/8 Modellbldung und Smulaton Grundätzlche Be der Modellerung komplexer Syteme ollte nach folgenden Schrtten ytematch vorgegangen werden (ehe z. B. [] ):. Zuammentragen der Vorgaben Zel: Sammeln und Aufbereten der Fakten und Daten de für de Smulaton de Sytem von Bedeutung nd Zuammentragen von Informaton: Aufbau, Schema, Bechrebungen, Datenblätter, Pflchtenhefte Vertehen der Funktonwee de Sytem: Zweck de Sytem, Funktonprnzpen, weentlche Stoff- und Energetröme Auflten der Engang- und Auganggröen Fethalten der Sytemgrenzen, Letungbegrenzungen, Arbetbereche, tatche und dynamche Fehler Untertelung n Subyteme: Auftelung n Haupt- und Nebenfunktonen 2. Dartellen der qualtatven Wrkungzuammenhänge Zel: Vertehen der Enzelprozee und deren Zuammenwrken n qualtatver Form für jede Subytem und für da Geamtytem Graph der Relatonen Relevante phykalche Phänomene und Geetze Erkennen der Stoff-/Energepecher Erkennen der Flüe (Stoffe und Energe) nbeondere an den Sytem-/Subytemgrenzen Auflten der nnvollen Annahmen und möglchen Verenfachungen 3. Überführen n quanttatve Bezehungen Zel: Auftellen der mathematchen Bezehungen Blanzgeetze (für jeden Specher: Stoff-, Energeblanz) Konttutve Geetze (für jeden Stofftrom: Zuammenhang zwchen ntenven und extenven Gröen, d. h. Potental- und Mengengröen) Explzte Fethalten der getroffenen Annahmen und Verenfachungen Sgnalflublder (Blockchaltblder) ertellen (z. B. drekt mt Smulnk) 4. Umarbeten der Glechungen n Standardform Zel: Umformen der mathematchen Sytembechrebung n ene tandarderte Form (Kompakthet, numerche Effzenz) für de numerche Integraton Redukton auf de Potentalgröen durch Enetzen der algebrachen Glechungen n de Blanzglechungen Dmenonbefreung (Normeren aller Gröen mt Nomnal-, bzw. Nennwerten) Gegebenfall Lnearaerung um enen tatonären Betrebzutand Deer Schrtt kann mt enem Smulatonwerkzeug we z. B. Smulnk augeführt werden, wobe de Umgetaltung der Glechungen durch da Programm übernommen wrd. [] Schwezerche Geellchaft für Automatk, Lernmodul Nr. : Modellerung für de Regelungtechnk, Methodk und Bepele, A. H. Glattfelder, W. Schaufelberger, Inttut für Automatk, ETH Zürch, Jun 995
2/8 Bepel: Modell ener enfachen R-Schaltung, Vorgehen mt Smulnk R (t) R u q (t) u(t) u R (t) u (t) Zuammentellung der Glechungen Blanzglechung 2 Machenatz u = u + u + u q R R Konttutve Glechungen 3 Kondenator = u (dee Bezehung etzt ch zuammen au der Defnton der Kapaztät und dem Ladungerhaltunggeetz) Wdertände u = R R, u R R = Anfangbedngungen 4 Kondenatorpannung u()= 0 U0 (betmmt den Energegehalt de Kondenator zum Zetpunkt t = 0) Smulnk-Modell Grundätzlch ollte en Modell ene dynamchen Sytem um de enzelnen unabhänggen Energepecher herum aufgebaut werden.. Schrtt: Telmodelle der Energepecher auftellen Zur Smulaton de (dealen) Kondenator werden folgende Glechungen nachgebldet: u () t t t du u = = (konttutve Geetz); du = u dt u()= t u()+ 0 u () t dt dt u ( 0) 0 0 u u / Kapaztät Integrator Pro Integrator mu ene Anfangbedngung fetgelegt werden: her der numerche Wert von u (0). 2 Blanzgeetze nd olche be denen Erhaltunggröen (ogenannte extenve Gröen), we z. B. Ladung, Energe, Impul, Drehmpul blanzert werden. Be elektrchen Sytemen nd da unter anderen Machen- und Knotenatz. 3 Konttutve Geetze (oder auch Materalgeetze) bechreben phykalche Zuammenhänge oder Wechelwrkungen, z. B. für elektrche Syteme ohmche Geetz, Temperaturabhänggket der Letfähgket, Zuammenhang zwchen Ladung und Spannung be Kondenatoren, Induktongeetz. Lorentz-Kraft, uw. 4 Au den Anfangbedngungen kann der Energegehalt ene dynamchen Sytem zu enem betmmten Zetpunkt (Anfangzetpunkt) betmmt werden und umgekehrt.
