Polynom q(x) vom Grad n, so dass p(x) = (x a) q(x). Diesen Vorgang nennt man Abspalten eines Linearfaktors. 3.2.2 Rationale Funktionen De Quotient r(x) = p(x) q(x) zweier Polynomfunktionen heißt rationale Funktion. Kürzt man soweit wie möglich die Nullstellen des Nenners (mit Polynomdivision) so erhält man eine Darstellung p(x) q(x). Der maximale Definitionsbereich ist dann D(r) = {x R q(x) 0}, die Menge aller Nichtnullstellen des Polynoms q. 3.2.3 Polynomdivision Seien p(x) = a n x n + + a x + a 0 q(x) = b m x m + + b x + b 0 zwei Polynome mit a n 0, b m 0 und m n. Dann gibt es Polynome r(x) und s(x) mit p(x) = s(x) q(x) + r(x) mit deg(r(x)) < deg(q(x)). Dazu geht man vor wie folgt:. Wegen m n ist a n b m x n m q(x) ein Polynom vom Grad n, das den gleichen höchsten Koeffizienten a n hat wie p(x). Setze r (x) = p(x) a n b m x n m q(x). 2. Ist der Grad von r (x) immer noch m, wiederholt man. mit r (x) anstelle von p(x); man erhält ein Polynom r 2 (x) vom Grad n 2. 20

3. Durch Iteration erhält man reelle Zahlen c n m, c n m,... (mit c n m = an b m ), so dass p(x) = c n m x n m q(x) + r (x) r (x) = c n m x n m q(x) + r 2 (x). r k (x) = c n m k+ x n m k+ q(x) + r k (x) Da der Grad der Polynome r k (x) bei jedem Schritt fällt, muss der Prozess abbrechen (spätestens nach n m Schritten). Damit hat p(x) q(x) nun folgende Gestalt: p(x) q(x) = c n mx n m + c n m x n m + + c 0 + r(x) r(x) = s(x) + q(x) q(x). r(x) ist der Rest der Division. Dieses Verfahren heißt auch euklidischer Algorithmus. 3.2.4 Beispiel zur Polynomdivision Sei p(x) = x 5 + x 4 x 3 x 2 + x und q(x) = x 2 + x + (x 5 + x 4 x 3 x 2 + x ) : (x 2 + x + ) = x 3 2x + + 2x 2 x 2 + x + x 5 + x 4 +x 3 2x 3 x 2 + x 2x 3 2x 2 2x x 2 +3x x 2 + x + 2x 2 3.3 Exponentialfunktion und Logarithmus 3.3. Exponentialfunktion Die Zuordnung x exp(x) := e x := definiert die Exponentialfunktion exp: R R. 3.3.2 Eigenschaften der Exponentialfunktion (i) exp(0) =, (ii) exp() = e, (iii) exp(x + y) = exp(x) exp(y) für alle x, y R. (iv) exp( x) = exp(x) für alle x R; 2 x k ( k! = lim + x ) n n n

(v) exp(nx) = ( exp(x) ) n für alle x R und n Z; ( (vi) exp ( n x)) n = exp(x) für alle x R und n N0. (vii) exp(x) > 0 für jedes x R. (viii) exp ist streng monoton wachsend. Wegen all dieser Eigenschaften schreibt man auch exp(x) = e x 3.3.3 Zwei Abschätzungen der Exponentialfunktion e x + x für alle x R, e x x für alle x <. 3.3.4 Kontinuierliche Verzinsung Ein Startkapital K 0 werde mit p% p.a. verzinst. Sei x = 00 ; dann ist der Aufzinsungsfaktor bei jährlicher Zinszahlung q = + x und nach einem Jahr ist das Kapital auf K = K 0 ( + x) angewachsen. Teilt man das Jahr in n Zinsperioden auf, mit n Zinszahlungen jeweils zum Ende der Zinsperiode, so ist für jede dieser Zinsperioden der Aufzinsungsfaktor q = + x n, und es gilt ( K = K 0 q n = K 0 + n) x n. Betrachtet man immer kleinere Zinsperioden, so erhält man im Grenzwert ( K = lim K 0 + x n = K0 e n n) x. Dies bezeichnet man als kontinuierliche oder auch stetige Verzinsung. 3.3.5 Logarithmus Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp : R (0, ) heißt der natürliche Logarithmus, bezeichnet mit ln. Da exp nur positive Werte annimmt, ist der Logarithmus eine Funktion ln: (0, ) R mit e ln(x) = x und ln ( e y) = y. p 22

