Seie 6 66 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus III Eponenialfunkion und Logarihmus Lineares und eponenielles Wachsum S. 6 Die Bevölkerung wächs alle 0 Jahre mi dem Fakor,. Jahr 000 00 00 00 00 0 060 Anzahl in Mrd. 6, 6,89 7,79 8,80 9,9,,70 Triff die Gesezmäßigkei zu, dann werden 0 fas doppel so viele Menschen auf der Erde leben wie im Jahr 000. Der Pegelsand seig jede Sunde um die gleiche Höhe 8 cm. Zei in Sd. 0 0 0 0 Pegelsand in cm 0 8 6 80 60 0 8 6 Seig der Wasserspiegel konsan weier, so is nach ca. Sunden mi der Überfluung von großen Teilen der Alsad zu rechnen. S. 66 a) a = = =, b) a = = = 0,7 a) eponenielles Wachsum; a =,; f (0) =,; Änderung: % b) eponenielles Wachsum; a = 0,8; f (0) = f () a = 0; Änderung: 0 % c) lineares Wachsum; d = 0,8; f (0) = 0,+ 0,8 = d) f () f() =,0; f () f() =, kein lineares Wachsum f ( ) f( ) ( ) 0,90; f 0,80 kein eponenielles Wachsum f( ) e) lineares Wachsum; d = 0,6; f (0) =, 0,6 = f) f ( ) f( ) f() f(0) 0 0 f () 0, 9,06 8,8 ( ) =,; f =, =, f( ) ; a =,; f (0) =, :, =,; Änderung: 0 % w Mi Kohlensäure angereicheres Regenwasser lös auf dem Weg durch den Dolomi Kalk, der sich beim Tropfen von der Höhlendecke als sog. Siner ablager. Das Wachsum häng sark von der Regenmenge und von den Veränderungen des Wasserweges durch das Gesein ab. Es is also nich mi einer konsanen absoluen Zunahme pro (Zei-)Schri zu rechnen. Über lange Zeispannen können sich die Einflüsse für das Wachsum mieln. Für die Teufelshöhle in Poensein wird ein durchschniliches Wachsum von mm pro Jahre angegeben. Angenäher lineares Wachsum is nur über lange Zeiräume anzunehmen. f() f(),8, 0 f (),7,,,8, a) in Jahren 0 Taschengeld in $ 0 0 0 f () = + ; lineares Wachsum Aussage zureffend für [ ; + [ 0 0 0 $ f() b) in Jahren 0 Sundenlohn in $ 0 0,0 0,0 0,6 0,8,0 f () = 0,0 ; eponenielles Wachsum Aussage zureffend für [0; + [ 0 8 6 $ f() Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-
Seie 66 67 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus c) in min Länge in mm 0 0 8 6 0 00 0 80 0 60 f () = 0 ; lineare Abnahme 0 00 mm f() Aussage zureffend für [0; 60] 0 0 0 0 60 Min. d) in Jahren Wer in $ 0 000 0 6,, f () = 000 0, ; eponenielle Abnahme 000 0 $ f() Aussage sinnvoll für [0; 6] Gesezmäßigkei gil heoreisch unbegrenz. 00 e) in Jahren 0 6 Masse m m 9 m 7 m 8 m m 79 m f m () = m ; eponenielles Wachsum 80 m f m () Aussage zureffend für [0; + [ 0 f) Individuelle Lösungen 6 a) lineares Wachsum; d = f () f() =, b) eponenielles Wachsum; a = f =, f ( ) 0 f () 9, 60, 66 7, 77 6 7 8 9 0 f () 8, 88 9, 99 0, 0 0 0 00 90 80 70 60 0 0 0 0 6 7 8 9 0 S. 67 7 Die Temperaur T seig mi konsaner Geschwindigkei; seig mi wachsender Geschwindigkei; fäll mi abnehmender Geschwindigkei; seig mi abnehmender Geschwindigkei; fäll mi konsaner Geschwindigkei. m f ( ) 0 f () 60, 66, 7, 80, 6 7 8 9 0 f() 88,8 97, 07,8 7,90 9,69 0 0 0 00 90 80 70 60 0 0 0 0 m 6 7 8 9 0 f Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-
Seie 67 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus 8 a) eponenielles Wachsum: f (n) = 00,0 n lineares Wachsum: g (n) = 00 + 80 n n 0 0 0 00 f(n) 78 7 0 67 g(n) 00 000 800 600 0 00 Die Behaupung is falsch. Auf lange Sich, d.h. für großes n überhol das eponenielle Wachsum das lineare. b) f (n) = 00,0 n Probieren in 0er-Schrien ergib: f (70) 86 Die Behaupung is falsch. Nach 70 Monaen ha sich der Absaz verdoppel. c) f (n) = 00 0,9 n ; f(0) 860 Die Behaupung is falsch. Nach 0 Monaen werden noch 860 Sück verkauf. v 899 9 a) 0,887; 7 9 0,88; 7 0 0,88; 6 6 0,879; 0 899 79 70 0 0,877; 7 0,87; 0,87; 6 0,866 66 