3/8 Man könnte auch de Rehenfolge der beden Blöcke tauchen (de t be lnearen Elementen, ohne da ch am Sytem etwa ändert, möglch) um de Ladungpecherung hervorzuheben. gepecherter Stoff: Ladung q = u ; Stoffflu: Stromtärke Dabe werden folgende Glechungen nachgebldet: qt q0 t dt q / Integrator Kapaztät u ()= ()+ () t 0 (Ladungerhaltung), u = q 2. Schrtt: Mt den konttutven Glechungen de benötgten tatchen Bezehungen nachblden und Blanzglechungen berückchtgen u R +u R /(R+R) Wdert. / Kapaztät u Integrator u Bemerkung: Blanzglechungen führen m Smulnk-Modell auf Summatongleder. u q Sum u R +u R /(R+R) Wdert. / Kapaztät u Integrator u Somt t de Schaltung b auf de Quelle nachgebldet. Auf dee Ergänzung oll her verzchtet werden. De Auganggröen u (t) und (t) können drekt au dem Modell entnommen werden. 3. Schrtt: Numerche Integraton, d. h. Löen der Glechungen für enen vorgegebenen Verlauf der Quellenpannung und den Anfangbedngungen Mathematch mu da entprechende Anfangwertproblem gelöt werden. Dee lautet her: ( ) + = gegeben: DGl. R + R u u u mt der Anfangbedngung u U q 0 0 ()= geucht: u (t) und (t) für den vorgegebenen Verlauf von u q (t) für 0 t t end De Dfferentalglechung t m Smulnkmodell mplzt n der Struktur der Blöcke enthalten. De Anfangbedngung wrd für den Integrator fetgelegt. De Smulatondauer und da Integratonverfahren werden n den Smulatonparametern fetgelegt Bermekung: Im Allgemenen t e kene gute Idee, zuert de Dfferentalglechung (bzw. da Dfferentalglechungytem) de Sytem aufzutellen und dee mttel Smulnk nachzublden. Da drekte Auftellen de Model ermöglcht e, ämtlche phykalchen Gröen auch m Modell zur Verfügung zu haben.
4/8 Aufgaben. Stellen Se de Dfferentalglechung und da entprechende Smulnk-Smulatonmodell ene an enen Funktongenerator (u q (t), R = 50 Ω) angechloenen R-Glede (R = kω n Sere zu = 220 nf) auf. De Spannung über dem R-Gled e u(t) und de Stromtärke (t).. Al Quellengnale u q (t) ollen rechteckförmge und harmonche Sgnale mt entellbaren Frequenzen und Ampltuden möglch en. De anfänglche Kondenatorpannung u (0) oll al Anfangbedngung ebenfall berückchtgt werden können. De Gröen u q (t), u(t), (t) und u (t) ollen alle al Auganggröen erfat werden können..2 Ergänzen Se de Schaltung durch de Eratzchaltung de KO mt dem de Spannung u(t) gemeen wrd: KO-Kapaztät KO = 20 pf parallel zum Engangwdertand R KO = MΩ. De numerche Integraton mt Smulnk (Löen der Dfferentalglechung) wrd n deem Fall mt der klachen ode23- oder ode45-methode (Dormand-Prnce) extrem träge. Abhlfe: Integratonmethode für "tefe" Syteme benutzen (z. B. Adam). 2. Stellen Se de Dfferentalglechung und da entprechende Smulnk-Smulatonmodell de folgenden RL-Serechwnkree auf: Auganggröen: Stromtärke (t) und Spannungen u (t) und u L (t) über den Specherelementen Werte: R = 3 Ω, L = mh, = µf Enganggnal: Spannung u(t) über dem Schwngkre 0 für t < 0 Enhetchrtt (Heavde Funkton): u()= t ε()= t t 0 3. Stellen Se en Smulatonmodell de folgenden mechanchen Sytem auf: f m Legende: r x x Aulenkung von der Ruhelage n m, Anfangbedngung: x(0) = X 0 0 m Mae n kg f Federkontante n N m r Rebungkoeffzent n N m (Gletrebung) Auganggröen: Aulenkung x und Gechwndgket v= x Werte: m = 200 g, f = 0.2 0 3 N m, r = 2 N m ken Enganggnal, d. h. u(t) = 0 3. Stellen Se de Dfferentalglechung de lnearen Sytem auf. 3.2 Smuleren Se da Verhalten de LDS. 3.3 Stellen Se da Sytemverhalten m Phaenraum dar. Phaenraum: x(t) al Abze, v() t = x ( t) al Ordnate