3.3.6 Eigenschaften des Logarithmus (i) ln() = 0, (ii) ln(e) =, (iii) ln(x y) = ln(x) + ln(y), (iv) ln ( x) = ln(x), (v) ln(x n ) = n ln(x). für alle positiven x, y R und alle n Z. (vi) ln: (0, ) R ist streng monoton wachsend. 3.3.7 Allgemeine Potenz Für a R mit a > 0 und x R sei a x = exp ( x ln(a) ) = e x ln(a). Für a = 0 und x > 0 setzt man a x = 0 und 0 0 =. Die Funktion x a x heißt Potenzfunktion zur Basis a. Statt a n schreiben wir auch n a: n a = a n = exp ( n ln(a)) und n 0 = 0. 3.3.8 Eigenschaften der Potenzfunktionen Potenzfunktionen sind auf ganz R definiert und nehmen nur positive Werte an. Es seien a, b R positiv und x, y R. Dann gilt: (i) a x+y = a x a y, (ii) a x y = (a x ) y, (iii) (a b) x = a x b x, (iv) für a < b und x > 0 ist a x < b x, (v) für a > und x < y ist a x < a y (vi) für 0 < a < und x < y ist a y < a x, Insbesondere ist für a > 0 die Funktion x a x monoton, und zwar streng monoton wachsend für a >, streng monoton fallend für 0 < a < (und natürlich konstant Eins für a = ). 23

3.3.9 Logarithmus zur Basis a Es sei a > 0 eine reelle Zahl, a. Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion x a x heißt der Logarithmus zur Basis a, bezeichnet mit log a. Es gilt log a (x) = ln(x) ln(a) für alle reellen Zahlen x > 0. log a ist eine streng monoton wachsende Funktion log a : (0, ) R mit a log a (x) = x für alle positiven x R und log a (a z ) = z für alle z R, sowie (i) log a () = 0, (ii) log a (a) =, (iii) log a (x y) = log a (x) + log a (y), (iv) log a ( x) = loga (x), (v) log a (x n ) = n log a (x) für alle positiven x, y R und alle n Z. 3.4 Winkelfunktionen Wir hatten für x R definiert: cos(x) = sin(x) = ( ) k (2k)! x2k und ( ) k (2k + )! x2k+. Man setzt cos : R R, x cos(x), und sin : R R, x sin(x). Man kann auch zeigen, daß sin eine kleinste positive Nullstelle besitzt, diese nennt man π. Diese Zahl ist nicht rational, die ersten Dezimalstellen von π sind 3, 45926... Die Nullstellen von Sinus und Kosinus sind: (a) {x R : sin(x) = 0} = {k π : k Z}. (b) {x R : cos(x) = 0} = { π 2 + k π : k Z}. 3.4. Eigenschaften der Winkelfunktionen Für alle x R gilt (i) sin 2 (x) + cos 2 (x) =, (ii) cos( x) = cos(x) und sin( x) = sin(x), (iii) cos(x + 2nπ) = cos(x) und sin(x + 2nπ) = sin(x) für alle n Z, (iv) cos(x π) = cos(x) und sin(x π) = sin(x), (v) cos ( x π 2 ) = sin(x) und sin ( π 2 x) = cos(x). 24

