Die neue Gravitationstheorie in vierdimensionalvektorielien Darstellungen, VON JUN ISHIWVARA in Berlin-Friedenau. Die. new Gravitationstheorie, die auf der Grundannahme beimiht, dass das Gravitationsfeld iiberhaupt durch die, Lichtgeschwindigkoit bestirnimt soi, rixhrt von einem Veisuch. Linsteins (1) her, in deco or die Schwerkraft in seine Relativitstheorie einzuordnen erzielte. Unabhangig, von einer ziemlich verwickelten; unauschaulichen Ratimzeitauffassung, zu deren Annahme man allerdings infolgo der in diese letzto Thoorieeingefuhrten Hypothesen gezwungen war, stellte Abraham (2) andererseit die allgemeinere Gravitationsfeldgleiohung her vollstiindig auf Grand der mechanischen Satze. Um einen Zusammenhang der Abrahamsehen Gleichung mit der elektromagnetisehen Theorie festztistellen, habo ich in einer noulioh publizierten. Arbeit (3) dieselbe aus der Annahme der elektromagnetischen Grundgleichungen einer plausiblen Form hergeleitet. In Intoresse mathematiseher Hinsioht mochte ich im Vorliegenden die letztere Theorie in vierdimensional-vektoriellen Darstellungon nach dem Minkowski-Sommerfeldschen Schema wiedergeben. Daboi moohte ich mir erlauben, fiir die mathematisehen Bezeiehnungen sieh derjenigen zu bedienen, die man in meiner, kurzen Skizze der vierdimensionalen Yektoranalysis (4) in Jahrbuch der Radioaktivit t and Llektronik findet. Wir denken uns oinen euklidischon vierdimensionalen Raum (die Minkowsskisohe Welt), dessen Koordinaten die drei gewohnlichen raumlichen Koordinaten x, y, z and die mit der imaginiren heit i multiplizierte Zeit it ausdriieken sollen (s). Wegon der Symmetrie wollen wir these Koordinaten durch r1, r2, r 3, r4 bezeiclmen. (1) A, Einstein, Ann. d. Phys. [4], 35 (1911), p. 898; 38 (1012), p. 355 u. p. 443. (9) M. Abraham, Phys. Zeitsehr, 13 (1912), p. 793. (3) J. Ishiwara, Phys. Zeitschr. 13 (1912), p. 1189. (*) J. Ishlwara, Jahrb.. d. Iladionktivititt u. Elektronik 9 (1912), p. 589. (a) Ein euklidischer Baum mit den Koordinaten s, y z and it kann bekanntlich durch einen Lobdschefskisehen Raum mit den Koordinaten a, y, z, I ersetzt werden Mi. P. Klein, Phys. Zeitschr. 12 (1911), p. 17). Man kann in diesem letzteren Raum ganz tthnlich vie im ersteren eine Voktornnalysts entwickeln and ebenso die betreffenden Berechnungen durchfithren.
In diesena Raum seien zwei Sechservektoren F mid 71 gegeben, die mit zwei dreidimonsionalen Vektoren and and einem Skalar c folgondermassen zusammenhangen: r v Iv rv Z+14 c F24 c (NY, F H3 X31 H12=Y c t (1) (2) Als ein Vierervektor sei nosh eingofiihrt: wo u Din dreidimensionaler Vektor and p ein Skalar ist. Wir stellon zanaiclist die folgonden Beziehungen zwischen diesen Voktoren fest: Div F*=0 (4) Dives=P. Also, die Voktordivorgonz dos dualen Sechsorvokttors von F soil iiborall verschwindon, witlirend dio Voktordivorgenz von 11 dureh den Vierervektor P bostimmt sei. Tnclem wir enter (j, p, c, v don olektrischon, den magnetischen Feldvoktor, die Dichto. der, elektrischen Ladung, den absoluten Betrag der Lichtgeschwindigkeit bzw. den Gesehv indigkeitsvektor der bewegton Ladung verstehen, wollon wir aun die Differentialgleichungen (4) als die Grundgleiehungen des elektrodynamischen Folder annehmen. Soviel e konstant ware, so wilydon sich dieso Gloiehungen dureh niehts von den bekannten Maxwollschon unterscheiden; im Vorliegenden nehmon wir aber c allgomoin als eine Funktion der Raumzeitkoordinaten an mid wir wollen in (4) Dine Verallgemeinerang der Maxwellschen Gleichungon erblieken. Wir bilden aus don Seehservektoren F, H and deren dualon Voktoron P*, H* einen Tensor r(6)folgendormassen: Dio Kompononto von T(1) naah der h1c-ebeno kann man nun so darstallen: T (011) =1 (-mil 14)--2(Kh* F*) (3)