7 In grober Näherung können die Quoienen aufeinanderfolgender Were als konsan angesehen werden, obwohl sie insgesam mi der Höhe ewas abnehmen. b) Mielwer der Quoienen: 0,878; pro km nimm der Lufdruck im Miel um, % ab. c) Abnahme des Lufdrucks pro km: 0,878 0,9 =,9% d) Mihilfe des funkionalen Zusammenhangs zwischen Lufdruck und Meereshöhe läss sich für ein Baromeer aus der Druckskala eine Höhenskala errechnen. Diese Höhenskala is drehbar gegenüber der fesen Druckskala angebrach. Bei einer Wanderung sell man die Höhenskala so ein, dass der Zeiger die Höhe des Sarpunks angib. Der Druckunerschied zwischen Sarpunk und akuellem Sandor is dann als Höhe des Sandors ablesbar. ny 0 a) d (0) = (mm); d () = + 0,; d () = + 0, ; d (n) = + 0, n b) l () = d (0) π = π; l () = l ()+d() π = π +0, π l () = l ()+d() π = π +0, π (+). (n ) n l (n) = π n+0, π (++ +n ) = π n+0, π = 9,8πn+0,πn i ++ +n = n (n +) c) d (n) = 800 800 = +0, n n = l () = 9,8 π +0, π 6mm,6km a) Spiel = Möglichkeien; Spiele = = 9 Möglichkeien; Spiele = = 7 Möglichkeien; usw. Mi jedem Spiel wächs die Anzahl der Möglichkeien mi dem Fakor. b) Anzahl der Möglichkeien: = 777 P ( Gewinn im. Rang ) =,6 0 6 0,0006% c) P ( Gewinn im. Rang ) = = 9 = P 9 P P Prozenuale Verringerung der Gewinnchancen: = 9 88,9% a) Anfangskapial = a J (0) = a J () = a,0; J () = a,0,0; J() = a,0,0,0; J (9) = a,0,0,0,0,0,06,07,08,09,7 a Das Kapial ha sich in den neun Jahren um ca.,7 % vermehr. b) % is das arihmehische Miel der einzelnen Prozensäze. J (9) = a,0 9,a Das Kapial wäre bei diesem Zinssaz in neun Jahren um,% angewachsen. P Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-
Seie 67 68 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus p a) n = bedeue halbjährliche Verzinsung zu n = % pro Zinsabschni. Die Zahl der Zinsabschnie verdoppel sich auf = 0. K () = 000 (+0,0) 0 $ 8,99 $ b) = 0; p = 0,0 n = : K (0) = 000,0 0 $ 80, $; n = : K (0) = 000,0 0 $ 88,86 $ n = : K (0) = 000 + 0 $ 90,8 $ Bei weierer Verkürzung der Zinsabschnie (z. B. wöchenliche oder ägliche Verzinsung) würde das Kapial in 0 Jahren noch einen leich höheren Errag bringen. S. 68 a) Kapial nach Jahren mi einem Jahreszinssaz von p %: K () = K (+p) Kapial nach 0 Jahren mi einem Jahreszinssaz von %: K (0) = K (+0,0) 0 Mi der gegebenen Bedingung: K (+p) = K (+0,0) 0 (+p),6 +p,08 p 8,7% b) in 0 Jahren: K (+p) 0 = K (+p) 0 = +p = p 7,8% in 0 Jahren: K (+p) 0 = K (+p) 0 = +p = p,% 0,0 w a) = 008 66 = 8 80 p = %: K(80) = $,0 80 = 7086060$,7 0 9 $ p = 0 %: K(80) = $, 80,8 0 7 $ b) 60km = 6 0 7 m Grundsückspreis bei p = %:,7 0 9 $ = m $ 6 07 m p = 0%:,8 0 7 $, 0 9 m $ 6 07 m 6 a) D () = D (0) 0,8 in min 0 6 7 8 9 0 D () in C 0,6 0, 6,, 0, 8, 6,7, T () in C 70 60,6 0, 6,, 0, 8, 6,7, b) 70 C 60 0 0 T 0 0 c) T () = U + D (); D () = D (0) 0,8 T() = U + D (0) 0,8 T () = 0 + 0,8 T () = 0 + 0,8,8 Der Kaffee ha nach Minuen eine Temperaur von ca.,8 C. d) T ( ) = 6 0 T( 0) 70 6 7 8 9 0 ( ) = ( ) 60 ( ) =,6 ( ) 0,87; T 0,867; T 0,877; T T Der Abnahmefakor wächs langsam, also lieg kein eponenielles Wachsum vor. e) T (0) = ; U = 0; D (0) = ; D () = 0,9 T () = 0 0,9 T (0) = 0 0,9 0, Nach 0 Minuen ha die Limonade eine Temperaur von, C. f) C 0 0 D 0 6 7 8 9 0 Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-