α sin(x) x cos(x) Abbildung : Definition von Bogenlänge, Sinus und Kosinus Die Eigenschaft (i) besagt gerade, daß für x R der Punkt (cos(x), sin(x)) auf dem Einheitskreis (d.h. dem Kreis auf der Ebene mit Mittelpunkt (0, 0) und Radius ) liegt. 3.4.2 Geometrische Interpretation {(u, v) R 2 : u 2 + v 2 = } Auf dem Intervall [0, 2π) haben die Winkelfunktionen folgende geometrische Interpretation. Ist P = (cos(x), sin(x)) ein Punkt auf dem Einheitskreis, so ist die Länge des Kreisbogens zwischen (, 0) und P gerade x. In der Zeichnung ist auch der Winkel α in Grad an gegeben, es entspricht x dem Winkel 2π α 360 (und damit entspricht α gerade 360 2π ). Eigentlich müßten wir genau sagen, was die Länge eines Kreisbogens ist! Damit wäre dann auch ein Winkel korrekt definiert. In der Abbildung unten bilden der Radius (als Hypotenuse) und die beiden fett eingezeichneten Strecken (als die beiden Katheten) ein rechtwinkliges Dreieck. Ist allgemeiner ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten a, b, c und rechtem Winkel gegenüber der Seite c, so gilt für den der Seite a gegenüberliegenden Winkel α: sin(2π α 360 ) = a c und cos(2π α 360 ) = b c. 25

α A C 90 b a c B Abbildung 2: Rechtwinkliges Dreieck (Dies folgt etwa aus dem Strahlensatz.) Man nennt a auch die Gegenkathete und b die Ankathete. π π 2 0 π 2 sin(x) π 3 2 π 2π 5 2 π 3π cos(x) Abbildung 3: Graphen von Sinus und Kosinus 3.4.3 Additionstheoreme Man kann für die Winkelfunktionen folgendes zeigen: Für alle x, y R gilt Für die Winkelverdopplung folgt insbesondere 3.4.4 Tangens und Kotangens cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) = 2 cos 2 (x). Für alle x R mit cos(x) 0 ist die Tangensfunktion definiert durch tan(x) = sin(x) cos(x). 26

Für alle x R mit sin(x) 0 ist die Kotangensfunktion definiert durch cot(x) = cos(x) sin(x). Im rechtwinkligen Dreieck ist tan 2π α 360 der Quotient der Längen von Gegenkathete und Ankathete. 3.4.5 Graph des Tangens 3 2 π 2 π 2 3π 2 5π 2-0 2 3 4 5 6 7 x - -2-3 3.4.6 Einige Werte trigonometrischer Funktionen α 0 30 45 60 90 35 80 225 270 35 x 0 π 6 sin(x) 0 2 2 π 4 2 2 π π 3 2 3 2 3π π 4 2 0 2 5π 3π 7π 4 2 4 2 2 2 cos(x) 2 3 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 tan(x) 0 3 3 3 0 3.4.7 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Die Sinus-Funktion ist im Intervall [ π/2, π/2] streng monoton wachsend und bildet dieses Intervall bijektiv auf [, ] ab. Die Umkehrfunktion heißt Arcussinus. arcsin: [, ] R Die Kosinus-Funktion ist im Intervall [0, π] streng monoton fallend und bildet dieses Intervall bijektiv auf [, ] ab. Die Umkehrfunktion arccos: [, ] R 27