---(((P P))Itt+((P A k) {Z1 (Fn9 11i)--Z1 (HhJ* -(F tt kt) f (Htt* Fkt*). (5a) 4 4 -+((p P))tt {1(Pli 1r)--i (ll j* Ft3*)} Hier bedeutet l eino boliebige Zalil von 1, 2, 3, 4, and p den Vierervoktor,. desson Komponenten nach don Koordinatenaxen die (rundvektoren sind, d. h. den absoluten Wort 1 haben; also ist fur jedes h and jedos von h verschiedone is ((p P)h/l=(PIE Pn)=1, ((p PLt=(PI, pj=0. Die Voktordivergonz des Tensors T(e) ist nun oin Viorervoktor, desson Komponente each dor h-aehse ist. Setzon wir don Ausdruck (5a) in die rechto Scito von (6) ein, so bekomnien wir (6) + (Tint Bt-Sit-F t*) I Die orate Summo nach lc in (6a) kunnon wir naeh Ausf u" hrung der Differontiationen und oiniger Umformungen fiilubn zum Ausdruck (6a) odor noch mit Hilfe der Grundgleiehungen (4) einfach zu Die zweite Summe goht abet sofort fiber in, Sornit konnen wir allgemein erhalten
Div T=(hP)-Ku, (7) wo K(l) ein Vierervektor ist, dessen Komponente each der h-aohse gegebon wird durch Die Gleichung (7) drackt nichts anders als den Impuls- and don Energiesatz aus. (F P) ist bekanutlich die auf die Ladung p wirkende Vierorkraft tmd Ti(e) ist die Spannung des. elektromagnetischen Feldes. Setzen wir. so wird (7) (8) K ee=div T(8), K=(Y+P) (9) K=K(e)+K(4) (10) Die Kraft K (d' wird aus (8) wegen (1) tmd (2) so berechnet: worin (11) ist. Dioso Kraft ontsteht also uhorhaupt larch die Verauderlichkeit von c and zwar sie hat das Potential c. Wir wollon daher sie als die auf die elektromagnetischo Fnergie wirkende Gravitationskraft ansehen. Der Faktor ist darn als die Schweremasse der Enelgie it(*) aufzufasson. Die pro Masseneinheit bozugliche Kraft ist folglich K(0) KOO Grade -2-/c Grad VC Wir denkon uns ferner omen Viorervektor f, durch (12) (lesson Kompononto fi=10l<0> ki a fs=ic3c f4-1k4(g) (13) CS bestinimt ist. Die skalare Divergenz des Viororvektors f wird dahor gegeben durch
wo abkurzuin weise gesetzt ist: (15) Die beiden Teilen von div f sollen gerade der Energio u(a) des Gravitationsfeldes bzw. der Fnergie u(e) des elektromagnetisehen Feldes proportional rein: au(a)=2 0, auo=2'/c r (16) so dass div f=--u (u(o)+u(6)) (14a) ist. Aus (11) and (16) gelangen wir noch zur Gleieliung Kw)=-4 F Grad v' (17) mittols welcher die Gravitationskraft vollkommen durch c bestimmt wird. Die Gleichung (17) wird weiter gef iihrt in die Form: g(o) Div V(g) (18) in vollkommenor Analogie mit dem Ausdruck von K(O). Bier ist T=4) niimlich der Gravitationstensor, der sick noch als ein Tensorprodtlkt aus zwei Tensoren G and GO) ergeben liisst: TOO (((T(1,11. (19) Die Komponenten von G and G sind so zu bestimmeu: (23 G2-zCG14=-614, 2 st=--g3=icg2/=---g43 2 G12=-G21=icG34=-i/c G13= ig 01 (20) G11=G22=G33=G44==1/c
G31(1)=-G13(1)=i/cG24(1)=-icG42(1)= (21) Die beiden Tensoron G and G' hangen miteinander so zusammen, dass der eine von ihnen dann orhalten wird, wean man, den transponierten Tensor des andern bildet and darin die Zoichen aller Schubspannungen verwechselt. Ist die Diohte der elektromagnetischen Energie u(e) in einem bestimmy ton Raumteile gegeben, so bestimmt sich das Gravitationsfeld dureh die partielle Differentialgleichung (22) deren Lo-sung man naoh einer vierdimensionalen Potentialtheorie erhalton kann. In einen von dor elektromagnetischen Energie freien Raum pflanzt rich V-c als eine longitudinale Wolle mit dor Gesehwindigkeit c fort. Dagegen erhalt man fur die Fortpflanzung der elektrmagnetischen transversalen Welle in einem von der Ladung freien Raume aus (4) die 4leiobung 02 F+Curl (Div. (F-K))=0, wodurch man die Kriimmang des Liohtstrahls im Gravitationsfeld berechnen kann. 7. Dezember, 1912.