Geradengleichungen - ein Crashkurs 2 grundlagen 3 steigungswinkel 4 punkt-steigungs-form 5 zwei-punkte-form 6 achsenabschnitts-form 7 senkrechte 8 schnittpunkt 9 schnittwinkel 0 formelsammlung Komplexbeispiel Wolfgang Memleb Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - -
Grundlagen Zur Einführung wählen wir ein typisches Beispiel aus der Praxis: Zur Verkabelung eines kleinen Netzwerks benötigen Sie mehrere Kabel. Im Versandhandel kostet ein Kabel 5,00. Für den Versand werden pauschal 0,00 berechnet. Den Gesamtpreis können wir nun auf einfache Weise berechnen, da dieser von der bestellten nzahl, dem Einzelpreis und von den Versandkosten abhängt. Der Mathematiker sagt: Der Gesamtpreis ist eine Funktion der nzahl: GesamtPreis = f ( nzahl ) Einzelpreis und Versandkosten sind konstante Werte Die nzahl können wir frei wählen (je nach Bedarf). Eine bestimmte Vorschrift legt fest, wie sich der Gesamtpreis berechnet. Hier ist dies Vorschrift recht übersichtlich: oder allgemein - wie es der Mathematiker schreibt: GesamtPreis = 5,00 nzahl + Versandkosten f( x) = y = mx + b Mit jeder bestellten Einheit steigt der Gesamtpreis um 5,00. m ist also ein Steig(er)ungsfaktor. Wir stellen den Zusammenhang y = 5x + 0 graphisch dar: Um aus einer Funktion einen Graphen zeichnen zu können, muss man entweder zwei Punkte bestimmen, zwischen denen man dann die Gerade zeichnen kann, oder man bestimmt einen Punkt und benutzt die Steig(er)ungsrate: Einheit nach "rechts" und m Einheiten nach oben (oder unten - je nach Vorzeichen von m) Die Ordinate (chse der abhängigen Größe) wird für den Gesamtpreis skaliert (eingeteilt). Die bszisse (chse der unabhängigen Größe) wird mit der nzahl skaliert. Bei Null bestellten Einheiten (ein Bisschen weltfremd aber die Mathematik will es so...) fallen nur die 0,00 Versandkosten an: für x = 0 ist y = 0. Der Graph steigt (mit wachsendem x wird auch y größer) nun gleichmäßig an (chtung: Rabatte werden nicht berücksichtigt). Die Steig(er)ung beträgt, wie bekannt, 5 je bestellter Einheit. Kennt man die Steigung eines Graphen nicht, z.b. wenn der Graph aus einer Wertetabelle erstellt wurde, kann man sie dennoch einfach berechnen: Wir legen zwei Werte auf der bszisse fest (x und x 2 ) und bestimmen graphisch durch Errichten der Senkrechten in x und x 2 die Schnittpunkte mit dem Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 2 -
Graphen. Von diesen Schnittpunkten fällen wir jeweils das Lot auf die Ordinate und erhalten so die entsprechenden Werte y und y2. Durch Differenzbildung (x - x 2 ) bzw. (y - y 2 ) erhalten wir chsenabschnitte. Die chsenabschnitte (y - y 2) und (x - x 2 ) setzen wir ins Verhältnis:. y x y x 2 2 Das Verhältnis der chsenabschnitte gibt uns die Steigung m des Graphen an. Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich (sonst wäre es keine Gerade), d.h. wie auch immer wir (x - x 2 ) wählen, die y-differenz wird immer m (x - x 2 ) sein. Steigungswinklel Für die dargestellte Funktion gilt: f(x) = 2x - 2 Es ist der Winkel α zu bestimmen, den der Graph der Funktion mit der bszisse bildet. Für das rechtwinklige Dreieck gibt es die Beziehung tanα = Gegenkathete nkathete uf das Problem angewendet, ergibt sich (rotes Dreieck beachten!): und nach α aufgelöst: tan α = m arctan m = α Der dargestellte Funktionsgraph bildet einen Winkel mit der x-chse (bszisse). α = 63,43 Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 3 -