Seie 68 7 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus 7 a) Kein lineares Wachsum, da die absoluen Zuwächse seigen. Kein eponenielles Wachsum:,,,6; 6, 7,,9; 0, 6, 7,;, 9, 0, b) Die särkse absolue Zunahme (00 auf 006) bezieh sich auf einen höheren Grundwer. 8 a) Zeichnung individuell Sei d der Absand zwischen h und k bzw. h und g A ABC = A B d = A B d A ABE = A B d = A ABC A BDE = E D d = A B d = A ABC A EDC = A BDE = A ABC b) E D = A B unabhängig von der Länge von A B und d (Srahlensaz). c) Die Flächeninhale der Dreiecke ändern sich nich, wenn C auf g wander, weil nach dem Srahlensaz mi A B auch E D konsan bleib und die Dreieckshöhen ebenfalls. 9 a) b) a + a 6 b 6 +b c) d) e) f) Eponenialfunkionen S. 69 a) f (0) = g (0) = 0, h (0) = f () =, g () = h () =, f () =, g () = h () = 0,7 f () g () h () a = f( =, a = ) g = a = ( ) h = 0, ( ) Da der Wachsumsfakor jeweils konsan bleib, beschreiben die Funkionen f, g und h jeweils ein eponenielles Wachsum. f () =, g () = 0, h () = 0, b) Bei den Funkionen f und g is a > und die Funkionsgraphen seigen. Bei der Funkion h is a < und der Funkionsgraph is fallend. c) f,g und h geben den Wer der Wachsumsgröße nach Ablauf einer halben (Zei-)- Schri an. S. 7,,, 0, 0 0,,,, a) f() = 0,0 0, 0,0 0,6 0, 0, 0,67 0,8,,,8,,76,8,,06 b) g() =,06,,8,76,,8,, 0,8 0,67 0, 0, 0,6 0,0 0, 0,0 c) f() = 0, 0, 0,9 0, 0, 0, 0,8 0,76,,7,8,00,9,0 6,8 9,00 d) k() = 0,0 0, 0, 0,6 0,6 0,7 0,79 0,89,,6,,9,78,00,, 9 8 7 6 y c) Den Graphen erhäl man durch Spiegelung des Graphen von an der y-achse. Daher kann die Wereabelle für b) direk mi a) ersell werden. b) a) d) Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-
Seie 7 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus a) < a < b individuelle Lösung mi f (0) = g (0) = f () > g () für < 0; f () < g () für > 0 b) 0 < a < b < individuelle Lösung mi f (0) = g (0) = f () > g () für < 0; f () < g () für > 0 (zum Vergleich: Eigenschafen der Eponenialfunkion a : Schülerbuch S. 69) 6 y 0 Für 0 und für gil. Ein DIN-A-Bla is ca. cm brei und ca. 0 cm hoch. a) f () =, ; f() 7,0 Der Punk des Graphen von f am rechen Rand is 7, cm vom uneren Rand enfern. b) Individuelle Schäzung für. f () = 0; f () 8,; f(6) 0,9 Das Bla müsse nach rechs hin um ca. cm verbreier werden. c) Individuelle Schäzung. Am rechen Rand gil nun = ; f () =,,76;,76 0,cm = 7,8cm Der Graph erreich nich ganz den oberen Rand. 6 a) f () = a ; f(+) = a + = a a = a f() b) f () = a ; f() = a = (a ) = f() und für 0 und für gil 7 Ansaz für Funkion f: f () = b a a) f () = I. b a = f () = 0, II. b a = 0, II:I a = 0, in I: b = f () = 0, b) Rechenweg analog a) f() = 8 c) Rechenweg analog a) f() = 8 d) Rechenweg analog a) f() = 6 0, e) P0 G f b a 0 = b = f () = a f) Die Punke Q ( ) und R() können nich auf dem Graphen einer Funkion liegen, weil die Zuordnung f () eindeuig is. v 8 Der Funkionserm b a enhäl zwei Variablen (Parameer), die zu besimmen sind. Zur Besimmung von a und b is ein Sysem mi zwei Gleichungen nowendig. Jeder Punk, der auf dem Graphen von f lieg, liefer eine Gleichung. Soll der Funkionserm durch einen Punk fesgeleg sein, so muss also einer der beiden Parameer schon bekann sein. 9 Funkionserm zu f: f (0) = b a 0 = b = f () =, a =, a =, f () =, Funkionserm zu g: g (0) = b = g( ) = a = a = 0, g () = 0, Funkionserm zu h: h (0) =, b =, h () =, a = a =, h () =,, Funkionserm zu k: k (0) = b = k () =, a =, a = 8 k () = 8 Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-6