heißt Arcuskosinus. Die Tangens-Funktion ist im Intervall ] π/2, π/2[ streng monoton wachsend und bildet dieses Intervall bijektiv auf R ab. Die Umkehrfunktion heißt Arcustangens. 4 Stetigkeit 4. Funktionsgrenzwerte arctan: R R 4.. Definition des Funktionsgrenzwerts Es sei D R und f : D R eine Funktion. Es seien a D und w R. Dann heißt w der Grenzwert von f bei a, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle x D \ {a} gilt: In diesem Fall schreibt man Typische Fälle: f hat eine Definitionslücke in a x a < δ = f(x) w < ε. lim f(x) = w. x a a ist ein Randpunkt des Definitionsbereichs 4..2 Äquivalente Formulierung durch Folgen Es sei D R und f : D R eine Funktion. Es sei a ein Punkt von R, so dass wenigstens eine Folge (a n ) n N mit a n D \ {a} und lim a n = a existiert, und sei w R. Dann sind n äquivalent: (i) lim x a f(x) = w, (ii) für jede Folge (x n ) n N in D \ {a} mit lim n x n = a gilt lim n f(x n) = w. 4..3 Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte Motto: Mit Funktionsgrenzwerten kann man, wenn sie definiert sind, wie mit Zahlen rechnen: Es seien f, g : D R reelle Funktionen, und seien lim x a f(x) = v sowie lim x a g(x) = w definiert. (a) Es gilt lim x a (f + g)(x) = v + w und lim x a (f g)(x) = v w. (b) Es gilt lim max{f(x), g(x)} = max{v, w} und lim f(x) = v. x a x a ( (c) Ist w 0, so gilt lim f ) x a g (x) = v w. (d) Es sei h: E D eine Funktion mit h(z) D für all z E. Sei b E mit lim z b h(z) = a, und es sei f(a) = v. Dann gilt lim z b f ( h(z) ) = v. 28

4..4 Folgerung: Grenzwerte für Polynome und rationale Funktionen (a) Für jedes Polynom p(x) und jedes a R gilt lim x a p(x) = p(a). (b) Für jede rationale Funktion p(x) q(x) 4..5 Einseitige Grenzwerte Sei f : D R eine reelle Funktion und a ein Punkt. p(x) und jedes a mit q(a) 0 gilt lim x a q(x) = p(a) q(a). (a) v R heißt linksseitiger Grenzwert von f bei a, geschrieben lim f(x) = v oder lim f(x) = v, x a x a wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle x D \ {a} gilt: 0 < a x < δ f(x) v < ε. (b) w R heißt rechtsseitiger Grenzwert von f bei a, geschrieben lim f(x) = w oder lim f(x) = w, x a + x a wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle x D \ {a} gilt: 0 < x a < δ f(x) v < ε. (c) Sei u R. Dann schreibt man lim f(x) = u x wenn es zu jedem ε > 0 ein K R gibt, so dass gilt: Analog definiert man Oder mittels Folgen: lim f(x). x x > K f(x) u < ε. Bei linksseitigen Grenzwerten betrachtet man alle Folgen (a n ) n N in D mit a n a für jedes n. Bei rechtsseitigen Grenzwerten betrachtet man alle Folgen (a n ) n N in D mit a n a für jedes n. Für lim betrachtet man Folgen, die bestimmt divergent gegen sind. x Angenommen die einseitigen Grenzwerte existieren: lim f(x) = v und lim f(x) = w. x a x a + Falls v = w ist, gilt auch lim x a f(x) = v, aber falls v w ist, existiert der Grenzwert lim x a f(x) nicht. 29

4..6 Bestimmte Divergenz gegen ± Man schreibt lim f(x) =, x a falls es zu jedem L R ein δ > 0 gibt, so dass gilt: Analog erklärt man lim x a f(x) =, lim f(x) = ± x ± x a < δ f(x) > L. einseitige bestimmte Divergenz (also lim f(x) = etc.). x a 4.2 Stetigkeit 4.2. Definition Eine Funktion f : D R heißt stetig im Punkt a D, wenn lim f(x) = f(a) x a gilt. f heißt stetig in D, wenn f in jedem Punkt von D stetig ist. 4.2.2 Rechnen mit stetigen Funktionen Es seien f, g : D R stetige Funktionen. (a) Die Funktionen f + g und f g sind stetig auf D. (b) Es sei D = {x D g(x) 0}. Dann ist die Funktion f g : D R stetig. (c) Die Funktionen max{f, g}, min{f, g} und f sind stetig auf D. ( Summen, Produkte und Quotienten stetiger Funktionen sind stetig, wo sie definiert sind. ) Sei f : D E und g : E R Funktionen. Ist f stetig in a D und g stetig in b = f(a), so ist g f stetig in a. ( Die Komposition stetiger Funktionen ist stetig. ) 4.2.3 Äquivalente Formulierungen der Stetigkeit Sei f : D R eine Funktion und a D. Dann sind äquivalent: (i) f ist stetig in a. (ii) Für jede Folge (a n ) n N mit Grenzwert a gilt lim n f(a n) = f(a). (iii) Für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass gilt: (iv) Es gilt lim f(x) = lim f(x) = f(a). x a x a + x a < δ f(x) f(a) < ε. 30