Die Punkt - Steigungs - Form (PSF) Die Punkt-Steigungs-Form kann verwendet werden, wenn ein Punkt (Px Py) und die Steigung m gegeben sind bzw. aus der ufgabenstellung bestimmt werden können. Die Grundformel der Punkt-Steigungs-Form lautet: nach y aufglöst: y y m = x x ( ) y = mx + y mx durch Vergleich mit der allgemeinen Geradengleichung y = mx + b stellen wir fest, dass Die Punkt - Winkel - Form als Sonderfall der PSF ( ) b = y mx Wenn an Stelle der Steigung der Winkel gegeben ist, schreiben wir wegen m = tan α ( tanα ) y = tanα x + y x Warum braucht man überhaupt zwei bestimmende Elemente (in der Ebene), um eine Gerade eindeutig festzulegen? Wäre nur die Steigung (in der Ebene) gegeben, so gäbe es beliebig viele Geraden, die alle die selbe Steigung haben aber parallel liegen. Wäre nur ein Punkt (in der Ebene) gegeben, gäbe es beliebig viele Geraden, die alle diesen Punkt enthalten aber rotationssymmetrisch bezogen auf den Punkt liegen. Weltfremdes Beispiel zur PSF gefällig? In einem Ort sterben jedes Jahr 200 Einwohner mehr als geboren werden. 980 betrug die Einwohnerzahl 20000. Die "Steigung" beträgt -200 Einwohner/Jahr. Der gegebene "Punkt" ist P(980 20000). x ist die Jahreszahl, y die Zahl der Einwohner. Die Gleichung für die "Bevölkerungsentwicklung" lautet demnach: y = -200 x + 46000 Das heißt, zu Christi Geburt (x = 0) gab es 46000 Einwohner in diesem Ort, und im Jahr 2080 (y = 0) ist der Ort endgültig ausgestorben. So, so! Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 4 -
Die zwei- Punkte - Form Die zwei-punkte-form kann verwendet werden, wenn zwei Punkte (Px Py ) und (Px 2 Py 2 ) gegeben sind bzw. aus der ufgabenstellung bestimmt werden können. Die Grundformel der Punkt-Steigungs-Form lautet: nach y aufglöst: y y y2 y = x x x x 2 y y y = y + x x ( ) 2 x2 x Kurze Herleitung: Die Steigung m der Geraden beträgt y y m = x x 2 2 (mit den gegebenen Punkten bestimmt). Nach dem Strahlensatz gilt aber auch. Durch Gleichsetzen erhalten wir somit: y y m = x x y y y2 y = x x x x 2 Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 5 -
Die chsenabschnitts - Form Die chsenabschnitts-form kann als Sonderform der zwei-punkte-form aufgefasst werden. Die gegebenen Punkte (Px Py ) und (Px 2 Py 2 ) sind in diesem Fall (a 0) und (0 b). Die Grundformel der chsenabschnitts-form lautet: nach y aufglöst: x y + = a b b y = x + b a Kurze Herleitung: Einsetzen der Punkte (a 0) und (0 b) in die zwei-punkte-form ergibt: vereinfacht: ausmultipliziert: b 0 y = 0 + a 0 a ( x ) x y = b a b y = x + b a Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 6 -
Gerade g 2 senkrecht zu einer gegebenen Geraden g Um die Gleichung g 2 einer Senkrechten zu einer gegebenen Geraden zu bestimmen, bildet man den negativen Kehrwert der Steigung der gegebenen Geraden g. g : y = mx + b die Gerade g 2, senkrecht zu g g 2 : y = x + b m Kurzer Beweis: Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 7 -
Schnittpunkt zweier Geraden Der Schnittpunkt zweier Geraden stellt die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten dar. Der Schnittpunkt erfüllt beide Gleichungen. Um die Schnittpunkte zweier Geraden zu berechnen, muss man die Terme gleichsetzten. (Man darf Terme jedoch nur dann gleichsetzten, wenn diese auch wirklich gleich sind.) Beispiel: Die Gleichungen y = 2x - 2 und y = -0,67x +2 2 sind gegeben (und nicht identisch!) Gleichsetzen ergibt: Es gibt 3 Fälle für die Ebene: 2x - 2 = - 0,67x +2 2,67x = 4 x S =,5 y(,5) = 2,5-2 y S = kein Schnittpunkt: Die Gerade schneiden sich nicht ( y= 2x - 2, y2= 2x +2 ) genau ein Schnittpunkt: Die Geraden schneiden sich ( y= 2x - 2, y2= x ) unendlich viele "Schnittpunkte": Die Geraden sind identisch ( y= 2x - 2, 6y= 2x - 2 ) Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 8 -