Seie 7 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus S. 7 m 0 a) = = b) + = = 8 = 8 c) = 6 d) + = + = = 8 7 6 0 9 8 7 6 y b) d) c) a) y a) Graph seig, wenn a + >, also für a > 0. Graph fäll, wenn 0 < a+ <, also für < a < 0. b) Der Graph is für alle a 0 eine nach oben geöffnee Parabel. Der Graph fäll für < 0 und seig für > 0. Von a häng die Seigung des Graphen nich ab. c) Graph seig, wenn a >, also für a + < < a <. Graph fäll für a < oder a >. d) Graph is konsan für alle a. e) Graph seig, wenn a >, also für a > a < oder a >. Graph fäll, wenn 0 < a <. a > 0 a > also für a < oder a > Graph fäll, wenn < a < oder < a <. f) Der Graph is eine Gerade. Gerade seig für a > 0, sie fäll für a < 0. a) f () = b 0,6 ; b 0,6 = 000 b = 00 f () = 00 0,6 m 0 k 00 000 800 080 68 m 6 7 8 k 88,8, 0 8 b) Individuelle Lösung; z. B. f () = 0 für, c) 00 0,6 = 0, 0,6 = 0 Probieren: 0,6 0,66 0 000 0,6 9,8,09 0 0,6 9,8,008 0 6 7 8 In ca. 9,8 m Tiefe beräg die Beleuchungssärke ungefähr 0, l. n a) Es werden immer ca. die Hälfe der Schokolinsen LS zeigen. Anzahl der nach dem n-en Wurf übrig gebliebenen Schokolinsen: f (n) = 80 n b) Anzahl der nach dem n-en Wurf verzehren Schokolinsen: g (n) = 80 f(n) Die Funkionswere von g wachsen mi zunehmendem n, erreichen aber nie den Wer 80. Eine wachsende Eponenialfunkion erreich aber beliebig große Were. g is also keine Eponenialfunkion. c) Bei realen Schokolinsen wird der Abnahmefakor nur ungefähr beragen, da nich alle Schokolinsen eine Idealform haben. Beim einzelnen Eperimen kann es uner Umsänden zu berächlichen Abweichungen von den berechneen Idealweren kommen. 00 l m Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-7
Seie 7 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus (Feser Parameer a muss so besimm werden, dass die Funkion für alle r erklär is.) a) a > 0 a >, Funkion (a ) is definier für a >,. b) a + > 0 für alle a Funkion (a +) is definier für alle a. c) a 0 a Funkion a is definier für a. a d) a + > 0 + > 0 a. Fall: + a > 0 und a > 0 a > 0. Fall: +a < 0 und a < 0 a < Funkion + a is definier für a < oder a > 0. e) a+ 0 und a+ > 0 a und a+ < a und a <. Funkion a+ is definier für a <. f) a + a > 0 und a 0 + Funkion a a is definier für a > und a 0. a) f (0) = 0, b = 0, f (6) = 0,6 0,6 = 0, a 6 a 6 = a = 6 ; f() = 0, () 6 b) Die Wassermelone wächs äglich um,%. c) Individuelle Lösung Es handel sich mi Sicherhei um beschränkes Wachsum, d. h. es lieg nur während einer begrenzen Zei eponenielles Wachsum vor. 6 a) f (0) = 00 b = 00 f (8) = = 00 a 8 a 8 = a = f () = 00 0, 8 Zerfall in einem Jahr: 00 00 0, 8,% b) f () = 00 0, 8 9 Nach Jahren sind noch 9mg vorhanden. 7 a) Die Behaupung is gleichwerig mi der Gleichung a = (a) oder a = (a) a = a a = a = Für a is die Aussage falsch. b) Analog a) gil: a = a a = a a = a= Die Aussage is für a falsch. c) f () = b = b; die Funkionswere bleiben konsan b; Aussage is richig. d) (+p) = (+p) = + p +p = +p +p+p = +p p = 0 p = 0 Für p = 0 lieg kein Wachsum vor, die Aussage is falsch. 8 a) Ansaz: f() = a +b+c AG f (I)II a+b+c = BG f (II)I a+b+c =, CG f (III) a b+c = Lösung des Gleichungssysems liefer: a = ; b = ; c =, f() = ++, = ( ) + b) Ansaz: f () = a ( )(+) PG f 6a = a = f () = ( )(+) = +, 8 Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-8
Seie 7 7 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus Modellieren von Wachsum S. 7 a) Die Messpunke werden durch die lineare Funkion h am besen angenäher. Sie liefern aber keinen eindeuigen Hinweis, ob die Beschreibung durch eine lineare oder eine Eponenialfunkion erfolgen soll. b) Die Zusazinformaion veranlass die Ausscheidung von h, denn für > 0 gil h () < 0. S. 7 Die absolue Abnahme der Blualkoholwere schwank um den Mielwer 0,8. Es lieg also lineares Wachsum vor. f() =,6 0,8 Die relaive Abnahme schwank um den Wer 0,89. Es lieg also eponenielles Wachsum vor. f() = 000 0,89 C S. 7 a) Sowohl lineare als auch eponenielle 60 Abnahme scheide aus, da die absolue und relaive Abnahme mi der Zei geringer wird. b) f () = s + b a 0 f f (0) = 60 (I)II s+b a 0 = 60 0 f () = (II)I s+b a = 0 f () =,6 (III) s + b a =,6 Durch Lösen des Gleichungssysems erhäl 0 man a = 0,8; b = 0; s = 0 man y = 0+0 0,8 6 7 c) s is die Umgebungsemperaur. b is die Temperaurdifferenz zum Zeipunk = 0. d) f() 0 60,6 0, 6,, 6 0, 7 8, Die Modellierung pass genau. Alle Messpunke liegen auf dem Graphen (siehe Teilaufgabe a)). v v a) C Die absolue und die relaive Zunahme der Temperauren wird mi der Zei geringer. 