4.2.4 Satz vom Maximum Sei f : [a, b] R stetig. Dann hat f auf [a, b] ein absolutes Maximum und ein absolutes Minimum, das heißt es existiert ein ξ [a, b] mit f(ξ) f(x) für alle x [a, b] und ein ζ [a, b] mit f(ζ) f(x) für allle x [a, b]. ( Auf einem abgeschlossenen Intervall nimmt eine stetige Funktionen stets Maximum und Minimum an. ) Insbesondere ist eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall beschränkt. 4.2.5 Zwischenwertsatz Sei f : [a, b] R stetig und η R mit f(a) < η < f(b). Dann gibt es ein ξ (a, b) mit f(ξ) = η. ( Jede reelle Zahl zwischen f(a) und f(b) wird als Wert der Funktion an einer geeigneten Stelle zwischen a und b angenommen. ) Insbesondere ist das Bild eines abgeschlossenen beschränkten Intervalls wieder ein abgeschlossenes beschränktes Intervall. 4.2.6 Umkehrsatz Sei f : [a, b] R stetig und streng monoton wachsend (fallend). Dann ist bijektiv und die Umkehrfunktion f : [a, b] [f(a), f(b)] g = f : [f(a), f(b)] [a, b] ist stetig und streng monoton wachsend (fallend). 4.2.7 Beispiele Auf ihrem Definitionsbereich stetig sind: Polynomfunktionen rationale Funktionen Exponentialfunktion e x und allgemeine Potenzfunktionen a x Logarithmen (ln(x) und log a (x)) die Winkelfunktionen sin, cos, tan, cot die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen 3

5 Differentialrechnung 5. Differenzierbare Funktionen 5.. Differenzierbarkeit Es sei I ein Intervall. Eine Funktion f : I R heißt differenzierbar im Punkt x 0 I, wenn der Grenzwert f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 existiert. In diesem Fall bezeichnet man den Grenzwert mit f (x 0 ) und nennt ihn die Ableitung von f an der Stelle x 0. Schreibweisen: f = f(x) f(x 0 ) und x = x x 0, f x heißt der Differenzenquotient, der Grenzwert der Differenzenquotienten für x x 0 heißt (so er existiert) der Differentialquotient df dx (x 0) = f (x 0 ). Den Grenzwert der Definition schreibt man auch oft als 5..2 Äquivalente Formulierungen f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Es sei f : I R eine Funktion und x 0 I. Dann sind äquivalent: (i) f ist in x 0 differenzierbar. (ii) Es gibt eine Konstante c R, so dass für die Funktion r : I R mit r(x) = f(x) f(x 0 ) c (x x 0 ) gilt: r(x) lim = 0. x x 0 x x 0 In diesem Fall ist f (x 0 ) = c. (iii) Es gibt eine in x 0 stetige Funktion ϕ: I R mit f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 ) ϕ(x). In diesem Fall ist f (x 0 ) = ϕ(x 0 ). 5..3 Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit Es sei f : I R eine in x 0 I differenzierbare Funktion. Dann ist f in x 0 stetig. 5.2 Ableitungsregeln In der Folge seien f, g : I R in x 0 differenzierbar. 32

