Ergebnis: An den Stellen x_p = -2 bzw. x_q = 3 besitzt der Graph von f die Steigung 4.

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Pamela Hausler
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1 Cornelsen Mathematik 1 Seite 10 reset assumetype::real R Aufgabe 7 a Definieren die Funktion f: f:=x->1/*x^-1/*x^-*x x x x x Bilden der Ableitungsfunktion von f -> f' f' x x x Bestimmen der Stellen, an denen der Graph von f die Steigung besitzt. Das bedeutet, da die Steigung an einer Stelle der Tangentensteigung entspricht und diese wiederum der Ableitung an der angegebenen Stelle, müssen wir die folgende Gleichung auflösen: solvef'x=, x {, } Ergebnis: An den Stellen x_p = - bzw. x_q = besitzt der Graph von f die Steigung Gefordert: Aufstellen der Tangentengleichung an diesen Stellen - bzw.. Zunächst definieren der zwei benötigten Tangentengleichungen in allgemeiner Form: t_1:=x->m_t*x+b_1 // für die Stelle x_p = - x m t x + b 1 t_:=x->m_t*x+b_ // für die Stelle x_q = x m t x + b An beiden Stellen liegt die gleiche Steigung vor: f ' - = f ' = m_t =. Wir bestimmen auch die Funktionswerte an den Stellen. m_t:=; f; // y-koordinate von Qx_q fx_q f-; // y-koordinate von Px_p fx_p 1

2 Damit wir vollständige Tangentengleichungen erhalten, benötigen wir jeweils noch die y- Achsenabschnitte b_1 bzw. b_. Hier zunächst b_1: solvef-=*-+b, b; Hinweis: 1 MuPad gibt bei "solve" immer das exakteste Ergebnis zurück, daher ist hier ein Bruch als Ergebnis. Mit "float" wird ein Dezimalergebnis "erzwungen", dass nach voreingestellten Stellen gerundet wird. Besser hier in der Berechung "b" verwenden und später als "b_1" definieren, da sonst der "Speicher" von b_1 belegt ist und bei nochmaligem Berechnen ein "ERROR" wegen dem definieren b_1 entsteht. Wir definieren b_1 für die Tangente t_1 an x_p = -: b_1:=/ Wir berechnen b_ für die Tangente t_ an x_q = : solvef=*+b, b; 7 Wir definieren b_: b_:=-7/ Damit erhalten wir die Tangentengleichungen der Tangente an P: t_1; m_t; b_1; x m t x + b 1

3 0 x m t x + b 1 und damit erhalten wir die Tangentengleichungen der Tangente an Q: t_; m_t; b_; x m t x + b 7 Für die eigene Beruhigung lassen wir die Graphen von f, t_1 und t_ in ein Koordinatensystem zeichnen: plotfuncdfx,t_1x,t_x y

4 y /*x^ - 1/*x^ - *x *x + / *x - 7/ ENDE Aufgabe 7a Aufgabe 7 b Wir benutzen die oben angegebenen Tangenten t_1 und t_ in dieser Aufgabe weiter kein "reset"!!!. Hinweis: Auf Seite 0 im Cornelsen wir detailliert beschrieben, wie wir den Abstand zweier zueinander paralleler Geraden sprich hier Tangenten bestimmt. Der "Abstand" ist die Länge einer Strecke d, die von der einen Geraden hier t_1 zu der anderen Geraden hier t_ verläuft und auf beiden seckrecht steht. Diese "Strecke" liegt auf einer Geraden n - die NORMALE von t_1 bzw. t_, die wir noch finden müssen. Wie wissen allgemein Siehe Cornelsen S. : Zwei zueinander orthogonale Funktionen besitzen die Steigungen m_f und m_g, die folgenenden Zusammenhang aufweisen: m_g = -1/m_f oder m_f * m_g = -1.

5 Definieren der Geradengleichung: n:=x->m_n*x+b x m n x + b Definieren der Steigung m_h: m_n:= -1/m_t 1 Wir verwenden die Punktkoordinaten von dem Schnittpunkt von y-achsenabschnitt von der Normalen h bestimmen. Dazu verwenden wir den Schnittpunkt P- -/ der Tangenten t_1 mit f: solve-/= m_n*-+b,b 7 6 Normale n mit den berechneten definieren: n:=x->-1/*x-7/6 x x Jetzt müssen wir die Länge der Strecke d distance = "Abstand" auf n bestimmen. Gleichsetzten von der Normalen n und der Tangente t_, um so einen Schnittpunkt F dieser Geraden zu erhalten F wird auch Lotfußpunkt auf t_ genannt, ist in der Regel nicht Q! : solvenx=t_x,x // extra nicht dezimal, damit wir die Zahl später einfache Wir brauchen noch die y-koordinate von F: t_18/51; // hier ist es egal, ob mit t_ oder mit n gerechnet wird Schnittp n18/ Mit Satz des Pythagoras den Abstand d ausrechnen Cornelsen S. 8:

6 Mit Satz des Pythagoras den Abstand d ausrechnen Cornelsen S. 8: sqrt18/51+^+-19/10--/^ // Endergebnis exakt floatsqrt18/51+^+-19/10--/^ // Endergebnis dezimal ERGEBNIS: Der Abstand zwischen den Tangenten t_1 und t_ beträgt ca LE. Eine Anwort MUSS sein, sonst wissen wir Lehrer nicht, ob sie das hier wirklich verstanden haben ;-! ENDE Aufgabe 7 b Aufgabe 7c Steigungswinkel der Funktion an der Stelle x=1 f'1 arctanx = tan^-1 x = alpha ist der Steigungswinkel an der Stelle x: arctan- // MuPad gib immer den exaktesten Wert der Berechnung an. arctan floatarctan- // Daher "float" anwenden!! Das Ergebnis ist ein Winkel im Bogenmaß. MuPad: vom Bogenmaß ins Winkelmaß umrechnen floatarctan-*180/pi π MuPad gibt immer den exaktesten Wert der Berechnung zurück, daher nochmals "float" für den Steigungswinkel Stelle x=1 : float% ENDE der Aufgabe 7 c ENDE der Aufgabe 7 6

7 reset // Entleeren sämtlicher Speicher!! Aufgabe 8 Siehe Cornelsen, Seite f:=x->-x^+8*x-11 x 8 x x 11 g:=x->x-1 x x 1 solvefx=gx {[x = ], [x = 5]} plotfuncdfx,gx,x=-5..10,yrange=-5..5,scaling=constrained, GridVisible y x x^ + 8*x - 11 x Wir müssen zweimal die Schnittwinkel bestimmen: Für die Stelle x_1= und für die Stelle x_ =5:

8 Steigung an der Stelle x_1 = für f: f' Steigungswinkel von f bei x_1= im Gradmaß: alpha_f_:=floatarctan*180/pi Steigung an der Stelle x_1 = für g: g' 1 Steigungswinkel von g bei x= im Gradmaß: alpha_g_:=floatarctan1*180/pi 5.0 Schnittwinkel 180-alpha_f_ + alpha_g_ Steigung an der Stelle x_ = 5 für f: f'5 Steigungswinkel von f bei x=5 im Gradmaß: alpha_f_5:=floatarctan-*180/pi Steigung an der Stelle x_ = 5 für g: g'5 1 Steigungswinkel von g bei x= im Gradmaß: alpha_g_5:=floatarctan1*180/pi 5.0 Schnittwinkel 180-alpha_f_5 + alpha_g_ ERGEBNIS: Der Schnittwinkel an der Stelle x_1= beträgt: ca

9 Der Schnittwinkel an der Stelle x_1= beträgt: ca Der Schnittwinkel an der Stelle x_=5 beträgt: ca reset Aufgabe 9 a Definieren der Funktion: f:=x->1/*x^ x x Definieren der Tangente t_1 allgemein: t_1:=x->m_t1*x+b_t1; x m t1 x + b t1 Berechnen der Ableitung von f an der Stelle x =, die gleichbedeutend mit der Tangentensteigung m_t ist: m_t1:=f'-; Berechnen des y-achsenabschnittes der Tangente an dem Punkt P - f- mit m_t1 = -/ : solvef-=m_t1*-+b, b; Definieren des y-achsenabschnittes der Tangente b_t1:=-/ Zufällig sind die Steigung m_t1 = -/ und der y-achsenabschnitt b_t1=-/ der Tangente an P gleich. Daher: Ergebnis: t_1; m_t1; b_t1 x m t1 x + b t1 9

10 plotfuncdfx,t_1x, x=-.., YRange=-.., GridVisible, Scaling = Constraine y x -1-1/*x^ - /*x - / ENDE Aufgabe 9 a Aufgabe 9 b Da wir von der letzten Aufgabe Inhalte benötigen, kein "reset". Andererseits muss bei der Verwendung der Variablen und Parameter darauf geachtet werden, nicht die gleichen wie oben zu verwenden, da sonst entweder diese mit neuen Inhalten gefüllt werden oder Gleichungen nicht gelöst werden können, da die gesuchte Variable mit einer anderen Zahl als dem Ergebnis gefüllt ist. Wir suchen jetzt eine zweite Tangente t:_ zum Graphen von f, die senkrecht auf der ersten Tangente t_1 steht. t_:=x->m_t*x+b_t x m t x + b t 10 Wegen der Orthogonalität muss gelten: m_t = - 1 / m_t1.

11 m_t:=-1/m_t1; Außerdem suchen wir die Stelle x_0, an der der Graph von f die Steigung f ' x_0 der Orthogonalen besitzt. Daher gleichsetzen dieser Eigenschaften und auflösen nach x_0: solvef'x_0=m_t,x_0; 9 8 Berechnung des y-achsenabschnittes b_t: Einsetzen des Punktes Px_0 fx_0 und der Steigung m_t in die allgemeine Tangentengleichung und diese nach b auflösen: b_t:=solvef9/8=m_t*9/8+b,b[1]; 7 6 ERGEBNIS: t_; m_t; b_t x m t x + b t 7 6 Zur Überprüfung: wichtig hierbei: "Scaling=Constrained", da wir dann die Orthogonalität der Tangenten t_1 und t_ erkennen können plotfuncdfx, t_1x,t_x, x=-.., YRange=-.., GridVisible, Scaling = Co 11 y

12 y x -1-1/*x^ - /*x - / /*x - 7/6 Danke für die Unterstützung: Maxine Braun Sebastian Rübner 1

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