0 Linearer und eponenieller Temperauransieg f scheiden aus. Graph zu b) 0 y 0 9 8 f 7 6 6 7 b) f () = 0 8 0, 0 f() 6 8 9 9, 9,7 Der Graph seig mi zunehmendem weniger an und näher sich dem Wer 0. c) Die Funkionen vom Typ f () = s b a zeigen den gleichen Verlauf wie die gemessenen Temperauren. Der Parameer s gib die Grenzemperaur an, der Parameer b die Temperaurdifferenz zum Zeipunk = 0. Für b > s is die Anfangsemperaur negaiv. 0 < a < muss gelen, weil nur dann die Funkionswere mi zunehmendem wachsen. d) f () = 0 0,7 Lösungsweg analog b) e) f(),9; der Körper erreich nach Minuen eine Temperaur von ca.,9 C. Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-9
Seie 7 77 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus 6 a) 0 y () 60 0 0 0 abs. Abn. 0 0 rel. Abn. 0, 0, 0, 0, 0, lineare Funkion f : 60 0 Eponenialfunkion g : 60 0,76 (Mielwer der relaiven Abnahme pro Zeieinhei: 0,) 0 f () 60 0 0 0 0 g () 60,6,7 6, 0, b) Berache man die Abweichung der Funkionswere von den vorgegebenen Weren, so läss sich aus den sechs Weren nich enscheiden, welche Modellierung zureffender is. c) Die Punke (6,) und (70) lassen die Funkion f ausscheiden, da f (6) = 0 und f (7) = 0 is. Dagegen gil g (6) =, und g (7) = 8,8. Die Funkion g is die geeignee Modellierung. n d) S g = (60 60) +(,) +(0,6) +(0 6,) + (0 0,0) +(,) S g = +(,,) +(0 8,8) S g =,6 e) Die Funkion liefer überwiegend ewas zu kleine Were. Deshalb wähl man besser einen ewas größeren Wachsumsfakor. h () = 60 0,77 S h = (60 60) +( 6,) +(0,6) +(0 7,) +(0,) +( 6,) S h = +(,,) +(0 9,6) S h = 0,7 7 0% von 80% =, 0,8 =, = % Der Endpreis is um % höher als der Anfangspreis. 8 a) 0, b) c) 0,86 d) 0,9 e) 9, f) 9,99 60 0 0 0 0 C f g Logarihmen S. 76 a),09 0,788 Wenn die jährliche relaive Änderung,9% beräg, wächs die Welbevölkerung in 0 Jahren um ca. 7,9 %. b),09 0,;,09,9;,09 7,007 Bei einem jährlichen Zuwachs von,9 % verdoppel sich die Welbevölkerung nach 7 Jahren. S. 77 a) = log b) log 0 0000 = c) log 7 = 0 d) log = e) log 9 = f) log 6 6 = g) log = h) log 0 = 000 a) b) 7 c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) 0 a) log a a = b) log a a = log a (a ) = c) log a a = log a a = 8 8 Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-
Seie 77 78 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus a) Gesuch is eine Zahl, deren. Poenz gleich is. Also: = b) Gesuch is eine Hochzahl, mi der man poenzieren muss, um 8 zu erhalen. Also: = c) Gesuch is eine Hochzahl, mi der man 7 poenzieren muss, um 9 zu erhalen. Also: = d) Gesuch is eine Hochzahl, mi der man poenzieren muss, um zu erhalen. Also: = e) Gesuch is das Quadra der Zahl. Also: = 6 f) Gesuch is eine Zahl, deren. Poenz is. Also: = 6 a) lg,0 b) log 0, c) nich lösbar, da > 0 für alle r d) log 0,, e) log 0,6 0 7, f) nich lösbar, da 0 > 0 für alle r S. 78 7 a) a = a = b) a = a = 7 c) b = 6 b = 9 d) b = 7 b = 9 e) a = a = f) a = = 9 a = 9 g) (a ) = a = h) b = b = 8 0, 0, 6 7 8 9 0 f(), 0,8,,8,80,7, g() 0, 0 0,0 0,8 0,60 0,70 0,78 0,8 0,90 0,9 y f g 6 7 8 9 0 Gemeinsam: f () = g () = 0 f () < 0 für 0 < < ; g () < 0 für 0 < < Beide Graphen seigen im gesamen Definiionsbereich r +. Unerschiedlich: Der