5.2. Summenregel f + g ist in x 0 differenzierbar mit 5.2.2 Produktregel (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). Produktregel: f g ist in x 0 differenzierbar mit 5.2.3 Quotientenregel (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ). Ist g (x 0 ) 0, so gibt es ein δ > 0, so dass f g für alle x I mit x x 0 < δ definiert ist, und f g ist in x 0 differenzierbar mit 5.2.4 Kettenregel ( f g ) (x0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) g(x 0 ) 2. Es seien I, J Intervalle, f : I R und g : J R Funktionen mit f(i) J. Sei f differenzierbar in x 0 und g differenzierbar in y 0 = f(x 0 ). Dann ist g f differenzierbar in x 0 mit (g f) (x 0 ) = g (y 0 ) f (x 0 ). 5.2.5 Ableitung der Umkehrfunktion Sei f : I R streng monoton und J = f(i). Sei f in x 0 I differenzierbar mit f (x 0 ) 0. Dann ist die Umkehrfunktion g = f : J I in y 0 = f(x 0 ) differenzierbar mit g (y 0 ) = f (x 0 ). 5.2.6 Ableitungen von Potenz- und Logarithmusfunktionen f(x) f (x) D(f) Parameter x n nx n R n N x n nx n R \ {0} n Z, n < 0 x a ax a (0, ) a R, a 0 x a ax a [0, ) a R, a e x e x R a x ln(a) a x R a R, a > 0 ln(x) x (0, ) log a (x) ln(a) x (0, ) a R, a > 0, a 33

5.2.7 Ableitungen der Winkelfunktionen und ihrer Umkehrfunktionen f(x) f (x) D(f) sin(x) cos(x) R cos(x) sin(x) R tan(x) R \ { π cos 2 (x) 2 + nπ n Z} arcsin(x) x 2 (, ) arccos(x) x 2 (, ) arctan(x) +x 2 R 5.3 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen 5.3. Satz von Rolle Sei f : [a, b] R stetig und differenzierbar auf (a, b). Sei f(a) = f(b). Dann gibt es ein ξ (a, b) mit f (ξ) = 0. 5.3.2 Mittelwertsatz Sei f : [a, b] R stetig und differenzierbar auf (a, b). Dann gibt es ein ξ (a, b) mit f(b) f(a) b a = f (ξ). 5.3.3 Verallgemeinerter Mittelwertsatz Seien f, g : [a, b] R stetig und differenzierbar auf (a, b). Sei g (x) 0 für alle x (a, b). Dann ist g(b) g(a), und es gibt ein ξ (a, b) mit 5.3.4 Monotonieverhalten f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). Sei f : [a, b] R stetig und differenzierbar auf (a, b). (a) f ist genau dann monoton wachsend, wenn f (x) 0 für alle x (a, b) gilt. (b) Ist f (x) > 0 für alle x (a, b), so ist f streng monoton wachsend. (c) f ist genau dann monoton fallend, wenn f (x) 0 für alle x (a, b) gilt. (d) Ist f (x) < 0 für alle x (a, b), so ist f streng monoton fallend. (e) Ist f (x) = 0 für alle x (a, b), so ist f konstant. 34