5/8 Anhang Analogen zur Modellbldung Zur Bechrebung phykalcher Syteme werden zwe Arten von Gröen benötgt. Dee nd n den folgenden Tabellen für de wchtgten technchen Syteme zuammengetellt. Tabelle.: Extenve oder mengenartge Gröen und hre Fluvarablen (Stromtärken) De Fluvarablen nd de zetlchen Abletungen der extenven Gröen: I = dq dt Extenve Gröen Fluvarablen (Stromtärken) Enhet Enhet elektrche Syteme el. Ladung Q A elektrcher Strom I A magnetche Syteme magnetcher Flu ψ V magn. Flutrom 5 I ψ V Tranlaton Impul p kg m - Impultrom 6 I p N Rotaton Drehmpul L kg m 2 - Drehmpultrom 7 I L N m Hydraulk Volumen Vol m 3 Volumentrom I V m 3 / Thermodynamk Entrope 8 S J K - Entropetrom I S J K - / chemche Syteme Stoffmenge n mol Mengentrom I n mol/ Tabelle.2: Intenve Gröen oder Potentale, Energe und Letung Intenve Gröen Energe Letung Enhet n J n W elektrche Syteme el. Potental ϕ V ϕ Q ϕ I magnetche Syteme magn. "Spannung" u m A u m ψ u m u nd Tranlaton Gechwndgket v m - v p v F Rotaton Wnkelgechwnd. ω - ω L ω M Hydraulk Druck p N m -2 p Vol p I V Thermodynamk Temperatur T K T S T I S chemche Syteme chem. Potental µ J mol - µ n µ I n 5 De der elektrchen Stromtärke I entprechenden magnetche Gröe t de nduzerte Spannung u nd. Se t entlang ene gechloenen Weg defnert und entprcht der zetlchen Änderung de magn. Flue durch de durch deen Weg umrandete Fläche (Induktongeetz n Integralform). In den älteren Büchern wrd dee Gröe (weng zutreffend) al elektromotorche Kraft bezechnet. 6 De der Stromtärke entprechenden Gröe t her de Kraft F. 7 De der Stromtärke entprechenden Gröe t her da Drehmoment M. 8 Sehe H. U. Fuch: The Dynamc of Heat, Sprnger, 996.
6/8 Au den folgenden Tabellen können Analogen zu den Egenchaften elektrcher Bauelemente für enge andere phykalche Telgebete 9 entnommen werden. Tabelle.3: Dpatve-Energeumlader (dpatve "Verbraucher") dperte Enhet Letung n W elektrcher Wdertand R = ϕ / I V A - ϕ 2 / R magnetcher Wdertand 0 Dämpfung (tranlatorch) /ρ = v / F kg - ρ v 2 Dämpfung (rotatorch) /ρ = ω / M kg - m-2 ρ ω 2 hydraulcher Wdertand R h = p / I V kg m -4 - p 2 / R h thermcher Wdertand R th = T / I S K 2 J- T 2 / R th Tabelle.4: Kapaztve Energepecher gepecherte Enhet Energe n J elektrche Kapaztät = Q / ϕ A V - / 2 ϕ 2 magnetche "Kapaztät" Λ = ψ / u m V A - / 2 Λ u 2 m Mae (träge Mae) m = p / v kg / 2 m v 2 Träghetmoment θ = L / ω kg m 2 / 2 θ ω 2 hydraulche Kapaztät h = Vol / p m 5 N- / 2 h p 2 Entrope-Specherkapaztät 2 S = S / T J K -2 / 2 S T 2 Tabelle.5: Induktve Energepecher gepecherte Enhet Energe n J elektrche Induktvtät L = ϕ I V A - / 2 LI 2 magnetche Induktvtät 3 Feder k= vf m N - 2 / 2 F k Toronfeder k= ω M N - m- 2 / 2 M k Träghet der Flügket θ h = pi V N 2 m-5 / 2 θ h I 2 V thermche Induktvtät 4 9 De glt für Syteme mt konzentrerten Parametern. 0 De zu den anderen "Wdertänden" analoge Defnton t ncht gebräuchlch. Be magnetchen Kreen wrd üblcherwee der "magnetche Wdertand" oder Reluktanz mt R m = u m /ψ defnert. Letztere Verhältn bechrebt aber ene kapaztve Egenchaft (ehe nachfolgende Tabelle). Dee Gröe wrd n (mathematcher) Analoge zur Glechtromlehre, üblcherwee al "magnetcher Letwert" bzw. Permeanz bezechnet. Se t m Allgemenen abhängg vom magnetchen Flu. De Formel für de Energe glt nur be lnearen Verhältnen, alo ncht für ferromagnetche Stoffe. 2 Deer Begrff t ncht daelbe mt dem wa allgemen mt "Wärmekapaztät" bezechnet wrd (ehe H. U. Fuch: The Dynamc of Heat, Sprnger, 996). 3 De zu den anderen "Induktvtäten" analoge Defnton t n Integralform ncht gebräuchlch. 4 Deer Begrff hat nur n pezellen Fällen ene Bedeutung und wrd her ncht verwendet (für Detal ehe H. U. Fuch: The Dynamc of Heat, Sprnger, 996).