Graph von f seig schneller als der Graph von g. 9 a) f () = log,9; g() = log, Der Graph von f is,9 cm vom uneren Rand enfern, der Graph von g, cm. b) f () = 9,6; = 9,6 8, 0 8 ; g () = 9,6; = 0 9,6,98 0 9 Dami der Graph von f den oberen Rand des DIN-A-Blaes erreich, müsse das Bla nach rechs hin auf ca. 8, 0 8 cm verbreier werden. Beim Graphen von g müsse es auf,98 0 9 cm verbreier werden. aw c) 8, 0 8 cm = 8, 0 km z. B. Enfernung New York Lissabon,98 0 9 cm 0 km i Lichjahr ca. 9, 0 km, also,98 0 9 cm 0 9 Lichjahre; Aler des Universums ca. 0 9 Lichjahre. Das Lich häe vom Beginn der Wel an bis heue ca. % der Srecke zurückgeleg. Randspale: log 7 = = 7 = 89 also log 7 = 89 p 0 a) = = 0, richig b) = 0, = 0,0 falsch c) log ( 8) is nich definier: falsch d) log ( 8) = log 8 = log 6 = 6 richig e) Individuelle Lösung a), =,78 b),8 = 0,8 0,796 c) = 0, d), =,80 e) =, 0,80 f) = 0,686 Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-
Seie 78 80 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus p m K () = K 0 + n vgl. Schülerbuch S. 67, Aufgabe a) 00 = 000,0,0 =,,7 Nach ewas mehr als, Jahren sind die 000 $ auf 00 $ angewachsen. b) 9 = 00 a a =,9 a =,9,06 Das Kapial wurde mi 6 % pro Jahr angeleg. c) =,06,89 Das Kapial ha sich nach Jahren ewas mehr als verdoppel. a) Eponenielles Wachsum lieg vor, wenn die Quoienen aufeinanderfolgender Were um einen Mielwer schwanken. =,; 0 =,; 0 =,8; 00 =,7 00 0 0 f () = 00, b) 00, = 000,68 Nach 6 Sunden enhäl die Kulur mehr als 000 Bakerien. c) Wachsum um 000 % bedeue das -fache des Anfangsweres., =,9 Nach knapp 6 Sunden wächs die Zahl der Bakerien um 000%. a) ( 0,08) = 0, 8,0 Die Halbwerszei von Jod- beräg 8 Tage. b) f(8) ; f(6) ; f() 8 Nach Tagen is noch 8 der ursprünglichen Menge Jod- nich zerfallen. a) log 8 = = 8 log 8 = y 8 y = 8 y = 8 y =, also log 8 log 8 = b) log a b = a = b log b a = y b y = a b y = b y =, also log a b log b a = 6 a) b) 7 = < also + 0 0 < + 0 0 also 0 7 c) + > 6 8 8 8 d) 9 = 9 n = 0, Aussage falsch < 0 Aussage richig + > 6 Aussage richig für >,7 < Aussage falsch Rechnen mi Logarihmen S. 79 Mihilfe der Tabelle wandel man die an der Rechenoperaion beeiligen Zahlen in Dreierpoenzen um und wende die Poenzgeseze an. Mihilfe der Tabelle ermiel man dann das Ergebnis der Rechenoperaion. 9 79 = 6 = 8 = 66 8 79 = 6 = 0 = 909 7 87 = 7 = 0 = 909 909:79 = 0 : 6 = = 8 7 = = 9 = 968 S. 80 a) lg,7 0 = lg,7+,67 b) lg,6 0 = 0 lg,6 7,9 c) lg 0 0 = lg 0 9,0 d) log 00 = log +00 0,8 a),6 b) 8,6 c),8 d), e), f),6 lgb = lga lgb = lga b = a Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-
Seie 80 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus a) lg = lg+lg =,0798 b) lg 8 = lg = (lg+lg) =, c) lg7 = lg =,6 d) lg 6 = lg(lg+lg) = 0,8907 e) lg 8 = (lg+ lg) = 0,87 f) lg70 = lg 0 = lg0+ lg =,6 g) lg = lg(00:) = lg00+lg lg =,7609 h) lg, = lg(9:) = lg lg = 0,6 i) lg0,8 = lg :00 = lg+lg lg00 = 0,77 k) lg 8 = lg 7 aber lg 7 nich gegeben 6 a) log = log = = 9 b) lg = lg6 lg lg = lg = c) lg = lg+lg8 lg = lg00 = 00 d) log = = = 7 e) lg = lg lg = lg lg = lg = f) log () = +log 6 log ( ) = log +log 6 = log = =, h) lg 0 +lg lg = lg6 lg lg = lg6 = 6 =, i) log +log = log log = log = 6, 7 a) lg 0 = 0lg,99; 0 = 0,99 = 0 00,99,7 0 b) lg 00 = 00lg 9,; 00 = 0 9, = 0 0, 0 9 0,768 0 9,76 0 96 c) lg 00 = 00 lg 07,98; 00 = 0 07,98 8,8 0 07 8 a) log a ++log a b b) log a u+log a v log a w c) log a b d) log a (+y) e) log a b f) log a (+y)+log a ( y) g) log( a) h) log a (+) log a i) lg(+)+lg( ) lg 9 a) log a u b) lg(a+b) c) 0 d) log a e) lg(+) f) lg 0 a) falsch lga+lgb = lg(a b) b) richig log a b = a = b (a ) = b log a b = log a b = log a b c) richig, denn log a a = a = a für alle a > 0 a) log a b = u (a) u = b log a b = u (a ) u = b a = a a = (a = 0 keine Lösung, da log 0 b nich definier is) Analog folg: b) a = c) a = 9 a) Auf 0, werden alle Zahlen des Inervalls [0,0; 0,[ gerunde. 