Schnittwinkel zweier Geraden Der Schnittwinkel zweier Geraden lässt sich aus der Differenz der beiden Steigungswinkel bestimmen. Kurzer Beweis: α = arctanm arctanm 2 Für das gelb unterlegte Dreick gilt: δ = 90 + arctanm δ = 90 arctanm 2 2 us der Winkelsumme im Dreieck: eingesetzt: α = 80 δ δ 2 ( m ) ( m ) α = 80 90 + arctan 90 arctan 2 α = 80 90 90 arctanm + arctanm α = arctanm arctanm 2 2 Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 9 -
lles auf einen Blick Form Formel Beschreibung Grundform y = mx + b Steigung Steigungswinkel Punkt-Steigung y y m = x x 2 2 α = arctanm y y m = x x ( ) ( ) y = mx + y mx b = y mx Punkt-Winkel α ( Zwei-Punkt chsenabschnitt y = tan x + y tan α x ) Senkrechte 2 Schnittwinkel 2 y y y2 y = x x x x y y y = y + x x 2 x2 x ( x y + = a b b y = x +b a m = m Schnittpunkt α = arctan m2 arctanm ) Die Grundform einer lineraren Funktion. Sie gilt grundsätzlich für alle Geraden y = b Parallele zur x-chse im bstand b y = 0 Die x-chse m > 0 linear steigend m < 0 linear fallend x = a Parallele zur y-chse im bstand a x = 0 Die y-chse Der Steigungswinkel α einer Geraden ist der Winkel zwischen der positiven bszisse und dem Graphen der Funktion. α wird aus der Steigung m bestimmt. Die Punkt-Steigungs-Form kann verwendet werden, wenn ein Punkt (Px Py) und die Steigung m gegeben sind bzw. aus der ufgabenstellung bestimmt werden können. Sonderform der Punkt-Steigungs-Form; gilt, wenn der Steigungswinkel α und nicht die Steigung m gegeben ist Die zwei-punkte-form kann verwendet werden, wenn zwei Punkte (Px Py ) und (Px 2 Py 2 ) gegeben sind bzw. aus der ufgabenstellung bestimmt werden können. Die chsenabschnitts-form kann als Sonderform der zwei-punkte-form aufgefasst werden. Die gegebenen Punkte (Px Py ) und (Px 2 Py 2 ) sind in diesem Fall (a 0) und (0 b). Um die Gleichung g 2 einer Senkrechten zu einer gegebenen Geraden zu bestimmen, bildet man den negativen Kehrwert der Steigung der gegebenen Geraden g. Der Schnittpunkt zweier Geraden stellt die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten dar. Die Lösung ergibt die Koordinaten des Schnittpunktes. Man wendet die (hoffentlich) bekannten Verfahren wie «Gleichsetzen», «Einsetzen» o.ä. an. Der Schnittwinkel zweier Geraden wird aus der Differenz der beiden Steigungswinkel bestimmt. Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 0 -
Komplexbeispiel Gegeben sei das ebene Dreieck P P 2 P 3. mit P { 2}, P 2 {4 } und P 3 {3 5}. Gesucht sind a) die Gleichungen g, g 2 und g 3 b) der Mittelpunkt und der Radius des Umkreises c) der Mittelpunkt und der Radius des Inkreises d) die Fläche des Dreiecks P P 2 P 3 a: die Gleichungen g, g 2 und g 3 y y y = y + x x 2 Es wird die Zwei-Punkte-Form ( x2 x ) angewendet 2 7 g = 2+ ( x ) = 2 x+ g = x+ 4 3 3 3 3 5 g2 = + ( x 4) = 4x+ 6 g2 = 4x+ 7 3 4 5 2 3 3 3 g3 = 2+ ( x ) = 2+ x g3 = x+ 3 2 2 2 2 Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - -
Komplexbeispiel b: Der Mittelpunkt des Umkreises ergibt sich durch den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Zur Bestimmung des Punktes M genügen zwei Elemente; hier verwenden wir g und g 3, deren Schnittpunkt wir berechnen. Zur Festlegung einer geraden müssen zwei Parameter bekannt sein. Für diesen Fall wählen wir die Steigung und einen Punkt auf der Geraden, also die Punkt-Steigungsform ( ) y = mx + y mx wobei die Punkte noch als Mittelpunkte der Strecken PP 2 bzw. PP 3 bestimmt werden müssen und die Steigung als negativ reziproker Wert der verwendeten usgangsgeraden quasi bekannt ist. mit m ' = = 3 3 und m 3 ' = = 2 ergibt sich 3 3 2 ( L L ) g ' = 3x+ y 3x 2 2 g3 ' = x+ y + x 3 3 L3 L3 Zur Bestimmung der Lotfußpunkte L und L 3 projizieren wir die Geradenabschnitte PP 2 und PP 3 auf die x- und y-chse und halbieren jeweils die Projektionsstrecken. Nach ddition des»linken«bzw.»unteren«wertes erhalten wir die Wertepaare der Lotfußpunkte: Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 2 -
Komplexbeispiel L L L L P P 4 5 = + P = + = 2 2 2 P P 2 3 = + P = + 2 = 2 2 2 P P 3 = + P = + = 2 2 2 P P 5 2 7 = + P = + 2 = 2 2 2 2x x x x 2y y y y 3x x 3x x 3y y 3y y L L 3 5 3 ; 2 2 7 2; 2 Somit können wir die Gleichungen der gesuchten Lote angeben 5 3 mit L 7 ; und L 3 2; 2 2 2 ( L L ) g ' = 3x+ y 3x 2 2 g3 ' = x+ y + x 3 3 L3 L3 3 5 g ' = 3x+ 3 = 3x 6 2 2 2 7 2 4 2 8 4 29 g3 ' = x+ + 2 = x+ + = x+ 3 2 3 6 6 6 6 6 Jetzt setzen wir die beiden Funktionsterme gleich, um durch Lösung des linearen Systems mit zwei Unbekannten (Schnittpunkt) den gesuchten Mittelpunkt zu erhalten. g ' = g ' 3 4 29 4 29 36 22 65 65 3x 6= x+ 3x+ x= + x= xm = 6 6 6 6 6 6 6 22 65 65 63 g' = 3x 6 g' = 3 6 ym = 22 22 22 Zur Berechnung des Radius wenden wir den Satz des Pythagoras an: 2 ( ) ( ) 2 r = MP = P x + P y 2 2x M 2y M 2 2 2 65 63 88 65 22 63 r = 4 + = + 22 22 22 22 22 22 2 2 23 4 529 + 68 220 r = + = = 22 22 484 484 47 r = 2,363636... 22 2 Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 3 -
Komplexbeispiel c: Der Mittelpunkt des Inkreises ergibt sich durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Zur Bestimmung des Punktes I genügen zwei Elemente; hier verwenden wir die Winkelhalbierenden w und w 2, deren Schnittpunkt wir berechnen. Bestimmung der Terme w und w 2 α = arctan 2 2 arctan β = 2 2 ( m m ) 3 ( m m ) 2 Um aus die Steigung der Winkelhalbierenden w und w2 bestimmen zu können, müssen noch ein paar Umrechnungen laut nebenstehender Skizze vollzogen werden: us δ erhalten mir m w und aus ε m w2. γ ist der Steigungswinkel von g. α δ = γ = ( arctan m 2 2 arctan m ) arctan m β ε = + γ = ( arctan m 2 2 arctan m ) + arctan m m m w w2 = tanδ = tan ε Wir verwenden die Punkt-Steigungsform y mx ( y mx ) 3 2 = + mit den Punkten P und P 2. Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 4 -
Komplexbeispiel mit und m w m w 2 ergibt sich also Radius des Inkreises 3 = tan arctan arctan arctan = tan(8,937 ) = 0,343 2 2 3 3 = tan arctan ( 4) arctan arctan = tan( 47, 2 ) =, 08 2 3 3 w w2 ( ) ( ) y = 0,343x+ 2 0,343 = 0,343x+,657 y =, 08x+ + 4,32 =, 08x+ 5,32 0,343x +,657 =,08x + 5,32,423x = 3,663 x y I I = 2,574 = 2,540 Bestimme die Senkrechte zu g, die den Punkt I enthält (Punkt-Steigungsform) Bestimme den Schnittpunkt P LI von g I mit g ( ) g = 3x+ y 3x I I I gi = 3 x+ (2,54 3 2,574) g = 3x 5,82 I g I 7 3x 5,82= x+ 3 3 0 x = 7,553 3 x = 2, 25459 y PLI PLI = g =,588 ( ) ( ) 2 2 r = P I = x x + y y I LI I PLI I PLI ( 2,574 2, 25459) ( 2,54,588) r = 0,02 + 0,985 r =, 0205 r =,0... 2 2 r = + Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 5 -
Komplexbeispiel d: Fläche des Dreiecks P P 2 P 3 = abcd 2 3 ( 2 ) ( ) ( ) ( ) x x 3y 2y ( P2 P ) ( P P2 ) x x y y ( ) ( ) = P P P P = 4 5 = 2 abcd 4 2 3 = = = 2 2 2 ( P2 P3 ) ( P3 P x x y 2y ) ( ) ( ) 4 3 5 4 2 = = = 2 2 2 ( P3 P ) ( P3 P x x y y ) ( ) ( ) 3 5 2 6 3 = = = 2 2 2 24 3 4 6 = = 2 2 2 2 2 Geradengleichungen Ein Crashkurs von W.Memleb - 6 -