5.4 Kurvendiskussion 5.4. Höhere Ableitungen Die n-te Ableitung f (n) einer Funktion f ist die Ableitung der (n )-ten Ableitung f (n ), sofern alle diese Ableitungen existieren: 5.4.2 Lokale Extrema: Definition Sei f : I R eine Funktion und x 0 I. f (0) = f, f () = f, f (2) = f = ( f ), f (3) = f = ( f ),. f (n) = ( f (n )). (a) f hat in x 0 ein lokales Maximum, wenn es ein δ > 0 gibt, so dass f(x) f(x 0 ) für alle x I mit x x 0 < δ. (b) f hat in x 0 ein lokales Minimum, wenn es ein δ > 0 gibt, so dass f(x) f(x 0 ) für alle x I mit x x 0 < δ. (c) f hat in x 0 ein lokales Extremum, wenn f in x 0 ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum hat. 5.4.3 Lokale Extrema: Notwendige Bedingung Es sei f : (a, b) R eine Funktion, die in x 0 ein lokales Extremum hat. Ist f in x 0 differenzierbar, so gilt f (x 0 ) = 0. 5.4.4 Lokale Extrema: Hinreichende Bedingungen I (Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) Es sei f : (a, b) R eine differenzierbare Funktion und ξ (a, b) eine Stelle mit f (ξ) = 0. Wenn die Ableitung f (x) im Punkt ξ das Vorzeichen wechselt, hat f in ξ ein lokales Extremum, und zwar (i) ein lokales Maximum, wenn f von + nach wechselt, (ii) ein lokales Minimum, wenn f von nach + wechselt. 5.4.5 Lokale Extrema: Hinreichende Bedingungen II (Zweite Ableitung) Es sei f : (a, b) R zweimal differenzierbar, und es gelte f (ξ) = 0 für ein ξ (a, b). (i) Ist f (ξ) < 0, so hat f bei ξ ein lokales Maximum. (ii) Ist f (ξ) > 0, so hat f bei ξ ein lokales Minimum. 35

5.4.6 Lokale Extrema: Hinreichende Bedingungen III (Höhere Ableitungen) Es sei f : (a, b) R eine n-mal differenzierbare Funktion, n 2. An einer Stelle ξ (a, b) gelte f (ξ) = f (ξ) =... = f (n ) (ξ) = 0, f (n) (ξ) 0. (i) Ist n gerade, so ist ξ eine lokale Extremstelle, und zwar ein lokales Maximum, falls f (n) (ξ) < 0 ist, ein lokales Minimum, falls f (n) (ξ) > 0 ist. (ii) Ist n ungerade, so ist ξ kein lokales Extremum. 5.4.7 Konvexität und Konkavität: Definition Es sei I R ein (endliches oder unendliches) Intervall. Eine Funktion f : I R heißt konvex, wenn für alle x, x 2 I und alle λ R mit 0 < λ < gilt: f ( λx + ( λ)x 2 ) λf(x ) + ( λ)f(x 2 ). Die Funktion f heißt konkav, wenn f konvex ist. 5.4.8 Konvexität und zweite Ableitung Es sei f : I R eine zweimal differenzierbare Funktion. (i) Ist f (x) 0, so ist f konvex in I. (ii) Ist f (x) 0, so ist f konkav in I. 5.4.9 Wendepunkte Es sei f eine im Intervall (a, b) differenzierbare Funktion. Ein Punkt ξ (a, b), an dem f ein lokales Extremum besitzt, heißt ein Wendepunkt von f. 5.4.0 Charakterisierung von Wendepunkten I (Vorzeichenwechsel) Es sei f eine im Intervall (a, b) zweimal differenzierbare Funktion. Für ein ξ (a, b) gelte f (ξ) = 0. Genau dann ist ξ ein Wendepunkt von f, wenn f bei ξ das Vorzeichen wechselt. Die Krümmung von f wechselt bei ξ (von links nach rechts betrachtet) (i) von konvex zu konkav, wenn f von + nach wechselt, (ii) von konkav zu konvex, wenn f von nach + wechselt. 5.4. Charakterisierung von Wendepunkten II (Dritte Ableitung) Es sei f : (a, b) R dreimal differenzierbar, und es gelte f (ξ) = 0 für ein ξ (a, b). (i) Ist f (ξ) < 0, so hat f bei ξ einen Wendepunkt, und der Graph von f ist links von ξ konvex, rechts von ξ konkav. (ii) Ist f (ξ) > 0, so hat f bei ξ einen Wendepunkt, und der Graph von f ist links von ξ konkav, rechts von ξ konvex. 36