0,0,0 0 ; 0,,9 0 Der Wer der Poenz kann nach der Rundungsregel mi einer gelenden Ziffer angegeben werden. b) 0,0, 0 ; 0,,67 0 Nach der Rundungsregel is keine Ziffer gesicher. c) 0 0,0,7 0 8 ; 0 0,,7 0 8 Auch hier is keine Ziffer gesicher. d) 0,00,9 0 8 ; 0,0,7 0 8 Nur die erse Ziffer des Poenzweres is gesicher. e) 0 0,00 6,7; 0 0,0 6, Beide Were liegen im Inervall [6,; 6,[; also 0 0,0 6, Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-
Seie 8 8 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus S. 8 a) S = lg I0 = lg000 = I b) lg = 6, I = I 0 0 6, I 0, 0 6 I0 000 I 0 c) Bayern: I B = I 0 0,8 ; Sumara: I S = I 0 0 9, I also: S = 0, 99 I B Das Beben bei Sumara (am 6.. 00) war ewa 000-mal särker als das särkse Beben in Bayern. I d) S = lg I0 I I I 0 wird halbier: S = lg = lg I0 I0 +lg = S+lg I I 0 wird verdoppel: S = lg = S lg S. 8 a) lg = 0; lg000 = lg0 = ; lg0,00 = lg0 = b) lg0 n = n 0 n is also auf der logarihmischen Skala n Längeneinheien von der Eins enfern. Der Plaz für Null rück ins Unendliche. I0 a) In einem Koordinaensysem auf einfach logarihmischem Papier liegen die Messpunke 000 auf einer Geraden g. 0 Ansaz für g: g(d) = lgf(d) = lg f(0)+d lga = lg f(0) a d 00 f (d) = f (0) a d 00 f (0) = 0 f () = 0 a = a = 0, a 0,6 f(d) = 0 0,6 d g(d) = lg0+d lg0,6 = lg 0 0,6 d b) (0,6) 9 0,06,6% 0 0 I in mw 6 7 g d in cm 6 a) 00 U in V g = lg f 0 0 0 0 in s f: f(0) a f (0) = 00 f (0) = 00 a 0 = a = 0 0, 0,9 y = 00 0,9 b) Pro Sekunde nimm die Spannung um 7 % ab. c) 0,9 H = H = lg 0, 9, lg 0, 9 Die Halbwerszei beräg ca. 9,6 s. 7 f () = a lg f() = lg a = lga g () = a +d = a a d lgg() = lg a a d = lga +lga d = lga+d lga Auf einfach logarihmischem Papier aufgeragen sind die Graphen der Funkion f und g parallele Geraden mi der Seigung lg a. Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-
Seie 8 8 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus b 8 a) Von I = 000I 0 auf I = 000I 0 S = 0 lg000 = 0dB S = 0 lg000,db analog von I = 0000I 0 0auf I = 0000I 0 : S = 0dB S,8dB analog von I = 00000I 0 auf I = 0000I 0 : S = db S,8dB b) S = 0dB I = 0 I 0 ; S = 80dB I = 0 8 I 0 = 0 I Bei einer Seigerung der Lausärke von 0dB auf 80dB seiger sich die Reizinensiä auf das 0 000-fache. I c) L = db lg = I = 0 I I0 0 ; I = 0 7 W m I 0 = 0 7 W m 0 = 0 W m I d) S = 0 lg I0 I I I S = 0 lg = 0 lg lg00 = 0 lg 00I0 I0 I0 = S 0 Der Schwerhörige empfinde die Lausärke gegenüber dem normal Hörenden um 0dB verringer. e) Individuelle Lösungen 9 V = cm = ( cm) a = cm a Zeichnung im Maßsab : a zeichnerisch: e 8,7cm a β rechnerisch: e = a = 7cm 8,7cm e a β sin β = = = e β, 7 0 a) = ; y =, b) (I) = ( )(y ) = ( )(y ) y = y 6 y y 9 (II) = ( ) = (y ) y = 0 = ; y = S. 8 a) n 6 Eponenialgleichungen 0 9 8 7 6 y f S(0,9,) g b). Möglichkei: d () = f () g(); d (0,9) = 0,0; d (0,89) = 0,0 Die Nullselle von d lieg im Inervall [0,89; 0,9], In diesem Inervall lieg auch die -Koordinae des Schnipunks. Durch sysemaisches Probieren kann man das Inervall verkleinern.. Möglichkei: Umformen der Gleichung f () = g ();, = 8,0 = 8 = 8 lg = lg 8 = lg, 8 0,8979 0, lg. Möglichkei: lg f () = lg g () lg 8 lg lg+ lg, = lg8+ lg0, 0,8979 S. 8 a) b) 0,6 c) d),6 e) 0,8 f), g) h) lg lg lg, lg 0, lg +lg, a) 0,8 =,6 =, b), = + = lg 0,8 lg,6 lg, lg 9, c) keine Schnipunke, da f () < 0 und g () > 0 für alle r. Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-