7/8 Anhang 2 SIMULINK Kurzanletung (MATLAB 6 R2) Zum Benutzen von Smulnk mu zuert MATLAB getartet werden. Dann Engeben von folgendem Befehl m MATLAB Launch Pad:» mulnk en leere Arbetfenter mt dem Namen unttled erchent Wetere Smulnk - Arbetfenter können mt dem Befehl New Model m Fle-Menu eröffnet werden. Im Smulnk Lbrary Brower erchenen folgende Smulnk Funktonbblotheken. Darn können de nebentehenden wchtgten Funktonblöcke gefunden werden: Smulnk ontnuou Integrator, State-Space, Tranfer Fcn, Tranport Delay, Zero-Pole Dkrete Zero Order Hold, Unt Delay (/z), Dcrete State-Space, Dcrete Tranfer Fcn Functon&Table MATLAB Fcn Math Ab, Gan, Math Functon, Product, Sgn, Slder Gan, Sum, Trgonometrc Fcn Nonlnear Frcton, Quantzer, Saturaton, Swtch Sgnal&Sytem Demux, Ht rong, Mux, Subytem, Trgger Snk Scope, To Fle, To Workpace Source Bandlmtted Whte Noe, lock, ontant, From Workpace, From Fle, Pule Generator, Repeatng Sequence, Sgnal Generator, Sne Wave, Step Smulnk Extra Addtonal Dcrete Addtonal Lnear PID ontroler, Addtonal Snk Auto orrelator, Averagng Power Spectral Denty, Spectrum Analyer Flp-Flop lnearzaton Tranformaton Syten ID Block Öffnen Se de Bblothek au der Se en Objekt (Funktonblock) entnehmen wollen durch Doppelklck und zehen Se mt dem Zeger der Mau dee Objekt auf da Arbetfenter (drag and drop - Technk). So können mehrere Objekte au dveren Bblotheken herangeholt werden. Objekte können auch mt der copy pate - Technk duplzert werden. De Sgnalverbndungen zwchen den Objekten werden mt dem Mauzeger gezogen. Bepel: Mux Pule Generator Sum Sum Gan Gan Integrator Mux Scope 0 ontant
8/8 De Funktonblöcke können mt enem Doppelklck geöffnet werden. Im dabe erchenenden Dalogfenter können de gewünchten Parameter fetgelegt werden. E empfehlt ch dabe ncht numerche Werte, ondern Varablennamen enzugeben. Dee Varablen können n enem Matlab m-fle defnert werden. Dee mu vor der Auführung der Smulaton augeführt werden. It da Bockdagramm ertellt, o müen de Smulatonparameter fetgelegt werden. De gecheht m Menu Smulaton unter dem Untermenu Parameter. Dabe müen de Smulatonzeten engegeben werden (Smulaton tme) z. B. Stop tme: tend. Auch her ollten Varablennamen und kene numerchen Werte verwendet werden. Für den Integratonalgorthmu (Solver opton) können n den meten Fällen de Default-Entellungen verwendet werden, z. B. Type: Varable-tep; ode45 (Dormand- Prnce). Um de Ergebne der Smulaton zu gewünchten Zetpunkten zu erhalten, müen noch de Augabezetpunkte defnert werden (Output opton) z. B. mt Produce pecfed output only und Output tme: tme. De gewünchten Augabezetpunkte müen m Vektor tme defnert werden. De Smulaton wrd mt dem Smulaton-Untermenu Start getartet. Da Modell kann ebenfall au enem m-fle mt dem Befehl» m('modellname') aufgerufen werden. Da m-fle und da Smulnk- Modell dürfen ncht denelben Namen tragen. Smulnk kann we MATLAB augechaltet werden.