5.4.2 Charakterisierung von Wendepunkten III (Höhere Ableitungen) Es sei f : (a, b) R eine n-mal differenzierbare Funktion, n 3. An einer Stelle ξ (a, b) gelte f (ξ) = f (ξ) =... = f (n ) (ξ) = 0, f (n) (ξ) 0. (i) Ist n ungerade, so ist ξ ein Wendepunkt von f, und zwar wechselt die Krümmung (von links nach rechts gesehen) von konvex nach konkav, falls f (n) (ξ) < 0 ist, von konkav nach konvex, falls f (n) (ξ) > 0 ist. (ii) Ist n gerade, so ist ξ kein Wendepunkt. 5.4.3 Vollständige Kurvendiskussion. Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs D(f) von f, wenn dieser nicht vorgegeben ist. 2. Bestimmung der Nullstellen von f, also der Lösungen der Gleichung f(x) = 0. Dies geht oft nicht exakt, sondern nur näherungsweise mittels numerischer Verfahren, die auf geeigneten Algorithmen beruhen, wie etwa der Bisektionsmethode oder dem Newton-Verfahren. 3. Bestimmung der lokalen und, so sie existieren, globalen (also absoluten) Extrema. Ist D(f) ein abgeschlossenes Intervall, so besitzt f sowohl globale Maxima wie Minima (Satz vom Maximum). Ansonsten kann es passieren, dass f weder das eine noch das andere hat. 4. Bestimmung der Wendepunkte, des Monotonie und des Krümmungsverhaltens. 5. Bestimmung des Verhaltens von f am Rand des Definitionsbereichs, also der Funktionsgrenzwerte, wenn x sich den Randpunkten von D(f) annähert, inklusive der Punkte ±, wenn f für alle genügend großen und kleinen x definiert ist. 6. Skizze des Graphen von f. Beispiel 5.. Wir demonstrieren dieses Programm anhand der Funktion f(x) = (x 2 3)e x.. f ist auf ganz R definiert und beliebig oft differenzierbar. 2. Es ist f(x) = 0 genau dann, wenn x 2 3 = 0 ist, denn die Exponentialfunktion ist nirgendwo Null. Die Nullstellen von f sind also η = 3 η 2 = 3. und 37

3. Die erste Ableitung f (x) = 2xe x (x 2 3)e x = ( x 2 + 2x + 3)e x von f verschwindet genau dann, wenn x 2 2x 3 = 0 ist. Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen x = ± + 3, also ξ = und ξ 2 = 3 mit Werten f( ) = 2e = 5,4365... und f(3) = 6e 3 = 0,2987.... Weiterhin ist f (x) < 0 für x < und x > 3 und f (x) > 0 für < x < 3; folglich besitzt f ein lokales Minimum an der Stelle ξ =, ein lokales Maximum an der Stelle ξ 2 = 3. Das lokale Minimum ist auch ein globales Minimum, denn es ist das absolute Minimum im Intervall [ 3, 3], und die Funktion f nimmt außerhalb dieses Intervalls nur positive Werte an. Das lokale Maximum ist aber kein absolutes Maximum, denn es ist etwa f( 2) = e 2 > f(3). 4. Es ist f (x) = ( 2x + 2)e x ( x 2 + 2x + 3)e x = (x 2 4x )e x. Die zweite Ableitung ist genau dann Null, wenn x 2 4x = 0 ist, also für ω = 2 5 mit f(ω ) = (6 4 5)e 5 2 3,73 ω 2 = 2 + 5 mit f(ω 2 ) = (6 + 4 5)e 2+ 5 0,22 Die zweite Ableitung wechselt bei ω und ω 2 das Vorzeichen, und zwar ist Damit sind ω und ω 2 Wendepunkte. f (x) > 0 für x < 2 5 f (x) < 0 für 2 5 < x < 2 + 5 f (x) > 0 für 2 + 5 < x Aus den Vorzeichen von erster und zweiter Ableitung folgt: Die Funktion f ist streng monoton fallend für x < streng monoton wachsend für < x < 3, streng monoton fallend für x > 3; konvex für x < 2 5, konkav für 2 5 < x < 2 + 5, konvex für x > 2 + 5. 38