Seie 8 8 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus, = 0,6 0,6 Wochen = 0,6 7 Tage, Tage Nach Wochen, Tagen und Sunden erreich die Alge die Wasseroberfläche. a),0 =, Nach ewa, Jahren ha sich das Kapial verdreifach. b) 7000,0 = 000 0,07 Nach ewa 0 Jahren is das Kapial von 7000 $ auf 000 $ angewachsen. 6 a) = u u u+ = 0 u = = 0 u = = b) 7 = u u +u = 0 u = 0,6 u = 7 keine Lösung für, da 7 > 0 für alle c) + = 0 = u u u+ = 0 u = = 0 u = 0, d) = u u u = 0 u = 8 = u = keine Lösung für, da > 0 für alle 7 7 7 a) = = =, b) = = =, m 8 a) g y Die Gleichung, = 07 + läss sich durch Logarihmieren nich in eine nach auflösbare Gleichung umformen. 8 f 7 6 Die Rechengeseze erlauben keine Umformung von lg( 0,7 +). b) d () = 0,7 +, d(,) 0,7; d(,7) 0,00; d(,6) 0,; d(,69) 0,07; d(,696) 0,0007 d(,697) 0,00 S [,696;,697] Auf zwei Nachkommasellen is S,70. c) S,70; d (,7) = 0,006 0,0; f(,70),6; g(,70),6 S. 8 y 9 a) Ansaz für die akuelle Akiviä: A () =, a ; a 70 = a = 0, 70 ; A() =, 0, A( + 000) 70 ; = 0, A () In 000 Jahren nimm der C--Gehal um, % ab. b) A () =, 0, lg A () lg, 70 = 70 lg 0, Aler von Buch Jesaia: A() = 008 Jahre Grabuch von Twin: A() =,8 8 Jahre Ägypischer Holzsarg: A() = 8 60 Jahre Holzkohle aus Sonehenge: A() = 9, 90 Jahre Knochen eines Mammu: A() =,9 7 Jahre c) A(0000) =, 0, 0000 70 0, Bei dieser geringen Akiviä wird die Messung zu ungenau. 0 a),07 b),09 c) = 0,; = d),68 e) 0,97 f) = = 6 (a), b), d) analog Aufgabe. c), e) analog Aufgabe 6.) + 00 0 70 0,886 a) Phosphor : ( 0,07) = 0, H, Tage b) Kobal 8: 0,99 = 0, H 69 Tage c) Polonium 8: 0,8 = 0, H, Minuen d) Pluonium 9: ( 0,08) 000 = 0, H 07 Jahre e) Es sind noch,% = 8 = der ursprünglich vorhanden radioakiven Aome nich zerfallen. Dies is nach der dreifachen Halbwerszei der Fall. Phosphor :, Tage; Kobal 8: 07 Tage; Polonium 8: 9, Minuen; Pluonium 9: 7 Jahre + Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-6
Seie 8 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus 6 0, = 0,6, cm; Die Bleiplae müsse ewa,cm dick sein. Aluminium: 0, = a 9 a = 0, 0, 9 = 0, 9 lg 0, = lg 0, 0,9 Nach dem Durchdringen von 0,9 cm Aluminium is die Inensiä auf 0, I 0 gesunken. analog: Eisen: 0,,8 = 0, 6,cm Wasser: 0, = 0, 8,0cm a) 7 = lg7+lg = lg lg + lg = lg7,0 lg lg b) = lg =,87 c) 7 = =, a) ZZ = Zweimal Zahl ZZ ZZ lg 9 lg lg 7 lg lg lg H T N H T 9 P (H) = + = N b) P (N) = + = 8 + = = Die Sekorfläche für N muss auch beim. Glücksrad auf % der Kreisfläche vergrößer werden. 6 = + Inhal des Flächensücks: Kreissekor gleichseiiges Dreieck (r = cm; α = 0 ) (a = cm) A = ( cm) π cm c m A = 6π, cm A,06cm Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-7
Seie 86 87 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus Thema: Wachsum mi Grenzen S. 86 a) f () = 0,8 b) 0 y 8 6 y i) 0 0 v 0 6 7 8 9 Maimale Fallgeschwindigkei: m s c) f: S a S besimm die maimale Fallgeschwindigkei, a den Ansieg der Fallgeschwindigkei. Ein kleineres a bewirk ein schnelleres Anwachsen der Fallgeschwindigkei. 0 8 6 iii) ii) iv) 6 7 8 9 a) f: 60+60 +60 + +60 00 00 00 y Die Zahl der Erkranken näher sich dem Wer 0. 6 7 b) f () = 0 60 S. 87 a) 0 000 9000 8000 7000 6000 00 000 000 000 000 Erkranke W 6 7 8 9 0 v a m b) f () = S +a m ; S = 0000 a f () = 0 000 a m +a m f (0) = 0 a 0000 m +a m = 0 a m = 9 99 f () = 0 000 999+a f() = 960 a 0000 999 a = 960 a =, a,0 f () = 0 000 999 + a g Individuelle Lösungen Erns Kle Verlag GmbH, Sugar 009 www.kle.de Lambacher Schweizer, Ausgabe Bayern, Alle Reche vorbehalen. Lösungen und Maerialien Klasse 0 ISBN 978---796-8